7-Zeros de funcoes-1

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br 
Aula 7 
Zeros reais de funções – Parte 1 04/2014 
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 3/53 
Objetivo 
¨  Determinar valores aproximados para as soluções (raízes) de 
equações da forma: 
sendo f uma função real dada. 
f x( ) = 0
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Cálculo Numérico 4/53 
Motivação 
¨  Gás de Van Der Walls: 
b: volume ocupado pelas moléculas; 
a: atração entre as moléculas nas bordas do recipiente. 
¨  Como resolver a equação para o volume? 
¨  Dados P e T com a, b, R conhecidos, como determinar v? 
P v,T( ) = RTv− b −
a
v2
f v( ) = v3P − v2 b− RT( )+ av− ab = 0
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Cálculo Numérico 5/53 
Motivação 
¨  A solução exata de pode ser encontrada apenas 
em alguns casos: 
¤  Polinômios de grau menor ou igual a quatro; 
¤  Algumas funções trigonométricas. 
¨  Mesmo quando a solução analítica está disponível, sua 
determinação pode ser “complicada”. 
f x( ) = 0
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Cálculo Numérico 6/53 
¨  Em alguns casos, por exemplo, de equações polinomiais, os 
valores de x que anulam f (x) podem ser reais ou complexos. 
¨  Estamos interessados somente nos zeros reais de f (x). 
¨  Graficamente, os zeros reais são representados pelas 
abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo x. 
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Cálculo Numérico 7/53 
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Cálculo Numérico 8/53 
¨  A ideia central dos métodos que iremos aprender é partir de 
uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar 
essa aproximação através de um processo iterativo. 
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Cálculo Numérico 9/53 
¨  Assim, os métodos constam de duas fases: 
¨  Fase I: Localização ou isolamento das raízes 
¤  Consiste em obter um intervalo que contém a raiz. 
¨  Fase II: Refinamento 
¤  Consiste em, escolhidas aproximações iniciais para o intervalo da 
Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma 
aproximação para a raiz dentro de uma precisão ε pré-
estabelecida. 
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Cálculo Numérico 10/53 
FASE I: Isolamento das Raízes 
¨  Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função 
f (x). 
¨  O sucesso da Fase II depende fortemente da precisão desta 
análise. 
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Cálculo Numérico 11/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  Na análise teórica, usa-se: 
TEOREMA 1 
¨  Seja f (x) uma função contínua em [a, b]. 
¨  Se f (a) f (b) < 0, então existe pelo menos um ponto x = ξ 
entre a e b que é zero de f (x). 
¨  Esta é uma consequência do Teorema do Valor 
Intermediário. 
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Cálculo Numérico 12/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
TEOREMA 1 
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Fase I: Isolamento das Raízes 
TEOREMA 1 
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Cálculo Numérico 14/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
TEOREMA 1 
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Cálculo Numérico 15/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  Sob as hipóteses do Teorema 1, se f’ (x) existir e preservar 
o sinal em ]a, b[, então este intervalo contém um único zero 
de f (x). 
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Cálculo Numérico 16/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
f ' x( ) > 0, ∀x ∈ a,b[ ]
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Cálculo Numérico 17/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
f ' x( ) < 0, ∀x ∈ a,b[ ]
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Cálculo Numérico 18/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  Uma forma de isolar as raízes de f (x) usando os conceitos 
anteriores é tabelar f (x) para vários valores de x e analisar 
as mudanças de sinal de f (x) e o sinal da derivada nos 
intervalos em que f (x) mudou de sinal. 
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Cálculo Numérico 19/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  EXEMPLO: Seja f (x) = x3 – 9 x + 3. Vamos analisar o 
sinal desta função. 
¨  Construindo uma tabela de valores para f (x) e considerando 
apenas os sinais, temos: 
x - ∞ -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 
f(x) - - - - + + + - - + 
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Cálculo Numérico 20/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  Sabendo que f (x) é contínua para qualquer x real e 
observando as variações de sinal, podemos concluir que cada 
um dos intervalos I1 = [-5, -3], I2 = [0, 1], I3 = [2, 3], 
contém pelo menos um zero de f (x). 
¨  Como f (x) é um polinômio de terceiro grau, podemos 
afirmar que cada intervalo contém um único zero de f (x) e, 
assim localizamos todas as raízes de f (x) = 0. 
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Cálculo Numérico 21/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  Se f (a) f (b) > 0, então podemos ter várias situações no 
intervalo [a, b], conforme mostram os gráficos a seguir. 
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Cálculo Numérico 22/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
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Cálculo Numérico 23/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
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Cálculo Numérico 24/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
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Cálculo Numérico 25/53 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  A análise gráfica da função f (x) ou da equação f (x) = 0 é 
fundamental para se obter aproximações para a raiz. 
¨  Temos três processos de análise de gráficos. 
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Cálculo Numérico 26/53 
Processos Gráficos 
¨  ESBOÇAR O GRÁFICO: Análise do comportamento da 
função, que envolve: domínio da função, pontos de 
descontinuidade, intervalos de crescimento e decrescimento, 
pontos de máximo e mínimo, concavidade, ponto de inflexão e 
assíntotas da função. 
¨  Através da EQUAÇÃO EQUIVALENTE g (x) = h (x): 
A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente 
g (x) = h (x), esboçar os gráficos das funções g (x) e h (x) no 
mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas 
se interceptam, pois neste caso: 
f ( ξ ) = 0 è g ( ξ ) = h ( ξ ). 
 
¨  GRÁFICOS COMPUTACIONAIS. 
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Cálculo Numérico 27/53 
Gráficos computacionais 
¨  Exemplo 5: Os gráficos computacionais podem tornar mais 
rápidos e melhores seus esforços para localizar as raízes de 
equações. A função: 
tem diversas raízes no intervalo de x = 0 a x = 5. Use gráficos 
computacionais para adquirir percepção do comportamento 
dessa função. 
f x( ) = sen 10x( )+ cos 3x( )
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Cálculo Numérico 28/53 
Fase II: Refinamento 
¨  Veremos vários métodos de refinamento de raízes. A forma 
como se efetua o refinamento é que diferencia os métodos. 
¨  Um método iterativo consiste em uma sequência de 
instruções que são executadas passo a passo, algumas das 
quais são repetidas em ciclos. 
¨  Os métodos iterativos para refinamento da aproximação 
inicial para a raiz exata podem ser colocados em um 
diagrama de fluxo. 
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Cálculo Numérico 29/53 
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Cálculo Numérico 30/53 
Critério de Parada 
¨  TESTE: xk está suficientemente próximo da raiz exata? 
¨  Existem duas interpretações para raiz aproximada que nem 
sempre levam ao mesmo resultado: 
¨  é raiz aproximada com precisão ε se: 
¤  i) 
¤  ii) 
x
x −ξ < ε ou
f x( ) < ε
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Cálculo Numérico 31/53 
Critério de Parada 
¨  Como efetuar o teste (i) se não conhecemos o valor exato da 
raiz ξ ?¨  Usamos frequentemente os conhecimento de erro absoluto e 
erro relativo para determinarmos o critério de parada. 
¤  ERRO ABSOLUTO: 
¤  ERRO RELATIVO: 
xk − xk−1 < ε
xk − xk−1
xk
< ε
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Cálculo Numérico 32/53 
Critério de Parada 
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Cálculo Numérico 33/53 
¨  Nem sempre é possível ter as exigências (i) e (ii) satisfeitas 
simultaneamente. 
 
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Cálculo Numérico 34/53 
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Cálculo Numérico 35/53 
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Cálculo Numérico 36/53 
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Cálculo Numérico 37/53 
¨  Em programas computacionais, além do teste de parada 
usado para cada método, deve-se ter o cuidado de estipular 
um número máximo de iterações, para se evitar que o 
programa entre em “looping”. 
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Cálculo Numérico 38/53 
Métodos Iterativos 
¨  Métodos iterativos para a obtenção de zeros reais de 
funções: 
¤  Bissecção; 
¤  Falsa posição; 
¤  Ponto fixo; 
¤  Newton-Raphson; 
¤  Secante. 
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Cálculo Numérico 39/53 
Método da Bissecção 
¨  Suponha que f (x) seja uma função contínua definida em [a,b], 
tal que f (a) f (b) < 0. 
¨  De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, existe um 
número c em ]a, b[ para o qual f (c) = 0. 
¨  Vamos supor, para simplificar, que ]a, b[ contenha uma única 
raiz da equação f (x) = 0. 
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Cálculo Numérico 40/53 
Método da Bissecção 
¨  O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo 
que contém a raiz até se atingir a precisão requerida: 
(b – a) < ε ou usando para isto a sucessiva divisão 
de [a, b] ao meio. 
f x( ) < ε
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Cálculo Numérico 41/53 
Método da Bissecção 
¨  Graficamente: 
x 
a = a0 ξ 
f(x) 
b = b0 
x0 = (a + b)/2 
x0 
x 
a = a1 ξ 
f(x) 
x0 = b1 
x1 = (a + x0)/2 
x1 
x 
ξ 
f(x) 
x0=b2 
x2 = (x1 + x0)/2 
x1=a2 
x2 Repete-se o processo até que o valor 
de x atenda às condições de parada. 
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Cálculo Numérico 42/53 
Método da Bissecção 
¨  As iterações são realizadas da seguinte forma: 
x1 =
a0 + b0
2
f a0( ) < 0
f b0( ) > 0
f x1( ) > 0
!
"
##
$
#
#
⇒
ξ ∈ a0, x1] [
a1 = a0
b1 = x1
!
"
##
$
#
#
x2 =
a1 + b1
2
f a1( ) < 0
f b1( ) > 0
f x2( ) < 0
!
"
##
$
#
#
⇒
ξ ∈ x2,b1] [
a2 = x2
b2 = b1
!
"
##
$
#
#
! !
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Cálculo Numérico 43/53 
EXEMPLO 6 
Considerando o método da bissecção com ε = 0,002 e adotando 
[a0 , b0] como intervalo inicial, obtenha uma aproximação para 
a função: 
f x( ) = x log x( )−1
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Cálculo Numérico 44/53 
EXEMPLO 6 
h(x) y 
ξ 
g(x) 
x 1 2 3 4 5 6 
ξ 2 3 
Verificou-se que ξ ∈ [2, 3] 
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Cálculo Numérico 45/53 
EXEMPLO 6 
 k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1) 
0 2,00000 3,00000 -0,39794 0,43136 2,50000 -0,00510 
1 2,50000 3,00000 -0,00515 0,43136 2,75000 0,20820 
2 2,50000 2,75000 -0,00515 0,20816 2,62500 0,10021 
3 2,50000 2,62500 -0,00515 0,10021 2,56250 0,04720 
4 2,50000 2,56250 -0,00515 0,04720 2,53125 0,02090 
5 2,50000 2,53125 -0,00515 0,02094 2,51563 0,00790 
6 2,50000 2,51563 -0,00515 0,00787 2,50781 0,00140 
ε = 0,002 
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Cálculo Numérico 46/53 
Método da Bissecção 
¨  ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES: 
Dada uma precisão ε e um intervalo inicial [a, b], vamos 
determinar quantas iterações serão efetuadas pelo método da 
bissecção até bk – ak < ε. 
b0 − a0
2k < ε
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Cálculo Numérico 47/53 
¨  Portanto, se k satisfaz a relação anterior, ao final da iteração 
k, teremos o intervalo [a, b] que contém a raiz ξ, tal que 
∀x ∈ a,b[ ]⇒ x −ξ ≤ b− a ≤ ε
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Cálculo Numérico 48/53 
Algoritmo do Método da Bissecção 
¨  Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais 
opostos: 
ENTRADA: 
 extremidades a, b; precisão ε, número máximo de 
iterações N0. 
SAÍDA: solução aproximada ou mensagem de erro. 
Passo 1: Faça i = 1; 
 FA = f (a). 
Passo 2: Enquanto i ≤ N0 , execute os passos 3 a 6. 
 Passo 3: Faça x = a + (b – a) / 2; (Calcula xi) 
 FX = f (x). 
 
x
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Cálculo Numérico 49/53 
Algoritmo do Método da Bissecção 
 Passo 4: Se FX = 0 ou (b – a) / 2 < ε, então: 
 SAÍDA (x); (Procedimento concluído com sucesso). 
 PARE. 
 Passo 5: Faça i = i + 1. 
 Passo 6: Se FA * FX > 0, então faça a = x; (Calcula ai , bi). 
 FA = FX 
 senão faça b = x. 
Passo 7: SAÍDA (‘O método falhou após N0 iterações, N0 = ’, N0); 
 (O procedimento não foi bem-sucedido). 
 PARE. 
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Cálculo Numérico 50/53 
¨  Outros procedimentos de parada podem ser aplicados no 
Passo 4 do algoritmo ou em qualquer das técnicas iterativas 
que aprenderemos. Por exemplo, podemos selecionar uma 
precisão ε > 0 e gerar x1, x2, ..., xn até que uma das condições 
a seguir seja satisfeita: 
xn − xn−1 < ε
xn − xn−1
xn
< ε
f xn( ) < ε
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Cálculo Numérico 51/53 
CUIDADO!!!! 
¨  Podem ocorrer sequências com propriedade de as 
diferenças convergirem para zero, enquanto a 
própria sequência diverge. 
¨  Podem ocorrer de estar próximo de zero, mesmo 
quando xn for significativamente diferente de x. 
¨  Sem outras informações sobre f ou x, o melhor critério é: 
por ser o que se aproxima mais da ideia de testar o erro relativo. 
xn − xn−1
xn
< ε
xn − xn−1
f xn( )
xn{ }n=0
∞
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Cálculo Numérico 52/53 
Método da Bissecção 
 VANTAGENS: 
 
¨  Facilidade de implementação; 
¨  Estabilidade e convergência para a solução procurada; 
¨  Desempenho regular e previsível. 
O número de iterações é 
dependente da tolerância 
considerada 
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 53/53 
Método da Bissecção 
 DESVANTAGENS: 
 
¨  Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x) 
em um elevado número de iterações); 
¨  Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se 
encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível); 
¨  Complexidade da extensão do método para problemas 
multivariáveis. 
Aula 7 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 54/53 
Exercício 
¨  Seja f (x) = x3 – 9x + 3; I = [0, 1]; e = 10-3. 
 k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1) b - a 
0 0 1 3 -5 0,5 -1,375 1 
1 0 0,5 3 -1,375 0,25 0,765625 0,25 
2 0,25 0,5 0,765625 -1,375 0,375 -0,322265625 0,125 
3 0,25 0,375 0,765625 -0,322265625 0,3125 0,218017578 0,0625 
4 0,3125 0,375 0,218017578 -0,322265625 0,34375 -0,531311035 0,03125 
5 0,3125 0,34375 0,218017578 -0,531311035 0,328125 0,822029114 0,015625 
6 0,328125 0,34375 0,822029114 -0,531311035 0,3359375 0,0144743919 7,8125 x 10-3 
7 0,3359375 0,34375 0,0144743919 -0,531311035 0,33984375 -0,0193439126 3,90625 x 10-3 
8 0,3359375 0,33984375 0,0144743919 -0,0193439126 0,337890625 -2,43862718 x 10-3 1,953125 x 10-3 
9 0,3359375 0,337890625 0,0144743919 -2,43862718 x 10-3 0,336914063 6,01691846 x 10-3 9,765625 x 10-4