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Álgebra Linear Aula 01 – 11/03/14 Professora: Carla Pinheiro Moreira Aula 1 - Introdução à Álgebra Linear (a)vetores e operações no 𝑅𝑛 : soma e multiplicação por escalar (produto escalar-vetor); (b)equação cartesiana e parametrização da reta e do plano e suas generalizações; (a) Vetores e Operações no 𝑅𝑛: 1. (𝑅𝑛): Um vetor 𝑅𝑛é uma lista ordenada de n números reais. Dizemos que é uma n-upla de números reais. Exemplos: (1, 2) são vetores de 𝑅2 (−1, 2, 3) são vetores de 𝑅3 (1, 2, 3, 4) ≠ (2, 1, 3, 4) são vetores de 𝑅4 2. Soma de vetores em 𝑅𝑛: u + v = (𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛) + (𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛) = (𝑢1+𝑣1, 𝑢2+𝑣2, . . . , 𝑢𝑛+𝑣𝑛) Exemplo: 𝑅4 (1,-1,1/4,-2/3) + (-2,2,3/4,5/3) = (1-2,-1+2,1/4+3/4,-2/3+5/3) = (-1,1,1,1) Propriedades da Soma em 𝑅𝑛: • comutativa: u + v = v + u • associativa: (u + v) + w = u + (v + w) • elemento neutro: v + 0 = 0 + v • inverso aditivo: u + (−u) = 0 3. Multiplicação por escalar ou produto escalar-vetor: Dados o vetor u = (𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛) e o escalar t ∈ R, definimos o vetor multiplicação de t por u, denotado por tu: tu = (t𝑢1, t𝑢2, . . . , t𝑢𝑛) Obs: um número real é chamado de escalar. Exemplo: Se u = (-1,3,1,-2,3/2), então 2u = 2(-1,3,1,-2,3/2)= (-2,6,2,-4,3) 4. Múltiplo ou paralelo: Dizemos que v é múltiplo de (ou paralelo a) w se existe um escalar t tal que v = tw. Exemplos: • São paralelos entre si: (-2,4,-6,1) e (1,-2,3,-1/2) pois (-2,4,-6,1) = -2(1,-2,3,-1/2) e (1,-2,3,-1/2) = -1/2(-2,4,-6,1). • O vetor 0 é paralelo ou múltiplo de qualquer outro pois 0 = 0w para qualquer w. 5. Representação Gráfica: Um vetor (a,b) ∈ 𝑅2 pode ser representado geometricamente por um segmento de reta orientado que une (0,0) com (a,b). Podemos fazer o mesmo com vetores em 𝑅3. Exemplos: • (3,2) ∈ 𝑅2 (Vetor no Plano) • (1,3,2) ∈ 𝑅3 (Vetor no Espaço) (3,2) 3 2 (1,3,2) 3 2 1 Além de representar o vetor como uma setinha partindo da origem (0,0), pode-se representá-lo transladando a setinha e partindo de um ponto qualquer (c,d) ∈ 𝑅2. 6. Setinha e vetor: A setinha que começa em (c,d) e termina em (c+a,d+b) representa o mesmo vetor (a,b) ∈ 𝑅2 para quaisquer (c,d) ∈ 𝑅2. A setinha que começa em (d,e,f) e termina em (d+a,e+b,f+c) representa o mesmo vetor (a,b,c) ∈ 𝑅3 para quaisquer (d,e,f) ∈ 𝑅3. Por esta definição o mesmo vetor possui uma infinidade de representações. Todas as setinhas representadas no exemplo abaixo representam o mesmo vetor (3,2) ∈ 𝑅2. Exemplo – Representações do vetor v = (3,2) (3,2) 3 2
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