ESPAÇOS VETORIAIS E TRANSFORMAÇÕES LINEARES

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ESPAÇOS VETORIAIS
1.INTRODUÇÃO:
Sabemos que, o plano cartesiano pode ser expressado da seguinte forma:
ℝ² = ℝ×ℝ = {(x, y) / x, y ∊ ℝ} 
ℝ³ = ℝ×ℝ×ℝ = {(x, y, z) / x, y, z ∊ ℝ} 
ℝ4 = ℝ×ℝ×ℝ×ℝ = {(x1, x2, x3, x4) / x1, x2, x3, x4 ∊ ℝ} 
ℝn = ℝ×ℝ×...×ℝ = {(x1, x2, ..., xn) / xi ∊ ℝ} 
Também podemos entender essa ideia a espaços como:
 
1.1 PRODUTO DE DOIS CONJUNTOS:
O produto do conjunto A e o conjunto B, é o novo conjunto de todos os pares 
ordenados (a, b), tal que, a ∊ A e b ∊ B. 
Simbolicamente: A×B = {(a, b) / a ∊ A ∧ b ∊ B}
Quando A ⊆ ℝ ∧ B ⊆ ℝ é o produto cartesiano A por B.
1.2 APLICAÇÃO DE A SOBRE B :
Dizemos que f é uma aplicação ou função de A sobre B ⇔ ∀x ∊ A, ∃ y ∊ B / 
y = f(x)
Simbolicamente: 
f : A B
x y = f(x)
; A = Domínio de f
 
Exemplo 1:
f : ℕ – {0} ℝ
n f(x) = 2/n
g : [-3, 3] [-3, 3]
n g(x) = √9−x ²
1.3 OPERAÇÃO BINARIA INTERNA:
Seja A um conjunto não-vazio.
Chamamos de operação binaria interna definida em A, a toda aplicação “*” 
de A×A sobre A, tal que, para cada par (a, b) per A×A, corresponde um 
único elemento de a*b per A.
* : A×A A
(a, b) a*b
Notação
 
Exemplo 2:
+ : ℝ×ℝ ℝ
(a, b) a+b
• : ℝ×ℝ ℝ
(a, b) a • b
No conjunto ℝ definimos duas operações binarias, de soma e produto dos números 
reais.
No conjunto ℝ ,² definimos a operação binaria de soma dos números reais.
+ : ℝ ×ℝ ² ² ℝ²
[(x1, y1), (x2, y2)] (x1+x2 , y1+y2) Soma vetorial em ℝ² 
 
1.4 CORPO:
Um conjunto �≠{∅}, chama-se de corpo, se em estão definidas as operações 
de soma e produto, com as seguintes propriedades:
A) Soma
+ : �� 
(a, b) a+b
A1) a+(b+c) = (a+b)+c
A2) a+b = b+a
A3) ∃! 0 ∊ � / 0+a = a ; ∀ a ∊ �
A4) ∀ a ∊ �, ∃! -a ∊ � / a+(-a) = 0 ; -a é oposto de a
�
 
P) Produto
• : �×� 
(a, b) a • b
P1) a • (b • c) = (a • b) • c
P2) a • b = b • a
P3) ∃! 1 ∊ � / 1 • a = a ; ∀ a ∊ �
P4) ∀ a ≠ 0, ∃! a-1 / a • (a-1) = 1 ; a-1 é inverso de a
D) Propriedade distributiva do produto com respeito à soma.
D1) a • (b + c) = a • b + a • c
 
2.ESPAÇO VETORIAL:
Definição:
Um conjunto V é chamado de espaço vetorial sobre se verificados as operações 
de soma e produto por um escalar. 
+ : V×V V
(u, v) u+v
• : �×V V
(α, v) α • v
A1) u+(v+w) = (u+v)+w
A2) u+v = v+u
A3) ∃! 0 ∊ V / v+0= v ; ∀ v ∊ V
A4) ∀ v ∊ V, ∃! -v / v+(-v) = 0 
Onde u, v e w são vetores ∊ V ; α ∊ 
 
P1) α(βv) = (αβ)v ; ∀ α, β ∊ �; v ∊ V
P2) ∃! 1 ∊ � / 1 • v = v ; ∀ v ∊ V
D1) (α+β) v = αv + βv ; α, β ∊ �; v ∊ V
D2) α (u+v) = αu + αv ; α ∊ �; u, v ∊ V
2.1 EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS:
São espaços vetoriais os seguintes conjuntos:
1) V = ℝ×ℝ= {(x1, x2) / x1 ∊ ℝ ∧ x2 ∊ ℝ} Todo par ordenado em ℝ .²
2) V = ℝn= {(x1, x2, …, xn) / xi ∊ ℝ} Todo n-upla ordenada em ℝn.
3) Em ℝ2 qualquer reta que passa pelo origem, é e.v. sobre ℝ. 
Exemplo: V = {(x, y) ∊ ℝ2 / 2x – y = 0}.
4) Em ℝ3 qualquer plano que passa pelo origem, é e.v. sobre ℝ. 
Exemplo: V = {(x, y, z) ∊ ℝ3 / x – y – z = 0}.
 
5) O conjunto dos polinômios de grau ≤ 3 com coeficientes complexos. 
Exemplo: [x] = {P(x) / P(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 , ai ∊ }.
6) V = {r x + s ex / r , s ∊ ℝ}. é um espaço vetorial sobre ℝ.
2.1.1 Espaços Vetoriais de Matrizes:
O conjunto das matrizes �m×n é um espaço vetorial sobre . Dado que define as 
operações de soma e produto por um escalar.
+ : �m×n×�m×n �m×n
([aij], [bij]) [aij]+[bij] = [cij]
A) Soma
Tal que cij = aij + bij 1≤ i ≤ m ; 1≤ j ≤ n∀ ∀
· : �×�m×n �m×n
(α, [aij]) α[aij] = [α aij]
P) Produto de um escalar por uma matriz
 ∀ 1≤ i ≤ m ; 1≤ j ≤ n∀
 
2.2 SUBESPAÇOS VETORIAIS:
Definição:
Seja V um espaço vetorial el .
Um subespaço vetorial de V es um subconjunto W ⊂ V, com as seguintes 
propriedades:
1º 0 ∊ W
2º Se w1 ∊ W ∧ w2 ∊ W ⇒ (w1+w2) ∊ W
3º Se v ∊ W ∧ ∀ α ∊ � ⇒ α v ∊ W
2.1.1 Teorema:
Um subconjunto W ≠ ∅ de V, é um subespaço vetorial ⟺ (α u + β v) ∊ W, ∀ α, β ∊ � e u, v ∊ W.
Generalizando, se: v1, v2, …vn ∊ W um subespaço vetorial, e α1, α2, ...αn ∊ �, 
então cumpre-se α1v1 + α2v2 +… +αnvn ∊ W.
 
Exemplo 3:
É W = {(x, y) ∊ ℝ / y = m x , m ≠ 0 } um subespaço vetorial de ℝ2?
1º 0 = (0, 0) ∊ W ? ⟹ 0 = m (0) ; m ≠ 0 
0 = 0 ⟹ (0, 0) ∊ W Sim
2º Se escolhemos dois vetores w1 = (x1, y1) ∊ W ∧ w2 = (x2, y2) ∊ W ⇒ (w1+w2) ∊ W ?
Se w1 = (x1, y1) ∊ W ⇒ y1= m x1 
Se w2 = (x2, y2) ∊ W ⇒ y2= m x2 ⇒ y1+y2= m (x1+x2)∴ ((x1, y1), (x2, y2)) ∊ W
Sim
3º Se v = (x, y) ∊ W ∧ ∀ α ∊ ⇒ α v ∊ W ?
Se v = (x, y) ∊ W ⇒ y = m x ⇒ α v = (α x, α y) ⇒ α y = m (α x)
α y = α (m x) ∴ (α x, α y) ∊ W
Sim
Sim
 
3.COMBINAÇÃO LINEAR:
Definição:
Seja V um e.v. e sejam v1, v2, …vn vetores de V.
Uma combinação linear é uma expressão da forma: α1v1 + α2v2 +… +αnvn 
Onde α1, α2, ...αn são escalares ∊ .
Se, para um vetor v ∊ V existem α1, α2, ...αn ∊ , tal que , v = α1v1 + α2v2 +… +αnvn , 
então, se diz que v é uma combinação linear de v1, v2, …vn.
Exemplo 4: Determinar se v = (-2, 4) é CL de v1 = (3, 2) e v2 = (5, 0)
Sol. Temos que determinar ∃ α1, α2 tal que:
(-2, 4) = α1 (3, 2) + α2 (5, 0)
(-2, 4) = (3α1+5α2 , 2α1+0)
3α1+5α2 ,= – 2
2α1+ 0 = 4
α1 = 2
α2 = -8/5 
(-2, 4) = 2 (3, 2) – 8/5 (5, 0)
x
y
v 1=
(3, 2
)
2v 1
v2=(5, 0)-8/5v2
v=(-2, 4)
 
Exemplo 5: Determinar se α1 e α2 ∊ ℝ tal que:
(3, 1, 0) = (2α1 , α1 , α1) + (α2 , 2α2 , 4α2) e se é uma CL.
(3, 1, 0) = (2α1+α2 , α1+2α2 , α1+4α2)Sol: 
2α1 + α2 = 3
α1 + 2α2 = 1
α1 + 4α2 = 0
[A|B] = 
2 1 3
1 2 1
1 4 0
L1
(2)
→L1 1 1/2 3/2
1 2 1
1 4 0
L2−L1→L2
L3−L1→L3
1 1/2 3/2
0 3/2 -1/2
0 7/2 -3/2
L1
(3 /2)
→L1
1 1/2 3/2
0 1 -1/3
0 7/2 -3/2 L3−(
7
2
)L2→L3
1 1/2 3/2
0 1 -1/3
0 0 -1/3
Paramos aqui e vemos que: ρ[A] = 2 e ρ[A|B] = 3 , ρ[A] < ρ[A|B]∴ Não pode-se determinar α1 e α2 , então não é uma CL.
 
3.1 Teorema:
Seja V um espaço vetorial.
O espaço de todas as combinações lineares dos vetores v1, v2, …vn de V , é 
denotado por L{v1, v2, …vn } é dizer:
L{v1, v2, …vn } = α1v1 + α2v2 +… +αnvn / α1, α2, ...αn são escalares,
e L{v1, v2, …vn } é um subespaço vetorial de V, chamado de subespaço gerado 
por v1, v2, …vn.
Exemplo 6:
Ache o subespaço gerado pelos vetores: v1 = (2, 1, 1) e v2 = (1, 3, 0) ∊ ℝ3.
Sol: 
Deve-se achar S = L{v1, v2}⇒ temos que v = (x, y, z) ∊ S ⇔ ∃ α1, α2 ∊ ℝ / v = (x, y, z) = α1v1+ α2v2
 
⇒ (x, y, z) = α1 (2, 1, 1) + α2 (1, 3, 0)⇒ (x, y, z) = (2α1+α2 , α1+3α2 , α1)
2α1 + α2 = x
 α1 + 3α2 = y
 α1 + 0 = z
[A|B] = 
2 1 x
1 3 y
1 0 z
L1
(2)
→L1 1 1/2 x/2
1 3 y
1 0 z
L2−L1→L2
L3−L1→L3
1 1/2 x/2
0 5/2 (-x+2y)/2
0 -1/2 (-x+2z)/2
L2
(5 /2)
→L2
1 1/2 x/2
0 1 (-x+2y)/5
0 -1/2 (-x+2z)/2 L3+(
1
2
) L2→L3
1 1/2 x/2
0 1 (-x+2y)/5
0 0 (-3x+y+5z)/5
O sistema tem solução ⇔ ρ[A] = ρ[A|B] -1/5(3x – y +5z) = 0⇒ 3x – y + 5z = 0
Logo: S = L{v1, v2} = {(x, y, z) ∊ ℝ3 / 3x – y + 5z = 0}
y
x
z
v2
v1
L{ v1 , v2 }
 
4.INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇOS:
Definição:
Sejam S1 , S2 , … Sm subespaços do espaço vetorial V, então S1 ∩ S2 ∩ … ∩ Sm é 
também subespaço de V.
Por exemplo, se temos S1 e S2 subespaços de V, então S1 ∩ S2 representa o conjunto 
de todos os vetores v ∊ V tais que v ∊ S1 e v ∊ S2 .
4.1 Teorema: 
Se S1 ∩ S2 , é subespaço vetorial de V, então:
i) Se u, v ∊ S1 ⇒ u + v ∊ S1
Se u, v ∊ S2 ⇒ u + v ∊ S2 (u + v) ∊ S1∩S2
ii) Se v ∊ S1 ⇒ λ v ∊ S1
Se v ∊ S2 ⇒ λ v ∊ S2 λ v ∊ S1∩S2
 
Exemplo 6:
Seja V = ℝ3 consideramos os subespaços de V, ache S1∩S2 e o vetor que gera.
S1 = {(a, b, c) ∊ ℝ3 / a + b – 3c = 0}
S2 = {(a, b, c) ∊ ℝ3 / a + c = 0}
Sol: 
Se u = (a, b, c) ∊ S1∩S2 ⇒ u ∊ S1e u ∊ S2
a + b – 3c = 0
a + c = 0 [A|B] = 
1 1 -3 0
1 0 1 0
1 1 -3 0
0 -1 4 0L2−L1→L2
L2
(−1)
→L2
1 1 -3 0
0 1 -4 0
1 0 1 0
0 1 -4 0
L1−L2→L1 a + 0b – c = 0
0a + b – 4c = 0⇒
Seja c = t ∊ ℝ a = –t
b = 4t
c = t
Logo: S1∩S2 = {t (-1, 4, 1) / t ∊ ℝ}
S1∩S2 = L {(-1, 4, 1)}
v=(-1, 4, 1)
 
5.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR:
Definição:
Seja V um espaço vetorial e {v1, v2, …vn} um conjunto de vetores incluídos em V.
O conjunto {v1, v2, …vn} é linearmente independente (LI) se 
α1v1 + α2v2 +… +αnvn = 0 (vetor nulo) admite apenas solução trivial, é dizer:
 α1= α2= … =αn = 0 , todos os escalares iguais a zero.
O conjunto {v1, v2, …vn} ⊂ V é linearmente dependente (LD) se da combinação
α1v1 + α2v2 +… +αnvn = 0 (vetor nulo),
pelo menos um dos escalares é diferente de zero, é dizer: αi ≠ 0
Ou, em outras palavras: α1, α2, ...αn não todos todos são zeros.
 
Exemplo 7:
Determine se o conjunto de vetores {(1, 3), (1, 1), (-1, 4)} ⊂ ℝ2 é LI ou LD. 
Sol: 
Seja α1(1, 3) + α2(1, 1) + α3(-1, 4) = (0, 0)
α1 + α2 – α3 = 0 
3α1+ α2 + 4α3 = 0 
1 1 -1 0
3 1 4 0[A|B] = 
1 1 -1 0
0 -2 7 0L2−3 L1→L2
L2
(−2)
→L2
1 1 -1 0
0 1 -7/2 0
L1−L2→L1 1 0 5/2 0
0 1 -7/2 0
α1 + 5/2α3 = 0 
 α2 – 7/2α3 = 0 
α1 = -5/2α3
α2 = 7/2α3
α3 = α3 ∴ O conjunto de vetores é LD
 
6.BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL:
Definição de BASE:
Seja o conjunto de vetores C = {v1, v2, …vn} ⊂ V , espaço vetorial.
Se diz que conjunto C = {v1, v2, …vn} forma uma base de V se:i) O conjunto C gera o espaço V.ii) O conjunto C é LI.
Definição de DIMENSÃO:
A dimensão de um espaço vetorial V, é denotado pela quantidade de vetores com 
que é gerado o espaço vetorial. É dizer, se o espaço vetorial tem base finita de n 
vetores então a dimensão de V é n, dim V = n.
Se V = Mmn , o espaço vetorial das matrizes de m linhas e n colunas dim Mmn = mn 
Se V = Pn , o espaço vetorial dos polinômios de grau ⩽ n com coeficientes reais. 
A base de Pn é {1, x, x
2, … ,xn} então a dim Pn = n+1
 
7.SOMA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS:
Definição:
Sejam S1 e S2 subespaços do espaço vetorial V.
Então, a soma de S1 e S2 é S = {v ∊ V / v = v1 + v2 , v1 ∊ S1 ∧ v2 ∊ S2}
Exemplo 7:
Seja V = ℝ3 , S1 = L{(1, 2)} , S2 = L{(-4, 3)}, determine se v = (1, 5) é soma de S1 e S2.
Sol: 
(1, 5) = a (1, 2) + b (-4, 3)
(1, 5) = (a – 4b, 2a + 3b)
 a – 4b = 1
2a + 3b = 5
a = 3/11
b = 23/11
(1, 2)
(1, 5)
(-4, 3)
x
y
 
8.SOMA DIRETA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS:
Definição:
Sejam S1 e S2 subespaços do espaço vetorial V.
É denotada a soma direta de S1 e S2 como V = S1⊕S2 , e é definida se:
● V = S1+S2 
● S1∩S2= {0}
Exemplo 8:
Determine se, V = ℝ3 é soma direta de S1 e S2 , é dizer, V = S1⊕S2 
S1 = {(a, b, c) ∈ ℝ3 / a + 2b + c = 0}
S2 = L{(2, 1, 3)}
Sol: 
Primeiro determinamos se, ℝ3 = S1 + S2 
Seja v = (r, s, t) um vetor arbitrário tal que
v = v1 + v2 / v1 = (a, b, c) ∈ S1 ⇒ a + 2b + c = 0 e v2 ∈ S2 ⇒ (2, 1, 3)
 
Temos que: (a, b, c) ∈ S1 ⇒ a + 2b + c = 0 a = – 2b – c
b = b
c = c 
⇒ (a, b, c) = b (-2, 1, 0) + c (-1, 0, 1)
(r, s, t) = b (-2, 1, 0) + c (-1, 0, 1) + d (2, 1, 3)
(r, s, t) = (-2b – c +2d , b + d , c + 3d ) 
r = – 2b – c + 2d
s = b + d
t = c + 3d
-2 -1 2
 1 0 1
 0 1 3
∆ = = 7
O sistema tem solução única, então existe 
v ∈ ℝ3 / v = v1 + v2 onde v1 ∈ S1 e v2 ∈ S2
v = (r, s, t) = (a, b, c) + d (2, 1, 3) 
Segundo passo: determinamos se, S1∩S2 = {0} 
Seja w = S1∩S2 um vetor arbitrário tal que w ∈ S1 e w ∈ S2⇒ w = b (-2, 1, 0) + c (-1, 0, 1) ∧ w = d (2, 1, 3)⇒ w = b (-2, 1, 0) + c (-1, 0, 1) = d (2, 1, 3) – 2b – c = 2d b = d
 c = d
O sistema tem solução única, então existe 
b = 0 , c = 0 , d = 0
W = (0, 0, 0) , Logo S1∩S2 = {(0, 0, 0)} ∴ ℝ3= S1⊕S2 
 
9.DIMENSÃO DA SOMA DE DOIS SUBESPAÇOS 
VETORIAIS:
Definição:
Se U e W são subespaços de V, sendo V de dimensão finita, então:
dim (U + W) = dim U + dim W – dim (U∩W)
Sendo a dimensão de um subespaço o numero de vetores que compõem sua base, 
como foi visto na parte 6, dimensão de uma base.
Do exemplo 8:
Determine dim (S1 + S2) se, S1 = {(a, b, c) ∈ ℝ3 / a + 2b + c = 0} ; S2 = L{(2, 1, 3)}
Sol: 
dim (S1 + S2) = dim (S1) + dim (S2) – dim (S1∩S2 )
dim (S1) = 2 
dim (S2) = 1
dim (S1∩S2 ) = 0
dim (S1 + S2) =3
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