Exercícios Metrologia Base

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Metrologia – P2 – 2° Sem. 2017 
Professores Thiago Cardoso e Pitágoras 
3907-6494 – cursinhodeengenharia.com.br 1 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Determine na figura abaixo Y, Ty, Cpy e Rxi, considerando Cpxi = 1 
 
 
 
Resp.: 𝑌 = 𝑋5 + 𝑋3 − (𝑋2 + 𝑋4 + 𝑋6) ; Ty = 1,00 ; Cpy = 2,01 
2) Determine na figura abaixo Y, Ty, Cpy e Rxi, considerando Cpxi = 1 
 
 
 
 
Resp.: 𝑌 = 𝐴3 + 𝐷1 + 𝐵1 + 𝐵2 − 𝐴1 ; Ty = 1,5 
 
 
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3) Determine na figura abaixo Y, Ty, Cpy e Rxi, considerando Cpxi = 1 
 
 
 
Resp.: 𝑌 = 𝑋3 + 𝑋5 − (𝑋2 + 𝑋4 + 𝑋6 + 𝑋7) ; Ty = 0,28 ; Cpy = 2,17 
4) Determine na figura abaixo Y, Ty, Cpy e Rxi, considerando Cpxi = 1. Queremos economizar no processo para 
X2, adotando Cpky = 1,33. Qual é o novo valor de 6σx2 e Cpkx2? 
 
 
 
Resp.: 𝑌 = 𝑋1 − (𝑋2 + 𝑋3) ; Ty = 0,66 ; Cpy = 1.64 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5) Determine na figura abaixo Y, Ty, Cpy e Rxi, considerando Cpxi = 1 
OBS: não existe movimento axial nos rolamentos 
 
 
 
Resp.: 𝑌1 = 𝑋1 − (𝑋2 + 𝑋5) ; Ty = 0,27 ; Cpy = 1,65 
 𝑌2 = 𝑋1 + 𝑋3 − (𝑋2 + 𝑋5) ; Ty = 0,47 ; Cpy = 1,81 
 
 
6) Determine na figura abaixo Y, Ty, Cpy e Rxi, considerando Cpxi = 1 
 
 
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Resp.: 𝑌 = 𝑋3 + 2 ∗ 𝑋6 − (𝑋1 + 𝑋4) ; Ty = 0,53 ; Cpy = 2,16 
 
7) Determine na figura abaixo Y, Ty, Cpy e Rxi, considerando Cpxi = 1 
 
 
 
Resp.: 7 + 306 + 7 = 35 + 𝐘𝐚 + 31 ; Ty = 0,422 
 
Resp.: 330 = 2 + 𝒀𝒃 + 31 + 𝒀𝒂 + 35 ; Ty = 0,872 
8) Determine na figura abaixo Y, Ty, Cpy e Rxi, considerando Cpxi = 1 
 
 
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Resp.: 𝑌1 = 𝑋5 − (𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3) ; Ty = 0,97 ; Cpy = 1,94 
 𝑌2 = 𝑋5 − (𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋6 + 𝑋7) ; Ty = 0,81 ; Cpy = 1,55 
 
9) Determine na figura abaixo Y, Ty, Cpy e Rxi, considerando Cpxi = 1 
OBS: 
 Cotas Positivas  As = -0,01 e Ai = -0,02 / Cotas Negativas  As = 0,02 e Ai = 0,01 
 
 
 
Resp.: 𝑌 = 𝐸 + 2 ∗ 𝐴2 − (2 ∗ 𝐴1 + 𝑆 + 2 ∗ 𝑅 + 𝑇) ; Ty = 0,09 
 
10) Determine na figura abaixo Y, Ty, Cpy e Rxi, considerando Cpxi = 1 
 
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X1 = 12 (+0,1 / -0,1) X2 = 5 (+0,05 / -0,07) 
X3 = 34 (-0,1 / -0,25) X4 = 46 (+0,3 / +0,15) 
X5 = 89 (+0,1 / -0,1) X6 = 10 (+0,2 / -0,15) 
 
Resp.: 𝑌 = 2 ∗ 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 − 𝑋5 ; Ty = 0,74 ; Cpy = 2,19 
 
11) Dadas as 25 amostras com n = 5 cada, Pede-se: σy , Cpy , Cpky 
Considerar a peça 70 js 14 como referencia de projeto. 
 
 
 
 
12) Seguindo o exercício anterior, após analisadas 20 peças, de especificação 70js14, produzidas pelo processo 
analisado por CEP e um inspetor mediu cada peça duas vezes e calculou a média e amplitude para cada 
dupla de medições: 
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13) Com base nos exercícios anteriores, se incluirmos mais dois inspetores com as respectivas medidas, qual 
vai ser a variância do processo de fabricação (σfab) 
2º Inspetor 
 
3º Inspetor 
 
 
14) Através dos dados obtidos do processo, o qual tem suas tolerâncias de projeto de 0,74mm, com os 
afastamentos simétricos, determinar: 
a) a estimativa de desvio padrão obtido do CEP; (R: 0,122mm) 
b) Cp, k e Cpk (R: Cp=1,01 ; K=0,127 ; Cpk=0,882) 
c) o desvio padrão do processo;( (R: σFabricação=0,121mm) 
d) o processo é capaz de produzir peças dentro da tolerância? ; (R: Não, Cpk<1,33) 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
70,02 69,97 70,00 70,01 70,05 69,91 70,04 69,96 70,01 70,02 
69,97 70,06 69,68 70,03 69,97 69,90 69,98 69,85 70,00 70,07 
70,05 70,05 70,06 70,08 69,88 70,10 70,01 69,97 69,95 70,01 
70,18 69,96 70,08 70,09 69,94 70,06 70,10 69,91 71,08 69,97 
70,25 70,14 69,91 69,98 69,99 70,03 69,96 69,96 71,05 69,96 
70,09 70,04 69,95 70,04 69,97 70,00 70,02 69,93 70,42 70,01 
0,28 0,18 0,40 0,11 0,17 0,20 0,14 0,12 1,13 0,11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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70,12 70,10 70,11 0,02 
 
70,08 70,10 70,09 0,02 
69,82 69,83 69,83 0,01 
 
70,00 70,00 70,00 0,00 
70,03 70,04 70,04 0,01 
 
70,01 70,02 70,02 0,01 
69,92 69,92 69,92 0,00 
 
69,86 69,87 69,87 0,01 
69,95 69,97 69,96 0,02 
 
70,00 70,02 70,01 0,02 
70,08 70,10 70,09 0,02 
 
69,95 69,95 69,95 0,00 
69,97 69,97 69,97 0,00 
 
70,01 70,02 70,02 0,01 
70,01 70,03 70,02 0,02 
 
70,13 70,10 70,12 0,03 
69,86 69,85 69,86 0,01 
 
69,95 69,97 69,96 0,02 
69,95 69,94 69,95 0,01 
 
69,86 69,85 69,86 0,01 
 
69,973 0,012 
 
69,988 0,013 
 
15) Dadas as mediçoes efetuadas pelos Operadores A, B e C, determinar: 
X2barrasA ; X2barrasB ; X2barrasC ; σRepe ; σRepro ; Desvio Padrão (σM) e Tolerância Natural do processo de medição (6σM)? 
 
PEÇA OPERADOR A OPERADOR B OPERADOR C 
 1 2 R 1 2 R 1 2 R 
1 0,65 0,6 0,05 0,55 0,55 0 0,5 0,55 0,05 
2 1 1 0 1,05 0,95 0,1 1,05 1 0,05 
3 0,85 0,8 0,05 0,8 0,75 0,05 0,8 0,8 0 
4 0,85 0,95 0,1 0,8 0,75 0,05 0,8 0,8 0 
5 0,55 0,45 0,1 0,4 0,4 0 0,45 0,5 0,05 
6 1 1 0 1 1,05 0,05 1 1,05 0,05 
7 0,95 0,95 0 0,95 0,9 0,05 0,95 0,95 0 
8 0,85 0,8 0,05 0,75 0,7 0,05 0,8 0,8 0 
9 1 1 0 1 0,95 0,05 1,05 1,05 0 
10 0,6 0,7 0,1 0,55 0,5 0,05 0,85 0,85 0 
TOTAIS 8,3 8,25 0,45 7,85 7,5 0,45 8,25 8,3 0,25 
 
Resp.: X2Barras A= 0,8275; X2Barras B= 0,7675; X2Barras C= 0,8300 
Sigma de medição(σM)= 0,049 Sigma natural de medição(6σM)= 0,049 
 
16) Com base nas cartas de controle, e sabendo-se que LSE = 346, LIE = 200, n = 5. Pede-se os valores de Cp, 
k, e Cpk. 
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Resp.: T = 146 ; σ = 31.94 ; 6σ = 191.66 ; Cp = 0.761 ; Cpk = 0.672 
 
 
17) Para avaliar o desempenho metrológico de um voltímetro portátil, uma pilha padrão de (1500 ± 
0,001) V foi medida repetidamente. As indicações obtidas estão apresentadas na tabela abaixo, 
todas em Volts. Com esses dados determine: 
a. Valor do erro da primeira medicão 
b. Tendência e correlação do voltímetro 
c. Incerteza padrão e a repetibilidade do voltímetro 
Nº Indicação (V) Nº Indicação (V) Nº Indicação (V) 
1 1,580 5 1,590 9 1,598 
2 1,602 6 1,605 10 1,581 
3 1,595 7 1,584 11 1,600 
4 1,570 8 1,592 12 1,590 
 Considerar que coef. de Student (t) é de 2,255 
Resposta: 
a. E1 = 0,080 
b. Td = + 0,091 
c. C = - 0,091 
d. u = 0,01033 
 
18) A média de medições de repetibilidade possui influência sobre os erros de medição. Considera que 
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seja feita a média de quatro medições do voltímetro do exercício anterior. Para 
essas condições, pede-se: 
a. qual seria o valor da repetibilidade para a média de quatro indicações 
b. qual o valor da correção a ser aplicada para a média de quatro medições repetidas? 
Resposta: 
a. Re = 0,02329 ≈ 0,023 / ReI = 0,012 
b. C = - 0,091 
 
19) A repetividade da média de medições repetidas é menor quanto maior for o núemro de medições 
repetidas envolvidas. Para o voltímetroo do exercício 1, determine o número de medições repetidas 
necessárias para que a repetibidade da média não seja superior a 0,01 Volts. 
Resposta: n = 6 
 
20) O gráfico abaixo esquematiza uma curva de erros de umvoltímetri digital. A linha mais espessa 
representa a linha da tendência. As duas linhas finas paralelas a ela representam os limites da feixa 
de repetividade. Para essa curva de erros, determine: 
a. Tendência e a correção a ser aplicada quando a indicação é de 1,00 V; 
b. Idem quando a indicação é 1,50 V; 
c. Repetividade desse voltímetro quando a indicação é 1,50V 
d. Valor do erro máximo desse voltímetro; 
 
 
Resposta: 
a. Td = 2,5V / C = -2,5V 
b. Td = 9V / C = -9V 
c. Re = 5 
d. Re = 20 (erro máximo) 
 
21) O diâmetro de um eixo de alumínio foi medido por um micrômetro de aço em um dia frio, quando a 
temperatura era de 5ºC, sendo encontrada a indicação 20,112 mm. Sabendo que o coeficiente de 
dilatação térmico do alumínio é de 23 um/(m.K) e do aço é de 11,5 um/(m.K), calcule e aplique o 
fator de correção necessário para compensar o erro devido a temperatura. 
Resposta: C = 0,0035 mm 
 
22) Dado o desenho abaixo, pede-se: 
a. Valor máximo da tolerância geométrica de localização; 
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b. Valor máximo do bonus de tolerância geométrica de localização;
 
Resposta: FURO - Tolerância = 0,23 / Bonus = 0,09 
 
23) Dado o desenho abaixo, pede-se: 
c. Valor máximo da tolerância geométrica de localização; 
d. Valor máximo do bonus de tolerância geométrica de localização; 
 
Resposta: EIXO - Tolerância = 0,19 / Bonus = 0,09 
 
 
 
24) Determine os valores máximo de bonus da tolerância, considerando ambas perspectivas (furo e 
eixo) da figura abaixo: 
 
Resposta:FURO & EIXO - Bonus = 0,09 
 
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25) (P2 - 2°sem/2014) A partir de uma determinada produção tem se os seguintes 
dados: 
T=0,20mm; As=0,1; Ai=-0,1; M=20,3mm 
Amostras do processo: 20,37 20,33 20,32 20,37 20,38 20,36 
 
Determine Xbarra, s, Cp, K,Cpk, LIP, LSP, LIE, LSE. 
 
26) (P2 - 1°sem/2016) Em um laboratório de metrologia à 20°C foram realizadas 8 medições num bloco 
padrão de aço para a calibração de um relógio comparador, sendo a tolerância t=2,492. As 
medições seguem abaixo: 
 
20,001 20,000 19,998 19,995 19,998 19,995 19,999 19,998 
 
Determine: 
a) O mensurando 
b) O valor Td 
c) O valor de C 
d) O erro para o maior valor 
e) A incerteza 
f) O valor de Re (95,45%) 
 
 
 
27) (P2 - 2°sem/2016) Dada a especificação 100js7 e a amostra abaixo: 
 
100,008 100,000 99,993 99,996 99,998 100,005 
 
Responda, comprovando através de indicadores numéricos: 
: 
a) O processo de fabricação é preciso ou impreciso? (R: Impreciso, Cp=1,04) 
b) O processo de fabricação é centralizado ou descentralizado? (R: Centralizado, K=0) 
c) O processo de fabricação é exato ou inexato? (R: Inexato, Cpk=1,04) 
 
 
28) (P2-1º/2017) Dado o desenho abaixo pede-se: 
 
Indicar os datuns B (linha de centro do cilindro com diâmetro de 2”) e C (plano central do rasgo de 0,3”). 
Complete os quadros de controle: 1 – Referente às 8 linhas de centro do conjunto de furos, com tolerância de 
posição cilíndrica de diâmetro 0,004” em MMC, sendo o datum primário A, secundário B em MMB e terciário C 
em MMB; 2- Referente à perpendicularidade de B em relação a A, cuja zona de tolerancia cilíndrica é de 0,001” 
em RFS; 3 – Referente à posição da linha de centro do cilindro de diámetro 3,5” cuja zona de tolerância cilíndrica 
é de 0,007” em MMC, tendo datum primário A e secundário B em MMB; 4 – Referente à tolerancia de posição do 
furo central cuja zona de tolerância é um cilindro com diámetro de 10 centésimos de polegada em MMC, com 
datum primário A e datum secundário B em MMB; 5 – Referente à tolerância de batimento radial simples de 
0,002” junto ao cilindro de diámetro 1,5” com datuns A e B; 6 – Referente à posição do rasgo de 0,3”, tendo como 
datuns A e B em RMB e zona de tolerancia de 0,006” em RFS 
Obs. Tolerâncias dimensionais de FOS não indicadas são de ± 0,002” 
Projeções no 3° diedro (padrão americano) 
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Quantos elementos FOS há neste desenho? 
Quais são os datum FOS? 
Quantos elementos que não são FOS há neste desenho? 
3x .100 x 45° 
.620 
.005 A 
A 
Ø3.500 
2X R .050 
1.500 .015 D 
.400 
.915 
1.500 
.002 
.002 A 
.300 ± .003 
Ø1.500 ± .002 
Ø2.000 ± .001 
8 X 45° 
8 X Ø.312 D 
Ø2.750 
Ø .500