DERIVADAS (1)

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN02C3e02 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Seja a função vetorial de posição k).t5sen(2j.e3i).t2t(r t23 rrrr +−−= − . Calcu-
lar:
dt
rdr
, 
dt
rdr
 e 2
2
dt
rd r
 no ponto onde t = 0. 
Respostas: 
k10j6i2
dt
rd
0t
rrr
r
++−=
=
; 140
dt
rd
0t
=
=
r
; e, j12
dt
rd
0t
2
2 r
r
−=
=
. 
Solução: 
=
+−−
=
−
dt
k).t5sen(2j.e3i).t2t(d
dt
rd t23
rrrr
 
k).t5cos(.10j.e6i).2t3(k).t5cos(.5.2j.e)2(3i).2t3( t22t22 rrrrrr ++−=+−−−= −− . 
Logo: k10j6i2
dt
rd
0t
rrr
r
++−=
=
. 
k)t5sen(50je12it6
dt
)k).t5cos(.10j.e6i).2t3((d
dt
)t(rd t2t22
2
2 rrr
rrrr
−−=
++−
=
−
−
. 
Logo: j12
dt
rd
0t
2
2 r
r
−=
=
 
 
(02) Sabendo-se que )t(f)t(r
rr
= , jeit2)t('f t rrr −−= e )sen(t θ= , determinar 
dt
)t(rdr
. 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
=θ−=θ
θ
=
θ
=
− )cos().jeit2())(sen(
d
d).t('f
d
dt
.
dt
)t(rd
dt
)t(rd t rrrrr
 
))cos(e(i))2(sen( )sen( θ−θ= θ−
r
. 
Resposta: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN02C3e02 
 
CDCI/CMCD 
))cos(e(i))2(sen(
dt
)t(rd )sen( θ−θ= θ−
r
r
. 
 
(03) Sendo jeie)t(s t2t2 rrr −+= e t5e)t(w −= , mostrar que é válida a relação: 
)t(s.
dt
)t(dw
dt
)t(sd).t(w))t(s).t(w(
dt
d rrr
+= . 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
)t(s.
dt
)t(dw
dt
)t(sd).t(w))t(s).t(w(
dt
d rrr
+= , pois: 
)t(s.
dt
)t(dw
dt
)t(sd).t(wje7ie3))t(s).t(w(
dt
d t7t3 r
r
rrr
+=−−= −− . 
 
(04) Verificar se a função vetorial de posição j)1t5(i))2t/(1()t(v rrr ++−= é con-
tínua. 
Solução: 
As funções componentes escalares de j)1t5(i))2t/(1()t(v rrr ++−= são as funções 
)2t/(1)t(f −= e 1t5)t(g += , onde )t(f é contínua para todo real t exceto 2t = 
e )t(g é contínua para todo real t. 
O domínio de )t(vr é o conjunto }2t|t{D ≠ℜ∈= . 
Assim, j)1t5(i))2t/(1()t(v rrr ++−= é contínua para todo número t de seu domí-
nio. 
Resposta: 
j)1t5(i))2t/(1()t(v rrr ++−= é contínua para todo número t de seu domínio. 
 
(05) Se k.t2i.tu 2
rrr
+= , k.tj.tv 3 rrr += e k.tj.tiw 2 rrrr ++= , determinar as deriva-
das de: vXu rr ; ]wX)vXu[( rrr ; e ]w).vu[( rrr + . 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN02C3e02 
 
CDCI/CMCD 
Respostas: k.t4j.t2i.t10)vXu(
dt
d 34 rrrrr +−−= ; 
k).t2t12(j).t14t4(i).t5t4()wX)vXu((
dt
d 56343 rrrrrr
−−+++−= , 
1t3t12)w).vu((
dt
d 23 ++=+ rrr . 
 
(06) Sabendo-se que k.tj.ti.t5)t(v 32 rrrr −+= e ))tcos(),t(sen()t(u −=r , determi-
nar: 
dt
)u.v(d rr
 e 
dt
)uXv(d rr
. 
Respostas: 
)tsen(.t11)tcos().1t5(
dt
)u.v(d 2 +−=
rr
. 
))tsen()tcos(t11)tsen(.2t5),tsen(.2t3)tcos(3t),tcos(2t3)tsen(.3t(
dt
)uXv(d
−−−−−=
rr
. 
 
(07) Sejam as funções vetoriais de posição definidas por )t,t,t5(v 32 −=r e 
)0),tcos(),t(sen()t(u −=r . Determinar: )uXv(
dt
d rr
 e )v.v(
dt
d rr
. 
Respostas: 
+−−+−= j).)tsen(.t.3)tcos(.t(i).)tcos(.t.3)tsen(.t()uXv(
dt
d 2323 rrrr
 
k).)tsen()tcos(.11)tsen(.t.5( 2
r
−−+ ; e, 
53 t.6t.2t.100)v.v(
dt
d
++=
rr
. 
 
(08) Se k.uj)).u(cos(i)).u(sen(v1
rrrr
++= , k.3j)).u(sen(i)).u(cos(v 2
rrrr
−−= e 
kj.3i.2v3
rrrr
−+= , determinar ))vXv(Xv(
du
d
321
rrr
 para u = 0. 
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Lista de Exercícios BsN02C3e02 
 
CDCI/CMCD 
Resposta: )6,6,7(k.6j.6i.7))vXv(Xv(
du
d
321 −=−+=
rrrrrr
. 
 
(09) Demonstrar que ))t2sen(.C)t2cos(.C.(er 21t
rrr
+= − , onde 1C
r
 e 2C
r
 são vetores 
constantes, é solução da equação diferencial ordinária definida por: 
.0r5
dt
rd2
dt
rd
2
2
=++
r
rr
 
 
(10) Seja k)).t(tg(j).1tln(i.er 2t rrrr −−+= . Determinar: 
dt
rdr
, 2
2
dt
rd r
, 
dt
rdr
 e 2
2
dt
rd r
 pa-
ra t = 0. 
Respostas: ki
dt
rd rrr
−−= , j2i
dt
rd
2
2 rr
r
+= , 2
dt
rd
=
r
 e 5
dt
rd
2
2
=
r
. 
 
(11) Se k).1t2(j.ti.tv 2 rrrr ++−= e k.tji).3t2(u rrrr −+−= , determinar: )u.v(
dt
d rr
, 
)uXv(
dt
d rr
, uv
dt
d rr
+ e 





dt
udXv
dt
d rr
, para t = 1. 
Respostas: 
6)u.v(
dt
d
−=
rr
, k.3j.7)uXv(
dt
d rrrr
+= , 1uv
dt
d
=+
rr
 e 
)2,6,1(k.2j.6i
dt
udXv
dt
d
=++=




 rrr
r
r
. 
 
 (12) Se k.tj)).t(cos(i)).t(sen(r rrrr ++= , prove que .1
dt
rd
2
2
=
r
 
 
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CDCI/CMCD 
(13) Determinar 





− u.
ds
vd
ds
ud
.v
ds
d rrrr
 v
r
 e u
r
 são funções vetoriais de posição derivá-
veis em relação ao parâmetro s. 
Resposta: u.
ds
vd
ds
ud
.vu.
ds
vd
ds
ud
.v
ds
d
2
2
2
2
r
rr
rr
rr
r
−=





− . 
 
(14) Se k).t2t(j).4t(i.t3)t(v 22 rrrr −++−= e ))tcos(3,e3),t(sen()t(u t−=r , deter-
minar )uXv(
dt
d
2
2
rr
 no ponto onde t = 0. 
Resposta: k.20j.14i.30)uXv(
dt
d
0t2
2 rrrrr
++−=
=
. 
 
(15) Mostrar que a função vetorial de posição t2t51 e.ce.cr −+=
rrr
 é solução da e-
quação diferencial 0r5
dt
rd4
dt
rd
2
2 rr
rr
=−− .