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LISTA DERIVADA INTEGRAL OTIMIZAR De calculo pronta

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LISTA DE OTIMIZAÇAO 
 
1-Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm 
de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da 
cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho 
do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo. 
 
 Resp: V = x(40 – 2x)(52 – 2x) x = 7,47 cm 
 
2- Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375 cm
3
. O custo 
do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos o cm
2
 e o custo do material 
usado para a parte curva é de 5 centavos por cm
2
. Se não há perda de material, 
determine as dimensões que minimizem o custo do material. 
 
Resp: r = 5 cm h = 15 cm 
 
3- Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de 
cilindro circular reto com dois hemisférios nas extremidades. O custo de metro 
quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do 
tanque deve ser de 100 cm
3
 que dimensões minimizará o custo da construção? 
Resp: 
 
4- Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x reproduções 
(manuais) de uma mesa colonial é dado por C(x) = x
3
 – 3x2 – 80x + 500. Cada mesa é 
vendida por R$ 2800,00. Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o máximo 
lucro semanal possível? 
Resp: Lucro = L(x) 
Receita = R(x) 
Custo = C(x) 
L(x) = R(x) – C(x) 
L(x) = 2800x – (x3 – 3x2 – 80x + 500) 
L’(x) = 0 
Resposta: x = 32 mesas 
L(32) = 61 964 unidades monetárias 
 
5- Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1 litro (1000 cm
3
) de líquido. Como 
poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecção da 
lata? 
 
Resp: r=5,42 cm h = 10,84 cm = 2r 
 
6- O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma área de piquenique 
para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com 
uma área de 5000 metros quadrados, e deverá ser cercada nos três lados não-adjacentes 
à estrada. Qual é a menor quantidade de cerca que será necessária para completar o 
trabalho? 
 
Resp: A = 5000 m2 
A = xy = 5000 
y = 5000/x 
Cerca = 2x + y 
C(x) = 2x +5000/x 
C’(x) = 0 
x = 50m 
y = 100m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE INTEGRAL 
1- Resolva os problemas abaixo utilizando o conceito de integral. 
 
a)Uma fabrica, quando o nível de produção mantém-se em q unidades, o custo marginal 
de cada uma é de 3(q - 4)2 reais. Qual será o aumento verificado no custo total de 
fabricação se a média de produção crescer passando de 6 para 10 unidade unidades? 
Construa o gráfico com auxílio de um programa onde mostre a variação do custo em 
função das unidades fabricadas (0<q<100). 
resp:208,00 reais 
 
B)Na comercialização, em reais, de um certo produto, a receita marginal é dada por 
e o custo marginal é dado por . Para o intervalo de 1≤q≤5, obtenha: 
 
b1-A variação total da receita; 
 
b.2-a variação total do custo; 
 
b3-A variação total do lucro; 
 
b4- Esboce o gráfico, envolvendo o custo marginal e a receita marginal, e interprete-o. 
 
c) Um estudo indica que, daqui a x meses, a população de determinada cidade crescerá a 
uma taxa de 2 6 x pessoas por mês. Qual será o crescimento da população da cidade nos 
próximos 4 meses? 
Resp: 40 pessoas 
 
e) Em uma certa empresa de transportes, a demanda de gasolina cresce 
exponencialmente a uma taxa 5% ao ano. Sendo a demanda atual de 4 mil litros por ano. 
Que quantidade de gasolina será consumida na empresa durante os próximos 3 anos? 
 
Resp: 12,95 mil litros 
 
 
 
 
 
 2- Resolva as integrais( indicando os cálculos utilizados de forma clara). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resp: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3- Exercícios do livro do Murolo(adotado em sala): 
 
1. Para um produto, a taxa de variação da produção em relação à quantidade 
de insumo x é dada por P'(x) = x2. 
 
a) Obtenha uma estimativa da variação total da produção no intervalo 
de x = 4 até x = 14, considerando para seus cálculos n = S subdivisões 
(retângulos). 
 
Resp: Variação total da produção = 890 
 
b) Faça uma representação gráfica da estimativa da variação total da 
produção obtida no item anterior. 
Resp: 
 
 
3. Na fabricação de um produto, a taxa de variação do custo em relação 
à quantidade q produzida, ou seja, o custo marginal, é dada por 
C,'(q) = q2 + 100. Obtenha uma estimativa da variação total do custo 
quando são produzidos de q = l até q = 5, considerando para seus cálculos 
n = 10 subdivisões (retângulos). 
 
Resp: A estimativa de variação total do custo é 441,28. 
 
7. Em uma empresa, na comercialização de um certo produto, a taxa de 
variação da receita, ou seja, a receita marginal, é dada segundo o gráfico a seguir: 
 
 
Obtenha a variação da receita conforme cada integral solicitada: 
 
 
Resp: 
 
 
 
 
10. Determine a área compreendida entre as retas f(x) = 2x + 12 e g(x) = 5x 
no intervalo l s x s 4 e faça uma representação gráfica. Sugestão: para 
o cálculo das integrais, esboce primeiramente os gráficos separados de 
f(x) e g(x).

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