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25/04/2014 1 Matemática Financeira Prof. Me. Reginaldo César Izelli E-mail: reginaldo.izelli@fatec.sp.gov.br D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li AULA 14 �Sistemas de Amortização �Sistema de Amortização Constante (SAC) �Sistema de Amortização Francês (Price) D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistemas de Amortização � Amortização: é o pagamento do valor principal do capital emprestado que é feito normalmente de forma periódica e sucessiva durante o prazo. � Sistemas de amortização é o nome atribuído às diversas formas de pagamento de empréstimos. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o Cé sa r Iz el li 25/04/2014 2 Sistemas de Amortização �A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de formas que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas. �As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistemas de Amortização � Tipos de Sistemas de Amortização Existem diversos sistemas de amortização, alguns, entretanto, por serem mais utilizados são mais conhecidos: �Sistema de Amortização Constante (SAC); �Sistema de Amortização Francês (Price); �Sistema de Amortização Americano (SAA); �Sistemas de Amortização Variável (SAV). D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistemas de Amortização �Demonstrativos �São quadros ou tabelas que permitem o devedor (ou o credor) conhecer, a cada período, o ESTADO da DÍVIDA (total pago e o saldo devedor). �Em todos os demonstrativos devem constar:Di sc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o Cé sa r Iz el li 25/04/2014 3 Sistema de Amortização Constante Sistema de Amortização Constante (SAC) Pelo sistema de Amortização Constante, a cada período o devedor paga prestações formadas por uma amortização constante e por uma parcela de juros, calculadas em relação ao saldo devedor do início do período. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização Constante D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização Constante Exemplo: Uma empresa financia a compra de máquinas e equipamentos no valor de R$ 500000,00 à taxa de juros de 5% ao mês. Considerando que este empréstimo foi contratado pelo sistema SAC para o período de cinco meses, determine o valor das prestações de cada período.Dis ci pl in a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o Cé sa r Iz el li 25/04/2014 4 Sistema de Amortização Constante � D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li n Pagamento das Prestações (PMT = Amortização + J) Juros (J) Amortização Saldo Devedor(Saldo Anterior – Amortização) 0 - - - R$ 500.000,00 1 R$ 125.000,00 R$ 25.000,00 R$ 100.000,00 R$ 400.000,00 2 R$ 120.000,00 R$ 20.000,00 R$ 100.000,00 R$ 300.000,00 3 R$ 115.000,00 R$ 15.000,00 R$ 100.000,00 R$ 200.000,00 4 R$ 110.000,00 R$ 10.000,00 R$ 100.000,00 R$ 100.000,00 5 R$ 105.000,00 R$ 5.000,00 R$ 100.000,00 - Sistema de Amortização Constante Observações: 1. Os juros são calculados sobre o saldo devedor do início de cada período. 2. A amortização é o quociente entre a dívida inicial e o número de prestações. 3. No sistema SAC o financiamento é pago em prestações linearmente decrescentes, sendo cada uma dela é igual à soma da amortização do principal com os juros do período. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização Constante (SAC) com carênciaDisci pl in a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o Cé sa r Iz el li 25/04/2014 5 Sistema de Amortização Constante Exemplo: Construir a planilha de pagamento pelo sistema de amortização constante, devido a um empréstimo de R$ 100 000,00 perante uma instituição financeira que cobra juros de 1,87% ao mês, se comprometendo o devedor a quitar a dívida em 10 meses, com carência de 4 meses para o início da primeira parcela.Dis ci pl in a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização Constante Solução: D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li n PMT Amortização Juros Valor devedor 0 - - - R$ 100.000,00 1 - - R$ 1.870,00 R$ 101.870,00 2 - - R$ 1.904,97 R$ 103.774,97 3 - - R$ 1.940,59 R$ 105.715,56 4 - - R$ 1.976,88 R$ 107.692,44 5 R$ 12.783,09 R$ 10.769,24 R$ 2.013,85 R$ 96.923,20 6 R$ 12.581,71 R$ 10.769,24 R$ 1.812,46 R$ 86.153,95 7 R$ 12.380,32 R$ 10.769,24 R$ 1.611,08 R$ 75.384,71 8 R$ 12.178,94 R$ 10.769,24 R$ 1.409,69 R$ 64.615,47 9 R$ 11.977,55 R$ 10.769,24 R$ 1.208,31 R$ 53.846,22 10 R$ 11.776,17 R$ 10.769,24 R$ 1.006,92 R$ 43.076,98 11 R$ 11.574,78 R$ 10.769,24 R$ 805,54 R$ 32.307,73 12 R$ 11.373,40 R$ 10.769,24 R$ 604,15 R$ 21.538,49 13 R$ 11.172,01 R$ 10.769,24 R$ 402,77 R$ 10.769,24 14 R$ 10.970,63 R$ 10.769,24 R$ 201,38 R$ - Total R$ 118.768,61 R$ 107.692,44 R$ 18.768,61 �Sistema de Amortização Francês (Price) �sem carência; �com carência. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o Cé sa r Iz el li 25/04/2014 6 Sistema de Amortização Francês Este sistema foi criado na França no final do século XIX e aprimorado no século anterior por Richard Price. Também conhecido como sistema de amortização francês ou sistema de prestação constante é muito utilizando nas compras de prazos menores e no crédito direto ao consumidor. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização FrancêsO sistema consiste em um plano de amortização de um dívida em prestações periódicas iguais e sucessivas, em que o valor de cada prestação ou pagamento é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra de capital (chamado amortização). D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização Francês Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações iguais imediatas, incluindo, em cada uma, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo devedor. O número de prestações varia em cada contrato. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o Cé sa r Iz el li 25/04/2014 7 Sistema de Amortização Francês Suponha-se o empréstimo VP, feito à taxa i para ser pago em na prestações, pelo sistema PRICE. As prestações são calculadas como se fossem os termos PMT de uma renda imediata cujo valor presente é VP: D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização Francês Exemplo 1(sem carência): Um empresa levanta um financiamento de R$ 2.000.000,00 sem carência para ser amortizado em 6 anos pelo Sistema Amortização Francês (SAF). Os pagamentos são efetuados anualmente a uma taxa de juros de 9% a.a.. Montar a planilha de pagamentos. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização Francês � D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o Cé sa r Iz el li 25/04/2014 8 Sistema de Amortização Francês Assim, a segunda coluna (PMT) da planilha de pagamentos pelo SAF será formando pelo valor de cada uma das prestações calculadas anteriormente. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Períodos (n) PMT Amortização Juros Valor devedor 0 - - - R$ 2.000.000,00 1 R$ 445.839,57 R$ 265.839,57 R$ 180.000,00 R$ 1.734.160,43 2 R$ 445.839,57 R$ 289.765,13 R$ 156.074,44 R$ 1.444.395,31 3 R$ 445.839,57 R$ 315.843,99 R$ 129.995,58 R$ 1.128.551,32 4 R$ 445.839,57 R$ 344.269,95 R$ 101.569,62 R$ 784.281,37 5 R$ 445.839,57 R$ 375.254,24 R$ 70.585,32 R$ 409.027,13 6 R$ 445.839,57 R$ 409.027,13 R$ 36.812,44 R$ 0,00 Total R$ 2.675.037,40 R$ 2.000.000,00 R$ 675.037,40 Sistema de Amortização Francês Os demais elementos da planilha serão calculados de forma sequencial, já que temos o valor da prestação em cada período, podemos usar a relação entre prestação, amortização e juros Prestação = Amortização + Juros.Dis ci pl in a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização Francês � D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o Cé sa r Iz el li 25/04/2014 9 Sistema de Amortização Francês � D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li ( ) 11 1 −+⋅= kk iAmortAmort Sistema de Amortização Francês Exemplo 2(com carência): Construir a planilha de pagamento pelo sistema de amortização francês, devido a um empréstimo de R$ 100 000,00 perante uma instituição financeira que cobra juros de 1,87% ao mês, se comprometendo o devedor a quitar a dívida em 10 meses, com carência de 4 meses, sendo que os juros são capitalizados e incorporados ao principal para serem amortizadas nas prestações. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização Francês Solução: O empréstimo começará a ser amortizado no fim do 4 mês de carência. Logo, o saldo devedor do empréstimo deverá ser capitalizado à taxa de 1,87% durante 4 meses. D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o Cé sa r Iz el li Períodos(n) PMT Amortização Juros Valor devedor 0 - - - R$ 100.000,00 1 - - R$ 1.870,00 R$ 101.870,00 2 - - R$ 1.904,97 R$ 103.774,97 3 - - R$ 1.940,59 R$ 105.715,56 4 - - R$ 1.976,88 R$ 107.692,44 Este novo valor será utilizado para encontrar o valor das prestações. 25/04/2014 10 Sistema de Amortização Francês � D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Sistema de Amortização Francês Portanto: D isc ip lin a : M a te m át ic a Fi n a n ce ir a Pr o f. M e. R eg in a ld o C és a r Iz el li Períodos(n) PMT Amortização Juros Valor devedor 0 - - - R$ 100.000,00 1 - - R$ 1.870,00 R$ 101.870,00 2 - - R$ 1.904,97 R$ 103.774,97 3 - - R$ 1.940,59 R$ 105.715,56 4 - - R$ 1.976,88 R$ 107.692,44 5 R$ 11.907,62 R$ 9.893,78 R$ 2.013,85 R$ 97.798,67 6 R$ 11.907,62 R$ 10.078,79 R$ 1.828,84 R$ 87.719,88 7 R$ 11.907,62 R$ 10.267,26 R$ 1.640,36 R$ 77.452,61 8 R$ 11.907,62 R$ 10.459,26 R$ 1.448,36 R$ 66.993,35 9 R$ 11.907,62 R$ 10.654,85 R$ 1.252,78 R$ 56.338,50 10 R$ 11.907,62 R$ 10.854,09 R$ 1.053,53 R$ 45.484,41 11 R$ 11.907,62 R$ 11.057,07 R$ 850,56 R$ 34.427,34 12 R$ 11.907,62 R$ 11.263,83 R$ 643,79 R$ 23.163,51 13 R$ 11.907,62 R$ 11.474,47 R$ 433,16 R$ 11.689,04 14 R$ 11.907,62 R$ 11.689,04 R$ 218,59 R$ 0,00 Total R$ 119.076,25 R$ 107.692,44 R$ 19.076,25
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