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CAPA DO LIVRO CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ISBN-13: 978-84-16036-29-5 Nº Registro: 201421493 http://www.eumed.net/libros-gratis/2014/1371/index.htm Editado por la Fundación Universitaria Andaluza Inca Garcilaso para eumed.net Derechos de autor protegidos. Solo se permite la impresión y copia de este texto para uso personal y/o académico. Málaga-Espanha Março 2014 C512c Chaves, Marcelo Santos Cálculo I: Limites, Derivadas e Integrais (exercícios resolvidos e comentados). 93p. :il. Color. ; 21x30 cm. Inclui referências ISBN-13: 978-84-16036-29-5 1. Matemática. 2. Cálculo Diferencial e Integral. 3. Exercícios. 4. I. Título. CDD 510 A modesta contribuição que aqui segue transcrita dedico ao infinito Deus que nos concedeu o dom da vida e ao meu paizinho e professor Otávio, in memoriam, pela intransigência e perseverança na moldagem de minha educação e qualificação acadêmica. Que este livro seja a expressão do profundo amor que nos une, nesta vida e na outra. EPÍGRAFES “Se eu enxerguei mais longe, foi por estar de pé sobre ombros de gigantes.” sir Isaac Newton "Um nome pode permitir que sejas lembrado, mas apenas as ideias o tornaram um imortal.” Marcelo Santos Chaves APRESENTAÇÃO No Brasil as evidencias quanto ao fracasso na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral (CDI) são elevadas, causando visíveis prejuízos no aproveitamento de discentes da área das ciências exatas, ao ponto de conduzi-los a sucessivas reprovações ou até mesmo ocasionando o seu jubilamento (desligamento compulsório do curso). Essas são as conclusões de Bressan (2009), Rezende (2003), Frota (2001), Baruffi (1999) entre outros. Face a este cenário desfavorável na práxis do ensino superior, um dos grandes desafios na área de ciências exatas atualmente é, sem sombra de dúvidas, encontrar formas de superar o fracasso no ensino do Cálculo. E é sob tal motivação que o presente trabalho se propõe a constituir-se em um escopo sistemático de técnicas de resolução de problemas sobre Limites, Derivadas e Integrais, ambicionando uma ilustração didática e objetiva capaz de transpor o conhecimento cientificopara um conhecimento capaz de tornar-se efetivamente ensinável. PRESENTATION In Brazil the evidence about the failure in the discipline of Differential and Integral Calculus (CDI) are generally high, causing visible damage in the exploitation of students in the area of exact sciences, to the point of leading them to successive failures or even causing the your jubilamento (off course). These are the findings of Bressan (2009), Rezende (2003), Frota (2001), Baruffi (1999) among others. Against this unfavorable scenario in the praxis of higher education a major challenge in the field of exact sciences is currently without a doubt, find ways to overcome failure in the teaching of calculus. And under such motivation is that this paper proposes to form themselves into a systematic scope of technical troubleshooting on Limits, Derivatives and Integrals, coveting a didactic illustration and objectively able to translate scientific knowledge into a knowledge capable of making be effectively taught. . PRESENTACIÓN En Brasil, la evidencia sobre el fracaso en la disciplina de Cálculo Diferencial e Integral (CDI) son generalmente altos , causando daños visibles en la explotación de los estudiantes en el área de las ciencias exactas , hasta el punto de llevarlos a los sucesivos fracasos o incluso causar la Su jubilamento (por supuesto) . Estas son las conclusiones de Bressan (2009), Rezende (2003), Frota (2001), Baruffi (1999) entre otros. Frente a este escenario desfavorable en la praxis de la educación superior un gran reto en el campo de las ciencias exactas es actualmente , sin duda , encontrar la manera de superar el fracaso en la enseñanza del cálculo . Y bajo esa motivación es que este trabajo se propone constituirse en un ámbito de aplicación sistemática de la solución de problemas técnicos de límites, derivadas e integrales , codiciar una ilustración didáctica y objetivamente capaces de traducir el conocimiento científico en un saber capaz de hacer enseñar con eficacia. SUMÁRIO Um pouco sobre História do Cálculo............................................................................... 11 Capitulo I – Estudo dos Limites....................................................................................... 12 1. Limites e Continuidades................................................................................................ 13 1.1 Limites Laterais............................................................................................................ 20 1.2 Limites no Infinito e Limites Infinitos......................................................................... 27 1.2.1 Limites no Infinito....................................................................................................... 27 1.2.2 Limites Infinitos......................................................................................................... 32 1.3 Limites Exponenciais................................................................................................... 34 1.4 Limites Trigonométricos.............................................................................................. 40 Capitulo II – Estudo das Derivadas.................................................................................. 49 2. Derivada de uma Função............................................................................................... 50 2.1 Regras de Derivação.................................................................................................... 50 2.1.1 Derivação pela Regra do Produto................................................................................ 50 2.1.2 Derivação pela Regra do Quociente............................................................................. 51 2.1.3 Derivação pela Regra da Potência............................................................................... 52 2.2 Derivação de Funções Particulares................................................................................... 53 2.2.1 Derivação de Função Exponencial............................................................................... 53 2.2.2 Derivação de Função Exponencial de Base e............................................................... 54 2.2.3 Derivação de um Logaritmo Natural............................................................................. 54 2.2.4 Derivação de Função Logarítmica................................................................................55 2.3 Derivação de Funções Trigonométricas.................................................................... 55 2.4 Derivação de Funções Trigonométricas Inversas..................................................... 57 2.5 Derivações de Ordem Sucessivas.............................................................................. 58 2.6 Derivações Híbridas..................................................................................................... 58 2.6.1 Envolvendo Regra da Potência e Quociente................................................................ 58 2.6.2 Envolvendo Regra da Potência e Produto.................................................................... 59 2.6.3 Envolvendo Regra do Quociente e Função Exponencial na base e................................ 60 2.6.4 Envolvendo Regra do Produto e Função Exponencial na base e.................................. 60 2.6.5 Envolvendo Logaritmo Natural e Regra do Quociente.................................................... 60 2.6.6 Envolvendo Funções Trigonométricas e Regra do Quociente ...................................... 61 2.6.7 Envolvendo Funções Trigonométricas e Regra do Logaritmo Natural............................ 62 2.6.8 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Composta............... 62 2.6.9 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Potência................. 63 2.6.10 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra do Logaritmo Natural............. 63 2.6.11 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Exponencial......... 63 2.6.12 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Composta............. 64 Capitulo III – Estudo das Integrais.................................................................................... 65 3.Integrais Indefinidas....................................................................................................... 66 3.1 Regras de Integração................................................................................................... 66 3.1.1 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo........................................................................ 66 3.1.2 Para uma Função Exponencial.................................................................................... 66 3.1.3 Para uma Função Exponencial de basee................................................................................. 66 3.1.4 Para Deslocamento de uma Constante........................................................................ 67 3.1.5 Para uma Função Logaritmo Natural............................................................................ 67 3.1.6 Para uma Soma e Subtração....................................................................................... 67 3.1.7 Veja algumas Resoluções........................................................................................... 68 3.2 Técnicas de Integração................................................................................................ 69 3.2.1 Método da Substituição............................................................................................... 69 3.2.2 Método Integração por Partes...................................................................................... 70 3.2.2.1 Obtenção de Formulas de Redução....................................................................... 71 3.2.3 Aplicações envolvendo as Técnicas de Integração....................................................... 73 Referências Bibliográficas................................................................................................ 89 Apêndices............................................................................................................................ 90 Apêndice A: Tabela de Identidades Trigonométricas......................................................... 91 Apêndice B: Tabela de Derivadas Usuais.......................................................................... 92 Apêndice C: Tabela de Integrais......................................................................................... 93 11 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados UM POUCO SOBRE A HISTORIA DO CALCULO É bastante comum nos depararmos com literaturas que ratificam um entendimento. O de que sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) foram oscriadores do Cálculo Diferencial e Integral (CDI). Mas será possível tomar ao pé da letra tal assertiva enquanto verdade? Stewart (2010), por exemplo, pontifica que as ideias fundamentais por trás da integração foram examinadas há pelo menos 2500 anos pelos antigos gregos, tais como Eudóxio e Arquimedes. Além disso, assim como Alarcón et. al (2005), sabemos que os métodos para encontrar as tangentes foram criadas, entre outros, por Pierre de Fermat (1601-1665) e Isaac Barrow (1630-1677). Da mesma forma, concordamos com Almeida (2003) na constatação de que Barrow, na condição de professor em Cambridge que exerceu grande influência sobre Newton, foi o pioneiro no entendimento quanto à existência de uma relação inversa entre a derivação e a integração. Assim, concluímos que, o que Newton e Leibniz fizeramnão tratou-se de uma criação genuína na acepção da palavra, e sim utilizaram a relação descoberta por Barrow, para constituírem o Teorema Fundamental do Cálculo, e assim desenvolver o CDI enquanto disciplina matemática sistemática e ensinável. Portanto, é sob estes termos e ressalvas que atribuímos a Newton e a Leibniz a primazia no desenvolvimento do CDI. sir Isaac Newton Isaac Barrow 12 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados CAPÍTULO I ESTUDO DOS LIMITES 13 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 1. LIMITES E CONTINUIDADES ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x2 x )x(fLim x4 x2 )x(fLim x2 x2 x2 1 )x(fLim x2 1 )x(fLim xx 1 )x(fLim x0x 1 Lim)x(fLim xex 1 Lim)x(fLim xexe e Lim)x(fLim xexe xex Lim)x(fLim xexe xex Lim)x(fLim xex xex e xex Lim)x(fLim :Solução e xex )x(fLim)2 0e 0e 0e 0e 0e 0e0e 0e0e 0e0e 0e0e 22 0e0e 0e0e 0e = = ⋅= = × = ×+ = ×+ = ×+× = ×+× −+ = ×+× −+ = ++ ++ × −+ = −+ = → → → → → →→ →→ →→ →→ →→ →→ → ( ) ( ) ( ) 1)( 111)( 1)( 1 1)1( )( 1 1 )( 1 1 )( : 1 1 )()1 1 2 1 2 11 2 11 3 11 3 3 3 11 3 31 = ++= ++= − ++⋅− = − − = − − = =→ − − = → → →→ →→ →→ →→ → ufLim ufLim uuLimufLim u uuu LimufLim u u LimufLim u u LimufLim xuFaça Solução x x xfLim u u uu uu uu uu x 14 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6)( 1 23 )( 1 111111 )( 1 )( 1 11 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( : 1 )()3 1 1 2 2 1 2 2 11 2 2 11 32 3 11 2 2 3 11 3 11 3 11 3 3 11 3 311 −= × −= − +⋅++ = − +⋅++ = −⋅− +⋅++⋅− = − +⋅− = − +⋅− = + + ⋅ − − = − − = − − = =→ − − = → → → →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ ufLim ufLim ufLim u uuuuu LimufLim uu uuuuuu LimufLim uu uuuu LimufLim uuu uuuu LimufLim uuu uuu uuu u LimufLim uuu u LimufLim uu u LimufLim uxFaça Solução xx x LimxfLim u u u uu uu uu uu uu uu uu xx ( ) ( ) ( ) ( ) 1)( 111 1 )( 1 1 )( 11 1 )( 1 1 )( 11 : 11 )()4 0 2 0 2 00 200 300 33 3 00 = ++ = ++ = ++⋅− − = − − = −=⇔+=→ −+ = → → →→ →→ →→ →→ ufLim ufLim uu LimufLim uuu u LimufLim u u LimufLim uxxuFaça Solução x x LimxfLim u u uu uu uu xx 15 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 3 )( 34 32 )( 32 32 32 1 )( 33 1 )( 330 1 )( 33 1 )( 33 )( 33 33 )( 33 33 )( 33 3333 )( : 33 )()5 0 00 0 0 00 00 00 22 00 00 00 = × =⇒⋅= + = ++ = ++ = ++⋅ = ++⋅ −+ = ++⋅ −+ = ++ ++ ⋅ −+ = −+ = → →→ → → →→ →→ →→ →→ →→ →→ xfLim xfLimxfLim xfLim xfLim x LimxfLim xx x LimxfLim xx x LimxfLim xx x LimxfLim x x x x LimxfLim Solução x x LimxfLim x xx x x xx xx xx xx xx xx ( )[ ] ( ) −∞= ∞− = ⋅+ ∞+⋅−⋅ = ⋅+ −⋅ = +⋅ −⋅ = + − = + − = +∞→ +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ )( 8 )( 028 305 )( 1 28 3 1 5 )( 2 8 3 5 )( 28 35 )( : 28 35 )()6 2 2 2 3 3 xfLim xfLim xfLim x x x LimxfLim x x x x x LimxfLim x x LimxfLim Solução x x LimxfLim x x x xx xx xx xx 16 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) 7 5 )( 037 025 )( 1 37 1 25 )( 3 7 2 5 )( 37 25 )( : 37 25 )()7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 − = ⋅+ ⋅−− = ⋅+ ⋅−− = +⋅ −⋅− = + +− = + +− = +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ xfLim xfLim x x LimxfLim x x x x LimxfLim x x LimxfLim Solução x x LimxfLim x x xx xx xx xx 1)( 1 1 )( 01 01 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 )( : 1 1 )()8 2 2 2 2 2 2 2 2 = = + + = + + = +⋅ +⋅ = +⋅ +⋅ = +⋅ +⋅ = + + = + + = +∞→ +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ xfLim xfLim xfLim x x LimxfLim x x x x LimxfLim x x x x LimxfLim x x x x LimxfLim x x LimxfLim Solução x x LimxfLim x x x xx xx xx xx xx xx 17 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)( 2 0 )( 11 0 )( 0101 02 )( 1 1 1 1 1 2 )( 1 1 1 1 2 )( 1 1 1 1 2 )( 1 1 1 1 11 )( 1 1 1 1 11 )( 1 1 1 1 11 )( 11 11 11)( : 11)()9 22 22 22 22 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 22 22 = = + = −++ ⋅ = −++ ⋅ = −++⋅ = −++⋅ = −⋅+ +⋅ +−+ = −⋅++⋅ −−+ = −⋅+ +⋅ −−+ = −++ −++ ⋅−−+= −−+= +∞→ +∞→ +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ xfLim xfLim xfLim xfLim xx xLimxfLim x xx x xLimxfLim xx x LimxfLim x x x x xx LimxfLim x x x x xx LimxfLim x x x x xx LimxfLim xx xx xxLimxfLim Solução xxLimxfLim x x x x xx xx xx xx xx xx xx xx 18 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 2 1 )( 11 1 )( 101 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )( 1 1 1 )( 1 1 )( 1 1 1)( 1)( 1)( : 1)()10 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 424 2 2 422 22 22 2 2 22 22 22 22 2 2 −= ⇒ + − =⇒ +− − =⇒ +− − =⇒ ⇒ + −⋅ − =⇒ + −⋅ − =⇒ ⇒ + −⋅ − =⇒ + − − = + − ⋅ − = + − ⋅ −− = + − ⋅ −⋅− = +⋅− −⋅− = +⋅− +⋅− ⋅−⋅−= −⋅−= −−= −−= +∞→ +∞→+∞→+∞→+∞→ +∞→+∞→+∞→+∞→ +∞→+∞→+∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ xfLim xfLimxfLim x LimxfLim x x x LimxfLim x x x LimxfLim x x x LimxfLim x x LimxfLim x x x x LimxfLim x x x xxx LimxfLim x x x xxx LimxfLim xxx xxx LimxfLim xxx xxx xxxLimxfLim xxxLimxfLim xxxLimxfLim Solução xxxLimxfLim x xxxx xxxx xxxx xx xx xx xx xx xx xx xx 19 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados +∞= ∞+ = − −∞+ = − − = −⋅ −⋅ = − − = − −⋅ = − − = =→ − − = +∞→ +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ )( 3 )( 03 0 )( 1 3 1 )( 1 3 1 )( 13 1 )( 13 1 )( 13 1 )( : 13 1 )()11 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 22 2 xfLim xfLim xfLim x x x LimxfLim x x x xx LimxfLim x x LimxfLim x xx LimxfLim x xx LimxfLim xvFaça Solução v vv LimvfLim x x x xx xx xx xx xx vv ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 8 )x(fLim 12 32 )x(fLim 444 148 )x(fLim 4222 12242 )x(fLim 4x2x 12x4x Lim)x(fLim 4x2x2x 12x2x4x Lim)x(fLim 2x2x2x 12x4x Lim)x(fLim 2x 14x4x Lim)x(fLim 8x 14x Lim)x(fLim 1 1 x8 16x Lim)x(fLim x8 16x Lim)x(fLim :Solução x8 16x Lim)x(fLim)12 2x 2x 2x 2 2 2x 2 2 2x2x 2 2 2x2x 22 222 2x2x 33 22 2x2x 3 222 2x2x 3 4 2x2x 3 4 2x2x 3 4 2x2x −= − = ++ −×× = +⋅+ −⋅+⋅+ = ++ −⋅+⋅+ = ++⋅− −⋅−⋅+⋅+ = ++⋅− −⋅−⋅+ = − −⋅−⋅+ = − −⋅− = − − ⋅ − − = − − = − − = → → → → →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ 20 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 1.1 LIMITES LATERAIS 1) Dado >− =− <− = 1,3 1,1 1,4 )( 2 xsex xse xsex xf , calcule os limites das funções e esboce o gráfico. Solução: 3414)( 22 11 −=−=−= −− →→ xLimxfLim xx 2133)( 11 =−=−= ++ →→ xLimxfLim xx Existe Não )( Então ),()( :Como 111 =≠ →→→ −+ xfLimxfLimxfLim xxx Agora vamos estabelecer os pontos: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 )t(fLim 111 11 )t(fLim 1tt 1t Lim)t(fLim 1t1t1t 1t1t Lim)t(fLim 1t 1t Lim)t(fLim 1t 1t Lim)t(fLim 1t 1t Lim)t(fLim txFaça :Solução 1x 1x Lim)x(fLim)13 1t 21t 21t1t 221t1t 33 22 1t1t 3 2 1t1t 6 3 6 1t1t 6 3 1x1x = ++ + = ++ + = +⋅+⋅− −⋅+ = − − = − − = − − = =→ − − = → → →→ →→ →→ →→ →→ →→ 21 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados -3 -4 Esbouço do Gráfico (Ráio x) 2 4 4 04 4)( 2 2 2 ±= = = =− →−= x x x x Parábolaxxf →>− −→=− −→<− = )2,1(1,3 )1,1(1,1 )3,1(1,4 )( 2 xsex xse xsex xf 3 03 3)( = =− →−= x x retaxxf 2 1 2 3 3 y x -1 -2 22 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados -2 2/3 2) Dado <+ = >− = 1,14 1,2 1,23 )( xsex xse xsex xf , calcule os limites das funções e esboce o gráfico. Solução: 121323)( 11 =−⋅=−= ++ →→ xLimxfLim xx 511414)( 11 =+⋅=+= −− →→ xLimxfLim xx Existe Não )( Então ),()( :Como 111 =≠ →→→ −+ xfLimxfLimxfLim xxx Vamos estabelecer os pontos: Esbouço do Gráfico (Raio x) 3 2 023 23)( = =− →−= x x retaxxf →<+ →= →>− = )5,1(1,14 )2,1(1,2 )1,1(1,23 )( xsex xse xsex xf 4 1 014 14)( −= =+ →+= x x retaxxf 1 1 2 y x -1/4 5 23 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 3 3) Dado >− = <+ = 2,9 2,2 2,1 )( 2 2 xsex xse xsex xf , calcule os limites das funções e esboce o gráfico. Solução: 5299)( 22 22 =−=−= ++ →→ xLimxfLim xx 5121)( 22 22 =+=+= −− →→ xLimxfLim xx 5 )( Então ),()( :Como 222 == →→→ −+ xfLimxfLimxfLim xxx Vamos estabelecer os pontos: Esbouço do Gráfico (Raio x) função para raízes há Não 1 01 1)( 2 2 ∃= −= =+ →+= x x x Parábolaxxf →>− →= →<+ = )5,2(2,9 )2,2(2,2 )5,2(2,1 )( 2 2 xsex xse xsex xf 3 9 09 9)( 2 2 ±= = =− →−= x x x Parábolaxxf 1 2 2 y x 5 24 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 4) Dado >− ≤− = 3,73 3,1 )( xx xx xf , calcule os limites abaixo e esboce o gráfico. ).x(fLim)f);x(fLim)c );x(fLim)e);x(fLim)b );x(fLim)d);x(fLim)a 5x3x 5x3x 5x3x →→ →→ →→ ++ −− Solução: 2)x(fLim:temos),x(fLim)x(fLimSeja )x(fLim)c 2)x(fLim 733)x(fLim 7x3Lim)x(fLim)b 2)x(fLim 13)x(fLim 1xLim)x(fLim)a 3x3x3x 3x 3x 3x 3x3x 3x 3x 3x3x == = −⋅= −= = −= −= →→→ → → → →→ → → →→ +− + + ++ − − −− Nas alternativas a seguir veja que para )( 5 xfLim x→ , temos x para valores maiores que 3, pois sua tendência é 5, logo, somente a função 73 −x satisfaz )( 5 xfLim x→ , pois sua restrição é definida para 3>x . Façamos então: 25 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 8)x(fLim:temos),x(fLim)x(fLimSeja )x(fLim)f 8)x(fLim 753)x(fLim 7x3Lim)x(fLim)e 8)x(fLim 753)x(fLim 7x3Lim)x(fLim)d 5x5x5x 5x 5x 5x 5x5x 5x 5x 5x5x == = −⋅= −= = −⋅= −= →→→ → → → →→ → → →→ +− + + ++ − − −− Esbouço do Gráfico: Vamos estabelecer os pontos para 3→x : →>− →≤− = )2,3(3,73 )2,3(3,1 )( xx xx xf Vamos estabelecer os pontos para 5→x : →>− →>− = + − → → )(/),8,5(3,73 )(/),8,5(3,73 )( 5 5 xfLimpxx xfLimpxx xf x x Daí ilustramos: 1 01 1)( = =− →−= x x retaxxf 3 7 73 073 73)( = = =− →−= x x x retaxxf 26 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 1 -7 27 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 1.2 LIMITES NO INFINITO E LIMITESINFINITOS 1.2.1 Limites no Infinito Se “n” é um número inteiro positivo, então: 0 x 1 Lim)II 0 x 1 Lim)I nx nx = = −∞→ +∞→ As expressões ∞∞∞×∞−∞ ∞ ∞ 1,,0,0,,, 0 0 00 são todas indeterminações. Veja algumas resoluções: ( )[ ] ( ) −∞= ∞− = ⋅+ ∞+⋅−⋅ = ⋅+ −⋅ = +⋅ −⋅ = + − = + − = +∞→ +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ )( 8 )( 028 305 )( 1 28 3 1 5 )( 2 8 3 5 )( 28 35 )( : 28 35 )()1 2 2 2 3 3 xfLim xfLim xfLim x x x LimxfLim x x x x x LimxfLim x x LimxfLim Solução x x LimxfLim x x x xx xx xx xx ( ) ( ) 7 5 )( 037 025 )( 1 37 1 25 )( 3 7 2 5 )( 37 25 )( : 37 25 )()2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 − = ⋅+ ⋅−− = ⋅+ ⋅−− = +⋅ −⋅− = + +− = + +− = +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ xfLim xfLim x x LimxfLim x x x x LimxfLim x x LimxfLim Solução x x LimxfLim x x xx xx xx xx 28 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 1)( 1 1 )( 01 01 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 )( : 1 1 )()3 2 2 2 2 2 2 2 2 = = + + = + + = +⋅ +⋅ = +⋅ +⋅ = +⋅ +⋅ = + + = + + = +∞→ +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ xfLim xfLim xfLim x x LimxfLim x x x x LimxfLim x x x x LimxfLim x x x x LimxfLim x x LimxfLim Solução x x LimxfLim x x x xx xx xx xx xx xx 29 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)( 2 0 )( 11 0 )( 0101 02 )( 1 1 1 1 1 2 )( 1 1 1 1 2 )( 1 1 1 1 2 )( 1 1 1 1 11 )( 1 1 1 1 11 )( 1 1 1 1 11 )( 11 11 11)( : 11)()4 22 22 22 22 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 22 22 = = + = −++ ⋅ = −++ ⋅ = −++⋅ = −++⋅ = −⋅+ +⋅ +−+ = −⋅++⋅ −−+ = −⋅+ +⋅ −−+ = −++ −++ ⋅−−+= −−+= +∞→ +∞→ +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ xfLim xfLim xfLim xfLim xx xLimxfLim x xx x xLimxfLim xx x LimxfLim x x x x xx LimxfLim x x x x xx LimxfLim x x x x xx LimxfLim xx xx xxLimxfLim Solução xxLimxfLim x x x x xx xx xx xx xx xx xx xx 30 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 2 1 )( 11 1 )( 101 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 )( 1 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )( 1 1 1 )( 1 1 )( 1 1 1)( 1)( 1)( : 1)()5 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 424 2 2 422 22 22 2 2 22 22 22 22 2 2 −= ⇒ + − =⇒ +− − =⇒ +− − =⇒ ⇒ + −⋅ − =⇒ + −⋅ − =⇒ ⇒ + −⋅ − =⇒ + − − = + − ⋅ − = + − ⋅ −− = + − ⋅ −⋅− = +⋅− −⋅− = +⋅− +⋅− ⋅−⋅−= −⋅−= −−= −−= +∞→ +∞→+∞→+∞→+∞→ +∞→+∞→+∞→+∞→ +∞→+∞→+∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ xfLim xfLimxfLim x LimxfLim x x x LimxfLim x x x LimxfLim x x x LimxfLim x x LimxfLim x x x x LimxfLim x x x xxx LimxfLim x x x xxx LimxfLim xxx xxx LimxfLim xxx xxx xxxLimxfLim xxxLimxfLim xxxLimxfLim Solução xxxLimxfLim x xxxx xxxx xxxx xx xx xx xx xx xx xx xx 31 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados +∞= ∞+ = − −∞+ = − − = −⋅ −⋅ = − − = − −⋅ = − − = =→ − − = +∞→ +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ )( 3 )( 03 0 )( 1 3 1 )( 1 3 1 )( 13 1 )( 13 1 )( 13 1 )( : 13 1 )()6 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 22 2 xfLim xfLim xfLim x x x LimxfLim x x x xx LimxfLim x x LimxfLim x xx LimxfLim x xx LimxfLim xvFaça Solução v vv LimvfLim x x x xx xx xx xx xx vv +∞= ∞+ = + +∞+ = ⋅+⋅ ⋅+⋅ = +⋅ +⋅ = + + = + + = +∞→ +∞→ +∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ +∞→+∞→ )( 1 )( 01 0 )( 1 28 1 3 )( 2 8 3 )( 2 3 )( : 2 3 )()7 2 2 xfLim xfLim xfLim x x x xx LimxfLim x x x xx LimxfLim x x LimxfLim Solução x x LimxfLim x x x xx xx xx xx 32 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 1.2.2 Limites Infinitos Se “n” é um número inteiro positivo qualquer, então: ∞− ∞+ = +∞= − + → → ímparé"n"se, paré"n"se, x 1 Lim)II x 1 Lim)I n 0x n 0x As expressões ∞∞∞×∞−∞ ∞ ∞ 1,,0,0,,, 0 0 00 são todas indeterminações. Veja algumas resoluções: +∞= ∞++= ++= ++= ++= → → →→→→ →→ →→ )( 00)( 1 )( 1 )( : 1 )()1 0 0 00 3 00 3 00 3 00 xfLimxfLim x LimxLimxLimxfLim x xxLimxfLim Solução x xxLimxfLim x x xxxx xx xx +∞= = = = <− ≥ = + ++ ++ ++ ++ → →→ →→ →→ →→ )( 1 )( )( )( 0, 0, : : )()2 0 00 2 00 2 00 2 00 xfLim x LimxfLim x x LimxfLim x x LimxfLim xsex xsex xCondição Solução x x LimxfLim x xx xx xx xx 33 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados -1 -1/2 1 2 y x 0 4) Na figura abaixo está esboçado o gráfico de uma função )(xfy = . Complete as igualdades. ( ) ∞+= ∞−−= −= − = = = − − −− −− −− −− → → →→ →→ →→ →→ )( )( : temosímpar, é x de exponte o Como 1 )( )( )( : )()3 0 0 1 00 2 00 2 00 2 00 xfLim xfLim x LimxfLim x x LimxfLim x x LimxfLim Solução x x LimxfLim x x xx xx xx xx ∞−=−=−=−= =∞+=−=∞−= −∞→+∞→→→ →→→→ +− +−+− )x(fLim)h 2 1 )x(fLim)g1)x(fLim)f1)x(fLim)e 0)x(fLim)d)x(fLim)c 2 1 )x(fLim)b)x(fLim)a xx0x0x 2x2x1x1x 34 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 1.3 LIMITES EXPONENCIAIS Relação Fundamental: e x Lim x x = + ∞→ 1 1 Inversão de variável: Se y 1 x = Então ( ) ey1Lim y 1 0y =+ → Artifícios de auxilio: ak x a Lima x a Lim xk x x x ln 1 ln 1 00 ⋅= − ⇔= − ⋅ →→ ( ) l l ⋅ → =+ ky y ekyLim 1 0 l l ⋅ ⋅ ∞→ = + k x x e x k Lim 1 Veja algumas resoluções: 35 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) eyfLim e yfLim e yfLim y LimLim y LimLim yfLim y y LimyfLim y y LimyfLim y y LimyfLim y y LimyfLim n n LimxfLim y n y n y nFaça Solução n n LimxfLim yyy y y y y y y y y y y y yy y yy y yy y yy n xx n nn −=⇒ −⋅ ⋅ =⇒ − ∞ ⋅ ⋅ = −⋅ +⋅ = −⋅ +⋅ = − + = −− +− = − −⋅ + −⋅ = − + = ∞→∴∞=+∞ ∞→ ∴−=∴=+ − + = ∞→∞→ ∞ ∞→ ∞→∞→ ∞→∞→ ∞→ ∞→∞→ ∞→∞→ ∞→∞→ ∞→∞→ + ∞→∞→ + ∞→∞→ )( 11 1 )( 1 1 2 2 )( 1 1 2 1 1 2 )( 3 1 2 1 1 2 )( 3 2 1 2 )( 12 2 32 2 )( 11 1 2 31 1 2 )( 12 32 )( 1 1 11 1: : 12 32 )()1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 36 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) 2)y(fLim 11)y(fLim y1Lim)y(fLim xTg 1 1Lim)x(fLim 1y1 2 Tg 2 x y 1 xTgy xTg 1 :Faça :Solução xTg 1 1Lim)x(fLim)2 1y 1 1 1y y 1 1y1y xTg 2 x 2 x xTg 2 x 2 x = += += += →∴= → ∴=∴= += → → →→ →→ →→ ππ ππ π π ( ) ( ) ( ) e)y(fLim y1Lim)y(fLim xCos1Lim)x(fLim 0y0 2 3 Cos 2 3 x xCosy y 1 xCos 1 :Faça :Solução xCos1Lim)x(fLim)3 0y y 1 0y0y xCos 1 2 3 x 2 3 x xCos 1 2 3 x 2 3 x = += += →∴= → ∴=∴= += → →→ →→ →→ ππ ππ π π 37 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) 10 0 10 1 00 10 00 )( 1)( 1)( 10 1)( 00 10 1010 : 10 1)( : 10 1)()4 eyfLim yLimyfLim yLimyfLim x LimxfLim y x x y x x yFaça x LimxfLim Solução x LimxfLim y y yy y yy x xx x xx x xx = += += += →∴= ∞→ ∴=∴= += += → →→ →→ ∞→∞→ ∞→∞→ ∞→∞→ 10ln)( 2 110 )( : 2 110 )()5 2 2 22 2 22 = − − = − − = → − →→ − →→ xfLim x LimxfLim Solução x LimxfLim x x xx x xx 4ln 5 1 )( 5 3 14 5 1 )( 5 3 14 5 1 )( 5 3 5 14 )( : 5 3 5 14 )()6 3 5 3 333 5 3 33 5 3 33 5 3 33 ⋅= + − ⋅= + − ⋅= + ⋅ − = + ⋅ − = −→ + −→−→−→ + −→−→ + −→−→ + −→−→ xfLim x LimLimxfLim x LimxfLim x LimxfLim Solução x LimxfLim x x xxx x xx x xx x xx ( ) ( ) 5ln25)x(fLim 5ln5)x(fLim 2x 15 Lim5Lim)x(fLim 2x 155 Lim)x(fLim 2x 1 5 5 5 Lim)x(fLim 2x 55 Lim)x(fLim 2x 255 Lim)x(fLim :Solução 2x 255 Lim)x(fLim)7 2x 2 2x 2x 2x 2 2x2x 2x2 2x2x 2 x 2 2x2x 2x 2x2x x 2x2x x 2x2x = ⋅= − − ⋅= − −⋅ = − −⋅ = − − = − − = − − = → → − →→→ − →→ →→ →→ →→ →→ 38 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) 3ln 20 1 )( 55 55 4 1 13 20 1 )( 55 55 4 1 13 20 1 )( 55 55 4 1 45 13 )( 55 55 4 4 15 13 )( 55 55 55 13 )( 55 13 )( 15 13 )( : 15 13 )()8 1 1 4 1 11 1 4 1 11 4 1 11 4 1 11 4 1 11 4 1 11 4 1 11 4 1 11 ⋅=⇒ − − − − ⋅ =⇒ ⇒ − − − − ⋅ =⇒ − − −⋅⋅ − =⇒ − − ⋅−⋅ − = ⇒ − − − − =⇒ − − =⇒ −⋅ − = −⋅ − = → → − →→ → − →→ − →→ − →→ − →→ − →→ − →→ − →→ xfLim x xSen Lim x LimLim xfLim x xSenx LimxfLim x xSen x LimxfLim x xSen x LimxfLim x xSen xLimxfLim xSen LimxfLim xSen LimxfLim Solução xSen LimxfLim x x x xx x x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx 39 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) abxfLim baxfLim xfLim eeexfLim e e exfLim x e e LimeLimxfLim x e e e LimxfLim x ee LimxfLim Solução x ee LimxfLim x x e e e e x ba x b a b x x b a x bx xx bx ax bx xx bxax xx bxax xx ba −= −−−= −⋅= −⋅= ⋅= − ⋅= − ⋅ = − = − = → → → −− → − − ⋅− → − − → − →→ − − − →→ −− →→ −− →→ −− )( )( loglog1)( lnln)( ln)( 1 )( 1 )( )( : )()9 0 0 0 0 0 0 0 000 00 00 00 40 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 1.4 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS Relação Fundamental: 1 x xSen Lim 0x = → Veja algumas resoluções: 2)x(fLim 12)x(fLim x2 x2Sen Lim2Lim)x(fLim x2 x2Sen 2Lim)x(fLim 2 2 x x2Sen Lim)x(fLim x x2Sen Lim)x(fLim :Solução x x2Sen Lim)x(fLim)1 0x 0x 0x0x0x 0x0x 0x0x 0x0x 0x0x = ×= ⋅= ⋅= ⋅= = = → → →→→ →→ →→ →→ →→ 4 3 )( 14 13 )( 4 4 4 3 3 3 )( 4 4 4 3 3 3 )( 4 44 3 33 )( 4 3 )( 4 3 )( : 4 3 )()2 0 0 00 00 0 00 00 00 00 00 = × × = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = = → → →→ →→ → →→ →→ →→ →→ →→ xfLim xfLim x xSen LimLim x xSen LimLim xfLim x xSen x xSen LimxfLim x xSen x xSen LimxfLim x xSen x xSen LimxfLim xSen xSen LimxfLim Solução xSen xSen LimxfLim x x xx xx x xx xx xx xx xx 41 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 1)( 11)( 0 1 1)( 1 )( 1 )( )( )( : )()3 0 0 0 00 00 00 00 00 = ×= ⋅= ⋅= ⋅= = = = → → → →→ →→ →→ →→ →→ xfLim xfLim Cos xfLim Cosxx Senx LimxfLim xCosx Senx LimxfLim x Cosx Senx LimxfLim x Tgx LimxfLim Solução x Tgx LimxfLim x x x xx xx xx xx xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)( 01)( 11 0 1)( 10 0 11)( 1 1)( 1 1)( 1 )( 1 1 )( 1 1 )( 1 11 )( 1 )( : 1 )()4 2 2 22 = ×−= + ⋅−= + ⋅×−= + ⋅⋅−= +⋅ ⋅ ⋅−= +⋅ − = +⋅ − = +⋅ − = + + ⋅ − = − = − = → → → → →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ xfLim xfLim xfLim Cos Sen xfLim Cos SenSen LimxfLim Cos SenSen LimxfLim Cos Sen LimxfLim Cos Cos LimxfLim Cos Cos LimxfLim Cos CosCos LimxfLim Cos LimxfLim Solução Cos LimxfLim x x x x xx xx xx xx xx xx xx xx θ θ θ θ θθ θθ θθ θθ θθ θθ θθ θθ θ θ θ θ θθ θθ θθ θ θθ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 42 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 7 10 )( 17 110 )( 7 7 7 10 10 10 )( 7 77 10 1010 )( 7 10 )( 7 10 )( : 7 10 )()7 0 0 00 00 0 00 00 00 00 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = = → → →→ →→ → →→ →→ →→ →→ xfLim xfLim x xSen LimLim x xSen LimLim xfLim x xSen x xSen LimxfLim x xSen x xSen LimxfLim xSen xSen LimxfLim Solução xSen xSen LimxfLim x x xx xx x xx xx xx xx b a xfLim b a xfLim bx bxSen LimbLim ax axSen LimaLim xfLim b b x bxSen a a x axSen LimxfLim x bxSen x axSen LimxfLim bxSen axSen LimxfLim Solução bxSen axSen LimxfLim x x xx xx x xx xx xx xx = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = = → → →→ →→ → →→ →→ →→ →→ )( 1 1 )( )( )( )( )( : )()8 0 0 00 00 0 00 00 00 00 9)( 19)( 9 9 9)( 9 9 9)( 9 99 )( 9 )( : 9 )()5 0 0 000 00 00 00 00 = ⋅= ⋅= ⋅= ⋅= = = → → →→→ →→ →→ →→ →→ xfLim xfLim x xSen LimLimxfLim x xSen LimxfLim x xSen LimxfLim x xSen LimxfLim Solução x xSen LimxfLim x x xxx xx xx xx xx 3 4 )( 14 3 1 )( 4 4 4 3 1 )( 4 4 4 3 1 )( 4 44 3 1 )( 3 4 )( : 3 4 )()6 0 0 0000 000 000 00 00 = ⋅⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= = = → → →→→→ →→→ →→→ →→ →→ xfLim xfLim x xSen LimLimLimxfLim x xSen LimLimxfLim x xSen LimLimxfLim x xSen LimxfLim Solução x xSen LimxfLim x x xxxx xxx xxx xx xx 43 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados axfLim axfLim Cos axfLim axCos Lim ax axSen LimaLimxfLim axCosax axSen aLimxfLim a a xaxCos axSen LimxfLim xaxCos axSen LimxfLim x axCos axSen LimxfLim x axTg LimxfLim Solução x axTg LimxfLim x x x xxxx xx xx xx xx xx xx = ⋅⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= ⋅= = = = → → → →→→→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ )( 1 1 1)( 0 1 1)( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( )( )( : )()9 0 0 0 0000 00 00 00 00 00 00 ( ) ( ) ( ) ( ) 0)( 4 1 1 0 )( 4 1 )( 4 1 )( 4 1 )( 4 )( 4 )( 114 )( 1: 14 4 1 1 4 1 )( 1 4 1 )( 1 4 1 )( : 1 4 1 )()10 11 3 3 3 3 11 3 3 11 3 3 11 = ⋅ − = ⋅= ⋅= ⋅= = = +− = →∴−→ −=∴ + =→ + + = + + = + + = + + = → → → →→→ →→ →→ →→ →→ −→−→ −→−→ −→−→ −→−→ xfLim xfLim Cos Sen xfLim u Lim uCos uSen LimxfLim uuCos uSen LimxfLim u uCos uSen LimxfLim u uTg LimxfLimu uTg LimxfLim uxSe ux x uFaça x x Tg LimxfLim x x Tg LimxfLim x x Tg LimxfLim Solução x x Tg LimxfLim u u u uuu uu uu uu uu xx xx xx xx π π π πππ ππ ππ ππ ππ π ππ π π 44 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)( 011)( 11 0 11)( 10 0 11)( 1 1 1)( 1 1)( 1 1)( 1 1 1)( 1 1 1)( 1 11 1)( 1 1)( 11 )( 1 )( : 1 )()11 0 0 0 0 0000 000 2 000 2 000 22 000 000 000 00 00 00 = ×−×−= + ⋅−×−= + ⋅−×−= + ⋅ ⋅− ⋅−= +⋅ ⋅− ⋅−= +⋅ − ⋅−= +⋅ − ⋅−= +⋅ − ⋅−= + + ⋅ − ⋅−= − ⋅−= −⋅− = − = − = → → → → →→→→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→ →→ →→ xfLim xfLim xfLim Cos Sen xfLim xCos xSen Lim x xSen LimLimxfLim xCosx xSenxSen LimLimxfLim xCosx xSen LimLimxfLim xCosx xCos LimLimxfLim xCosx xCos LimLimxfLim xCos xCos x xCos LimLimxfLim x xCos LimLimxfLim x xCos LimxfLim x xCos LimxfLim Solução x xCos LimxfLim x x x x xxxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xx xx xx 45 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 )( 2 1 1)( 11 1 1)( 10 1 111)( 1 1 1)( 1 1)( 1 1)( 1 1 1)( 1 1 1)( 1 11 1)( 1 1)( 11 )( 1 )( : 1 )()12 0 0 0 0 00000 000 2 2 000 2 2 000 2 22 000 2000 2000 200 200 200 = −⋅−= + − ⋅−= + − ⋅××−= + − ⋅⋅⋅−= +⋅⋅ ⋅− ⋅−= +⋅ − ⋅−= +⋅ − ⋅−= +⋅ − ⋅−= + + ⋅ − ⋅−= − ⋅−= −⋅− = − = − = → → → → →→→→→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→→ →→ →→ →→ xfLim xfLim xfLim Cos xfLim xCos Lim x xSen Lim x xSen LimLimxfLim xCosxx xSenxSen LimLimxfLim xCosx xSen LimLimxfLim xCosx xCos LimLimxfLim xCosx xCos LimLimxfLim xCos xCos x xCos LimLimxfLim x xCos LimLimxfLim x xCos LimxfLim x xCos LimxfLim Solução x xCos LimxfLim x x x x xxxxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xx xx xx 46 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π ππ ππ π ππ ππ π ππ πππ π πππ ππ ππ ππ π π π 1 )( 1 1 )( 3 3 1 )( 3 3 1 )( 3 3 1 )( 3 3 1 )( 3 3 3 3 )( 3 3 )( 3 )( 1 3)( sec3)( : sec3)()13 3 3 33 3 3 33 33 33 33 33 33 33 33 33 = ⋅ = − − ⋅ = − − ⋅ = − −⋅ = −⋅ −⋅ = − − − − = − − = − − = ⋅−= ⋅−= ⋅−= → → →→ → → →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ xfLim xfLim x xSen LimLim Lim xfLim x xSen LimxfLim x xSen LimxfLim x xSen LimxfLim x xSen x x LimxfLim xSen x LimxfLim xSen x LimxfLim xSen xLimxfLim xCoxLimxfLim Solução xCoxLimxfLim x x xx x x xx xx xx xx xx xx xx xx xx ( ) ( ) ( ) ( ) 7 2 )( 14 4 )( 1122 126 )( 4 4 122 2 2 26 )( 4 4 122 2 2 26 )( 4 4 122 2 2 26 )( 4 4 432 2 2 26 )( 4 4 432 2 2 26 )( 432 26 )( : 432 26 )()14 0 0 0 00 00 0 00 00 00 00 00 00 = = ×+ ×− = ⋅+ ⋅− = ⋅+⋅ ⋅−⋅ = ⋅+ ⋅− = ⋅⋅+ ⋅− = ⋅+ ⋅− = + − = + − = → → → →→ →→ → →→ →→ →→ →→ →→ →→ xfLim xfLim xfLim x xSen LimLim x xSen LimLim xfLim x xSen x x xSen x LimxfLim x xSen xx x xSen xx LimxfLim x xSen xx x xSen xx LimxfLim x x xSenx x x xSenx LimxfLim xSenx xSenx LimxfLim Solução xSenx xSenx LimxfLim x x x xx xx x xx xx xx xx xx xx 47 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 2 5 )( 11 2 5 )( 2 2 2 5 2 5 2 5 )( 2 2 2 5 2 5 2 5 )( 2 2 2 5 2 5 2 5 )( 2 2 22 5 2 )( 2 2 22 5 2 )( 22 5 2 )( 22 5 2 )( 22 5 2 )( 22 5 2 )( 2 32 2 32 2 )( 32 )( : 32 )()15 0 0 0000 0000 0000 00 200 200 200 200 200 200 =⇒ ××=⇒ ⋅ ⋅=⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ =⇒ ⋅ ⋅ ⋅ =⇒ ⇒ ⋅ ⋅ =⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = −⋅ − = −⋅ − = −⋅ +− = − = − = → → →→→→ →→→→ →→→→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ xfLim xfLim x x Sen Lim x x Sen LimLimxfLim x x Sen x x Sen LimxfLim x x Sen x x Sen LimxfLim x x Sen x x Sen LimxfLim x x Sen x x Sen LimxfLim x x Sen x x Sen LimxfLim x x Sen x Sen LimxfLim x x Sen x Sen LimxfLim x x Sen x Sen LimxfLim x xx Sen xx Sen LimxfLim x xCosxCos LimxfLim Solução x xCosxCos LimxfLim x x xxxx xxxx xxxx xx xx xx xx xx xx xx 48 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados [ ] 1)( 21)( 2 2 2 )( 2 2 4 2 4 )( 2 2 2 2 2 2 4 )( 2 2 2 2 2 2 4 )( 22 4 )( 22 4 )( 2 2 4 )(2 22 )( 12 )( 222 )( 2121 )( 221 )( : 221 )()16 0 0 2 2 002 2 00 2 2 2 2 002 2 2 00 2 2 2 00 2 2 2 00 2 2 2 2 00 2 22 00 2 22 00 2 2 00 2 2 00 2 2 00 200 200 −=⇒ −=⇒ ⋅− =⇒ ⇒− ⋅ =⇒− ⋅⋅ ⋅ = − ⋅⋅ ⋅ = − ⋅ = − = − = − ⋅ = −−⋅ = −− = −+− = +− = +− = → → →→→→ →→→→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ →→ xfLim xfLim x xSen LimLim x x Sen LimxfLim x xSen x x Sen LimxfLim x xSen xx x Sen LimxfLim x xSen xx x Sen LimxfLim x xSen xx x Sen LimxfLim x xSen x x Sen LimxfLim x xSen x Sen LimxfLim x xSen x Sen LimxfLim x xSenxCos LimxfLim x xSenxCos LimxfLim x xSenxCos LimxfLim x xCosxCos LimxfLim Solução x xCosxCos LimxfLim x x xxxx xxxx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx 49 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados CAPÍTULO II ESTUDO DAS DERIVADAS 50 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 2.1 REGRAS DE DERIVAÇÃO 2.1.1 Derivação pela Regra do Produto Formula: )x('g)x(f)x('f)x(g)x(h ⋅+⋅= Veja algumas resoluções: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12x6x18'y x6x1212x6'y x61x26x32'y 6x31x26x31x2'y :Solução 6x31x2y)1 2 22 2 '22' 2 ++= +++= ⋅+++⋅= +⋅+++⋅+= +⋅+= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13x12)x('f x615x62)x('f 3x252x31)x('f 'x31x25'x25x31)x('f :Solução x25x31)x(f)2 +−= −+−−= ⋅−+−⋅+= +⋅−+−⋅+= −⋅+= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3x20x45)x('f x30x20x153)x('f x10x323x51)x('f 'x51x32'x32x51)x('f :Solução x32x51)x(f)3 2 22 2 22 2 ++= +++= ⋅++⋅+= +⋅+++⋅+= +⋅+= 51 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 2.1.2 Derivação pela Regra do Quociente Formula: [ ]2)x(f )x(g)x('f)x(f)x('g )x(h ⋅−⋅ = Veja algumas resoluções: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 2 2 '' 1x3 14 'y 1x3 122 'y 1x3 12x62x6 'y 1x3 12x62x6 'y 1x3 34x21x32 'y 1x3 1x34x21x34x2 'y :Solução 1x3 4x2 y)1 − −=⇒ − −− =⇒ − −−− =⇒ − +−− = − ⋅+−−⋅ = − −⋅+−−⋅+ = − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 4x3 20 )x('f 4x3 24x34x3 )x('f 4x3 38x14x3 )x('f 4x3 '4x38x'8x4x3 )x('f :Solução 4x3 8x )x(f)2 − = − +−− = − ⋅−−⋅− = − −⋅−−⋅− = − − = - 52 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 22 4 22 4 22 22 '22'22 2 2 3x x5x4)5x8(3x )x('f 3x 1x5x4)5x8(3x )x('f 3x xxx5x4)5x8(3x )x('f 3x 3xx5x4x5x43x )x('f :Solução 3x x5x4 )x(f)3 + +⋅++⋅+ = + ⋅+⋅++⋅+ = + +⋅+⋅++⋅+ = + +⋅++⋅+ = + + = 6)(2x - 6)(2x - 3)'(3)2( - - 2.1.3 Derivação pela Regra da Potência Formula: [ ] [ ] '1n )x(u)x(un)x('f ⋅⋅= − Veja algumas resoluções: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )35x147x5x'y 5x27x5x7'y 7x5x7x5x7'y :Solução 7x5xy)1 62 62 '262 72 +⋅++= +⋅++⋅= ++⋅++⋅= ++= 53 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14x2x2 2x2 )x('f 14x2x 2x2 2 1 )x('f 2x2 14x2x 1 2 1 )x('f 2x214x2x 2 1 )x('f 14x2x14x2x 2 1 )x('f 14x2x)x(f :Solução 14x2x)x(f)2 2 2 2/12 2/12 '22/12 2/12 2 ++ + = ++ + ⋅= +⋅ ++ ⋅= +⋅++⋅= ++⋅++⋅= ++= ++= − − 2.2 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES PARTICULARES 2.2.1 Derivação de Função Exponencial Formula: auaaf uu ln)(' ' ⋅⋅= Veja algumas resoluções: ( ) ( ) 3ln.3x43'y 3ln1x3x23'y :Solução 3y)1 1x3x2 '21x3x2 1x3x2 2 2 2 +⋅= ⋅++⋅= = ++ ++ ++ 54 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados [ ] ( ) ( ) ( ) 2 1 ln x2 1 2 1 'y 2 1 ln x 1 2 1 2 1 'y 2 1 ln x 1 2 1 2 1 'y 2 1 lnx 2 1 2 1 'y 2 1 lnx 2 1 'y 2 1 lnx 2 1 'y :Solução 2 1 y)2 x x 2 1 x 2 1 x' 2 1 x ' x x ⋅⋅ =⇒ ⋅⋅ =⇒ ⋅⋅ =⇒ ⇒⋅⋅⋅ =⇒⋅ ⋅ =⇒⋅⋅ = = − 2.2.2 Derivação de Função Exponencial de Base e Formula: ( )')(' xexf x ⋅= Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx xx '2xx xx 2 2 2 2 ex2)x('f x2e)x('f xxe)x('f :Solução e)x(f + + + + ⋅= ⋅= +⋅= = 2.2.3 Derivação de um Logaritmo Natural Formula: u u u'f ' = Exemplo: 55 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) 7x3 x6 'y 7x3 '7x3 'y :Solução 7x3lny 2 2 2 2 − = − − = −= 2.2.4 Derivação de Função Logarítmica Formula: ( ) alnu u log'f ' u a ⋅ = Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) 2ln1x7x3 7x6 'y 2ln1x7x3 1x7x3 'y :Solução logy 2 2 '2 1x7x3 2 2 ⋅−+ + = ⋅−+ −+ = = −+ 2.3 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Relações Fundamentais: 'xxCos'y :Solução xSeny)1 ⋅= = 'xxSen'y :Solução xCosy)2 ⋅−= = 'xxSec'y :Solução xTgy)3 2 ⋅= = xsecCos'x'y :Solução xCotgy)4 2⋅−= = xTgxSec'x'y :Solução xSecy)5 ⋅⋅= = xCotgxsecCos'x'y :Solução xsecCosy)6 ⋅⋅−= = Veja algumas resoluções: 56 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( ) 1xTg1xSec 1x2 1 'y 1xTg1xSec 1x 1 2 1 'y 1xTg1xSec 1x 1 2 1 'y 1xTg1xSec1x 2 1 'y 1xTg1xSec1x'y 1xTg1xSec1x'y :Solução 1xSecy)12 1 2 1 ' 2 1 ' −⋅−⋅ − = −⋅−⋅ − ⋅= −⋅−⋅ − ⋅= −⋅−⋅−⋅= −⋅−⋅ −= −⋅−⋅−= −= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4xCotg4xsecCosx2'y 4xCotg4xsecCos4x'y :Solução 4xsecCosy)2 22 22'2 2 +⋅+⋅−= +⋅+⋅+−= += ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x2xsecCos2x3'y x2xsecCos2x3'y x2xsecCosx2x'y :Solução x2xCotgy)3 322 322 32'3 3 −⋅+−= −⋅−−= −⋅−−= −= ( ) ( ) 2 2'2 2'2 2 x3Senx6'y x3Senx3'y x3Senx3'y :Solução x3Cosy)4 ⋅−= ⋅−= ⋅−= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x3Sec1x3Tg9'y 31x3Sec1x3Tg3'y 1x31x3Sec1x3Tg3'y 1x3Tg1x3Tg3'y :Solução 1x3Tgy)5 22 22 '22 '13 3 +⋅+⋅= ⋅+⋅+⋅= +⋅+⋅+⋅= +⋅+⋅= += − 57 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 2.4 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Formulas Fundamental: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sec)5 1 )4 1 )3 1 )2 1 )1 2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' −⋅ − = −⋅ = + = − − = − = uu u uCosarc uu u uSecarc u u uTgarc u u uCosarc u u uSenarc Veja algumas resoluções: ( ) ( ) x1x2 1 y x1 1 x2 1 y x1 x2 1 y x1 x 1 2 1 y x1 x 1 2 1 y x1 x 2 1 y x1 x y x1 x y :Solução xSenarcy)1 ''' ' 2 1 ' 2 1 ' ' 2 1 ' 2 ' ' −⋅ =⇒ − ⋅=⇒ − =⇒ ⇒ − ⋅ =⇒ − ⋅ =⇒ − ⋅ =⇒ − =⇒ − = = − ( ) ( ) ( )4 22 '2 2 x1 x2 'y x1 x 'y :Solução xTgarcy)2 + = + = = 58 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 2.5 DERIVAÇÕES DE ORDEM SUCESSIVAS Veja algumas resoluções: 2.6 DERIVAÇÕES HÍBRIDAS 2.6.1 Envolvendo Regra da Potência e Quociente Veja algumas resoluções: 0y 360y x360y x180y 16x60y x16x15y :Solução 6n,x8x3y)1 '''''' ''''' '''' 2''' 3'' 4' 25 = = = = += += =+= 2 x '''2 x ''' ' 2 x '''2 x '' 2 x '' ' 2 x '' 2 x ' 2 x ' ' 2 x ' 2 x e 8 1 ye 2 1 4 1 y x 2 1 e 4 1 ye 4 1 y e 2 1 2 1 y x 2 1 e 2 1 y e 2 1 y ey 2 x ey :Solução 3n,ey)2 ⋅=⇒⋅⋅=⇒ ⇒ ⋅⋅⋅=⇒⋅= ⋅⋅= ⋅⋅⋅= = ⋅= ⋅= == ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ⋅ + + ⋅= + −−+ ⋅ + + ⋅= + ⋅+−+⋅ ⋅ + + ⋅= + +⋅+−+⋅+ ⋅ + + ⋅= + + ⋅ + + ⋅= + + = 2 4 2 4 2 4 2 ''4 '4 5 1x 1 1x 2x3 5'y 1x 2x33x3 1x 2x3 5'y 1x 12x31x3 1x 2x3 5'y 1x 1x2x31x2x3 1x 2x3 5'y 1x 2x3 1x 2x3 5'y :Solução 1x 2x3 y)1 59 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )62 22423232 232 22423232 232 '22242'23232 232 '3242'4232 32 42 xx2 3x12xx2x3x512x40x3x5xx2 )x('f xx2 1x4xx23x3x53x10x3x54xx2 )x('f xx2 xx2xx23x3x5x3x5x3x54xx2 )x('f xx2 xx2x3x5x3x5xx2 )x('f :Solução xx2 x3x5 )x(f)2 + +⋅+⋅+−+⋅+⋅+ = + +⋅+⋅⋅+−+⋅+⋅⋅+ = + +⋅+⋅⋅+−+⋅+⋅⋅+ = + +⋅+−+⋅+ = + + = 2.6.2 Envolvendo Regra da Potência e Produto Veja algumas resoluções: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x21x2x21x3xx1x3x18'y x21xx21x3xxx61x33'y xxxx21x3xx1x31x33'y xx1x3xx1x3'y :Solução xx1x3y)1 2322222 2322222 '223222'222 '223222'32 2232 −⋅−⋅++−⋅+⋅= −⋅−⋅⋅++−⋅⋅+⋅= −⋅−⋅⋅++−⋅+⋅+⋅= −⋅++−⋅+= −⋅+= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12x40x3x5)xx2()3x12()xx2(x3x5)x('f 3x10x3x54)xx2()1x4()xx2(3x3x5)x('f 'x3x5x3x54)xx2()'xx2()xx2(3x3x5)x('f 'x3x5)xx2(')xx2(x3x5)x('f :Solução )xx2(x3x5)x(f)2 32322242 32322242 2323222242 42323242 3242 +⋅+⋅+++⋅+⋅+= +⋅+⋅⋅+++⋅+⋅⋅+= +⋅+⋅⋅+++⋅+⋅⋅+= +⋅+++⋅+= +⋅+= 60 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados 2.6.3 Envolvendo Regra do Quociente e Função Exponencial na base e Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − ⋅=⇒ − −−− ⋅=⇒ − ⋅+−−⋅ ⋅= ⋅ − −⋅+−−⋅+ ⋅= ⋅ − + ⋅= = − + − + − + − + − + − + 2 1x 1x 2 1x 1x 2 1x 1x 2 '' 1x 1x ' 1x 1x 1x 1x 1x 2 e'y 1x 1x1x e'y 1x 11x1x1 e'y 1 1x 1x1x1x1x e'y eln 1x 1x e'y :Solução ey 2.6.4 Envolvendo Regra do Produto e Função Exponencial na base e Exemplo: ( ) ( ) ( )1xlne'y x 1 xxlne'y x x xxln1e'y 1xlnxxlnxe'y elnxlnxe'y :Solução ey xlnx xlnx ' xlnx ''xlnx 'xlnx xlnx +⋅= ⋅+⋅= ⋅+⋅⋅= ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2.6.5 Envolvendo Logaritmo Natural e Regra do Quociente Exemplo: 61 Marcelo Santos Chaves CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos e Comentados ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )1x x 'y e 1x 1x 11xe 'y 1x e 1x 11xe 'y 1x e 1x e1xe 'y 1x e 1x 1e1xe 'y 1x e 1x 1xe1xe 'y 1x e 1x e 'y :Solução 1x e lny x2 x x 2 x x 2 xx x 2 xx x 2 'x'x x ' x x + =⇒ + ⋅ + −+⋅ =⇒ ⇒ + + −+⋅ =⇒ + + −+⋅ =⇒ + + ⋅−+⋅ =⇒ ⇒ + + +⋅−+⋅ =⇒ + + = + = 2.6.6 Envolvendo Funções Trigonométricas e Regra do Quociente Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x4Sen1 4 'y x4Sen1 1x4Sen4 'y x4Sen1 14x4Sen4 'y x4Sen1 x4Cosx4Sen4x4Sen4 'y x4Sen1 x4Cos4x4Sen4x4Sen4 'y x4Sen1 x4Cosx4Cos4x4Sen1x4Sen4 'y x4Sen1 x4Cosx4x4Cosx4Sen1x4Senx4 'y x4Sen1 x4Sen1x4Cosx4Sen1x4Cos 'y :Solução x4Sen1 x4Cos y 2 2 2 22 2 22 2 2 '' 2 '' − = − +−⋅ = − ⋅+⋅− = − +⋅+⋅− = − ⋅+⋅+⋅− = − ⋅⋅+−⋅⋅− = − ⋅−⋅−−⋅⋅− =
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