371606 Aula 02 Linear (Adição Multiplicação Matrizes Inversas)

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Multiplicação de matrizesMultiplicação de matrizesMultiplicação de matrizesMultiplicação de matrizes
Inversa de uma matrizInversa de uma matrizInversa de uma matrizInversa de uma matriz
Multiplicação de matrizesMultiplicação de matrizesMultiplicação de matrizesMultiplicação de matrizes
Inversa de uma matrizInversa de uma matrizInversa de uma matrizInversa de uma matriz
Lourenço Gonçalves Jr
Objetivos:Objetivos:Objetivos:Objetivos:Objetivos:Objetivos:Objetivos:Objetivos:
Reconhecer quando é possível multiplicar duas matrizes;
� Obter a matriz produto de duas matrizes;
� Aplicar as propriedades da multiplicação de matrizes;
� Identificar matrizes inversíveis;
Obter a matriz inversa (caso exista), pela definição;
Identificar matrizes inversíveis;
� Obter a matriz inversa (caso exista), pela definição;
Vamos voltar aos nossos alunos de álgebra linear. Já é tempo de
calcular suas notas finais! A última matriz obtida (na aula 2)
fornecia as notas numa escala de 0 a 100.










884067
615259
705777 Lembrando: cada coluna indica a nota de 
uma avaliação.
Vamos supor que as avaliações tenham peso 2,
3 e 5, respectivamente, num total de 10.
Assim, a primeira colabora com 20%,a























=
706060
766866
605050
229230
603040
708250
807060
'N
Vamos supor que as avaliações tenham peso 2,
3 e 5, respectivamente, num total de 10.
Assim, a primeira colabora com 20%,a
segunda com 30% e a terceira com 50% da
nota final.
Então, a Nota Final de cada aluno será dada 
por:
NF = 20/100 P1 + 30/100 P2 + 50/100P3.NF = 20/100 P1 + 30/100 P2 + 50/100P3.
Em vez de escrever uma expressão como essa para cada um dos
10 alunos, pode-se construir uma matriz-coluna P contendo os
pesos das notas, na ordem como parecem no cálculo de NF:








100
20


















=
100
50
100
30
P E efetuar a seguinte operação:














⋅















=⋅ 100
30
100
20
708250
807060
884067
615259
705777
' PN 























++
++
++
++
++
=
100
5070
100
3082
100
2050
100
5080
100
3070
100
2060
100
5088
100
3040
100
2067
100
5061
100
3052
100
2059
100
5070
100
3057
100
2077
















=
69,6
73
69,4
57,9
67,5















⋅

















=⋅
100
50
100
706060
766866
605050
229230
603040
PN



























++
++
++
++
++
=
100
5070
100
3060
100
2060
100
5076
100
3068
100
2066
100
5060
100
3050
100
2050
100
5022
100
3092
100
2030
100
5060
100
3030
100
2040
100100100

















=
65
71,6
55
44,6
47
OO queque fizemosfizemos?
Tomamos duas matrizes tais que o número de termos em cada
linha da primeira é igual ao número de termos de cada coluna da
segunda.
Ou seja, o número de colunas da primeira coincide com o
número de linhas da segunda (3, no nosso exemplo).
Ou seja, o número de colunas da primeira coincide com o
número de linhas da segunda (3, no nosso exemplo).
Dessa forma, podemos multiplicar os pares de elementos,
“varrendo”, simultaneamente, uma linha da 1ª matriz e uma
coluna da 2ª. Depois, somamos os produtos obtidos.
Note que, ao considerarmos a i-ésima linha (da 1ª matriz) e a
j-ésima coluna (da 2ª ), geramos o elemento na posição ij da
matriz produto.
Formalmente, temos a seguinte definição:
Multiplicação de MatrizesMultiplicação de Matrizes
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Propriedades da Multiplicação de Matrizes
Potências de Matrizes
Exemplo 1
Exemplo 2
(a) (b)
Exemplo 3
Vimos que, dada uma matriz AЄMn(R),
se existe uma matriz B ЄMn(R), tal que AB = In
A matriz A não nula, é dita inversível e a matriz B é a sua inversa, e
Matrizes Inversas
podemos escrever B = A−1.
Uma matriz inversível sempre comuta com sua inversa;
logo,logo, sese ABAB == IInn entãoentão BABA == IInn ee AA éé aa inversainversa dede BB..
Dada uma matriz quadrada A, não sabemos se ela é ou não
inversível até procurar determinar sua inversa e isso não ser
possível.
Para descobrir se uma matriz é ou não inversível e, em caso
afirmativo, determinar sua inversa, só contamos, até o momento,
com a definição.
Matrizes Inversas
possível.
Para descobrir se uma matriz é ou não inversível e, em caso
afirmativo, determinar sua inversa, só contamos, até o momento,
com a definição.
Assim, dada uma matriz A de ordem n, escrevemos uma matriz
também de ordem n, cujos elementos são incógnitas a determinar,
de modo que o produto de ambas seja a identidade de ordem n.
Vamos a um exemplo:
Em cada caso, vamos determinar, caso exista, a matriz inversa de A:
seja a matriz 





=
tz
yx
B a inversa da matriz A, então: 
2IBAAB == 



=



⋅



10
01
31
52
tz
yx
Exemplo 1






=





++
++
10
01
33
5252
tyzx
tyzx






=
31
52
.1 A
2IBAAB == 



=



⋅


 1031 tz







=+
=+
=+
=+
03
13
052
152
ty
zx
ty
zx
Essa igualdade gera um sistema de 4 equações e 4 incógnitas:




=


 ++ 1033 tyzx
Exemplo 2
Observação:
Você viu que, ao tentar inverter uma matriz de ordem 2,
recaímos em dois sistemas, cada um de duas equações e duas
incógnitas. Se a matriz a ser invertida for de ordem 3, então o
problema recairá em três sistemas, cada um com três equações e
três incógnitas.
incógnitas. Se a matriz a ser invertida for de ordem 3, então o
problema recairá em três sistemas, cada um com três equações e
três incógnitas.
Note que o trabalho aumenta com a ordem da matriz a ser
invertida. Para inverter uma matriz 5×5, teríamos que resolver 5
sistemas, cada um de 5 equações e 5 incógnitas.
Necessitamos determinar outra maneira de abordar o
problema. Isso será feito com o uso de operações que serão
realizadas com as linhas da matriz a ser invertida. Essas
operações também poderiam ser definidas, de forma análoga,
sobre as colunas da matriz.
Neste curso, como só usaremos operações elementares
operações também poderiam ser definidas, de forma análoga,
sobre as colunas da matriz.
Neste curso, como só usaremos operações elementares
aplicadas às linhas, nós nos referiremos a elas, simplesmente,
como operações elementares (e não operações elementares
sobre as linhas da matriz). Vamos à caracterização dessas
operações.
ResumoResumoResumoResumoResumoResumoResumoResumo
Nesta aula vimos diversos conceitos: multiplicação
entre matrizes.
Essa operação se distingue das outras que vimos
anteriormente, tanto pela maneira pouco intuitiva pela qual é
definida, quanto pelo fato de não ser comutativa.
Ela representa um papel muito importante no
desenvolvimento de toda a álgebra linear, permitindo, por
definida, quanto pelo fato de não ser comutativa.
Ela representa um papel muito importante no
desenvolvimento de toda a álgebra linear, permitindo, por
exemplo, uma representação simples da composiçãode
funções especiais, que estudaremos mais adiante.
Além disso, fomos apresentados às matrizes inversíveis e
verificamos que estas sempre comutam com suas matrizes
inversas.
Resolva os exercícios a seguir e retorne aos objetivos e ao resumo
da aula. Essa metodologia serve como auto avaliação e serve como
uma direção para seus estudos.