Buscar

14

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 10 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 10 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 10 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

25/04/2014
1
Matemática 
Financeira
Prof. Me. Reginaldo César Izelli
E-mail: reginaldo.izelli@fatec.sp.gov.br
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
AULA 14
�Sistemas de Amortização
�Sistema de Amortização
Constante (SAC)
�Sistema de Amortização Francês
(Price)
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistemas de Amortização 
� Amortização: é o pagamento do valor
principal do capital emprestado que é feito
normalmente de forma periódica e sucessiva
durante o prazo.
� Sistemas de amortização é o nome
atribuído às diversas formas de pagamento
de empréstimos.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
Cé
sa
r 
Iz
el
li
25/04/2014
2
Sistemas de Amortização 
�A necessidade de recursos obriga àqueles
que querem fazer investimentos a tomarem
empréstimos e assumirem dívidas que são
pagas com juros de formas que variam de
acordo com contratos estabelecidos entre as
partes interessadas.
�As formas de pagamento dos empréstimos
são chamadas sistemas de amortização.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistemas de Amortização 
� Tipos de Sistemas de Amortização
Existem diversos sistemas de amortização, alguns,
entretanto, por serem mais utilizados são mais
conhecidos:
�Sistema de Amortização Constante (SAC);
�Sistema de Amortização Francês (Price);
�Sistema de Amortização Americano (SAA);
�Sistemas de Amortização Variável (SAV).
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistemas de Amortização 
�Demonstrativos
�São quadros ou tabelas que permitem o
devedor (ou o credor) conhecer, a cada
período, o ESTADO da DÍVIDA (total pago
e o saldo devedor).
�Em todos os demonstrativos devem constar:Di
sc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
Cé
sa
r 
Iz
el
li
25/04/2014
3
Sistema de Amortização Constante
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Pelo sistema de Amortização Constante, a cada
período o devedor paga prestações formadas
por uma amortização constante e por uma
parcela de juros, calculadas em relação ao
saldo devedor do início do período.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização Constante
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização Constante
Exemplo: Uma empresa financia a compra de
máquinas e equipamentos no valor de
R$ 500000,00 à taxa de juros de 5% ao mês.
Considerando que este empréstimo foi
contratado pelo sistema SAC para o período
de cinco meses, determine o valor das
prestações de cada período.Dis
ci
pl
in
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
Cé
sa
r 
Iz
el
li
25/04/2014
4
Sistema de Amortização Constante
�
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
n
Pagamento das 
Prestações 
(PMT = Amortização + J)
Juros (J) Amortização Saldo Devedor(Saldo Anterior – Amortização)
0 - - - R$ 500.000,00 
1 R$ 125.000,00 R$ 25.000,00 R$ 100.000,00 R$ 400.000,00 
2 R$ 120.000,00 R$ 20.000,00 R$ 100.000,00 R$ 300.000,00 
3 R$ 115.000,00 R$ 15.000,00 R$ 100.000,00 R$ 200.000,00 
4 R$ 110.000,00 R$ 10.000,00 R$ 100.000,00 R$ 100.000,00 
5 R$ 105.000,00 R$ 5.000,00 R$ 100.000,00 -
Sistema de Amortização Constante
Observações:
1. Os juros são calculados sobre o saldo
devedor do início de cada período.
2. A amortização é o quociente entre a dívida
inicial e o número de prestações.
3. No sistema SAC o financiamento é pago
em prestações linearmente decrescentes,
sendo cada uma dela é igual à soma da
amortização do principal com os juros do
período.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização 
Constante (SAC) 
com carênciaDisci
pl
in
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
Cé
sa
r 
Iz
el
li
25/04/2014
5
Sistema de Amortização Constante
Exemplo: Construir a planilha de pagamento
pelo sistema de amortização constante, devido
a um empréstimo de R$ 100 000,00 perante
uma instituição financeira que cobra juros de
1,87% ao mês, se comprometendo o devedor a
quitar a dívida em 10 meses, com carência de 4
meses para o início da primeira parcela.Dis
ci
pl
in
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização Constante
Solução:
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
n PMT Amortização Juros Valor devedor
0 - - - R$ 100.000,00 
1 - - R$ 1.870,00 R$ 101.870,00 
2 - - R$ 1.904,97 R$ 103.774,97 
3 - - R$ 1.940,59 R$ 105.715,56 
4 - - R$ 1.976,88 R$ 107.692,44 
5 R$ 12.783,09 R$ 10.769,24 R$ 2.013,85 R$ 96.923,20 
6 R$ 12.581,71 R$ 10.769,24 R$ 1.812,46 R$ 86.153,95 
7 R$ 12.380,32 R$ 10.769,24 R$ 1.611,08 R$ 75.384,71 
8 R$ 12.178,94 R$ 10.769,24 R$ 1.409,69 R$ 64.615,47 
9 R$ 11.977,55 R$ 10.769,24 R$ 1.208,31 R$ 53.846,22 
10 R$ 11.776,17 R$ 10.769,24 R$ 1.006,92 R$ 43.076,98 
11 R$ 11.574,78 R$ 10.769,24 R$ 805,54 R$ 32.307,73 
12 R$ 11.373,40 R$ 10.769,24 R$ 604,15 R$ 21.538,49 
13 R$ 11.172,01 R$ 10.769,24 R$ 402,77 R$ 10.769,24 
14 R$ 10.970,63 R$ 10.769,24 R$ 201,38 R$ -
Total R$ 118.768,61 R$ 107.692,44 R$ 18.768,61 
�Sistema de Amortização Francês
(Price)
�sem carência;
�com carência.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
Cé
sa
r 
Iz
el
li
25/04/2014
6
Sistema de Amortização Francês
Este sistema foi criado na França no final do
século XIX e aprimorado no século anterior
por Richard Price. Também conhecido como
sistema de amortização francês ou sistema de
prestação constante é muito utilizando nas
compras de prazos menores e no crédito direto
ao consumidor.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização FrancêsO sistema consiste em um plano de
amortização de um dívida em prestações
periódicas iguais e sucessivas, em que o
valor de cada prestação ou pagamento é
composto por duas parcelas distintas: uma de
juros e outra de capital (chamado
amortização).
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização Francês
Por esse sistema, o devedor paga o
empréstimo em prestações iguais imediatas,
incluindo, em cada uma, uma amortização
parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo
devedor. O número de prestações varia em
cada contrato.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
Cé
sa
r 
Iz
el
li
25/04/2014
7
Sistema de Amortização Francês
Suponha-se o empréstimo VP, feito à taxa i
para ser pago em na prestações, pelo sistema
PRICE. As prestações são calculadas como se
fossem os termos PMT de uma renda imediata
cujo valor presente é VP:
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização Francês
Exemplo 1(sem carência): Um empresa
levanta um financiamento de R$ 2.000.000,00
sem carência para ser amortizado em 6 anos
pelo Sistema Amortização Francês (SAF). Os
pagamentos são efetuados anualmente a uma
taxa de juros de 9% a.a.. Montar a planilha de
pagamentos.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização Francês
�
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
Cé
sa
r 
Iz
el
li
25/04/2014
8
Sistema de Amortização Francês
Assim, a segunda coluna (PMT) da planilha
de pagamentos pelo SAF será formando pelo
valor de cada uma das prestações calculadas
anteriormente.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Períodos
(n) PMT Amortização Juros Valor devedor
0 - - - R$ 2.000.000,00 
1 R$ 445.839,57 R$ 265.839,57 R$ 180.000,00 R$ 1.734.160,43 
2 R$ 445.839,57 R$ 289.765,13 R$ 156.074,44 R$ 1.444.395,31 
3 R$ 445.839,57 R$ 315.843,99 R$ 129.995,58 R$ 1.128.551,32 
4 R$ 445.839,57 R$ 344.269,95 R$ 101.569,62 R$ 784.281,37 
5 R$ 445.839,57 R$ 375.254,24 R$ 70.585,32 R$ 409.027,13 
6 R$ 445.839,57 R$ 409.027,13 R$ 36.812,44 R$ 0,00 
Total R$ 2.675.037,40 R$ 2.000.000,00 R$ 675.037,40 
Sistema de Amortização Francês
Os demais elementos da planilha serão
calculados de forma sequencial, já que temos
o valor da prestação em cada período,
podemos usar a relação entre prestação,
amortização e juros
Prestação = Amortização + Juros.Dis
ci
pl
in
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização Francês
�
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
Cé
sa
r 
Iz
el
li
25/04/2014
9
Sistema de Amortização Francês
�
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
( ) 11 1 −+⋅= kk iAmortAmort
Sistema de Amortização Francês
Exemplo 2(com carência): Construir a
planilha de pagamento pelo sistema de
amortização francês, devido a um empréstimo
de R$ 100 000,00 perante uma instituição
financeira que cobra juros de 1,87% ao mês,
se comprometendo o devedor a quitar a dívida
em 10 meses, com carência de 4 meses, sendo
que os juros são capitalizados e incorporados
ao principal para serem amortizadas nas
prestações.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização Francês
Solução: O empréstimo começará a ser
amortizado no fim do 4 mês de carência. Logo,
o saldo devedor do empréstimo deverá ser
capitalizado à taxa de 1,87% durante 4 meses.
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
Cé
sa
r 
Iz
el
li
Períodos(n) PMT Amortização Juros Valor devedor
0 - - - R$ 100.000,00 
1 - - R$ 1.870,00 R$ 101.870,00 
2 - - R$ 1.904,97 R$ 103.774,97 
3 - - R$ 1.940,59 R$ 105.715,56 
4 - - R$ 1.976,88 R$ 107.692,44 
Este novo valor será utilizado para
encontrar o valor das prestações.
25/04/2014
10
Sistema de Amortização Francês
�
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Sistema de Amortização Francês
Portanto:
D
isc
ip
lin
a
: 
M
a
te
m
át
ic
a
 
Fi
n
a
n
ce
ir
a
Pr
o
f. 
M
e.
 
R
eg
in
a
ld
o
 
C
és
a
r 
Iz
el
li
Períodos(n) PMT Amortização Juros Valor devedor
0 - - - R$ 100.000,00 
1 - - R$ 1.870,00 R$ 101.870,00 
2 - - R$ 1.904,97 R$ 103.774,97 
3 - - R$ 1.940,59 R$ 105.715,56 
4 - - R$ 1.976,88 R$ 107.692,44 
5 R$ 11.907,62 R$ 9.893,78 R$ 2.013,85 R$ 97.798,67 
6 R$ 11.907,62 R$ 10.078,79 R$ 1.828,84 R$ 87.719,88 
7 R$ 11.907,62 R$ 10.267,26 R$ 1.640,36 R$ 77.452,61 
8 R$ 11.907,62 R$ 10.459,26 R$ 1.448,36 R$ 66.993,35 
9 R$ 11.907,62 R$ 10.654,85 R$ 1.252,78 R$ 56.338,50 
10 R$ 11.907,62 R$ 10.854,09 R$ 1.053,53 R$ 45.484,41 
11 R$ 11.907,62 R$ 11.057,07 R$ 850,56 R$ 34.427,34 
12 R$ 11.907,62 R$ 11.263,83 R$ 643,79 R$ 23.163,51 
13 R$ 11.907,62 R$ 11.474,47 R$ 433,16 R$ 11.689,04 
14 R$ 11.907,62 R$ 11.689,04 R$ 218,59 R$ 0,00
Total R$ 119.076,25 R$ 107.692,44 R$ 19.076,25

Outros materiais