Experimento B1 Pendulos

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Experiência B1 
Pêndulo Simples e Pêndulo Físico 
 
1. Objetivos: 
1. Determinar o valor da gravidade utilizando um pêndulo simples; 
2. Determinar o valor da gravidade e do momento de inércia de um pêndulo físico. 
 
2. Equipamentos 
Suporte para pêndulo, fio e esfera (pêndulo simples), barra metálica (pêndulo físico), 
cronômetro, trena. 
 
3. Método: 
1. Pêndulo Simples: É um sistema físico idealizado, 
consistindo de um corpo de massa pontual m suspenso 
por um fio longo, de comprimento L, inextensível e 
desprovido de massa conforme mostra a Figura. 1. Se o 
pêndulo for afastado da posição de equilíbrio de um 
ângulo ϴ e a seguir abandonado, ele irá oscilar, voltando 
periodicamente ao ângulo ϴ. O tempo gasto numa 
oscilação completa, ou seja, o tempo gasto para o corpo 
ir de uma posição qualquer e voltar à mesma posição é 
denominado período. 
 
O pêndulo deste experimento, evidentemente, não é ideal, 
pois o corpo não será pontual, o fio não terá massa 
desprezível e não será rigorosamente inextensível. 
Entretanto, se for utilizado um corpo cujas dimensões 
lineares sejam pequenas em comparação com o 
comprimento do fio, um fio de massa muito menor que a do corpo e que, durante o movimento, 
seu comprimento não se altere, teremos um sistema físico que pode ser considerado como um 
pêndulo simples. E pode ser demonstrado que, para pequenas amplitudes de oscilação ( ϴ < 5°), o 
período de oscilação T de um pêndulo simples é dado pela expressão: 
� � 2���� (1) 
 
Onde L é o comprimento do pêndulo e g a gravidade local, é importante demonstrar essa 
relação, observe que essa relação só é válida para amplitudes de oscilação pequenas (ϴ≤5)°. 
Perceba que o comprimento L é medido do eixo de oscilação até o centro do corpo oscilante. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Pêndulo simples 
2. Pêndulo Físico: Qualquer corpo rígido 
suspenso de forma que possa oscilar em um 
plano vertical em torno de um eixo que passe 
pelo c e n t r o d o corpo é denominado 
Pêndulo Físico ou Pêndulo Composto. Trata-se 
de uma generalização do pêndulo simples, 
visto no item 3.1. Realmente todos os pêndulos 
reais são pêndulos físicos. Por conveniência 
escolheu-se um pêndulo em forma laminar 
(régua metálica “fina”) que pode oscilar em 
torno de um eixo que faz um ângulo reto com 
o plano do pêndulo. Com essa restrição nada 
de essencial é perdido na discussão do 
problema. Na Figura 2 representa-se um 
corpo de forma retangular (lâmina de comprimento B, largura A e massa M) que pode girar em 
torno de um eixo horizontal sem atrito que passa pelo ponto de sustentação P e é deslocado 
de um ângulo θ em relação à posição de equilíbrio, que corresponde à posição em que o centro 
de massa (CM) do corpo está, verticalmente abaixo de P. Sendo d a distância do eixo de rotação 
ao centro de massa, I o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo de rotação e M a massa 
da lâmina e g a aceleração da gravidade. 
 
 Comparando o movimento de rotação com o de translação, podemos afirmar que no 
movimento de rotação, um corpo, sob a ação de um torque restaurador executa um movimento 
harmônico simples angular de período, 
� � 2���	 (3) 
Então, para pequenas amplitudes o pêndulo físico da Figura 2 executa um movimento 
harmônico simples angular com período: 
� = 2�� �
�� (4) 
Portanto, o período do pêndulo físico fica determinado em termos das constantes Mgd e I. 
É importante demonstrar a dedução para a equação do período para um pêndulo físico. O 
momento de inércia I do pêndulo laminar em relação ao ponto de sustentação pode ser 
calculado utilizando o teorema dos eixos paralelos (também conhecido como Teorema de Huygens-
Steiner). 
� = ��
 + ��� (5) ��
 = ��� ���� + ��� (6) 
 
Onde ICM é o momento de inércia em relação ao centro de massa da lâmina, M é a massa do 
pêndulo, d é a distância do eixo de rotação ao centro de massa (CM) e “A” e “B” são a largura e o 
comprimento da lâmina respectivamente. 
 
Figura 2: Pêndulo Físico “laminar” 
4. Procedimentos E x p e r i m e n t a i s 
1. Pêndulo Simples 
Monte o pêndulo simples como ilustra a Figura 1; Meça o diâmetro da esfera. 
Ajuste o comprimento do pêndulo para 50 cm, coloque para oscilar com ângulo inicial de 
aproximadamente 5°. Antes de medir o tempo é importante aguardar pelo menos 5 oscilações 
livres. Só então medir o tempo para o tempo para 10 oscilações completas repetindo 3 vezes 
essa medida e preencha os dados na Tabela 1. 
Repita este procedimento para os outros comprimentos indicados na Tabela 1. Para cada valor 
do tempo determine: o período T e calcule as médias necessárias. 
 
2. Pêndulo Físico 
Meça a largura A, o comprimento B e a massa M da barra retangular. Anote os resultados na 
Tabela 2. 
Suspenda o pêndulo pelo primeiro orifício. Em seguida meça a distância d entre o orifício e 
o CM (centro de massa) da barra; 
Coloque para oscilar com ângulo inicial constante, próximo de 5°. Antes de medir o tempo é 
importante aguardar pelo menos 5 oscilações livres. Meça o tempo necessário para 10 
oscilações completas. Repita o procedimento 3 vezes, anote os dados na Tabela 2. 
Repita este procedimento para os outros orifícios. Para cada valor do tempo determine: o 
período T e calcule as médias necessárias. 
 
5. Cálculos e Questões 
A partir dos resultados preenchidos nas tabelas, aplicar o método da regressão linear em ambos 
os casos e determinar o valor da gravidade: 
1. Para o pêndulo simples: Observe que a equação 2 é uma equação quadrática, portanto, não 
é possível aplicar o método da regressão linear de forma direta, Esta equação deve ser 
linearizada e as variáveis podem sem rescritas como y=T2 e x=L. O coeficiente angular calculado 
a partir da regressão linear associada a equação linearizada é a inclinação da reta: 
� = �4��� � � 
Igualando o termo entre colchetes ao coeficiente angular calculado na regressão linear é possível 
determinar o valor da gravidade g. 
 
2. Para o pêndulo físico: Substituir a equação 5 na equação 4 e linearizar o resultado as 
variáveis y e x podem ser reescritas como y=T2d e x=d2. Observe que a nova equação será: 
� = 4��� � +
4����. .�� 
O termo que multiplica x é o coeficiente angular e o termo isolado o coeficiente linear. A partir 
desses resultados é possível determinar o valor da gravidade e do momento de uma barra 
chata em relação ao centro de massa. 
3. Construa os gráficos de dispersão antes de aplicar a linearização e depois da linearização 
para a dependência do período com o comprimento do fio e com a distância do eixo de 
rotação ao centro de massa para os pêndulos simples e físico, respectivamente 
 
4. Qual a relação entre os comprimentos L e distância d para que os pêndulos simples e físico 
tenham o mesmo período de oscilação? Demonstre essa relação. 
 
5. Observe os dados medidos para o período do pêndulo simples e responda o que acontece 
com o período de oscilação quando o comprimento do pêndulo e dividido ao meio? Os 
valores medidos condizem com o resultado esperado teoricamente? 
 
6. Observe os dados medidos para o período do pêndulo físico e explique por que estes 
valores são próximos para orifício diferentes? 
 
6. Bibliografia 
RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; Walker, J. (1993). Fundamentos de Física, vol. 2. Capítulo 14. Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 
 
FOLHA DE DADOS 
Diâmetro da esfera: ( ± ) m 
 Tabela 1: Dados para o pêndulo simples; ±µL=__________ Número de oscilações: __________ 
L(m) 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 
t1 (s) 
t2 (s) 
t3 (s) 
Médias ± ± ± ± ± ± 
 
 Tabela 2: Dados para o pêndulo físico; ±µd=__________ Número de oscilações:__________ 
 Furo1 Furo 2 Furo 3 Furo 4 Furo 5 
Distância d (m) 
t1 (s) 
t2 (s) 
t3 (s) 
Médias ± ± ± ± ± 
 
 Dados da lâmina metálica 
Comprimento (m) Largura (m) Massa (kg) 
± ± ± 
FOLHA DE DADOS PARA 
ENTREGAR AO PROFESSOR 
EXPERIMENTO B1 
 
Professor: ID: Data: Grupo: 
 
Alunos presentes durante o experimento 
 
1. __________________________________________________________ 
2. __________________________________________________________ 
3. __________________________________________________________ 
4. __________________________________________________________ 
5. __________________________________________________________ 
 
Diâmetro da esfera: ( ± ) m 
 Tabela 1: Dados para o pêndulo simples; ±µL=__________ Número de oscilações: __________ 
L(m) 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 
t1 (s) 
t2 (s) 
t3 (s) 
Médias ± ± ± ± ± ± 
 
 Tabela 2: Dados para o pêndulo físico; ±µd=__________ Número de oscilações: __________ 
 Furo1 Furo 2 Furo 3 Furo 4 Furo 5 
Distância d (m) 
t1 (s) 
t2 (s) 
t3 (s) 
Médias ± ± ± ± ± 
 
 Dados da lâmina metálica 
Comprimento (m) Largura (m) Massa (kg) 
± ± ±