DERIVADAS (2)

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN03C3e03 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Determinar o vetor unitário da tangente à curva C, no ponto onde t = 1, sa-
bendo-se que 




=
−=
4/)t(y
t4tx
:C
4
2
. 
Solução: 
Observe, primeiramente, que se k).u(zj).u(yi).u(x)u(r rrrr ++= é uma função ve-
torial de posição tal que x, y e z são funções reais de u, então quando u varia a ex-
tremidade de )u(rr descreve uma curva C no espaço cujas equações paramétricas 
são: x=x(u), y=y(u) e z=z(u). 
Logo, 
u
)u(r)uu(r
u
)u(r
∆
−∆+
=
∆
∆ rrr
 é um vetor de mesma direção de )u(rr∆ . 
Mas, se 
du
)u(rd
u
)u(rlim
0u
rr
=
∆
∆
→∆
 existir, então o mesmo será um vetor na direção da 
tangente t à curva C no ponto P(x,y,z) dado por: 
k.
du
)u(dzj.
du
)u(dyi.
du
)u(dx
du
)u(rd rrrr
++= que corresponde a um vetor na direção da 
tangente (tendo em vista a interpretação geométrica da derivada no ponto). 
Nestas condições, tem-se que o vetor unitário da tangente )u(Tr à curva C no ponto 
P(x,y,z) será dado por: 
du
)u(rd
du
)u(rd
)u(T r
r
r






= . 
Das observações precedentes, resulta, então, imediatamente, que: 
j)t(i)4t2(
dt
)j)4/)t((i)t4t((d
dt
)t(rd 342 rr
rrr
+−=
+−
= e 
=+−=
+−
= j)t(i)4t2(
dt
)j)4/)t((i)t4t((d
dt
)t(rd 342 rr
rrr
 
16t16t4t)t()4t2( 26232 +−+=+−= . 
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CDCI/CMCD 
Logo, resulta que: 
16t16t4t
j)t(i)4t2(
dt
)t(rd
dt
)t(rd
)t(T
26
3
+−+
+−
==
rr
r
r
r
. 
 
(02) Determinar o vetor unitário da tangente à curva cuja equação paramétrica ve-
torial é dada por: j)4/)t3((i)t4t()t(r 42 rrr +−= . 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
j)t3(i)4t2(
dt
)j)4/)t3((i)t4t((d
dt
)t(rd 342 rr
rrr
+−=
+−
= e 
=+−=
+−
= j)t3(i)4t2(
dt
)j)4/)t3((i)t4t((d
dt
)t(rd 342 rr
rrr
 
16t16t4t9)t3()4t2( 26232 +−+=+−= . 
Logo, resulta que: 
16t16t4t9
j)t3(i)4t2(
dt
)t(rd
dt
)t(rd
)t(T
26
3
+−+
+−
==
rr
r
r
r
. 
Resposta: 
16t16t4t9
j)t3(i)4t2()t(T
26
3
+−+
+−
=
rr
r
. 
 
(03) Determinar o vetor normal unitário )t(Nr da curva jtit)t(r 2rrr += no ponto P 
cujo vetor posição é jtit)t(r 2rrr += . 
Solução: 
As funções componentes são t)t(g = e 2t)t(h = . 
Logo: 1)t('g = e t2)t('h = , de forma que: 
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jt2i
dt
)jtit(d
dt
)t(rd 2 rr
rrr
+=
+
= . 
Portanto: 222 t41)]t('h[)]t('g[
dt
)t(rd
+=+=
r
. 
Como =
+
+
==
22 )]t('h[)]t('g[
j)t('hi)t('g
dt
)t(rd
dt
)t(rd
)t(T
rr
r
r
r
 
2222 )]t('h[)]t('g[
j)t('h
)]t('h[)]t('g[
i)t('g
+
+
+
=
rr
 , tem-se que: 
j
)]t('h[)]t('g[
)t('gi
)]t('h[)]t('g[
)t('h)t(N
2222
rrr
+
+
+
−
= . 
Nestas condições, resulta afirmar que: 
j
t41
1i
t41
t2)t(N
22
rrr
+
+
+
−
= . 
Resposta: 
j
t41
1i
t41
t2)t(N
22
rrr
+
+
+
−
= . 
 
(04) Determinar o comprimento de arco s da curva C definida por )x(fy = entre 
ax = e bx = . 
Solução: 
A função escalar )x(fy = é equivalente à equação paramétrica vetorial 
j)x(fix)x(rjyixr rrrrrr +=⇒+= . 
Logo, tem-se que: j)x('fi
dx
)x(rd rrr
+= e 
 
222 )]x('f[1)]x('f[1j)x('fi
dx
)x(rd
+=+=+=
rr
r
. 
Conseqüentemente, resulta que: 
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dx.)]x('f[1dx.
dt
)t(rd
s 2
b
ax
b
ax
+∫=∫=
==
r
. 
Resposta: 
dx.)]x('f[1s 2
b
ax
+∫=
=
. 
 
(05) Determinar o comprimento de arco s da curva 




=
=
−
−
)tsen(ey
)tcos(ex
:C
t
t
 entre 0t = 
e pi=t . 
Solução: 
As equações paramétricas escalares dadas são equivalentes à equação vetorial pa-
ramétrica definida por j)t(hi)t(g)t(r rrr += , onde )tcos(e)t(g t−= e 
)tsen(e)t(h t−= . 
Assim, ))tsen()t(cos(e)t('g t +−= − e ))tcos()t(sen(e)t('h t −−= − . 
Portanto, como dt.)]t('h[)]t('g[dt.
dt
)t(rd
s 22
b
at
b
at
+∫=∫=
==
r
, tem-se que: 
=+∫=∫=
pi
=
pi
=
dt.)]t('h[)]t('g[dt.
dt
)t(rd
s 22
0t0t
r
 
[ ] =−=∫=+∫= pi−−pi
=
−
pi
=
0
tt
0t
22t
0t
e.2dt.e.2dt.))t(sen)t((cos2e 
)e1(2 pi−−= unidades. 
Resposta: 
)e1(2s pi−−= unidades. 
 
(06) Seja a curva j)t3t(i).t3()t(r:C 32 rrr −+= . Determinar o comprimento de ar-
co s da curva C entre 0t = e 1t = . 
Solução: 
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Como j)3t3(i).t6(
dt
)t(rd 2 rrr
−+= e =−+= j)3t3(i).t6(
dt
)t(rd 2 rrr
 
3t3)3t3()t6( 2222 +=−+= , tem-se que: 
4dt).3t3(dt.
dt
)t(rd
s 2
1
0t
1
0t
=+∫=∫=
==
r
 unidades. 
Resposta: 
s = 4 unidades. 
 
(07) Uma partícula P tem por função posição a função jti)2/t()t(r 32 rrr −= no 
tempo t. Determinar o vetor velocidade )t(vr , o vetor aceleração )t(ar e a veloci-
dade v da partícula no instante s10t = . 
Solução: 
jt3it
dt
)t(rd)t(v 2
rr
r
r
−== e para s10t = resulta que: j300i10)10(v rrr −= ; 
jt6i
dt
)t(vd)t(a
rr
r
r
−== e para s10t = resulta que: j60i)10(a rrr −= e 
422 t9tjt3it
dt
)t(rd)t(v)t(v +=−===
rr
r
r
 e para s10t = resulta que: 
90110)9001(100)10(v =+= . 
Resposta: 
j300i10)10(v rrr −= , j60i)10(a rrr −= e 90110)10(v = . 
 
(08) Um ponto está se deslocando segundo uma trajetória elíptica de acordo com a 
equação j))t2sen(3(i))t2cos(5()t(r rrr += . As distâncias são medidas em centíme-
tros e o tempo em segundos. Determinar o vetor velocidade, o vetor aceleração e a 
velocidade v no instante t. 
Solução: 
j))t2cos(6(i)t2sen(10(
dt
)t(rd)t(v
rr
r
r
+−== ; 
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j))t2sen(12(i)t2cos(20(
dt
)t(vd)t(a
rr
r
r
−+−== ; e 
s/cm)t2(cos36)t2(sen100
dt
)t(rd)t(v)t(v 22 +===
r
r
. 
 
(09) Mostre que a curvatura de uma circunferência de raio a é igual a 1/a. 
Solução: 
A equação vetorial da circunferência de raio a é dada por: 
j)tsen(.ai)tcos(.a)t(r rrr += . 
A curvatura K de uma curva é dada por: 
)t('r
)t('T
)t(K r
r
= , onde: )t('r
)t('r)t(T r
r
r
= é o unitário da tangente a uma curva C cuja e-
quação vetorial é dada por )t(rr . 
Logo, tem-se que: 
Se j)tsen(.ai)tcos(.a)t(r rrr += , então j)tcos(.ai)tsen(.a)t('r rrr +−= e 
a))tcos(.a())tsen(.a(j)tcos(.ai)tsen(.a)t('r 22 =+−=+−= rrr . 
Logo: j)tcos(i)tsen()t('r
)t('r)t(T
rr
r
r
r
+−== e j)tsen(i)tcos()t('T rrr −−= . 
Portanto: 1j)tsen(i)tcos()t('T =−−= rrr . 
Finalmente, resulta que: 
a
1
)t('r
)t('T
)t(K == r
r
. 
Resposta: 
a
1)t(K = . 
 
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(10) Determinar o vetor normal principal unitário da curva definida pela equação 
vetorial )t),tsen(),t(cos()t(r =r 
Solução: 
A curva definida por )t),tsen(),t(cos()t(r =r é denominada hélice circular e é tal 
que: )1),tcos(),tsen(()t('r −=r e 2)1),tcos(),tsen(()t('r =−=r . 
Mas, 
2
)1),tcos(),tsen((
)t('r
)t('r)t(T −== r
r
r
 e 
2
j)tsen(i)tcos()t('T
rr
r
−−
= . 
Logo: 
2
1
2
j)tsen(i)tcos()t('T =−−=
rr
r
. 
Finalmente, tem-se que: 
)0),tsen(),tcos((j)tsen(i)tcos(
)t('T
)t('T)t(N −−=−−==
rr
r
r
r
. 
Resposta: 
)0),tsen(),tcos(()t(N −−=r . 
 
(11) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se 
desloca ao longo da curva 




=
=
=
t8z
)t3cos(.2y
)t3sen(.2x
 em um tempo qualquer t > 0. 
Resposta: )8),t3sen(6),t3cos(6(v −=r e )0),t3cos(18),t3sen(18(a −−=r 
 
(12) Uma partícula move-se ao longo de uma curva dada por 





=
=
=
−
)t3sen(2z
)t3cos(2y
ex t
, onde t 
é o tempo. Determinar o valor absoluto da velocidade e da aceleração para t = 0. 
Resposta: 37v =r e 325a =r . 
 
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(13) Se )2,3,2(P − e Q )5,1,1(− , determinar os componentes escalares de PQ e a 
distância entre os pontos P e Q. 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
=−+−++−=−−−= )k2j3i2()k5ji()2,3,2()5,1,1(PQ rrrrrr 
)7,2,3(k7j2i3k)25(j)31(i)21( −−=+−−=++−+−−= rrrrrr . 
Ou seja: os componentes escalares de PQ são os reais –3, –2 e 7. 
A distância entre os pontos P e Q é dada por: 
627)2()3(PQ 222 =+−+−= unidades. 
 
(14) Determinar os ângulos diretores de )3,1,2(a −=r . 
Solução: 
É imediato que: 
14
2
914
2)cos( =
++
=α e o69,57)14/2arccos( ≈=α ; 
14
1
914
1)cos( −=
++
−
=β e o50,105)14/1arccos( ≈−=β ; e 
 
14
3
914
3)cos( =
++
=θ e o70,36)14/3arccos( ≈=θ . 
 
(15) Determinar a equação cartesiana escalar do plano que contém o ponto )3,2,1( 
e é paralelo ao plano 14z2yx3 =−− . 
Solução: 
O plano em questão, então, tem a forma Dz2yx3 =−− uma vez que é paralelo 
ao plano 14z2yx3 =−− . 
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Como o ponto )3,2,1( pertence ao plano, tem-se, necessariamente, que tal ponto 
verifica a equação Dz2yx3 =−− . 
Logo, D)3(2)2()1(3 =−− e 5D −= . 
Conseqüentemente, a equação pedida é da forma: 05z2yx3 =−−− 
Resposta: 
05z2yx3 =−−− . 
 
(16) Determinar um vetor normal unitário ao plano 6z3y2x =++− . 
Solução: 
Um vetor normal é dado por: k3j2iN rrrr ++−= , pois demonstra-se que na equação 
cartesiana escalar Dczbyax =++ para um plano no espaço xyz, os coeficientes 
a, b, c (que não podem ser todos nulos) formam os componentes escalares do ve-
tor normal kcjbiaN rrrr ++= . 
Mas, um vetor normal unitário será dado por: 
14
k3j2i
941
k3j2i
k3j2i
k3j2i
N
N
rrrrrr
rrr
rrr
r
r
++−
=
++
++−
=
++−
++−
= . 
 
(17) Determinar uma equação vetorial que represente a curva obtida pela interse-
ção do cilindro 1yx 22 =+ com o plano 2zy =+ . 
Solução: 
 Interseção do plano com o cilindro gera uma elipse C cuja projeção sobre o plano 
yOx
r
 é a circunferência 1yx 22 =+ , com 0z = . 
Mas, é sabido que, em coordenadas polares, 



=
=
)tsen(y
)tcos(x
, com pi≤≤ 2t0 . 
Logo, da equação do plano 2zy =+ , resulta que: )tsen(2z −= . 
Assim sendo, as equações paramétricas da curva C serão dadas por: 
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CDCI/CMCD 





−=
=
=
)tsen(2z
)tsen(y
)tcos(x
:C , com pi≤≤ 2t0 . 
Mas, a equação vetorial de qualquer curva no espaço real tridimensional é dada 
por: kzjyix)t(r rrrr ++= . 
Logo, a equação solicitada tem a forma: 
k))tsen(2(j)tsen(i)tcos()t(r rrrr −++= , com pi≤≤ 2t0 . 
Resposta: 
k))tsen(2(j)tsen(i)tcos()t(r rrrr −++= , com pi≤≤ 2t0 . 
 
(19) Determinar a equação vetorial e as equações paramétricas do segmento de re-
ta que une os pontos )0,0,0(P e )3.2.1(Q . 
Resposta: 
)t3,t2,t(kt3jt2it)t(r =++= rrrr , com 1t0 ≤≤ . 





=
=
=
t3z
t2y
tx
:PQ , com 1t0 ≤≤ . 
 
(20) Determinar o unitário da tangente à curva definida pelas equações x = t, 
2ty = e 3tz = , no ponto onde t = 1. 
Resposta: 14/)k.3j.2i(T rrrr ++= .