Trabalho2 20174

Prévia do material em texto

EXATAS – ÁREA DO CONHECIMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS 
TRABALHO 2 – PESO: 1,0 PONTOS – DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO 
PROFA. VÂNIA M P SLAVIERO – vmpslavi@ucs.br 
ALUNO(S): JOEMIR CASAGRANDE RIGHEZ DATA: 15/11/2017 
 
Orientações: só será feita a correção do trabalho que tem todas as questões feitas. A entrega deve ser feita no dia da 
prova, na pasta Webfólio, até o horário lá fixado. Trabalhos atrasados não serão aceitos e trabalhos que configurem 
como cópias, parciais inclusive, terão nota zero. Duas questões, sorteadas em aula no dia da entrega, serão corrigidas, 
com valor 0,5 cada uma. Em negrito, após cada enunciado, encontra-se o que é solicitado. Pode ser feito em duplas, 
devendo constar o(s) nome(s) na entrega. Use o formato solicitado em cada questão para as respostas e edite o 
documento, retirando linhas em branco e cálculos desnecessários. O número de páginas não pode exceder a 6, 
incluindo o enunciado. Salve em .pdf. 
 
Questão 1 Use format short A intensidade de uma fonte radioativa é dada por I = Ioe
-kt. 
Através de observações, tem-se: 
t 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 
I 3,16 2,38 1,75 1,34 1,00 0,74 0,56 
 
a) Encontre os valores de I0 e k e escreva a função de ajuste I(t); se este ajuste não foi dado em aula pesquise 
como deve ser feito. 
 
b) Ajuste aos dados uma função polinomial de quarto grau e responda: qual dos modelos é o melhor ajuste? 
Justifique. 
 
c) Faça o gráfico dos nodos, do ajuste exponencial e do ajuste polinomial numa única janela para confirmar 
tua resposta no item b). Comente. 
 
 Linhas digitadas no MATLAB: 
clear 
clc 
format short 
x=[0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8]'; 
y=[3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56]'; 
[a b, Sqe]=AjusteExp(x,y) 
plot(x,y,'or') 
hold on 
t=0.1:0.01:0.9; 
f=@(x) a*exp(b*x); 
plot(t,f(t),'b') 
m=4; 
[C, Sqe] = AjustePol(x,y,m) 
f=@(p) C(1,1)*p.^4 + C(2,1)*p.^3 + C(3,1)*p.^2 + C(4,1)*p + C(5,1); 
p=0.1:0.01:0.9; 
plot(p,f(t),'k') 
 
 
a) Função obtida: 5.6310 * exp^(-2.8883*t) 
 
 I0 = 5.6310 k = -2.8883 
 
Resíduo quadrático: 8.9700e-04 
 
Explique como este ajuste é feito, passo por passo, em forma de texto: 
 
É realizada a linearização e em seguida o ajuste do polinômio e por fim aplicado logaritmo 
 
b) Função obtida: 4.1667*x^4 -14.1667 *x^3 + 20.5417 *x^2 -15.8167*x + 5.6114 
 
Resíduo quadrático: 8.5238e-04 
Melhor ajuste: ajuste polinomial 
Justificativa: pois obteve um resíduo quadrático menor. 
 
c) Gráfico e comentário 
 
Como pode se observar as duas curvas possuem um perfil muito semelhante. 
 
Questão 2 Use format short Realiza-se um teste de tensão para determinar o comportamento tensão-deformação da 
borracha. Os dados coletados são fornecidos a seguir. 
Deformação  0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6 6,0 
Tensão  
(MPa) 
0 3,0 4,5 5,8 5,9 5,8 6,2 7,4 9,6 15,6 20,7 26,7 31,1 35,6 39,3 41,5 
 
Deseja-se ajustar uma função polinomial a todos os dados, resolvendo-se um sistema linear de 3 incógnitas e 3 
equações. 
a) Escreva matricialmente o sistema a ser resolvido para encontrar o polinômio de ajuste; 
 (na forma AX = b) 
 
b) Escreva o polinômio de ajuste; 
 
c) Obtenha a tensão  para  = 3,8. 
 
Linhas digitadas no MATLAB: 
clear 
clc 
x=[0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8 5.2 5.6 6.0]'; 
y=[0 3.0 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6 20.7 26.7 31.1 35.6 39.3 41.5]'; 
format short 
m=3; 
[A,X,b,C, Sqe] = AjustePol(x,y,m) 
f= @(x) -0.0541*x^3 + 1.8030*x^2 -1.9882*x + 2.8930; 
d=3.8; 
q=f(d) 
 
 
a) Sistema AX = b: 
A = 
 
 1.0e+05 * 
 
 1.2486 0.2354 0.0456 0.0092 
 0.2354 0.0456 0.0092 0.0020 
 0.0456 0.0092 0.0020 0.0005 
 0.0092 0.0020 0.0005 0.0002 
 
 
X = 
 
 0 0 0 1.0000 
 0.0640 0.1600 0.4000 1.0000 
 0.5120 0.6400 0.8000 1.0000 
 1.7280 1.4400 1.2000 1.0000 
 4.0960 2.5600 1.6000 1.0000 
 8.0000 4.0000 2.0000 1.0000 
 13.8240 5.7600 2.4000 1.0000 
 21.9520 7.8400 2.8000 1.0000 
 32.7680 10.2400 3.2000 1.0000 
 46.6560 12.9600 3.6000 1.0000 
 64.0000 16.0000 4.0000 1.0000 
 85.1840 19.3600 4.4000 1.0000 
 110.5920 23.0400 4.8000 1.0000 
 140.6080 27.0400 5.2000 1.0000 
 175.6160 31.3600 5.6000 1.0000 
 216.0000 36.0000 6.0000 1.0000 
 
 
b = 
 
 1.0e+04 * 
 
 2.9284 
 0.5698 
 0.1159 
 0.0259 
 
 
b) Polinômio de ajuste: 
 
-0.0541*x^3 + 1.8030*x^2 -1.9882*x + 2.8930 
 
c) (3,8) = 18.4046 Mpa 
 
Questão 3 Use format rat Sendo 200 candelas a intensidade de uma lâmpada, foi calculada a iluminação em casos de 
incidência normal sobre uma superfície situada a distâncias conhecidas, quando para cada distância foi calculada a 
iluminação, conforme a tabela a seguir: 
 
Distância (m) 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 
Iluminação 
(lux) 
200,00 128,00 88,39 65,30 50,00 39,50 32,00 
 
a) Escreva a expressão algébrica de 
 5s x
, da interpolação por splines cúbicos. 
 
b) Utilizando o polinômio interpolador que contém todos os nodos, calcule a iluminação quando a superfície estiver 
situada a 2,2 m da lâmpada. 
 
c) Usando o polinômio obtido em (b), determine, usando um método que determina zeros de uma função, a distância 
para que tenhamos intensidade de iluminação igual a 70 lux. 
 
 Linhas digitadas no MATLAB: 
clear 
clc 
x=[1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50]'; 
y=[200.00 128.00 88.39 65.30 50.00 39.50 32.00]'; 
format rat 
[C]=CoefSpline3(x,y) 
u=2.2; 
v=ISpline3(x,y,u) 
f=@ (x) C(3,1)*(x-1.5)^3+C(3,2)*(x-1.5)^2+C(3,3)*(x-1.5)+C(3,4)-70; 
x=1.6; 
tol=0.5e-12; 
kmax=100; 
[x, Erel,k]=ZeroNewton(f,x,tol, kmax) 
 
 
a) 
 5s x
= -3552/325 (x-2)^3 + 6329/179 (x_2)^2 -26633/531 (x-2) + 50.0000 
 
b) Resposta: 6566/159 lux 
 
c) Resposta: 2006/1187 m 
 
 
Questão 4 Use format shorte Na resolução de sistemas lineares pelos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-
Seidel um dos critérios de paradas faz a estimativa de erro relativo a partir de 
 
usando a norma-2 (norma euclidiana) 
 
Esta é uma norma-p, onde: 
norm-p de v é definida por sum(abs(v).^p)^(1/p). 
a) Reescreva o sistema abaixo para assegurar a convergência por Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel: 
 
{
 
 
 
 
2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 7𝑥5 = 7 
−8𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 − 3𝑥5 = 5
2𝑥1 − 4𝑥2 + 7𝑥3 = 13
−𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 − 10𝑥4 + 2𝑥5 = 4
10𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 2
 
 
 
b) Determine o vetor solução do sistema, usando como vetor inicial o vetor com todas as componentes iguais a -
2 (menos 2) e como critério de parada tol = 0.5×10-8. 
b.1) Pelo método de Gauss-Seidel com a norma-4; 
b.2) Pelo método de Gauss-Jacobi com a norma-4; 
b.3) Responda: Para resolver os itens a) e b) foi feita alguma modificação nos programas SLGaussJacobi e 
SLGaussSeidel? Se positivo, cite-as; 
b.4) Reescreva a função ErroRelVet com as modificações feitas, utilizando a norma-4. 
 
 Linhas digitadas no MATLAB: 
 
a) Sistema reescrito: 
A = 10 4 -1 3 0 b= 2 
 0 -8 -2 1 -3 5 
 2 -4 7 0 0 13 
 -1 2 -3 -10 2 4 
 2 -1 -1 1 -7 7 
 
 
b.1) X = [ 9.5580e-01 -7.0665e-01 1.1803e+00 -1.1837e+00 -9.6367e-01 ]t 
 
Erro: 1.5552e+00 Número de iterações realizadas: 1000000 
 
b.2) X= [ 9.5580e-01 -7.0665e-01 1.1803e+00 -1.1837e+00 -9.6367e-01 ]t 
 
Erro: 1.5552e+00 Número de iterações realizadas: 1000000 
 
b.3) Resposta: foi adotado como critério inicializador x=(ones(n,1))*-2; e utilizada a função erro 
relativo modificada. 
 
 
b.4) function Erel=ErroRelVet(u,x) com as modificações 
 
function Erel=ErroRelVet_4(u,v) 
 
if norm(v)==0 
 Erel=norm(u); 
else 
 Erel=sum(abs(v).^p)^(1/p); 
 
end 
 
Questão 5 Use format shorte Considere o seguinte sistema de equações lineares: 
[
−1,2
2
−1
5,6
 
5
3,4
1
−2
 
6
1
−13
1
 
21
0
1
1
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
] = [
7
1
−2
2
] 
 
a) Determine X a solução do sistema pelo método da eliminação de Gauss, sem aplicar estratégia de pivotamento, e Y 
a solução pelo método de Gauss, com pitovamento parcial. 
 
X = [0.3023 0.0698 0.1582 0.2888 ]t 
 
Y = [ 0.3023 0.0698 0.1582 0.2888 ]t 
 
b) Reorganize o sistema e aplique um método iterativo para encontrar o vetor solução Z, com 𝑡𝑜𝑙 = 0,5 × 10−8. 
Matriz completa do sistema: 
 
A = 
 
 5.6 -2 1 1 
 2 3.4 1 0 
 -1 1 -13 1 
 -1.2 5 6 21 
 
b = 
 2 
 1 
 -2 
 7 
 
Z = [ 3.0225e-01 6.9798e-02 1.5818e-01 2.8879e-01 ]t 
 
Número de iterações realizadas: 29 
Resíduo Relativo na última iteração: 2.5314e-09 
 
c) Calcule as diferenças relativas entre X e Y, e entre X e Z. 
 
Diferença relativa entre X e Y: 1.8873e-15 
 
Diferença relativa entre X e Z: 1.0582e-05