02MAD_doc02

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Propriedades do Módulo 
 
1) |a| = |-a|, para todo a real 
 
Não é difícil constatar isso. Observe: 
 
|2| = 2 
 
|10| = 10 
 
|-5| = 5 
 
|-2| = 2 
 
|-10| =10 
 
|5| = 5 
 
 
2) |x
2
|=|x|
2
 = x
2
, para todo x real 
 
Verifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo. 
 
a) para x = 5 
 
5
2
 = 25 
 
|5|
2
 = 5
2
 = 25 
 
|5
2
|=|2
2
|= 25 
 
b) para x = 0 
 
0
2
 = 0 
 
 
 
|0|
2
 = 0
2
 = 0 
 
|0
2
|=|0|= 0 
 
c) para x = -3 
 
(-3) 
2
 = 9 
 
|-3|
2
 = 3
2
 = 9 
 
|(-3) 
2
|=|9|= 9 
 
Associada a essa propriedade está o fato de que 
 
CUIDADO! É errado pensar que . Isso só é verdadeiro para x ≥ 0. 
 
Exemplos: 
 
Para x = 7 
 
 
 
Para x = -2 
 
 
 
3) |a . b|=|a|.|b|, para quaisquer a e b reais 
 
Exemplos: 
 
a) a e b positivos 
 
 
 
a = 3 e b = 5 
 
|3 . 5|= |15|= 15 
 
|3|.|5|= 3 . 5 = 15 
 
b) a e b de sinais opostos 
 
a = -2 e b = 4 
 
|-2 . 4|= |-8|= 8 
 
|-2|.|4|= 2 . 4 = 8 
 
 
c) a e b negativos 
 
a = -7 e b = -10 
 
|-7 . (-10)|= |70|= 70 
 
|-7|.|-10|= 7 . 10 = 70 
 
 
4) |a + b| ≤ |a|+|b|, para quaisquer a e b reais 
 
a) a e b positivos 
 
a = 6 e b = 5 
 
|6 + 5|= |11|= 11 
 
|6|+|5|= 6 + 5 = 11 
 
 
 
|6 + 5|=|6|+|5| 
 
b) a e b de sinais opostos 
 
a = -5 e b =1 
 
|-5 + 1|= |-4|= 4 
 
|-5|+|1|= 5 + 1 = 6 
 
|-5 + 1|<|-5|+|1| 
 
c) a e b negativos 
 
a = -8 e b = -3 
 
|-8 + (-3)|= |-11|= 11 
 
|-8|+|-3|= 8 + 3 = 11 
 
|-8 + (-3)|= |-8|+|-3| = 8 + 3 = 11 
 
 
5)||a|-|b|| = |a - b|, para quaisquer a e b reais 
 
a) a e b positivos 
 
a = 4 e b = 1 
 
||4|-|1||=|4 - 1|= |3|= 3 
 
|4 - 1|= |3|= 3 
 
||4|-|1||=|4 - 1| 
 
 
 
b) a e b de sinais opostos 
 
a = -1 e b =9 
 
||-1|-|9||=|1 - 9|= |-8|= 8 
 
|-1 - 9|= |-10|= 10 
 
||-1|-|9||<|-1 - 9| 
 
c) a e b negativos 
 
a = -10 e b = -3 
 
||-10|-|-3||=|10 - 3|= |7|= 7 
 
|-10 - (-3)|= |-7|= 7 
 
||-10|-|-3||=|-10 - (-3)| 
 
d) a e b de sinais opostos 
 
a = 4 e b = -3 
 
||4|-|-3||=|4 - 3|= |1|= 1 
 
|4 - (-3)|= |7|= 7 
 
||4|-|-3||<|4 - (-3)| 
 
Além dessas propriedades, não é difícil verificar que |a - b|=| b - a|, para quaisquer a e b reais.