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Propriedades do determinante
Se A e B são matrizes quadradas n× n, então
• det(AB) = det(A) det(B)
• det(A) = det(At)
Observação 1. Como a transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular
inferior e a diagonal principal da transposta de uma matriz quadrada A é igual à diagonal
principal da matriz A, então
det(A) = det(At) = a11a22...ann
Ou seja, o determinante de uma matriz triangular superior é o produto das entradas da sua
diagonal principal.
Exemplo 1. Se
A =

5 1 2 200 13
0 −2 0 −15 34
0 0 4 517 28
0 0 0 −1 −17
0 0 0 0 3

então det(A) = 5 · (−2) · 4 · (−1) · 3 = 120.
Exemplo 2. Sejam
A =

1 0 0 0
−1 2 0 0
2 −1 1 0
1 3 0 1
 e B =

1 2 −1 1
0 1 4 −5
0 0 3 8
0 0 0 −7

Temos que
• detA = 2 (pois A é uma matriz triangular inferior).
• detB = −21 (pois B é uma matriz triangular superior).
• AB =

1 2 −1 1
−1 0 9 −11
2 3 −3 15
1 5 11 −21

e, portanto,
det

1 2 −1 1
−1 0 9 −11
2 3 −3 15
1 5 11 −21
 = det(AB) = −42
1
Calculando o determinante à partir do escalonamento de uma matriz
O seguinte teorema nos diz o que acontece com o determinante de uma matriz quadrada
quando aplicamos operações elementares sobre suas linhas:
Teorema 1. Sejam A e B matrizes quadradas n× n.
• Se B é obtida de A multiplicando-se uma linha de A por um escalar α, então
det(B) = α det(A)
• Se B é obtida de A trocando-se a posição de duas linhas de A, então
det(B) = − det(A)
• Se B é obtida de A somando-se a uma linha de A um múltiplo escalar de outra linha,
então
det(B) = det(A)
Observe que se uma das linhas de uma matriz quadrada A é um múltiplo escalar de outra
linha, então detA = 0. De fato, se subtrairmos o múltiplo conveniente de uma dessas linhas na
outra, a matriz resultante passa a ter uma linha toda de zeros (e, portanto, seu determinante
é zero). Como o determinante da matriz não foi alterado por essa operação elementar, então o
determinante de A também é zero. Em particular, se a matri A tiver duas linhas iguais, então
detA = 0.
Exemplo 3. Calcule o determinante da matriz
A =

5 1 2 200 13
0 −2 0 −15 34
0 0 4 517 28
0 0 0 −1 −17
0 −2 0 −15 34

Como a segunda linha e a última linha de A são iguais, então detA = 0.
Exemplo 4. Calcule o determinante da matriz
A =

5 1 −2 200 −13
0 −2 0 −15 34
0 7 4 517 28
0 −21 53 −1 −17
−10 −2 4 −400 26

Fazendo L5 + 2L1 (o que não altera o determinante da matriz), obtemos
A =

5 1 2 200 13
0 −2 0 −15 34
0 7 4 517 28
0 −21 53 −1 −17
0 0 0 0 0

2
Como o determinante de uma matriz triangular superior já é facilmente calculado (pois é
a multiplicação das entradas da sua diagonal principal), então (para calcular o determinante
de uma matriz utilizando o escalonamento) podemos escalonar a matriz só até obter sua forma
escalonada. Ou seja, não precisamos escalonar a matriz até chegar na forma escalonada redu-
zida, pois uma matriz na forma apenas escalonada é triangular superior e seu determinante já
é simples o suficiente.
Exemplo 5. Calcule o determinante da matriz
A =

1 0 −2 1
−2 0 1 0
0 −1 1 2
3 4 1 −2

Vamos escalonar a matriz A. Somando duas vezes a primeira linha à segunda linha:
1 0 −2 1
0 0 −3 2
0 −1 1 2
3 4 1 −2

(e o determinante permanece intacto). Subtraindo três vezes a primeira linha da quarta linha:
1 0 −2 1
0 0 −3 2
0 −1 1 2
0 4 7 −5

(e o determinante permanece intacto). Trocando a segunda linha com a terceira:
1 0 −2 1
0 −1 1 2
0 0 −3 2
0 4 7 −5

(o determinante troca de sinal e, portanto, o determinante da matriz acima é − detA). So-
mando quatro vezes a segunda linha à quarta linha:
1 0 −2 1
0 −1 1 2
0 0 −3 2
0 0 11 3

(e o determinante da matriz acima continua sendo − detA). Dividindo a terceira linha por −3:
1 0 −2 1
0 −1 1 2
0 0 1 −2
3
0 0 11 3

(o determinante é dividido por −3 e, portanto, o determinante da matriz acima é (− detA)
(−3) =
detA
3
). Subtraindo 11 vezes a terceira linha da quarta:
1 0 −2 1
0 −1 1 2
0 0 1 −2
3
0 0 0 31
3

3
(e o determinante da matriz acima continua sendo
detA
3
). Observe que a última matriz é
triangular superior e seu determinante é a multiplicação da sua diagonal principal. Logo,
detA
3
= det

1 0 −2 1
0 −1 1 2
0 0 1 −2
3
0 0 0 31
3
 = −313
e concluímos que detA = −31.
Exemplo 6. Calcule o determinante da matriz
A =

1 1 2 1
−2 1 2 0
1 −1 1 2
3 4 1 −2

Vamos escalonar a matriz A. Somando duas vezes a primeira linha à segunda linha:
1 1 2 1
0 3 6 2
1 −1 1 2
3 4 1 −2

(e o determinante permanece intacto). Subtraindo a primeira linha da terceira linha:
1 1 2 1
0 3 6 2
0 −2 −1 1
3 4 1 −2

(e o determinante permanece intacto). Subtraindo 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
1 1 2 1
0 3 6 2
0 −2 −1 1
0 1 −5 −5

Dividindo a segunda linha por 3: 
1 1 2 1
0 1 2 2
3
0 −2 −1 1
0 1 −5 −5

(o determinante é dividido por 3 e, portanto, o determinante da matriz acima é detA
3
). Somando
duas vezes a segunda linha à terceira linha:
1 1 2 1
0 1 2 2
3
0 0 3 7
3
0 1 −5 −5

4
(e o determinante da matriz acima continua sendo
detA
3
). Subtraindo a segunda linha da quarta
linha: 
1 1 2 1
0 1 2 2
3
0 0 3 7
3
0 0 −7 −17
3

(e o determinante da matriz acima continua sendo
detA
3
). Dividindo a terceira linha por 3:
1 1 2 1
0 1 2 2
3
0 0 1 7
9
0 0 −7 −17
3

(o determinante é dividido por 3 e, portanto, o determinante da matriz acima é detA
9
). Somando
7 vezes a terceira linha à quarta: 
1 1 2 1
0 1 2 2
3
0 0 1 7
9
0 0 0 −2
9

(e o determinante da matriz acima continua sendo
detA
9
). Observe que a última matriz é
triangular superior e seu determinante é a multiplicação da sua diagonal principal. Logo,
detA
9
= det

1 1 2 1
0 1 2 2
3
0 0 1 7
9
0 0 0 −2
9
 = −
2
9
e concluímos que detA = −2.
Como a transposta de uma matriz é obtida trocando-se as linhas pelas colunas e como
det(At) = detA, então o seguinte resultado vale:
Corolário 1. Sejam A e B matrizes quadradas n× n.
• Se B é obtida de A multiplicando-se uma coluna de A por um escalar α, então
det(B) = α det(A)
• Se B é obtida de A trocando-se a posição de duas colunas de A, então
det(B) = − det(A)
• Se B é obtida de A somando-se a uma coluna de A um múltiplo escalar de outra coluna,
então
det(B) = det(A)
5
• Se A possui duas colunas iguais, então det(A) = 0.
Exemplo 7. Vamos calcular o determinante da matriz
A =

2 4 6 −1
1 2 9 7
1 2 −5 1
−3 −6 4 −15

Dividindo a segunda coluna de A por 2:
A =

2 2 6 −1
1 1 9 7
1 1 −5 1
−3 −3 4 −15

(o determinante é dividido por 2 e, portanto, o determinante da matriz acima é detA
2
). Como
a matriz acima tem duas colunas iguais, então
detA
2
= det

2 2 6 −1
1 1 9 7
1 1 −5 1
−3 −3 4 −15
 = 0
Logo, detA = 0.
6