Cálculo I Limites, Derivadas e Integrais (Exercicios Resolvidos e Comentados)

Prévia do material em texto

CAPA DO LIVRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
ISBN-13: 978-84-16036-29-5 
Nº Registro: 201421493 
 
http://www.eumed.net/libros-gratis/2014/1371/index.htm 
 
 
 
 
 
Editado por la Fundación Universitaria Andaluza Inca Garcilaso 
para eumed.net Derechos de autor protegidos. Solo se permite 
la impresión y copia de este texto para uso personal y/o 
académico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Málaga-Espanha 
Março 2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C512c Chaves, Marcelo Santos 
Cálculo I: Limites, Derivadas e Integrais (exercícios resolvidos e 
comentados). 
 
93p. :il. Color. ; 21x30 cm. 
Inclui referências 
ISBN-13: 978-84-16036-29-5 
 
1. Matemática. 2. Cálculo Diferencial e Integral. 3. Exercícios. 4. I. 
Título. 
 
CDD 510 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A modesta contribuição que aqui 
segue transcrita dedico ao infinito 
Deus que nos concedeu o dom da 
vida e ao meu paizinho e professor 
Otávio, in memoriam, pela 
intransigência e perseverança na 
moldagem de minha educação e 
qualificação acadêmica. Que este 
livro seja a expressão do profundo 
amor que nos une, nesta vida e na 
outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EPÍGRAFES 
 
 
“Se eu enxerguei mais longe, foi por 
estar de pé sobre ombros de 
gigantes.” 
sir Isaac Newton 
 
"Um nome pode permitir que sejas 
lembrado, mas apenas as ideias o 
tornaram um imortal.” 
Marcelo Santos Chaves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
No Brasil as evidencias quanto ao fracasso na disciplina de Cálculo Diferencial 
e Integral (CDI) são elevadas, causando visíveis prejuízos no aproveitamento 
de discentes da área das ciências exatas, ao ponto de conduzi-los a 
sucessivas reprovações ou até mesmo ocasionando o seu jubilamento 
(desligamento compulsório do curso). Essas são as conclusões de Bressan 
(2009), Rezende (2003), Frota (2001), Baruffi (1999) entre outros. Face a este 
cenário desfavorável na práxis do ensino superior, um dos grandes desafios na 
área de ciências exatas atualmente é, sem sombra de dúvidas, encontrar 
formas de superar o fracasso no ensino do Cálculo. E é sob tal motivação que 
o presente trabalho se propõe a constituir-se em um escopo sistemático de 
técnicas de resolução de problemas sobre Limites, Derivadas e Integrais, 
ambicionando uma ilustração didática e objetiva capaz de transpor o 
conhecimento cientificopara um conhecimento capaz de tornar-se efetivamente 
ensinável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRESENTATION 
 
In Brazil the evidence about the failure in the discipline of Differential and 
Integral Calculus (CDI) are generally high, causing visible damage in the 
exploitation of students in the area of exact sciences, to the point of leading 
them to successive failures or even causing the your jubilamento (off course). 
These are the findings of Bressan (2009), Rezende (2003), Frota (2001), Baruffi 
(1999) among others. Against this unfavorable scenario in the praxis of higher 
education a major challenge in the field of exact sciences is currently without a 
doubt, find ways to overcome failure in the teaching of calculus. And under such 
motivation is that this paper proposes to form themselves into a systematic 
scope of technical troubleshooting on Limits, Derivatives and Integrals, coveting 
a didactic illustration and objectively able to translate scientific knowledge into a 
knowledge capable of making be effectively taught. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRESENTACIÓN 
 
En Brasil, la evidencia sobre el fracaso en la disciplina de Cálculo Diferencial e 
Integral (CDI) son generalmente altos , causando daños visibles en la 
explotación de los estudiantes en el área de las ciencias exactas , hasta el 
punto de llevarlos a los sucesivos fracasos o incluso causar la Su jubilamento 
(por supuesto) . Estas son las conclusiones de Bressan (2009), Rezende 
(2003), Frota (2001), Baruffi (1999) entre otros. Frente a este escenario 
desfavorable en la praxis de la educación superior un gran reto en el campo de 
las ciencias exactas es actualmente , sin duda , encontrar la manera de superar 
el fracaso en la enseñanza del cálculo . Y bajo esa motivación es que este 
trabajo se propone constituirse en un ámbito de aplicación sistemática de la 
solución de problemas técnicos de límites, derivadas e integrales , codiciar una 
ilustración didáctica y objetivamente capaces de traducir el conocimiento 
científico en un saber capaz de hacer enseñar con eficacia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
Um pouco sobre História do Cálculo............................................................................... 11 
Capitulo I – Estudo dos Limites....................................................................................... 12 
1. Limites e Continuidades................................................................................................ 13 
1.1 Limites Laterais............................................................................................................ 20 
1.2 Limites no Infinito e Limites Infinitos......................................................................... 27 
1.2.1 Limites no Infinito....................................................................................................... 27 
1.2.2 Limites Infinitos......................................................................................................... 32 
1.3 Limites Exponenciais................................................................................................... 34 
1.4 Limites Trigonométricos.............................................................................................. 40 
Capitulo II – Estudo das Derivadas.................................................................................. 49 
2. Derivada de uma Função............................................................................................... 50 
2.1 Regras de Derivação.................................................................................................... 50 
2.1.1 Derivação pela Regra do Produto................................................................................ 50 
2.1.2 Derivação pela Regra do Quociente............................................................................. 51 
2.1.3 Derivação pela Regra da Potência............................................................................... 52 
2.2 Derivação de Funções Particulares................................................................................... 53 
2.2.1 Derivação de Função Exponencial............................................................................... 53 
2.2.2 Derivação de Função Exponencial de Base e............................................................... 54 
2.2.3 Derivação de um Logaritmo Natural............................................................................. 54 
2.2.4 Derivação de Função Logarítmica................................................................................55 
2.3 Derivação de Funções Trigonométricas.................................................................... 55 
2.4 Derivação de Funções Trigonométricas Inversas..................................................... 57 
2.5 Derivações de Ordem Sucessivas.............................................................................. 58 
2.6 Derivações Híbridas..................................................................................................... 58 
2.6.1 Envolvendo Regra da Potência e Quociente................................................................ 58 
2.6.2 Envolvendo Regra da Potência e Produto.................................................................... 59 
2.6.3 Envolvendo Regra do Quociente e Função Exponencial na base e................................ 60 
2.6.4 Envolvendo Regra do Produto e Função Exponencial na base e.................................. 60 
2.6.5 Envolvendo Logaritmo Natural e Regra do Quociente.................................................... 60 
2.6.6 Envolvendo Funções Trigonométricas e Regra do Quociente ...................................... 61 
2.6.7 Envolvendo Funções Trigonométricas e Regra do Logaritmo Natural............................ 62 
2.6.8 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Composta............... 62 
2.6.9 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Potência................. 63 
2.6.10 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra do Logaritmo Natural............. 63 
2.6.11 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Exponencial......... 63 
2.6.12 Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas e Regra da Função Composta............. 64 
Capitulo III – Estudo das Integrais.................................................................................... 65 
 
 
3.Integrais Indefinidas....................................................................................................... 66 
3.1 Regras de Integração................................................................................................... 66 
3.1.1 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo........................................................................ 66 
3.1.2 Para uma Função Exponencial....................................................................................
 
66 
3.1.3 Para uma Função Exponencial de basee................................................................................. 66 
3.1.4 Para Deslocamento de uma Constante........................................................................ 67 
3.1.5 Para uma Função Logaritmo Natural............................................................................ 67 
3.1.6 Para uma Soma e Subtração....................................................................................... 67 
3.1.7 Veja algumas Resoluções........................................................................................... 68 
3.2 Técnicas de Integração................................................................................................ 69 
3.2.1 Método da Substituição............................................................................................... 69 
3.2.2 Método Integração por Partes...................................................................................... 70 
3.2.2.1 Obtenção de Formulas de Redução....................................................................... 71 
3.2.3 Aplicações envolvendo as Técnicas de Integração....................................................... 73 
Referências Bibliográficas................................................................................................ 89 
Apêndices............................................................................................................................ 90 
Apêndice A: Tabela de Identidades Trigonométricas......................................................... 91 
Apêndice B: Tabela de Derivadas Usuais.......................................................................... 92 
Apêndice C: Tabela de Integrais......................................................................................... 93 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
UM POUCO SOBRE A HISTORIA DO CALCULO 
 
É bastante comum nos depararmos com literaturas que ratificam um 
entendimento. O de que sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm 
Leibniz (1646-1716) foram oscriadores do Cálculo Diferencial e Integral (CDI). 
Mas será possível tomar ao pé da letra 
tal assertiva enquanto verdade? Stewart 
(2010), por exemplo, pontifica que as 
ideias fundamentais por trás da 
integração foram examinadas há pelo 
menos 2500 anos pelos antigos gregos, 
tais como Eudóxio e Arquimedes. Além 
disso, assim como Alarcón et. al 
(2005), sabemos que os métodos para encontrar as tangentes foram criadas, 
entre outros, por Pierre de Fermat (1601-1665) e Isaac Barrow (1630-1677). Da 
mesma forma, concordamos com Almeida (2003) na 
constatação de que Barrow, na condição de professor 
em Cambridge que exerceu grande influência sobre 
Newton, foi o pioneiro no entendimento quanto à 
existência de uma relação inversa entre a derivação e 
a integração. Assim, concluímos que, o que Newton e 
Leibniz fizeramnão tratou-se de uma criação genuína 
na acepção da palavra, e sim utilizaram a relação 
descoberta por Barrow, para constituírem o Teorema Fundamental do Cálculo, 
e assim desenvolver o CDI enquanto disciplina matemática sistemática e 
ensinável. Portanto, é sob estes termos e ressalvas que atribuímos a Newton e 
a Leibniz a primazia no desenvolvimento do CDI. 
 
 
 
 
 
 
sir Isaac Newton 
Isaac Barrow 
12 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO I 
ESTUDO DOS LIMITES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
1. LIMITES E CONTINUIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x2
x
)x(fLim
x4
x2
)x(fLim
x2
x2
x2
1
)x(fLim
x2
1
)x(fLim
xx
1
)x(fLim
x0x
1
Lim)x(fLim
xex
1
Lim)x(fLim
xexe
e
Lim)x(fLim
xexe
xex
Lim)x(fLim
xexe
xex
Lim)x(fLim
xex
xex
e
xex
Lim)x(fLim
:Solução
e
xex
)x(fLim)2
0e
0e
0e
0e
0e
0e0e
0e0e
0e0e
0e0e
22
0e0e
0e0e
0e
=
=
⋅=
=
×
=
×+
=
×+
=
×+×
=
×+×
−+
=
×+×
−+
=






++
++
×




 −+
=
−+
=
→
→
→
→
→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
1)(
111)(
1)(
1
1)1(
)(
1
1
)(
1
1
)(
:
1
1
)()1
1
2
1
2
11
2
11
3
11
3 3
3
11
3
31
=
++=
++=
−
++⋅−
=
−
−
=
−
−
=
=→
−
−
=
→
→
→→
→→
→→
→→
→
ufLim
ufLim
uuLimufLim
u
uuu
LimufLim
u
u
LimufLim
u
u
LimufLim
xuFaça
Solução
x
x
xfLim
u
u
uu
uu
uu
uu
x
14 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
6)(
1
23
)(
1
111111
)(
1
)(
1
11
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
:
1
)()3
1
1
2
2
1
2
2
11
2
2
11
32
3
11
2
2
3
11
3
11
3
11
3
3
11
3
311
−=
×
−=
−
+⋅++
=
−
+⋅++
=
−⋅−
+⋅++⋅−
=
−
+⋅−
=
−
+⋅−
=
+
+
⋅
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=→
−
−
=
→
→
→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
ufLim
ufLim
ufLim
u
uuuuu
LimufLim
uu
uuuuuu
LimufLim
uu
uuuu
LimufLim
uuu
uuuu
LimufLim
uuu
uuu
uuu
u
LimufLim
uuu
u
LimufLim
uu
u
LimufLim
uxFaça
Solução
xx
x
LimxfLim
u
u
u
uu
uu
uu
uu
uu
uu
uu
xx
( )
( ) ( )
( )
1)(
111
1
)(
1
1
)(
11
1
)(
1
1
)(
11
:
11
)()4
0
2
0
2
00
200
300
33
3
00
=
++
=
++
=
++⋅−
−
=
−
−
=
−=⇔+=→
−+
=
→
→
→→
→→
→→
→→
ufLim
ufLim
uu
LimufLim
uuu
u
LimufLim
u
u
LimufLim
uxxuFaça
Solução
x
x
LimxfLim
u
u
uu
uu
uu
xx
15 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
6
3
)(
34
32
)(
32
32
32
1
)(
33
1
)(
330
1
)(
33
1
)(
33
)(
33
33
)(
33
33
)(
33
3333
)(
:
33
)()5
0
00
0
0
00
00
00
22
00
00
00
=
×
=⇒⋅=
+
=
++
=
++
=
++⋅
=
++⋅
−+
=
++⋅
−+
=
++
++
⋅
−+
=
−+
=
→
→→
→
→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLimxfLim
xfLim
xfLim
x
LimxfLim
xx
x
LimxfLim
xx
x
LimxfLim
xx
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
Solução
x
x
LimxfLim
x
xx
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
( )[ ]
( )
−∞=
∞−
=
⋅+
∞+⋅−⋅
=





 ⋅+





 −⋅
=





 +⋅





 −⋅
=
+
−
=
+
−
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
)(
8
)(
028
305
)(
1
28
3
1
5
)(
2
8
3
5
)(
28
35
)(
:
28
35
)()6
2
2
2
3
3
xfLim
xfLim
xfLim
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
Solução
x
x
LimxfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
16 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
7
5
)(
037
025
)(
1
37
1
25
)(
3
7
2
5
)(
37
25
)(
:
37
25
)()7
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
−
=
⋅+
⋅−−
=





 ⋅+





 ⋅−−
=





 +⋅





 −⋅−
=
+
+−
=
+
+−
=
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLim
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
Solução
x
x
LimxfLim
x
x
xx
xx
xx
xx
1)(
1
1
)(
01
01
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
)(
:
1
1
)()8
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
+
+
=





 +





 +
=





 +⋅













 +⋅
=





 +⋅





 +⋅
=





 +⋅





 +⋅
=
+
+
=
+
+
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLim
xfLim
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
Solução
x
x
LimxfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
17 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( ) ( )
( )
0)(
2
0
)(
11
0
)(
0101
02
)(
1
1
1
1
1
2
)(
1
1
1
1
2
)(
1
1
1
1
2
)(
1
1
1
1
11
)(
1
1
1
1
11
)(
1
1
1
1
11
)(
11
11
11)(
:
11)()9
22
22
22
22
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
22
22
=
=
+
=
−++
⋅
=
−++
⋅
=








−++⋅
=








−++⋅
=








−⋅+







+⋅
+−+
=
−⋅++⋅
−−+
=





 −⋅+




 +⋅
−−+
=
−++
−++
⋅−−+=
−−+=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLim
xfLim
xfLim
xx
xLimxfLim
x
xx
x
xLimxfLim
xx
x
LimxfLim
x
x
x
x
xx
LimxfLim
x
x
x
x
xx
LimxfLim
x
x
x
x
xx
LimxfLim
xx
xx
xxLimxfLim
Solução
xxLimxfLim
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
18 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )[ ] ( )( )
( )[ ] ( )
( )
( )
2
1
)(
11
1
)(
101
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
)(
1
1
)(
1
1
)(
1
1
1
)(
1
1
)(
1
1
1)(
1)(
1)(
:
1)()10
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
424
2
2
422
22
22
2
2
22
22
22
22
2
2
−=
⇒
+
−
=⇒
+−
−
=⇒
+−
−
=⇒
⇒
+







−⋅
−
=⇒
+
−⋅
−
=⇒
⇒
+





 −⋅
−
=⇒
+
−
−
=








+
−
⋅
−
=








+
−
⋅
−−
=








+
−
⋅
−⋅−
=
+⋅−
−⋅−
=
+⋅−
+⋅−
⋅−⋅−=
−⋅−=
−−=
−−=
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLimxfLim
x
LimxfLim
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
xxx
LimxfLim
x
x
x
xxx
LimxfLim
xxx
xxx
LimxfLim
xxx
xxx
xxxLimxfLim
xxxLimxfLim
xxxLimxfLim
Solução
xxxLimxfLim
x
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
19 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+∞=
∞+
=
−
−∞+
=
−
−
=





 −⋅




 −⋅
=
−
−
=
−
−⋅
=
−
−
=
=→
−
−
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
)(
3
)(
03
0
)(
1
3
1
)(
1
3
1
)(
13
1
)(
13
1
)(
13
1
)(
:
13
1
)()11
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
22
2
xfLim
xfLim
xfLim
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
xx
LimxfLim
x
x
LimxfLim
x
xx
LimxfLim
x
xx
LimxfLim
xvFaça
Solução
v
vv
LimvfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
vv
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
3
8
)x(fLim
12
32
)x(fLim
444
148
)x(fLim
4222
12242
)x(fLim
4x2x
12x4x
Lim)x(fLim
4x2x2x
12x2x4x
Lim)x(fLim
2x2x2x
12x4x
Lim)x(fLim
2x
14x4x
Lim)x(fLim
8x
14x
Lim)x(fLim
1
1
x8
16x
Lim)x(fLim
x8
16x
Lim)x(fLim
:Solução
x8
16x
Lim)x(fLim)12
2x
2x
2x
2
2
2x
2
2
2x2x
2
2
2x2x
22
222
2x2x
33
22
2x2x
3
222
2x2x
3
4
2x2x
3
4
2x2x
3
4
2x2x
−=
−
=
++
−××
=
+⋅+
−⋅+⋅+
=
++
−⋅+⋅+
=
++⋅−
−⋅−⋅+⋅+
=
++⋅−
−⋅−⋅+
=
−
−⋅−⋅+
=
−
−⋅−
=
−
−
⋅
−
−
=
−
−
=
−
−
=
→
→
→
→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
20 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 LIMITES LATERAIS 
 
1) Dado 





>−
=−
<−
=
1,3
1,1
1,4
)(
2
xsex
xse
xsex
xf , calcule os limites das funções e esboce o 
gráfico. 
 
Solução: 
 
3414)( 22
11
−=−=−=
−− →→
xLimxfLim
xx 
2133)(
11
=−=−=
++ →→
xLimxfLim
xx 
Existe Não )( Então ),()( :Como
111
=≠
→→→ −+
xfLimxfLimxfLim
xxx
 
 
Agora vamos estabelecer os pontos: 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
3
2
)t(fLim
111
11
)t(fLim
1tt
1t
Lim)t(fLim
1t1t1t
1t1t
Lim)t(fLim
1t
1t
Lim)t(fLim
1t
1t
Lim)t(fLim
1t
1t
Lim)t(fLim
txFaça
:Solução
1x
1x
Lim)x(fLim)13
1t
21t
21t1t
221t1t
33
22
1t1t
3
2
1t1t
6
3 6
1t1t
6
3
1x1x
=
++
+
=
++
+
=
+⋅+⋅−
−⋅+
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=→
−
−
=
→
→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
21 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
-3 
-4 
 
 
 
 
 
 
 
Esbouço do Gráfico (Ráio x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
4
4
04
4)(
2
2
2
±=
=
=
=−
→−=
x
x
x
x
Parábolaxxf





→>−
−→=−
−→<−
=
)2,1(1,3
)1,1(1,1
)3,1(1,4
)(
2
xsex
xse
xsex
xf
3
03
3)(
=
=−
→−=
x
x
retaxxf
2 
1 2 3 
3 
y 
x 
-1 
-2 
22 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
-2 
2/3 
2) Dado 





<+
=
>−
=
1,14
1,2
1,23
)(
xsex
xse
xsex
xf , calcule os limites das funções e esboce o 
gráfico. 
 
Solução: 
 
121323)(
11
=−⋅=−=
++ →→
xLimxfLim
xx
 
511414)(
11
=+⋅=+=
−− →→
xLimxfLim
xx 
Existe Não )( Então ),()( :Como
111
=≠
→→→ −+
xfLimxfLimxfLim
xxx
 
 
Vamos estabelecer os pontos: 
 
 
 
 
 
 
 
Esbouço do Gráfico (Raio x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
2
023
23)(
=
=−
→−=
x
x
retaxxf





→<+
→=
→>−
=
)5,1(1,14
)2,1(1,2
)1,1(1,23
)(
xsex
xse
xsex
xf
4
1
014
14)(
−=
=+
→+=
x
x
retaxxf
1 
1 
2 
y 
x 
-1/4 
5 
23 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
3 
3) Dado 





>−
=
<+
=
2,9
2,2
2,1
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf , calcule os limites das funções e esboce o 
gráfico. 
 
Solução: 
 
5299)( 22
22
=−=−=
++ →→
xLimxfLim
xx
 
5121)( 22
22
=+=+=
−− →→
xLimxfLim
xx 
5 )( Então ),()( :Como
222
==
→→→ −+
xfLimxfLimxfLim
xxx
 
 
Vamos estabelecer os pontos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esbouço do Gráfico (Raio x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
função para raízes há Não
1
01
1)(
2
2
∃=
−=
=+
→+=
x
x
x
Parábolaxxf





→>−
→=
→<+
=
)5,2(2,9
)2,2(2,2
)5,2(2,1
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf
3
9
09
9)(
2
2
±=
=
=−
→−=
x
x
x
Parábolaxxf
1 
2 
2 
y 
x 
5 
24 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
4) Dado 



>−
≤−
=
3,73
3,1
)(
xx
xx
xf , calcule os limites abaixo e esboce o gráfico. 
 
).x(fLim)f);x(fLim)c
);x(fLim)e);x(fLim)b
);x(fLim)d);x(fLim)a
5x3x
5x3x
5x3x
→→
→→
→→
++
−−
 
Solução: 
 
2)x(fLim:temos),x(fLim)x(fLimSeja
)x(fLim)c
2)x(fLim
733)x(fLim
7x3Lim)x(fLim)b
2)x(fLim
13)x(fLim
1xLim)x(fLim)a
3x3x3x
3x
3x
3x
3x3x
3x
3x
3x3x
==
=
−⋅=
−=
=
−=
−=
→→→
→
→
→
→→
→
→
→→
+−
+
+
++
−
−
−−
 
 
Nas alternativas a seguir veja que para )(
5
xfLim
x→
, temos x para valores maiores 
que 3, pois sua tendência é 5, logo, somente a função 73 −x satisfaz )(
5
xfLim
x→
, 
pois sua restrição é definida para 3>x . Façamos então: 
 
25 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
8)x(fLim:temos),x(fLim)x(fLimSeja
)x(fLim)f
8)x(fLim
753)x(fLim
7x3Lim)x(fLim)e
8)x(fLim
753)x(fLim
7x3Lim)x(fLim)d
5x5x5x
5x
5x
5x
5x5x
5x
5x
5x5x
==
=
−⋅=
−=
=
−⋅=
−=
→→→
→
→
→
→→
→
→
→→
+−
+
+
++
−
−
−−
 
 
Esbouço do Gráfico: 
 
Vamos estabelecer os pontos para 3→x : 
 
 



→>−
→≤−
=
)2,3(3,73
)2,3(3,1
)(
xx
xx
xf 
 
 
 
 
Vamos estabelecer os pontos para 5→x : 
 




→>−
→>−
=
+
−
→
→
)(/),8,5(3,73
)(/),8,5(3,73
)(
5
5
xfLimpxx
xfLimpxx
xf
x
x
 
 
Daí ilustramos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
01
1)(
=
=−
→−=
x
x
retaxxf
3
7
73
073
73)(
=
=
=−
→−=
x
x
x
retaxxf
26 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
1.2 LIMITES NO INFINITO E LIMITESINFINITOS 
 
1.2.1 Limites no Infinito 
 
Se “n” é um número inteiro positivo, então: 
 
0
x
1
Lim)II
0
x
1
Lim)I
nx
nx
=
=
−∞→
+∞→
 
 
As expressões ∞∞∞×∞−∞
∞
∞
1,,0,0,,,
0
0 00
 
são todas indeterminações. 
 
 
Veja algumas resoluções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )[ ]
( )
−∞=
∞−
=
⋅+
∞+⋅−⋅
=





 ⋅+





 −⋅
=





 +⋅





 −⋅
=
+
−
=
+
−
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
)(
8
)(
028
305
)(
1
28
3
1
5
)(
2
8
3
5
)(
28
35
)(
:
28
35
)()1
2
2
2
3
3
xfLim
xfLim
xfLim
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
Solução
x
x
LimxfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
( )
( )
7
5
)(
037
025
)(
1
37
1
25
)(
3
7
2
5
)(
37
25
)(
:
37
25
)()2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
−
=
⋅+
⋅−−
=





 ⋅+





 ⋅−−
=





 +⋅





 −⋅−
=
+
+−
=
+
+−
=
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLim
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
Solução
x
x
LimxfLim
x
x
xx
xx
xx
xx
28 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1)(
1
1
)(
01
01
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
)(
:
1
1
)()3
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
+
+
=





 +





 +
=





 +⋅













 +⋅
=





 +⋅





 +⋅
=





 +⋅





 +⋅
=
+
+
=
+
+
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLim
xfLim
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
Solução
x
x
LimxfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
29 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( ) ( )
( )
0)(
2
0
)(
11
0
)(
0101
02
)(
1
1
1
1
1
2
)(
1
1
1
1
2
)(
1
1
1
1
2
)(
1
1
1
1
11
)(
1
1
1
1
11
)(
1
1
1
1
11
)(
11
11
11)(
:
11)()4
22
22
22
22
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
22
22
=
=
+
=
−++
⋅
=
−++
⋅
=








−++⋅
=








−++⋅
=








−⋅+







+⋅
+−+
=
−⋅++⋅
−−+
=





 −⋅+




 +⋅
−−+
=
−++
−++
⋅−−+=
−−+=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLim
xfLim
xfLim
xx
xLimxfLim
x
xx
x
xLimxfLim
xx
x
LimxfLim
x
x
x
x
xx
LimxfLim
x
x
x
x
xx
LimxfLim
x
x
x
x
xx
LimxfLim
xx
xx
xxLimxfLim
Solução
xxLimxfLim
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
30 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )[ ] ( )( )
( )[ ] ( )
( )
( )
2
1
)(
11
1
)(
101
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
1
)(
1
1
)(
1
1
)(
1
1
1
)(
1
1
)(
1
1
1)(
1)(
1)(
:
1)()5
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
424
2
2
422
22
22
2
2
22
22
22
22
2
2
−=
⇒
+
−
=⇒
+−
−
=⇒
+−
−
=⇒
⇒
+







−⋅
−
=⇒
+
−⋅
−
=⇒
⇒
+





 −⋅
−
=⇒
+
−
−
=








+
−
⋅
−
=








+
−
⋅
−−
=








+
−
⋅
−⋅−
=
+⋅−
−⋅−
=
+⋅−
+⋅−
⋅−⋅−=
−⋅−=
−−=
−−=
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
xfLim
xfLimxfLim
x
LimxfLim
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
x
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
xxx
LimxfLim
x
x
x
xxx
LimxfLim
xxx
xxx
LimxfLim
xxx
xxx
xxxLimxfLim
xxxLimxfLim
xxxLimxfLim
Solução
xxxLimxfLim
x
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
31 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+∞=
∞+
=
−
−∞+
=
−
−
=





 −⋅





 −⋅
=
−
−
=
−
−⋅
=
−
−
=
=→
−
−
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
)(
3
)(
03
0
)(
1
3
1
)(
1
3
1
)(
13
1
)(
13
1
)(
13
1
)(
:
13
1
)()6
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
22
2
xfLim
xfLim
xfLim
x
x
x
LimxfLim
x
x
x
xx
LimxfLim
x
x
LimxfLim
x
xx
LimxfLim
x
xx
LimxfLim
xvFaça
Solução
v
vv
LimvfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
vv
+∞=
∞+
=
+
+∞+
=





 ⋅+⋅





 ⋅+⋅
=





 +⋅





 +⋅
=
+
+
=
+
+
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→
)(
1
)(
01
0
)(
1
28
1
3
)(
2
8
3
)(
2
3
)(
:
2
3
)()7
2
2
xfLim
xfLim
xfLim
x
x
x
xx
LimxfLim
x
x
x
xx
LimxfLim
x
x
LimxfLim
Solução
x
x
LimxfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
32 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
1.2.2 Limites Infinitos 
 
Se “n” é um número inteiro positivo qualquer, então: 
 
 



∞−
∞+
=
+∞=
−
+
→
→
ímparé"n"se,
paré"n"se,
x
1
Lim)II
x
1
Lim)I
n
0x
n
0x
 
 
As expressões ∞∞∞×∞−∞
∞
∞
1,,0,0,,,
0
0 00 são todas indeterminações. 
 
 
Veja algumas resoluções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+∞=
∞++=
++=





 ++=





 ++=
→
→
→→→→
→→
→→
)(
00)(
1
)(
1
)(
:
1
)()1
0
0
00
3
00
3
00
3
00
xfLimxfLim
x
LimxLimxLimxfLim
x
xxLimxfLim
Solução
x
xxLimxfLim
x
x
xxxx
xx
xx
+∞=
=
=
=



<−
≥
=
+
++
++
++
++
→
→→
→→
→→
→→
)(
1
)(
)(
)(
0,
0,
:
:
)()2
0
00
2
00
2
00
2
00
xfLim
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
xsex
xsex
xCondição
Solução
x
x
LimxfLim
x
xx
xx
xx
xx
33 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
-1 
-1/2 
1 2 
y 
x 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Na figura abaixo está esboçado o gráfico de uma função )(xfy = . Complete 
as igualdades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
∞+=
∞−−=
−=
−
=
=
=
−
−
−−
−−
−−
−−
→
→
→→
→→
→→
→→
)(
)(
: temosímpar, é x de exponte o Como
1
)(
)(
)(
:
)()3
0
0
1
00
2
00
2
00
2
00
xfLim
xfLim
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
x
x
LimxfLim
Solução
x
x
LimxfLim
x
x
xx
xx
xx
xx
∞−=−=−=−=
=∞+=−=∞−=
−∞→+∞→→→
→→→→
+−
+−+−
)x(fLim)h
2
1
)x(fLim)g1)x(fLim)f1)x(fLim)e
0)x(fLim)d)x(fLim)c
2
1
)x(fLim)b)x(fLim)a
xx0x0x
2x2x1x1x
34 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
1.3 LIMITES EXPONENCIAIS 
 
Relação Fundamental: 
e
x
Lim
x
x
=




 +
∞→
1
1 
 
Inversão de variável: 
 
Se 
y
1
x = 
 
Então ( ) ey1Lim y
1
0y
=+
→
 
 
 
Artifícios de auxilio: 
 
ak
x
a
Lima
x
a
Lim
xk
x
x
x
ln
1
ln
1
00
⋅=
−
⇔=
− ⋅
→→ 
 
( ) l
l
⋅
→
=+ ky
y
ekyLim 1
0 
 
l
l
⋅
⋅
∞→
=




 + k
x
x
e
x
k
Lim 1
 
 
 
Veja algumas resoluções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
eyfLim
e
yfLim
e
yfLim
y
LimLim
y
LimLim
yfLim
y
y
LimyfLim
y
y
LimyfLim
y
y
LimyfLim
y
y
LimyfLim
n
n
LimxfLim
y
n
y
n
y
nFaça
Solução
n
n
LimxfLim
yyy
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yy
y
yy
y
yy
y
yy
n
xx
n
nn
−=⇒
−⋅
⋅
=⇒





 −
∞
⋅
⋅
=






−⋅






+⋅
=






−⋅






+⋅
=












−
+
=












−−
+−
=














−





−⋅
+





−⋅
=






−
+
=



∞→∴∞=+∞
∞→
∴−=∴=+






−
+
=
∞→∞→
∞
∞→
∞→∞→
∞→∞→
∞→
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
+
∞→∞→
+
∞→∞→
)(
11
1
)(
1
1
2
2
)(
1
1
2
1
1
2
)(
3
1
2
1
1
2
)(
3
2
1
2
)(
12
2
32
2
)(
11
1
2
31
1
2
)(
12
32
)(
1
1
11
1:
:
12
32
)()1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
36 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
2)y(fLim
11)y(fLim
y1Lim)y(fLim
xTg
1
1Lim)x(fLim
1y1
2
Tg
2
x
y
1
xTgy
xTg
1
:Faça
:Solução
xTg
1
1Lim)x(fLim)2
1y
1
1
1y
y
1
1y1y
xTg
2
x
2
x
xTg
2
x
2
x
=
+=
+=






+=






→∴=





→
∴=∴=






+=
→
→
→→
→→
→→
ππ
ππ
π
π
( )
( )
( )
e)y(fLim
y1Lim)y(fLim
xCos1Lim)x(fLim
0y0
2
3
Cos
2
3
x
xCosy
y
1
xCos
1
:Faça
:Solução
xCos1Lim)x(fLim)3
0y
y
1
0y0y
xCos
1
2
3
x
2
3
x
xCos
1
2
3
x
2
3
x
=
+=
+=






→∴=





→
∴=∴=
+=
→
→→
→→
→→
ππ
ππ
π
π
37 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
10
0
10
1
00
10
00
)(
1)(
1)(
10
1)(
00
10
1010
:
10
1)(
:
10
1)()4
eyfLim
yLimyfLim
yLimyfLim
x
LimxfLim
y
x
x
y
x
x
yFaça
x
LimxfLim
Solução
x
LimxfLim
y
y
yy
y
yy
x
xx
x
xx
x
xx
=



 +=
+=





 +=




→∴=
∞→
∴=∴=





 +=





 +=
→
→→
→→
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
10ln)(
2
110
)(
:
2
110
)()5
2
2
22
2
22
=
−
−
=
−
−
=
→
−
→→
−
→→
xfLim
x
LimxfLim
Solução
x
LimxfLim
x
x
xx
x
xx
4ln
5
1
)(
5
3
14
5
1
)(
5
3
14
5
1
)(
5
3
5
14
)(
:
5
3
5
14
)()6
3
5
3
333
5
3
33
5
3
33
5
3
33
⋅=
+
−
⋅=
+
−
⋅=
+
⋅
−
=
+
⋅
−
=
−→
+
−→−→−→
+
−→−→
+
−→−→
+
−→−→
xfLim
x
LimLimxfLim
x
LimxfLim
x
LimxfLim
Solução
x
LimxfLim
x
x
xxx
x
xx
x
xx
x
xx
( )
( )
5ln25)x(fLim
5ln5)x(fLim
2x
15
Lim5Lim)x(fLim
2x
155
Lim)x(fLim
2x
1
5
5
5
Lim)x(fLim
2x
55
Lim)x(fLim
2x
255
Lim)x(fLim
:Solução
2x
255
Lim)x(fLim)7
2x
2
2x
2x
2x
2
2x2x
2x2
2x2x
2
x
2
2x2x
2x
2x2x
x
2x2x
x
2x2x
=
⋅=
−
−
⋅=
−
−⋅
=
−






−⋅
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
→
→
−
→→→
−
→→
→→
→→
→→
→→
38 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
3ln
20
1
)(
55
55
4
1
13
20
1
)(
55
55
4
1
13
20
1
)(
55
55
4
1
45
13
)(
55
55
4
4
15
13
)(
55
55
55
13
)(
55
13
)(
15
13
)(
:
15
13
)()8
1
1
4
1
11
1
4
1
11
4
1
11
4
1
11
4
1
11
4
1
11
4
1
11
4
1
11
⋅=⇒
−
−





 −
−
⋅
=⇒
⇒
−
−





 −
−
⋅
=⇒
−
−





 −⋅⋅
−
=⇒
−
−





⋅−⋅
−
=
⇒
−
−
−
−
=⇒
−
−
=⇒
−⋅
−
=
−⋅
−
=
→
→





 −
→→
→





 −
→→





 −
→→





 −
→→





 −
→→





 −
→→





 −
→→
−
→→
xfLim
x
xSen
Lim
x
LimLim
xfLim
x
xSenx
LimxfLim
x
xSen
x
LimxfLim
x
xSen
x
LimxfLim
x
xSen
xLimxfLim
xSen
LimxfLim
xSen
LimxfLim
Solução
xSen
LimxfLim
x
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
39 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
abxfLim
baxfLim
xfLim
eeexfLim
e
e
exfLim
x
e
e
LimeLimxfLim
x
e
e
e
LimxfLim
x
ee
LimxfLim
Solução
x
ee
LimxfLim
x
x
e
e
e
e
x
ba
x
b
a
b
x
x
b
a
x
bx
xx
bx
ax
bx
xx
bxax
xx
bxax
xx
ba
−=
−−−=
−⋅=
−⋅=






⋅=








−





⋅=






−





⋅
=
−
=
−
=
→
→
→
−−
→
−
−
⋅−
→
−
−
→
−
→→
−
−
−
→→
−−
→→
−−
→→
−−
)(
)(
loglog1)(
lnln)(
ln)(
1
)(
1
)(
)(
:
)()9
0
0
0
0
0
0
0
000
00
00
00
40 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
1.4 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 
 
Relação Fundamental: 
1
x
xSen
Lim
0x
=
→
 
 
Veja algumas resoluções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)x(fLim
12)x(fLim
x2
x2Sen
Lim2Lim)x(fLim
x2
x2Sen
2Lim)x(fLim
2
2
x
x2Sen
Lim)x(fLim
x
x2Sen
Lim)x(fLim
:Solução
x
x2Sen
Lim)x(fLim)1
0x
0x
0x0x0x
0x0x
0x0x
0x0x
0x0x
=
×=
⋅=
⋅=
⋅=
=
=
→
→
→→→
→→
→→
→→
→→
4
3
)(
14
13
)(
4
4
4
3
3
3
)(
4
4
4
3
3
3
)(
4
44
3
33
)(
4
3
)(
4
3
)(
:
4
3
)()2
0
0
00
00
0
00
00
00
00
00
=
×
×
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
=
→
→
→→
→→
→
→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
x
xSen
LimLim
x
xSen
LimLim
xfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLim
xSen
xSen
LimxfLim
Solução
xSen
xSen
LimxfLim
x
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
41 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1)(
11)(
0
1
1)(
1
)(
1
)(
)(
)(
:
)()3
0
0
0
00
00
00
00
00
=
×=
⋅=
⋅=
⋅=
=
=
=
→
→
→
→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
Cos
xfLim
Cosxx
Senx
LimxfLim
xCosx
Senx
LimxfLim
x
Cosx
Senx
LimxfLim
x
Tgx
LimxfLim
Solução
x
Tgx
LimxfLim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
0)(
01)(
11
0
1)(
10
0
11)(
1
1)(
1
1)(
1
)(
1
1
)(
1
1
)(
1
11
)(
1
)(
:
1
)()4
2
2
22
=
×−=
+
⋅−=
+
⋅×−=
+
⋅⋅−=
+⋅
⋅
⋅−=
+⋅
−
=
+⋅
−
=
+⋅
−
=
+
+
⋅
−
=
−
=
−
=
→
→
→
→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
xfLim
Cos
Sen
xfLim
Cos
SenSen
LimxfLim
Cos
SenSen
LimxfLim
Cos
Sen
LimxfLim
Cos
Cos
LimxfLim
Cos
Cos
LimxfLim
Cos
CosCos
LimxfLim
Cos
LimxfLim
Solução
Cos
LimxfLim
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
θ
θ
θ
θ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
θ
θ
θ
θθ
θθ
θθ
θ
θθ
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
42 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7
10
)(
17
110
)(
7
7
7
10
10
10
)(
7
77
10
1010
)(
7
10
)(
7
10
)(
:
7
10
)()7
0
0
00
00
0
00
00
00
00
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
=
→
→
→→
→→
→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
x
xSen
LimLim
x
xSen
LimLim
xfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
x
xSen
LimxfLim
xSen
xSen
LimxfLim
Solução
xSen
xSen
LimxfLim
x
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
b
a
xfLim
b
a
xfLim
bx
bxSen
LimbLim
ax
axSen
LimaLim
xfLim
b
b
x
bxSen
a
a
x
axSen
LimxfLim
x
bxSen
x
axSen
LimxfLim
bxSen
axSen
LimxfLim
Solução
bxSen
axSen
LimxfLim
x
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
=
→
→
→→
→→
→
→→
→→
→→
→→
)(
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
:
)()8
0
0
00
00
0
00
00
00
00
9)(
19)(
9
9
9)(
9
9
9)(
9
99
)(
9
)(
:
9
)()5
0
0
000
00
00
00
00
=
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
=
=
→
→
→→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
x
xSen
LimLimxfLim
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
LimxfLim
Solução
x
xSen
LimxfLim
x
x
xxx
xx
xx
xx
xx
3
4
)(
14
3
1
)(
4
4
4
3
1
)(
4
4
4
3
1
)(
4
44
3
1
)(
3
4
)(
:
3
4
)()6
0
0
0000
000
000
00
00
=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
=
=
→
→
→→→→
→→→
→→→
→→
→→
xfLim
xfLim
x
xSen
LimLimLimxfLim
x
xSen
LimLimxfLim
x
xSen
LimLimxfLim
x
xSen
LimxfLim
Solução
x
xSen
LimxfLim
x
x
xxxx
xxx
xxx
xx
xx
43 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
axfLim
axfLim
Cos
axfLim
axCos
Lim
ax
axSen
LimaLimxfLim
axCosax
axSen
aLimxfLim
a
a
xaxCos
axSen
LimxfLim
xaxCos
axSen
LimxfLim
x
axCos
axSen
LimxfLim
x
axTg
LimxfLim
Solução
x
axTg
LimxfLim
x
x
x
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅=
=
=
=
→
→
→
→→→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
)(
1
1
1)(
0
1
1)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
)(
)(
:
)()9
0
0
0
0000
00
00
00
00
00
00 ( )
( )
( )
( )
0)(
4
1
1
0
)(
4
1
)(
4
1
)(
4
1
)(
4
)(
4
)(
114
)(
1:
14
4
1
1
4
1
)(
1
4
1
)(
1
4
1
)(
:
1
4
1
)()10
11
3 3
3
3
11
3
3
11
3
3
11
=
⋅
−
=
⋅=
⋅=
⋅=
=
=
+−
=
→∴−→
−=∴
+
=→
+





 +
=
+





 +
=
+





 +
=
+





 +
=
→
→
→
→→→
→→
→→
→→
→→
−→−→
−→−→
−→−→
−→−→
xfLim
xfLim
Cos
Sen
xfLim
u
Lim
uCos
uSen
LimxfLim
uuCos
uSen
LimxfLim
u
uCos
uSen
LimxfLim
u
uTg
LimxfLimu
uTg
LimxfLim
uxSe
ux
x
uFaça
x
x
Tg
LimxfLim
x
x
Tg
LimxfLim
x
x
Tg
LimxfLim
Solução
x
x
Tg
LimxfLim
u
u
u
uuu
uu
uu
uu
uu
xx
xx
xx
xx
π
π
π
πππ
ππ
ππ
ππ
ππ
π
ππ
π
π
44 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0)(
011)(
11
0
11)(
10
0
11)(
1
1
1)(
1
1)(
1
1)(
1
1
1)(
1
1
1)(
1
11
1)(
1
1)(
11
)(
1
)(
:
1
)()11
0
0
0
0
0000
000
2
000
2
000
22
000
000
000
00
00
00
=
×−×−=
+
⋅−×−=
+
⋅−×−=
+
⋅
⋅−
⋅−=
+⋅
⋅−
⋅−=
+⋅
−
⋅−=
+⋅
−
⋅−=
+⋅
−
⋅−=
+
+
⋅
−
⋅−=
−
⋅−=
−⋅−
=
−
=
−
=
→
→
→
→
→→→→
→→→
→→→
→→→
→→→
→→→
→→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
xfLim
Cos
Sen
xfLim
xCos
xSen
Lim
x
xSen
LimLimxfLim
xCosx
xSenxSen
LimLimxfLim
xCosx
xSen
LimLimxfLim
xCosx
xCos
LimLimxfLim
xCosx
xCos
LimLimxfLim
xCos
xCos
x
xCos
LimLimxfLim
x
xCos
LimLimxfLim
x
xCos
LimxfLim
x
xCos
LimxfLim
Solução
x
xCos
LimxfLim
x
x
x
x
xxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
xx
xx
45 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
1
)(
2
1
1)(
11
1
1)(
10
1
111)(
1
1
1)(
1
1)(
1
1)(
1
1
1)(
1
1
1)(
1
11
1)(
1
1)(
11
)(
1
)(
:
1
)()12
0
0
0
0
00000
000
2
2
000
2
2
000
2
22
000
2000
2000
200
200
200
=





−⋅−=
+
−
⋅−=
+
−
⋅××−=
+
−
⋅⋅⋅−=
+⋅⋅
⋅−
⋅−=
+⋅
−
⋅−=
+⋅
−
⋅−=
+⋅
−
⋅−=
+
+
⋅
−
⋅−=
−
⋅−=
−⋅−
=
−
=
−
=
→
→
→
→
→→→→→
→→→
→→→
→→→
→→→
→→→
→→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
xfLim
Cos
xfLim
xCos
Lim
x
xSen
Lim
x
xSen
LimLimxfLim
xCosxx
xSenxSen
LimLimxfLim
xCosx
xSen
LimLimxfLim
xCosx
xCos
LimLimxfLim
xCosx
xCos
LimLimxfLim
xCos
xCos
x
xCos
LimLimxfLim
x
xCos
LimLimxfLim
x
xCos
LimxfLim
x
xCos
LimxfLim
Solução
x
xCos
LimxfLim
x
x
x
x
xxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
xx
xx
46 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
π
π
ππ
ππ
π
ππ
ππ
π
ππ
πππ
π
πππ
ππ
ππ
ππ
π
π
π
1
)(
1
1
)(
3
3
1
)(
3
3
1
)(
3
3
1
)(
3
3
1
)(
3
3
3
3
)(
3
3
)(
3
)(
1
3)(
sec3)(
:
sec3)()13
3
3
33
3
3
33
33
33
33
33
33
33
33
33
=
⋅
=
−
−
⋅
=
−
−
⋅
=
−
−⋅
=
−⋅
−⋅
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
⋅−=
⋅−=
⋅−=
→
→
→→
→
→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
x
xSen
LimLim
Lim
xfLim
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
LimxfLim
x
xSen
x
x
LimxfLim
xSen
x
LimxfLim
xSen
x
LimxfLim
xSen
xLimxfLim
xCoxLimxfLim
Solução
xCoxLimxfLim
x
x
xx
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
( )
( )
( )
( )
7
2
)(
14
4
)(
1122
126
)(
4
4
122
2
2
26
)(
4
4
122
2
2
26
)(
4
4
122
2
2
26
)(
4
4
432
2
2
26
)(
4
4
432
2
2
26
)(
432
26
)(
:
432
26
)()14
0
0
0
00
00
0
00
00
00
00
00
00
=
=
×+
×−
=





⋅+





⋅−
=





⋅+⋅





⋅−⋅
=





⋅+





⋅−
=





⋅⋅+





⋅−
=
⋅+
⋅−
=
+
−
=
+
−
=
→
→
→
→→
→→
→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
xfLim
x
xSen
LimLim
x
xSen
LimLim
xfLim
x
xSen
x
x
xSen
x
LimxfLim
x
xSen
xx
x
xSen
xx
LimxfLim
x
xSen
xx
x
xSen
xx
LimxfLim
x
x
xSenx
x
x
xSenx
LimxfLim
xSenx
xSenx
LimxfLim
Solução
xSenx
xSenx
LimxfLim
x
x
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
47 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
5
)(
11
2
5
)(
2
2
2
5
2
5
2
5
)(
2
2
2
5
2
5
2
5
)(
2
2
2
5
2
5
2
5
)(
2
2
22
5
2
)(
2
2
22
5
2
)(
22
5
2
)(
22
5
2
)(
22
5
2
)(
22
5
2
)(
2
32
2
32
2
)(
32
)(
:
32
)()15
0
0
0000
0000
0000
00
200
200
200
200
200
200
=⇒
××=⇒












⋅












⋅=⇒
⇒












⋅
⋅










⋅
=⇒












⋅





⋅
⋅





=⇒
⇒





⋅






⋅






=⇒





⋅






⋅






=






⋅






=





⋅





=











−⋅




−
=





−⋅




−
=





 −⋅




 +−
=
−
=
−
=
→
→
→→→→
→→→→
→→→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
x
x
Sen
Lim
x
x
Sen
LimLimxfLim
x
x
Sen
x
x
Sen
LimxfLim
x
x
Sen
x
x
Sen
LimxfLim
x
x
Sen
x
x
Sen
LimxfLim
x
x
Sen
x
x
Sen
LimxfLim
x
x
Sen
x
x
Sen
LimxfLim
x
x
Sen
x
Sen
LimxfLim
x
x
Sen
x
Sen
LimxfLim
x
x
Sen
x
Sen
LimxfLim
x
xx
Sen
xx
Sen
LimxfLim
x
xCosxCos
LimxfLim
Solução
x
xCosxCos
LimxfLim
x
x
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
48 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ]
1)(
21)(
2
2
2
)(
2
2
4
2
4
)(
2
2
2
2
2
2
4
)(
2
2
2
2
2
2
4
)(
22
4
)(
22
4
)(
2
2
4
)(2
22
)(
12
)(
222
)(
2121
)(
221
)(
:
221
)()16
0
0
2
2
002
2
00
2
2
2
2
002
2
2
00
2
2
2
00
2
2
2
00
2
2
2
2
00
2
22
00
2
22
00
2
2
00
2
2
00
2
2
00
200
200
−=⇒
−=⇒
⋅−












=⇒
⇒−





⋅






=⇒−





⋅⋅




⋅






=
−





⋅⋅




⋅






=
−
⋅






=
−






=
−





=






−




⋅
=
−−⋅
=
−−
=
−+−
=
+−
=
+−
=
→
→
→→→→
→→→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
xfLim
xfLim
x
xSen
LimLim
x
x
Sen
LimxfLim
x
xSen
x
x
Sen
LimxfLim
x
xSen
xx
x
Sen
LimxfLim
x
xSen
xx
x
Sen
LimxfLim
x
xSen
xx
x
Sen
LimxfLim
x
xSen
x
x
Sen
LimxfLim
x
xSen
x
Sen
LimxfLim
x
xSen
x
Sen
LimxfLim
x
xSenxCos
LimxfLim
x
xSenxCos
LimxfLim
x
xSenxCos
LimxfLim
x
xCosxCos
LimxfLim
Solução
x
xCosxCos
LimxfLim
x
x
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
49 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II 
ESTUDO DAS DERIVADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
2.1 REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
2.1.1 Derivação pela Regra do Produto 
 
Formula: 
 
)x('g)x(f)x('f)x(g)x(h ⋅+⋅= 
 
Veja algumas resoluções: 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
12x6x18'y
x6x1212x6'y
x61x26x32'y
6x31x26x31x2'y
:Solução
6x31x2y)1
2
22
2
'22'
2
++=
+++=
⋅+++⋅=
+⋅+++⋅+=
+⋅+=
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
13x12)x('f
x615x62)x('f
3x252x31)x('f
'x31x25'x25x31)x('f
:Solução
x25x31)x(f)2
+−=
−+−−=
⋅−+−⋅+=
+⋅−+−⋅+=
−⋅+=
 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3x20x45)x('f
x30x20x153)x('f
x10x323x51)x('f
'x51x32'x32x51)x('f
:Solução
x32x51)x(f)3
2
22
2
22
2
++=
+++=
⋅++⋅+=
+⋅+++⋅+=
+⋅+=
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
2.1.2 Derivação pela Regra do Quociente 
 
Formula: 
 
[ ]2)x(f
)x(g)x('f)x(f)x('g
)x(h
⋅−⋅
= 
 
Veja algumas resoluções: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )2222
2
2
''
1x3
14
'y
1x3
122
'y
1x3
12x62x6
'y
1x3
12x62x6
'y
1x3
34x21x32
'y
1x3
1x34x21x34x2
'y
:Solução
1x3
4x2
y)1
−
−=⇒
−
−−
=⇒
−
−−−
=⇒
−
+−−
=
−
⋅+−−⋅
=
−
−⋅+−−⋅+
=
−
+
=
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )2
2
2
2
4x3
20
)x('f
4x3
24x34x3
)x('f
4x3
38x14x3
)x('f
4x3
'4x38x'8x4x3
)x('f
:Solução
4x3
8x
)x(f)2
−
=
−
+−−
=
−
⋅−−⋅−
=
−
−⋅−−⋅−
=
−
−
=
 - 
 
 
 
52 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ]
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )4
22
4
22
4
22
22
'22'22
2
2
3x
x5x4)5x8(3x
)x('f
3x
1x5x4)5x8(3x
)x('f
3x
xxx5x4)5x8(3x
)x('f
3x
3xx5x4x5x43x
)x('f
:Solução
3x
x5x4
)x(f)3
+
+⋅++⋅+
=
+
⋅+⋅++⋅+
=
+
+⋅+⋅++⋅+
=
+
+⋅++⋅+
=
+
+
=
6)(2x - 
6)(2x - 
3)'(3)2( - 
 - 
 
 
 
2.1.3 Derivação pela Regra da Potência 
 
Formula: 
 
[ ] [ ] '1n )x(u)x(un)x('f ⋅⋅= − 
 
Veja algumas resoluções: 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )35x147x5x'y
5x27x5x7'y
7x5x7x5x7'y
:Solução
7x5xy)1
62
62
'262
72
+⋅++=
+⋅++⋅=
++⋅++⋅=
++=
 
 
 
53 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
14x2x2
2x2
)x('f
14x2x
2x2
2
1
)x('f
2x2
14x2x
1
2
1
)x('f
2x214x2x
2
1
)x('f
14x2x14x2x
2
1
)x('f
14x2x)x(f
:Solução
14x2x)x(f)2
2
2
2/12
2/12
'22/12
2/12
2
++
+
=
++
+
⋅=
+⋅
++
⋅=
+⋅++⋅=
++⋅++⋅=
++=
++=
−
−
 
 
 
2.2 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES PARTICULARES 
 
2.2.1 Derivação de Função Exponencial 
 
Formula: 
 
auaaf uu ln)(' ' ⋅⋅= 
 
Veja algumas resoluções: 
 
( )
( ) 3ln.3x43'y
3ln1x3x23'y
:Solução
3y)1
1x3x2
'21x3x2
1x3x2
2
2
2
+⋅=
⋅++⋅=
=
++
++
++
 
 
 
54 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
[ ] ( ) ( )
( )
2
1
ln
x2
1
2
1
'y
2
1
ln
x
1
2
1
2
1
'y
2
1
ln
x
1
2
1
2
1
'y
2
1
lnx
2
1
2
1
'y
2
1
lnx
2
1
'y
2
1
lnx
2
1
'y
:Solução
2
1
y)2
x
x
2
1
x
2
1
x'
2
1
x
'
x
x
⋅⋅




=⇒
⋅⋅




=⇒
⋅⋅




=⇒
⇒⋅⋅⋅




=⇒⋅


⋅




=⇒⋅⋅




=





=
−
 
 
 
2.2.2 Derivação de Função Exponencial de Base e 
 
Formula: 
 
( )')(' xexf x ⋅= 
 
Exemplo: 
 
( )
( ) ( )
( )
( )xx
xx
'2xx
xx
2
2
2
2
ex2)x('f
x2e)x('f
xxe)x('f
:Solução
e)x(f
+
+
+
+
⋅=
⋅=
+⋅=
=
 
 
 
2.2.3 Derivação de um Logaritmo Natural 
 
Formula: 
 
u
u
u'f
'
= 
 
Exemplo: 
 
55 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
( )
( )
7x3
x6
'y
7x3
'7x3
'y
:Solução
7x3lny
2
2
2
2
−
=
−
−
=
−=
 
 
 
2.2.4 Derivação de Função Logarítmica 
 
Formula: 
 
( )
alnu
u
log'f
'
u
a ⋅
= 
 
Exemplo: 
 
( )
( )
( )
( ) 2ln1x7x3
7x6
'y
2ln1x7x3
1x7x3
'y
:Solução
logy
2
2
'2
1x7x3
2
2
⋅−+
+
=
⋅−+
−+
=
= −+
 
 
 
2.3 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Relações Fundamentais: 
 
'xxCos'y
:Solução
xSeny)1
⋅=
=
 
'xxSen'y
:Solução
xCosy)2
⋅−=
=
 
'xxSec'y
:Solução
xTgy)3
2 ⋅=
=
 
xsecCos'x'y
:Solução
xCotgy)4
2⋅−=
=
 
 
xTgxSec'x'y
:Solução
xSecy)5
⋅⋅=
=
 
xCotgxsecCos'x'y
:Solução
xsecCosy)6
⋅⋅−=
=
 
 
Veja algumas resoluções: 
 
 
56 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
1xTg1xSec
1x2
1
'y
1xTg1xSec
1x
1
2
1
'y
1xTg1xSec
1x
1
2
1
'y
1xTg1xSec1x
2
1
'y
1xTg1xSec1x'y
1xTg1xSec1x'y
:Solução
1xSecy)12
1
2
1
'
2
1
'
−⋅−⋅
−
=
−⋅−⋅
−
⋅=
−⋅−⋅
−
⋅=
−⋅−⋅−⋅=
−⋅−⋅


 −=
−⋅−⋅−=
−=
−
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )4xCotg4xsecCosx2'y
4xCotg4xsecCos4x'y
:Solução
4xsecCosy)2
22
22'2
2
+⋅+⋅−=
+⋅+⋅+−=
+=
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )x2xsecCos2x3'y
x2xsecCos2x3'y
x2xsecCosx2x'y
:Solução
x2xCotgy)3
322
322
32'3
3
−⋅+−=
−⋅−−=
−⋅−−=
−=
( )
( )
2
2'2
2'2
2
x3Senx6'y
x3Senx3'y
x3Senx3'y
:Solução
x3Cosy)4
⋅−=
⋅−=
⋅−=
=
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1x3Sec1x3Tg9'y
31x3Sec1x3Tg3'y
1x31x3Sec1x3Tg3'y
1x3Tg1x3Tg3'y
:Solução
1x3Tgy)5
22
22
'22
'13
3
+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
+=
−
57 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
2.4 DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 
Formulas Fundamental: 
 
( )
( )
( )
( )
( )
1
sec)5
1
)4
1
)3
1
)2
1
)1
2
'
'
2
'
'
2
'
'
2
'
'
2
'
'
−⋅
−
=
−⋅
=
+
=
−
−
=
−
=
uu
u
uCosarc
uu
u
uSecarc
u
u
uTgarc
u
u
uCosarc
u
u
uSenarc
 
 
Veja algumas resoluções: 
 
( )
( )
x1x2
1
y
x1
1
x2
1
y
x1
x2
1
y
x1
x
1
2
1
y
x1
x
1
2
1
y
x1
x
2
1
y
x1
x
y
x1
x
y
:Solução
xSenarcy)1
'''
'
2
1
'
2
1
'
'
2
1
'
2
'
'
−⋅
=⇒
−
⋅=⇒
−
=⇒
⇒
−
⋅
=⇒
−
⋅
=⇒
−
⋅
=⇒
−








=⇒
−
=
=
−
 
 
 
( )
( )
( )4
22
'2
2
x1
x2
'y
x1
x
'y
:Solução
xTgarcy)2
+
=
+
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
2.5 DERIVAÇÕES DE ORDEM SUCESSIVAS 
 
Veja algumas resoluções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6 DERIVAÇÕES HÍBRIDAS 
 
2.6.1 Envolvendo Regra da Potência e Quociente 
 
Veja algumas resoluções: 
 
 
 
 
0y
360y
x360y
x180y
16x60y
x16x15y
:Solução
6n,x8x3y)1
''''''
'''''
''''
2'''
3''
4'
25
=
=
=
=
+=
+=
=+=
2
x
'''2
x
'''
'
2
x
'''2
x
''
2
x
''
'
2
x
''
2
x
'
2
x
'
'
2
x
'
2
x
e
8
1
ye
2
1
4
1
y
x
2
1
e
4
1
ye
4
1
y
e
2
1
2
1
y
x
2
1
e
2
1
y
e
2
1
y
ey
2
x
ey
:Solução
3n,ey)2
⋅=⇒⋅⋅=⇒
⇒




 ⋅⋅⋅=⇒⋅=
⋅⋅=





 ⋅⋅⋅=
=
⋅=





⋅=
==
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) 






+
⋅





+
+
⋅=






+
−−+
⋅





+
+
⋅=






+
⋅+−+⋅
⋅





+
+
⋅=








+
+⋅+−+⋅+
⋅





+
+
⋅=






+
+
⋅





+
+
⋅=






+
+
=
2
4
2
4
2
4
2
''4
'4
5
1x
1
1x
2x3
5'y
1x
2x33x3
1x
2x3
5'y
1x
12x31x3
1x
2x3
5'y
1x
1x2x31x2x3
1x
2x3
5'y
1x
2x3
1x
2x3
5'y
:Solução
1x
2x3
y)1
59 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
( )
( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )62
22423232
232
22423232
232
'22242'23232
232
'3242'4232
32
42
xx2
3x12xx2x3x512x40x3x5xx2
)x('f
xx2
1x4xx23x3x53x10x3x54xx2
)x('f
xx2
xx2xx23x3x5x3x5x3x54xx2
)x('f
xx2
xx2x3x5x3x5xx2
)x('f
:Solução
xx2
x3x5
)x(f)2
+
+⋅+⋅+−+⋅+⋅+
=
+
+⋅+⋅⋅+−+⋅+⋅⋅+
=
+
+⋅+⋅⋅+−+⋅+⋅⋅+
=
+
+⋅+−+⋅+
=
+
+
=
 
 
 
 
 
 
 
2.6.2 Envolvendo Regra da Potência e Produto 
 
Veja algumas resoluções: 
 
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x21x2x21x3xx1x3x18'y
x21xx21x3xxx61x33'y
xxxx21x3xx1x31x33'y
xx1x3xx1x3'y
:Solução
xx1x3y)1
2322222
2322222
'223222'222
'223222'32
2232
−⋅−⋅++−⋅+⋅=
−⋅−⋅⋅++−⋅⋅+⋅=
−⋅−⋅⋅++−⋅+⋅+⋅=
−⋅++−⋅+=
−⋅+=
 
 
 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )12x40x3x5)xx2()3x12()xx2(x3x5)x('f
3x10x3x54)xx2()1x4()xx2(3x3x5)x('f
'x3x5x3x54)xx2()'xx2()xx2(3x3x5)x('f
'x3x5)xx2(')xx2(x3x5)x('f
:Solução
)xx2(x3x5)x(f)2
32322242
32322242
2323222242
42323242
3242
+⋅+⋅+++⋅+⋅+=
+⋅+⋅⋅+++⋅+⋅⋅+=
+⋅+⋅⋅+++⋅+⋅⋅+=
+⋅+++⋅+=
+⋅+=
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
2.6.3 Envolvendo Regra do Quociente e Função Exponencial na base e 
 
Exemplo: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 






−
−
⋅=⇒





−
−−−
⋅=⇒





−
⋅+−−⋅
⋅=
⋅







−
−⋅+−−⋅+
⋅=
⋅





−
+
⋅=
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
2
1x
1x
2
1x
1x
2
1x
1x
2
''
1x
1x
'
1x
1x
1x
1x
1x
2
e'y
1x
1x1x
e'y
1x
11x1x1
e'y
1
1x
1x1x1x1x
e'y
eln
1x
1x
e'y
:Solução
ey
 
 
 
2.6.4 Envolvendo Regra do Produto e Função Exponencial na base e 
 
Exemplo: 
 
( )
( )
( )1xlne'y
x
1
xxlne'y
x
x
xxln1e'y
1xlnxxlnxe'y
elnxlnxe'y
:Solução
ey
xlnx
xlnx
'
xlnx
''xlnx
'xlnx
xlnx
+⋅=





 ⋅+⋅=






⋅+⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅=
⋅⋅⋅=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
 
 
 
2.6.5 Envolvendo Logaritmo Natural e Regra do Quociente 
 
Exemplo: 
 
61 
 
Marcelo Santos Chaves 
CÁLCULO I: LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Exercícios Resolvidos e Comentados 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )[ ]
( )
[ ]
( )
( )
( )1x
x
'y
e
1x
1x
11xe
'y
1x
e
1x
11xe
'y
1x
e
1x
e1xe
'y
1x
e
1x
1e1xe
'y
1x
e
1x
1xe1xe
'y
1x
e
1x
e
'y
:Solução
1x
e
lny
x2
x
x
2
x
x
2
xx
x
2
xx
x
2
'x'x
x
'
x
x
+
=⇒
+
⋅
+
−+⋅
=⇒
⇒






+
+
−+⋅
=⇒






+
+
−+⋅
=⇒






+
+
⋅−+⋅
=⇒
⇒






+
+
+⋅−+⋅
=⇒






+






+
=






+
=
 
 
 
2.6.6 Envolvendo Funções Trigonométricas e Regra do Quociente 
 
Exemplo: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )x4Sen1
4
'y
x4Sen1
1x4Sen4
'y
x4Sen1
14x4Sen4
'y
x4Sen1
x4Cosx4Sen4x4Sen4
'y
x4Sen1
x4Cos4x4Sen4x4Sen4
'y
x4Sen1
x4Cosx4Cos4x4Sen1x4Sen4
'y
x4Sen1
x4Cosx4x4Cosx4Sen1x4Senx4
'y
x4Sen1
x4Sen1x4Cosx4Sen1x4Cos
'y
:Solução
x4Sen1
x4Cos
y
2
2
2
22
2
22
2
2
''
2
''
−
=
−
+−⋅
=
−
⋅+⋅−
=
−
+⋅+⋅−
=
−
⋅+⋅+⋅−
=
−
⋅⋅+−⋅⋅−
=
−
⋅−⋅−−⋅⋅−
=