Álgebra Booleana para Simplificação de Circuitos

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Organização de Computadores
Prof. Luiz di Marcello
Aula 5
ÁLGEBRA BOOLEANA
O QUE É E PARA QUE SERVE?
A Álgebra Booleana é uma área da Matemática que trata de regras e elementos de lógica
A Álgebra Booleana trata de variáveis e de operações com estas variáveis, porém utiliza variáveis binárias em que o valor 1 equivale à condição verdadeira e o valor 0 à condição falsa
O QUE É E PARA QUE SERVE?
Vimos na aula passada que os circuitos digitais são representados por expressões, cujas entradas são combinadas e a saídas analisadas através da tabela-verdade
Mas, será que podemos reduzir o tamanho dessas expressões – e, consequentemente, os circuitos – sem alterar os resultados obtidos na saída?
É exatamente nesse contexto que iremos estudar as regras (22 no total) de simplificação da Álgebra de Boole
ÁLGEBRA BOOLEANA
1) X + 0 = X 
2) X + 1 = 1 
3) X + X = X 
4) X + X = 1 
5) X * 0 = 0 
6) X * 1 = X 
7) X * X = X 
8) X * X = 0 
9) X = X 
10) X + Y = Y + X 
11) X + X = 0
12) X * Y = Y * X 
13) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z 
14) X * (Y * Z) = (X * Y) * Z 
15) X * (Y + Z) = X * Y + X * Z 
16) X + X * Z = X 
17) X * (X + Y) = X 
18) (X + Y) * (X +Z) = X + Y * Z 
19) X + X * Y = X + Y 
20) X * Y + Y * Z + Y * Z = X * Y + Z
21) (X + Y) = X * Y 
22) (X * Y) = X + Y 
AS REGRAS
 X + X * Z = X
 X + (X * Z) 	= 	X * 1 + X * Z 	 		(6)	 
									
					
		
PROVANDO A REGRA 16...
 X + X * Z = X
 X + (X * Z) 	= 	X * 1 + X * Z 	 		(6)	 
				=	X * (Z + Z) + X * Z	 	(4)
						
PROVANDO A REGRA 16...
 X + X * Z = X
 X + (X * Z) 	= 	X * 1 + X * Z 	 		(6)	 
				=	X * (Z + Z) + X * Z	 	(4)
				=	X * Z + X * Z + X * Z 	(15)
									
					
		
PROVANDO A REGRA 16...
 X + X * Z = X
 X + (X * Z) 	= 	X * 1 + X * Z 	 		(6)	 
				=	X * (Z + Z) + X * Z	 	(4)
				=	X * Z + X * Z + X * Z 	(15)
				=	(X * Z + X * Z ) + X * Z	(10)
								
					
		
PROVANDO A REGRA 16...
 X + X * Z = X
 X + (X * Z) 	= 	X * 1 + X * Z 	 		(6)	 
				=	X * (Z + Z) + X * Z	 	(4)
				=	X * Z + X * Z + X * Z 	(15)
				=	(X * Z + X * Z ) + X * Z	(10)
				=	X * Z + X * Z			(3)
								
					
		
PROVANDO A REGRA 16...
 X + X * Z = X
 X + (X * Z) 	= 	X * 1 + X * Z 	 		(6)	 
				=	X * (Z + Z) + X * Z	 	(4)
				=	X * Z + X * Z + X * Z 	(15)
				=	(X * Z + X * Z ) + X * Z	(10)
				=	X * Z + X * Z			(3)
				=	X * ( Z + Z ) 			(15)
					
					
		
PROVANDO A REGRA 16...
 X + X * Z = X
 X + (X * Z) 	= 	X * 1 + X * Z 	 		(6)	 
				=	X * (Z + Z) + X * Z	 	(4)
				=	X * Z + X * Z + X * Z 	(15)
				=	(X * Z + X * Z ) + X * Z	(10)
				=	X * Z + X * Z			(3)
				=	X * ( Z + Z ) 			(15)
				=	X * 1					(4)					
					
		
PROVANDO A REGRA 16...
 X + X * Z = X
 X + (X * Z) 	= 	X * 1 + X * Z 	 		(6)	 
				=	X * (Z + Z) + X * Z	 	(4)
				=	X * Z + X * Z + X * Z 	(15)
				=	(X * Z + X * Z ) + X * Z	(10)
				=	X * Z + X * Z			(3)
				=	X * ( Z + Z ) 			(15)
				=	X * 1					(4)
				=	X					(6)
					
					
		
PROVANDO A REGRA 16...
X = (A + B) * B
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (CIRCUITO)
X
A
B
A+B
SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO...
 A
 B
				X = (A + B) * B
X = (A + B) + B 	(regra 22)
SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO...
				X = (A + B) * B
X = (A + B) + B 	(regra 22)
X = A * B + B		(regra 21)
SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO...
				X = (A + B) * B
X = (A + B) + B 	(regra 22)
X = A * B + B		(regra 21)
X = A * B + B		(regra 9)
SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO...
				X = (A + B) * B
X = (A + B) + B 	(regra 22)
X = A * B + B		(regra 21)
X = A * B + B		(regra 9)
X = A + B			(regra 19)
A
B
X
SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO...
X = (A + B) * B
SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO E O CIRCUITO...
X
A
B
A+B
 A
 B
A
B
X
X = A + B
Organização de Computadores
Prof. Luiz di Marcello
Exercícios
 Observe o circuito abaixo e assinale qual expressão booleana o representa:
20
2) Observe o circuito abaixo e assinale qual expressão booleana o representa:
21