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Algebra Linear Estacio Aula 1

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Álgebra Linear 
 
Aula 01 – 11/03/14 
Professora: Carla Pinheiro Moreira 
 
 
Aula 1 - Introdução à Álgebra Linear 
(a)vetores e operações no 𝑅𝑛 : soma e multiplicação por escalar 
(produto escalar-vetor); 
 
(b)equação cartesiana e parametrização da reta e do plano e suas 
generalizações; 
 
 
(a) Vetores e Operações no 𝑅𝑛: 
1. (𝑅𝑛): Um vetor 𝑅𝑛é uma lista ordenada de n números reais. Dizemos que é uma n-upla 
de números reais. 
 
Exemplos: 
(1, 2) são vetores de 𝑅2 
(−1, 2, 3) são vetores de 𝑅3 
(1, 2, 3, 4) ≠ (2, 1, 3, 4) são vetores de 𝑅4 
 
2. Soma de vetores em 𝑅𝑛: 
u + v = (𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛) + (𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛) 
 = (𝑢1+𝑣1, 𝑢2+𝑣2, . . . , 𝑢𝑛+𝑣𝑛) 
 
 Exemplo: 𝑅4 (1,-1,1/4,-2/3) + (-2,2,3/4,5/3) = (1-2,-1+2,1/4+3/4,-2/3+5/3) 
 = (-1,1,1,1) 
 
 Propriedades da Soma em 𝑅𝑛: 
• comutativa: u + v = v + u 
• associativa: (u + v) + w = u + (v + w) 
• elemento neutro: v + 0 = 0 + v 
• inverso aditivo: u + (−u) = 0 
 
 
3. Multiplicação por escalar ou produto escalar-vetor: Dados o vetor u = (𝑢1, 𝑢2, . . . , 
𝑢𝑛) e o escalar t ∈ R, definimos o vetor multiplicação de t por u, denotado por tu: 
 tu = (t𝑢1, t𝑢2, . . . , t𝑢𝑛) 
 
Obs: um número real é chamado de escalar. 
 
Exemplo: Se u = (-1,3,1,-2,3/2), então 2u = 2(-1,3,1,-2,3/2)= (-2,6,2,-4,3) 
 
4. Múltiplo ou paralelo: Dizemos que v é múltiplo de (ou paralelo a) w se existe um 
escalar t tal que v = tw. 
 
Exemplos: 
• São paralelos entre si: (-2,4,-6,1) e (1,-2,3,-1/2) pois (-2,4,-6,1) = -2(1,-2,3,-1/2) e 
(1,-2,3,-1/2) = -1/2(-2,4,-6,1). 
 
• O vetor 0 é paralelo ou múltiplo de qualquer outro pois 0 = 0w para qualquer w. 
 
5. Representação Gráfica: 
Um vetor (a,b) ∈ 𝑅2 pode ser representado geometricamente por um segmento de reta 
orientado que une (0,0) com (a,b). 
Podemos fazer o mesmo com vetores em 𝑅3. 
Exemplos: 
 
• (3,2) ∈ 𝑅2 (Vetor no Plano) 
 
 
 
 
 
 
 
 
• (1,3,2) ∈ 𝑅3 (Vetor no Espaço) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3,2) 
3 
2 
(1,3,2) 
3 
2 
1 
Além de representar o vetor como uma setinha partindo da origem (0,0), pode-se 
representá-lo transladando a setinha e partindo de um ponto qualquer (c,d) ∈ 𝑅2. 
 
6. Setinha e vetor: 
A setinha que começa em (c,d) e termina em (c+a,d+b) representa o mesmo vetor 
(a,b) ∈ 𝑅2 para quaisquer (c,d) ∈ 𝑅2. A setinha que começa em (d,e,f) e termina em 
(d+a,e+b,f+c) representa o mesmo vetor (a,b,c) ∈ 𝑅3 para quaisquer (d,e,f) ∈ 𝑅3. 
Por esta definição o mesmo vetor possui uma infinidade de representações. Todas as 
setinhas representadas no exemplo abaixo representam o mesmo vetor (3,2) ∈ 𝑅2. 
 
Exemplo – Representações do vetor v = (3,2) 
 
 
 
 
 
 
 
(3,2) 
3 
2

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