Matrizes

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ÁLGEBRA LINEAR
AULA 3- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Tema da Apresentação
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula:
. Equações Lineares: Definição.
. Sistemas Lineares: Definição 
. Forma Matricial de um Sistema Linear
. Matriz Ampliada de um Sistema Linear
. Classificação de um Sistema Linear
. Teorema de Rouché-Capelli
. Sistema Linear Homogêneo
. Sistemas Escalonados
. Exercícios
Tema da Apresentação
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3
ÁLGEBRA LINEAR
 
EQUAÇÕES LINEARES
DEFINIÇÃO:
 Chama-se EQUAÇÃO LINEAR, nas variáveis x1,x2,x3,...,xn a toda equação da forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b onde b e os coeficientes a1,a2,a3,...,an são números reais ou complexos.
 No plano cartesiano R² toda equação linear nas variáveis ou incógnitas x e y é da forma ax + by = c que representa uma RETA.
 No espaço cartesiano R³ toda equação linear nas variáveis ou incógnitas x , y e z é da forma ax + by + cz = d , onde a , b , c e d são números reais e, geometricamente esta equação é representada no espaço, por um PLANO.
 
 
Tema da Apresentação
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES– AULA 3
ÁLGEBRA LINEAR
SISTEMAS LINEARES
DEFINIÇÃO
 Um conjunto finito de equações lineares nas variáveis x1,x2,x3,...,xn é chamado um SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ou um SISTEMA LINEAR.
 De modo geral representamos:
a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn = b2
a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn = b3
 . . .
 . . .
 . . .
am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn = bm
 
 
 
 
 
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ÁLGEBRA LINEAR
 Se o conjunto ordenado de números {α1,α2, α3, ... ,αn} satisfizer todas as equações do sistema, será denominado SOLUÇÃO do sistema linear.
FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR
 a11 a12 a13 ... a1n x1 b1
 a21 a22 a23 ... a2n x2 b2
 a31 a32 a33 ... a3n x3 b3
 . . . =
 . . 
 . . 
 am1 am2 am3 ...amn xn bm
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MATRIZ AMPLIADA DE UM SISTEMA
 É a matriz obtida acrescentando-se à matriz dos coeficientes uma coluna com os termos independentes.
EXEMPLO:
 	
 Considerando o sistema :
Temos:
 1 -2 3 6
 -3 1 -5 9
 4 3 -7 -10
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CLASSIFICAÇÃO
 Os sistemas lineares podem ser classificados quanto ao número de soluções, da seguinte forma:
 DETERMINADO
 POSSÍVEL OU COMPATÍVEL
 INDETERMINADO
 SISTEMA LINEAR 
 IMPOSSÍVEM OU INCOMPATÍVEL
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 O sistema linear é dito possível ou compatível quando admite solução. Ele pode ser determinado (SPD) se admite solução única ou indeterminado (SPI) se admite infinitas soluções.
 O sistema linear é impossível ou incompatível (SI) quando não admite solução.
TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI
 “ Um sistema linear com m equações e n incógnitas possui solução se e somente se o posto da matriz ampliada post(A) for igual ao posto da matriz dos coeficientes post(C)”.
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SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
	Um sistema de equações lineares é dito HOMOGÊNEO se os termos constantes são todos iguais a zero.
 Todo sistema linear homogêneo admite a SOLUÇÃO NULA ou TRIVIAL que é aquela em que todas as variáveis são nulas.Se admitir outras soluções elas serão chamadas de NÃO NULAS ou NÃO TRIVIAIS.
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SISTEMAS ESCALONADOS
 Considere um sistema linear
 a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn = b1
 a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn = b2
 a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn = b3
 . . .
 . . .
 . . .
 am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn = bm.
 Vamos admitir que em cada equação exista pelo menos um coeficiente não nulo.
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 Dizemos que o sistema está na forma escalonada, se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.
EXEMPLOS.:
1. 2.
3. 
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Note que há dois tipos de sistemas escalonados:
 1º) Número de equações igual ao número de incógnitas
 2º) Número de equações menor que o número de incógnitas
EXEMPLOS:
 Resolva cada um dos sistemas dados:
a)
b) 
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Na aula de hoje estudamos:
. Equações Lineares: Definição
. Sistemas Lineares: Definição 
. Forma Matricial de um Sistema Linear
. Matriz Ampliada de um Sistema Linear
. Classificação de um Sistema Linear
. Teorema de Rouché-Capelli
. Sistema Linear Homogêneo
. Sistemas Escalonados
. Exercícios
 
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