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APLICAÇÕES DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II NO 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
Anderson Lins de Lima [Voluntário] 1, Sani de Carvalho Rutz da Silva [Orientadora] 2 
 
1Coordenação de Engenharia Mecânica 
2Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia 
Campus Ponta Grossa 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR 
Av. Monteiro Lobato S/N – km 04 – Ponta Grossa – PR - Brasil 
 
andersonlinsdelima@hotmail.com, sanirutz@gmail.com 
 
 
 
Resumo - Esse artigo objetiva mostrar algumas aplicações do cálculo diferencial e integral na Engenharia 
Mecânica para uma posterior elaboração de um material didático voltado para a engenharia. Situações 
envolvidas na prática de engenharia relacionadas à matemática abordadas durante o curso de cálculo 
proporcionaria uma melhora no aprendizado e uma dinâmica de aula diferenciada. Esse material tem como 
finalidade aumentar o interesse e aprendizado dos alunos e promover a qualidade de ensino. 
 
Palavras-chave: Aplicações; Engenharia; Material didático. 
 
Abstract - This paper objectifies to show some applications of integer and differential calculus in mechanic 
engineering for due to a future elaboration of a didactic material directed to engineer. Situations involved with 
practice of engineering related to math treated during a calculus course would provide a improvement in learning 
and a different class dynamic. This material is intended to raise interest and learning of students and to promote 
teaching quality. 
 
Keywords: Aplications; Didactic material; Engineering. 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
O curso de cálculo diferencial e integral, ou apenas cálculo como é conhecido, é 
lecionado nas primeiras etapas dos cursos de engenharia com a finalidade de dar o suporte 
necessário para resolução de alguns problemas de engenharia que fazem uso do cálculo como 
uma ferramenta para sua resolução. Essa disciplina é ofertada logo no início do curso para 
servir de base para algumas disciplinas sequentes. Basicamente o curso de cálculo é dividido 
em três etapas: o estudo de limites, derivação e integração, muitas vezes precedido pelo 
estudo de funções de números reais e de gráficos. Após cursar essa disciplina o aluno deve ser 
capaz de resolver problemas de situação prática utilizando-se do cálculo como ferramenta [1]. 
É comum que alunos tenham dificuldades em assimilar o conteúdo dessa disciplina, por 
isso observa-se uma grande quantidade de reprovação nessa disciplina mesma. Uma possível 
resposta para esse baixo nível de desempenho é a falta de interesse dos alunos e isso se 
justifica pelo fato de que o cálculo é passado aos alunos de forma essencialmente teórica, com 
poucas aplicações práticas, sendo assim o aluno é conduzido ao desinteresse pelo assunto, já 
que não consegue visualizar uma finalidade para aquilo [2]. 
Outra fase em que os alunos sentem dificuldades é durante a etapa do curso em que 
precisam utilizar conhecimentos de cálculo para resolver problemas de outras disciplinas [3], 
como acontece, por exemplo, em mecânica dos fluidos, mecânica geral, entre outras. O aluno 
já passou pela disciplina de cálculo, portanto conhece a ferramenta necessária para a 
resolução dos problemas, mas não sabe como utilizá-la, já que não viu o conteúdo de forma 
prática, apenas como teórica. 
Portanto é comum ouvir questionamentos do tipo: “Mas quando eu vou precisar saber 
disso?” ou ainda “Pra que serve isso?”[4] e para solucionar essa dificuldade, o presente 
trabalho sugere que se utilize uma nova ferramenta no ensino de cálculo na engenharia. 
Através do uso de um material didático direcionado, com exercícios essencialmente voltados 
a solução de questões práticas comuns na área da engenharia. Com isso, os alunos seriam 
impulsionados a pensar como engenheiros, já que estão utilizando ferramentas matemáticas 
para resolução de problemas práticos. 
Os benefícios que esse material pode proporcionar aos alunos são: motivação pela 
disciplina, aplicabilidade, ótimo desempenho, tornando desta forma, o cálculo como 
ferramenta indispensável para a solução de outros problemas práticos da engenharia. 
 
METODOLOGIA 
 
 Para realizar o trabalho de pesquisa foram utilizados livros de cálculo e demais 
disciplinas envolvidas com o curso de engenharia mecânica, além de apostilas relacionadas 
com aplicações do cálculo que são trabalhadas em sala de aula. Professores de diferentes áreas 
também foram consultados para orientação e verificação deste trabalho. 
Realizou-se um estudo de cada seção do curso de cálculo, e após o estudo foi feita 
uma busca por aplicações práticas relacionadas com o conteúdo estudado e a atuação do 
profissional engenheiro mecânico. Por meio dessas aplicações foram elaborados exercícios 
práticos propostos a serem utilizados em sala de aula e também foi organizado um texto de 
apresentação do conteúdo explorado para que seja introduzida a relação daquela seção com as 
aplicações propostas. 
À medida que esse material foi sendo produzido, um professor da área técnica 
correspondente realizava a verificação de eventuais falhas na elaboração do conteúdo. Esse 
material, aos poucos, é incrementado ao caderno de atividades a ser proposto. 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
 No ramo da engenharia, o profissional deve ser capaz de lidar com problemas que 
exigem cálculos de alta complexidade para sua resolução, como o cálculo diferencial e 
integral, cálculo vetorial, cálculo numérico, equações diferenciais entre outras. Por essa razão 
o cálculo está inserido na grade curricular do curso de engenharia mecânica como pode ser 
vista na matriz curricular do curso de engenharia mecânica da UTFPR – campus Ponta Grossa 
disposta no anexo I. Essas disciplinas, que são chamadas disciplinas básicas, são apresentadas 
logo no início do curso para que seja formada uma base para as disciplinas posteriores 
específicas que utilizam dessas ferramentas. 
Durante a fase do curso em que o aluno aprende as disciplinas básicas, normalmente 
essas são abordadas de forma essencialmente teórica, com poucas aplicações práticas e em 
função disso o aluno, por vezes, não se sente interessado sobre aquele assunto e tem 
dificuldades em interpretar o que está aprendendo. A falta de uma abordagem prática acarreta 
à fase de estudo das disciplinas específicas, dificuldades, pois o aluno não consegue aplicá-las 
porque não foi instigado a pensar de maneira prática [5]. 
A seguir serão apresentadas algumas aplicações do cálculo diferencial e integral que 
podem ser exploradas em sala de aula pelo professor a fim de que os alunos tomem 
conhecimento das áreas em que essa ferramenta se tornará necessária durante sua graduação e 
em sua profissão. 
 
Cálculos aproximados 
Os problemas de engenharia, diferente da matemática pura, são satisfeitos com 
resultados considerando-se apenas algumas aproximações. Sendo assim, é conveniente que se 
aprendam mecanismos de simplificação de cálculos para resolvê-los de forma mais rápida, 
ainda que o resultado obtido seja aproximado. Uma ferramenta que simplifica os cálculos 
necessários é a diferenciação [7]. 
Seja uma função 
 (1) 
Um acréscimo sobre as variáveis dessa função resultarão em um acréscimo ∆w: 
 (2) 
Por outro lado, a derivada total de w é dada por: 
 (3) 
 Se for considerado a aproximação ∆w dw, ∆x dx, ∆y dy e ∆z dz, o desvio ∆w 
pode ser calculado em função da derivada total de w. Esse mecanismo vale para funções de 
quantas variáveis se queira. Segue que ∆w toma a forma: 
 (4) 
Essa ferramenta é utilizada, entre outras aplicações, para propagação de erros de 
medidas obtidas em laboratório e também cálculo de dimensionamento de sólidos delgados, 
como mostra o exercício proposto a seguir: 
Considere uma lata cilíndrica com dimensões 3,5 cm para o raio interno e 9 cm de 
profundidade. Sabendo quea espessura da lata é de 0,15 cm para as laterais e 0,2 cm para a 
base e que o custo do material é de 0,7 centavo por cm³, calcule o custo do material de cada 
lata (desconsiderando sua tampa). 
Primeiramente, é necessário determinar a função que determina o volume de um 
cilindro é: 
 (5) 
 Como a lata tem espessura pequena, pode ser considerada a aproximação de (4) para o 
volume do cilindro em questão: 
 (6) 
Substituindo-se as variáveis do problema: 
 (7) 
 Tem-se como resultado para o volume 
 (8) 
Sabendo que o material custa 0,7 centavo por cm³, o custo para confeccionar uma lata 
das dimensões dadas é 
 (9) 
 
Otimização 
Uma das atribuições do engenheiro é ser o responsável por escolhas. Essas escolhas 
são baseadas em especificações a serem seguidas e condições a serem respeitadas. Os 
parâmetros que determinam algumas escolhas podem ser equacionados matematicamente e há 
alguns métodos de se determinar a melhor combinação para essas variáveis. Esse processo se 
chama otimização e pode ser realizada com técnicas onde se encontram os máximos e 
mínimos de uma função. 
Algumas situações em que processos devem ser otimizados são para determinar as 
dimensões de um produto para que tenha menor custo, parâmetros para que se obtenha maior 
produtividade, menor consumo de energia, entre outras. 
Quando uma função que relacione as variáveis que determinam o resultado esperado 
pode ser estabelecida, sujeita a uma restrição ou condição que também pode ser equacionada, 
pode-se, em alguns casos, utilizar a técnica dos multiplicadores de Lagrange para determinar 
o ponto ótimo da função. 
Os multiplicadores de Lagrange é uma técnica matemática que consiste em otimizar 
uma função f(x, y) sujeita a uma condição g(x, y)=c, sendo c uma constante [6]. Para isso é 
necessário determinar os valores de x, y, z e λ que satisfaçam o sistema: 
 (10) 
Um exemplo de aplicação prática dessa técnica segue: 
“Deve-se construir um depósito com tampa, em forma de cilindro circular reto com 
área de superfície 75,4 m². Ache as dimensões que maximizam o volume.1” 
A partir dessas informações interpreta-se o problema. É necessário construir um 
reservatório segundo a especificação, formato cilíndrico e que por alguma razão econômica 
ou de produção restringe a dimensão da sua superfície. A questão é determinar as suas 
dimensões para que se obtenha o máximo aproveitamento desse reservatório. 
A equação que determina o volume de um cilindro é a seguinte: 
 (11) 
 Sabendo que a superfície total do reservatório é sujeita a seguinte condição: 
 (12) 
 Realizando a operação (10) sobre as equações (11) e (12) obtém-se: 
 (13) 
 Resolvendo esse sistema, chega-se ao seguinte resultado: 
 (14) 
 Aplicando os valores de (14) na equação (12) chegamos o valor de: 
 (15) 
 Finalmente substituindo a equação (15) na equação (14) obtém-se a solução do 
problema: 
 (16) 
 
1
 JUNIOR, Belmiro Witt. Cadernos de matemática: Cálculo II – UTFPR. Ponta Grossa. (Apostila). - Adaptado 
 
Sendo assim, nesse exemplo, as dimensões do tanque que maximizam sua capacidade 
são de 2m de raio e 4m de altura. O valor de λ não tem importância prática, funcionando 
apenas como ferramenta para resolução do problema. 
 
Integração 
 
 A integração talvez seja a ferramenta do cálculo que seja aplicada em mais situações, 
principalmente relacionadas à física. A integração consiste em um somatório de parcelas 
muito pequenas conhecidas por infinitesimais [8]. Em um contexto físico, essa soma de 
infinitesimais tem aplicações na determinação de algumas grandezas de interesse, inclusive, 
para a engenharia, citando aqui, mecânica. 
 Dentre as aplicações estudadas da integração dupla e tripla, serão citadas algumas 
delas, por vezes omitindo-se algumas deduções. Utiliza-se aqui o sistema de coordenadas 
cartesianas x, y, z. 
 
Cálculo da massa de uma placa ou sólido. 
Um sólido que tenha densidade variável, desde que seja conhecida a função que 
determina a densidade do material, pode-se calcular a massa por meio de integração. A região 
de integração seria o formato geométrico da placa. Portanto: 
 (17) 
 (18) 
Força resultante de uma carga sobre uma superfície. 
Quando se deseja calcular a força resultante de um carregamento sobre uma superfície 
basta que se multiplique a carga superficial a qual o material é submetido pela área de 
aplicação da carga. Nos casos, como dentro de um reservatório de água, a carga aplicada 
sobre a superfície é variável dependendo do ponto de aplicação, dessa forma segue o processo 
de integração para solução do problema, realizando o somatório das forças aplicadas sobre 
cada ponto infinitesimal. Tem-se: 
 (19) 
Momento de uma força em relação a um eixo. 
Quando um sólido é fixado em um eixo de referência e uma carga mecânica é aplicada 
sobre esse, a carga tende a rotacionar o sólido ao redor do eixo. O momento de uma força é 
definido como o produto entre a força que atua perpendicularmente a superfície e a distância 
entre o ponto de aplicação e o eixo [9]. 
Realizando-se a integração da função que determina o carregamento pela superfície 
que sofre ação da carga, determinamos o momento da força em relação a um eixo. Sendo 
assim, o momento de uma força em relação ao eixo x é dado por: 
 (20) 
 
Centro de massa de um sólido 
O centro de massa de um corpo pode ser entendido como a região, ou especificamente 
o ponto em que a massa encontra-se concentrada. 
Para determinar as coordenadas do centro de massa de um objeto utiliza-se o seguinte 
sistema de equações: 
 (21) 
Para um material de densidade constante, o centro de massa coincidirá com o centro 
geométrico, mas quando o sólido não for homogêneo, o cálculo se realiza através de 
integração. Sendo a massa o produto da densidade pelo volume. O centro de massa é dado 
por: 
 (22) 
 
Momento de Inércia. 
O momento de inércia é uma grandeza física que mede a distribuição da massa de um 
corpo em relação a um eixo. Quanto mais distribuída nas proximidades do eixo, mais difícil é 
para se rotacionar o sólido ao redor do mesmo [10]. 
A expressão para o momento de inércia de uma partícula que rotaciona a uma 
distância R de um eixo z é: 
 (23) 
Sabendo que 
 (24) 
 (25) 
Obtem-se a seguinte expressão: 
 (26) 
 
Seguindo raciocínio análogo para um sólido, tem-se a seguinte expressão: 
 (27) 
 
CONCLUSÕES 
 
Um material diferenciado para o estudo da disciplina de cálculo diferencial e integral 
proporcionará uma melhora na qualidade do ensino dessa disciplina nos cursos de cálculo, 
visto que um material comum traz poucas aplicações dessa disciplina na sua área de atuação e 
o material a ser proposto enfatiza a resolução de problemas relacionados à engenharia. Esse 
fato pode fazer, inclusive, que os alunos se sintam mais atraídos e incentivados em estudar 
essa disciplina, já que desde cedo poderão visualizar aplicações do cálculo na engenharia, 
sendo positivo, inclusive, ao professor que lidará com uma turma mais motivada. 
Os alunos de uma turma que ao mesmo tempo aprendam aplicações do cálculo terão a 
chance de conhecer melhor sobre o curso que ingressou e ter uma ideia de como será sua 
atuação futura como profissional. 
É conveniente que para que haja um melhor acompanhamento do aluno em relação ao 
conteúdo prático abordado em sala, seja feita uma breve apresentação da teoria relacionada ao 
problema em questão, sem aprofundamento exagerado para que não haja um excesso de 
informação ao aluno. Aprofundamento esse que deverá ser ministrado na disciplina 
correspondente em outra fase do curso. Essa abordagem proporcionará uma noção que ajudará 
a compreensão do problema em questão, alémdisso, quando esse assunto for retomado na 
disciplina específica será mais facilmente assimilada, pois já se conhece a aplicabilidade do 
mesmo. 
REFERÊNCIAS 
 
[1] GUIDORIZZI, Luiz Hamilton. Um curso de cálculo – Vol. 2. LCT: Rio de Janeiro, 2001. 
 
[2] I KAIBER, C.T. e RENZ, S. P. Uma proposta metodológica para o ensino do Cálculo 
Diferencial e Integral. Anais V Congresso Ibero-americano de educação matemática. Porto: 
Associação de Professores de Matemática, 2005. 
 
[3] GODOY, L. F. S. e COSTA, L. S. O cálculo diferencial e integral e suas aplicações no 
ensino da engenharia: uma análise de currículo. Anais do XXXIX COBENGE. Blumenau, 
2011. 
 
[4] GARBI, G. G. Para quê serve isso?. Revista do Professor de Matemática. (63), 2007. 
 
[5] LIMA, A. L. e SILVA, S. C. R. Necessidade de aplicações práticas do cálculo para 
Engenharia. Anais da II Jornada Brasileira do Grupo de Pesquisa Euro Latino Americano. 
Ponta Grossa, 2012. 
 
[6] ALVES, Lucas Máximo. Introdução aos métodos aproximados em engenharia: Algebra 
Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais – UFPR. Curitiba, 2007. 
(Apostila) 
 
[7] STEWART, James. Cálculo – Vol. 2. Cengage Learning, 2002. 
 
[8] GALVÃO, Lauro César e NUNES, Luiz Fernando. Cálculo Diferencial e Integral II - 
UTFPR. Curitiba. (Apostila) 
 
[9] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert e WALKER, Jearl. Fundamentos da física. Vol 1. 
LCT: Rio de Janeiro, 2008. 
 
[10] HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia.Pearson Prentice Hall: São Paulo, 
2005.
ANEXO I 
 
Matriz curricular do curso de Engenharia mecânica – UTFPR campus Ponta Grossa