Apostila de Cálculo de Funções de Duas Variáveis

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Cálculo de Funções de Duas Variáveis 
 
Prof. Claud Wagner 
Lista1 (domínio, curvas de nível e derivadas parciais) 
 
 
1. Determine e esboce o domínio das funções abaixo: 
 
a) 
2 2
2
( , )
16
f x y
x y
 b) 
( , )
2 8
x
f x y
x y
 
 
c) 
2
( , )
1
x
f x y
y x
 d) 
2 2( , ) 25f x y x y
 
 
e) 
2 2( , ) 1f x y x y
 f) 
( , ) 1f x y x y
 
 
g) 
2 2( , ) 2 18 72f x y x y
 h) 
2( , ) 9f x y x y
 
 
i) 
2 2
1
( , )
1
f x y
x y
 j) 
2 2
1
( , )
3
f x y
x y
 
k) 
1
( , )
4 2
f x y
x y
 l) 
2 2
1
( , )
4 4
f x y
x y
 
 
m) 
2
1
( , )
9
f x y
x y
 n) 
23
4
( , )
1
f x y
x y
 
 
o) 
2 2( , ) ln( 9)f x y x y
 p) 
2 2( , ) ln( 9 16 144)f x y x y
 
 
 
2. Faça o mapa de contorno das funções abaixo mostrando várias curvas de nível. 
 
a) 
2 2( , )f x y x y
 b) 
2 2( , ) 2 3f x y x y
 
c) 
2 2( , )f x y x y
 d) 
( , ) 2f x y x y
 
e) 
( , )f x y xy
 f) 
( , )
x
f x y
y
 
g) 
2( , )f x y x y
 h) 
2 2( , )f x y x y
 
i) 
2 2
1
( , )f x y
x y
 j) 
( , )
1
y
f x y
x
 
k) 
2 2( , ) 2 5f x y x y
 l) 
2( , ) 2f x y x y
 
 
3. As funções 
,
2
x y
f x y
 e 
( , )g x y xy
 calculam, respectivamente, a 
média aritmética e a média geométrica dos números x e y. Determine: 
 
a) A média aritmética e a média geométrica dos números 
8e 2x y
. 
b) Os valores de x e y para os quais a média geométrica é igual a média 
aritmética. 
c) O domínio da função f. Faça um esboço. 
d) O domínio da função g. Faça um esboço. 
 
 
4. Uma empresa que aluga carros cobra R$40,00 por dia e 15 centavos por 
quilômetros rodado. 
 
a) Obtenha uma fórmula para o custo, C, do aluguel como função do número de 
dias, d, e o número de quilômetros, q. 
b) Calcule 
(5,300)C
 e interprete o resultado. 
 
 
5. Em 1928 Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual 
modelavam o crescimento da economia americana durante o período 1899-1922. 
Eles consideravam uma visão simplificada onde a produção é determinada pela 
quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de 
existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo 
provou-se impressionante razoável. A função utilizada para modelar a produção 
era da forma 
0,75 0,25( , ) 1,01P T C T C
, onde P é a produção total (valor 
monetário dos bens produzidos no ano), T é a quantidade de trabalho (número 
total de pessoas-hora trabalhadas em um ano) e C é a quantidade de capital 
investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios). 
 
a) Determine o domínio da função P. Faça um esboço. 
b) Em 1920, os valores da produção, do trabalho e do capital, de acordo com 
dados econômicos divulgados pelo governo americano, foram 
respectivamente, 231,194 e 407 em unidades apropriadas. Utilize a função 
de Cobb e Douglas para calcular a produção em 1920 e compare com o seu 
valor real. 
c) O que acontece com a produção se o trabalho e o capital investido forem 
dobrados? 
d) O que acontece com a produção se o trabalho e o capital investido forem 
multiplicados por um número positivo 
k
? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Quando injetamos um medicamento em um tecido musculoso, ele se espalha na 
corrente sanguínea. A concentração do medicamento no sangue aumenta até 
atingir um máximo, e depois decresce. A concentração C ( em mg por litro ) do 
medicamento no sangue é uma função de duas variáveis: q, a quantidade ( em 
mg ) do medicamento injetado, e t, o número de horas desde que a injeção foi 
administrada. A concentração pode ser modelada pela seguinte fórmula 
(5 )( , ) para 0 4 e t 0t qC q t te q
. 
 
a) Faça um esboço do domínio dessa função 
b) Calcule a concentração 2 horas e 30 minutos após a injeção de 2,4mg do 
medicamento. 
c) Supondo que sejam injetados 4mg do medicamento, determine após quantas 
horas o medicamento atinge a concentração máxima. Qual é a concentração 
máxima? Faça um esboço do gráfico da concentração em função do tempo. 
 
 
7. Nos exercícios abaixo, encontre 
f
x
 e 
f
y
. 
a) 
3( , ) 2 3 4f x y x y
 
b) 
4 4 2 6( , ) 3 5f x y x y x y
 
c) 
2 2( , )f x y x xy y
 
d) 
2 2( , ) 5 7 3 6f x y xy x y x y
 
e) 
2( , ) ( 1)f x y xy
 
f) 
3( , ) (2 3 )f x y x y
 
g) 
2 2( , )f x y x y
 
h) 
1
( , )f x y
x y
 
i) 
2 2
( , )
x
f x y
x y
 
j) 
( , )
1
x y
f x y
xy
 
k) 
( , ) sen cosf x y x y
 
l) 
( , ) sen 2 3f x y x y
 
m) 
( , ) ln(3 5 )f x y x y
 
n) 
2( , ) xyf x y x e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. O Índice de Massa Corporal (IMC) é um índice do peso de uma pessoa em 
relação à sua altura. Se uma pessoa tem massa m, em quilogramas, e altura h, 
em metros, então 
2
( , )
m
IMC f m h
h
. Com o resultado do cálculo do IMC e 
por meio da tabela abaixo da Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade 
você pode saber como está seu índice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule o seu índice e veja em que faixa você se encaixa. 
b) Calcule 
f
m
 e 
f
h
. 
c) Qual é a altura de uma pessoa que pesa 80 kg e tem IMC igual a 23? 
d) Calcule 
(70;1,7)
f
m
 e interprete. 
 
 
 
9. A fórmula de Dubois relaciona a área superficial de uma pessoa, S, em 2m , para 
o peso, w, em kg e a altura, h, em cm, por 
0,25 0,75( , ) 0,01S w h w h
. Calcule: 
 
a) 
(70,180)S
 
b) 
S
w
 e 
S
h
 
c) 
(70,180)
S
w
. Interprete esse resultado 
 
 
10. Considere que uma carga pontual de 
10 C
 seja colocada na origem de um 
sistema de coordenadas cartesianas e que uma segunda carga q positiva seja 
colocada no ponto 
( ,0)x
,
0x
. Se F é o módulo da força de atração entre as 
cargas, determine: 
 
a) 
( , )F x q
 
 b) 
F
x
 e 
F
q
 
 c) 
F
x
 quando 
20q C
 e 
0,1mx
. Interprete esse resultado 
 d) 
F
q
 quando 
20q C
 e 
0,1mx
. Interprete esse resultado 
Cálculo IMC Situação 
Abaixo de 18,5 Você está abaixo do peso ideal 
Entre 18,5 e 24,9 Parabéns — você está em seu peso normal! 
Entre 25,0 e 29,9 Você está acima de seu peso (sobrepeso) 
Entre 30,0 e 34,9 Obesidade grau I 
Entre 35,0 e 39,9 Obesidade grau II 
40,0 e acima Obesidade grau III 
11. Considere que uma carga pontual de 
20 C
 seja colocada na origem de um 
sistema de coordenadas cartesianas e que uma segunda carga q positiva seja 
colocada no ponto 
( ,0)x
,
0x
. Se F é o módulo da força de atração entre as 
cargas, julgue os itens abaixo em verdadeiros (V) ou falsos (F) 
a) ( ) 3
2
9.10 .
( , )
q
F x q
x
 
b) ( ) 4
3
1,8.10 .F q
x x
 
c) ( ) 3
2
9.10F
q x
 
d) ( ) Quando 
2q C
 e 
210 mx
, tem-se 
43,6.10
F
N m
x
 
e) ( ) 2 2 4
2 2 4
5,4.10 .F F q
q x x
 
f) ( ) 2 4
3
1,8.10f
q x x
 
 
 
12. De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se P newtons por 
metro quadrados for a pressão, V metros cúbicos for o volume e T graus for a 
temperatura, teremos a fórmula 
PV kT
 ondek é uma constante de 
proporcionalidade. Suponha que o volume de um gás em certo recipiente seja 
100 
3m
e que a temperatura seja 90º e 
8k
. 
 
a) Ache a pressão no recipiente 
b) Ache a taxa de variação de P por unidade de variação de T se V permanecer 
fixo em 100 
3m
. 
c) Use o resultado da parte (b) para aproximar a pressão se a temperatura for 
aumentada para 92º e compare com o seu valor real. 
d) Ache a taxa de variação de V por unidade de variação em P se T permanecer 
fixa em 90º. 
 
13. Consideremos uma pequena editora, com N funcionários e cujos equipamentos 
valem V (em unidades de R$ 25.000). Seja P a produção medida em milhares de 
páginas por dia. Suponha que a função de produção da companhia seja 
0,6 0,4( , ) 2P N V N V
. 
 
a) Qual a produção da empresa se ela tem 100 funcionários e 200 unidades de 
equipamento? 
b) Calcule 
(100,200) e (100,200)
P P
N V
. Interprete suas respostas em termos 
de produção. 
 
 
 
14. Nos exercícios abaixo, encontre 2
2
f
x
, 2
2
f
y
 e 2 f
x y
 
 a) 
2 3 4( , ) 2f x y x y x y
 
 b) 2
3
( , )
x
f x y
y
 
 c) 
( , )
1
xy
f x y
y
 
 
15. A equação 2 2
2 2
0
f f
x y
 é chamada equação de Laplace em homenagem a 
Pierre Laplace (1749-1827). Soluções dessas equações são chamadas de 
funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, 
escoamento de fluidos e potencial elétrico. Com base nessas informações, 
determine se as funções abaixo são harmônicas. 
 
a) 
( , ) senxf x y e y
 
b) 
3 2( , ) 3f x y x xy
 
c) 
( , ) sen .cosf x y x y
 
 
 
16. Prove que se 
0a b
, então a função 
2 2,f x y ax by c
 é harmônica. 
 
 
 
17. Suponha que dois resistores elétricos de r ohms e s ohms sejam colocados em 
paralelo para formar um resistor equivalente de R ohm. Determine: 
 
a) 
( , )R r s
 
b) 
(8,2)R
 
c) 
R
r
, 
R
s
, 2
2
R
r
, 2
2
R
s
 e 2R
r s