Para compreender o zero de uma função do 1º grau é necessário relembrar dois conceitos importantes

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Para compreender o zero de uma função do 1º grau é necessário relembrar dois conceitos importantes:Função do 1º Grau  e Equação do 1º Grau.
Uma função do 1º grau pode ser escrita da seguinte maneira:
Portanto, o zero de uma função do 1º grau é dado pela expressão:
Logo, o zero da função é dado pelo valor de x que faz com que a função assuma o valor zero. Encontrar este valor de x é muito fácil, pois basta resolver a equação do 1º grau. 
Entretanto, devemos nos atentar para a representação geométrica do zero da função, para que possamos compreender como traçar o gráfico de forma correta.
Veja os pontos marcados sobre o eixo x, note que esses pontos não possuem nenhum deslocamento vertical, ou seja, sua coordenada em relação ao eixo f(x) é nula, é zero. Portanto, quando se encontra a raiz de uma função do 1º grau, ou o zero de uma função do 1º grau, determina-se em qual ponto a reta estará cortando o eixo x.
Encontre o zero da seguinte função: f(x) = 2x-4.
 
Note que o valor do coeficiente (a) é positivo, portanto esta é uma função crescente. Conhecendo o zero da função podemos esboçar o gráfico desta função.
Função Afim
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Por Thyago Ribeiro
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
Domínio: D = R
Imagem: Im = R
São casos particulares de função afim as funções lineares e constante.
Função linear
Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte:
O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.
Domínio: D = R
Imagem: Im = R
Função constante
Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.
Coeficientes numéricos
Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa função.
• Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.
Quando a > 0, a função é crescente.
Quando a < 0, a função é decrescente.
• Coeficiente b: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas, ou seja, b = f(0).
No estudo do sinal da função afim, buscamos os intervalos nos quais a função possui certas características. Lembrando que os valores das funções dependem unicamente da sua variável e da sua lei de formação.
A forma geral de uma função do 1º grau dá-se da seguinte maneira:
Teremos duas situações a serem analisadas, quanto ao sinal dessa função.
a > 0: Função crescente.
Temos que o valor para x=r consiste na raiz da função, ou seja, no zero da função. Partindo desse zero podemos analisar os dois possíveis sinais de uma função (positivo e negativo).
Note no gráfico que:
Caso você não queira construir todo o gráfico, basta encontrar o zero da função e analisar o sinal da função na reta dos reais da variável x. Para isso, use o dispositivo prático, mostrado a seguir:
Note que os sinais (positivo e negativo) representam o valor da função naqueles intervalos (x>r e x<r).
a < 0: Função decrescente.
Na função decrescente, quanto maior for o valor de x, menor será o valor de y (ou f(x)), ou seja, o valor da função decresce conforme o valor da variável x aumenta. Sendo assim, a análise do sinal da função será diferente.
Vejamos a representação gráfica de uma função decrescente:
Analisando o gráfico, temos que:
Pelo dispositivo prático, temos:
Portanto, basta saber se a função é crescente ou decrescente, fato este determinado pelo sinal do coeficiente a, e depois determinar o zero da função. Com isso o estudo do sinal fica fácil.
Compreender esse estudo dos sinais é importante não apenas para as funções no geral, mas também para a determinação do conjunto solução das inequações.
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
Exemplos:
-2x + 7 > 0
x - 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 - x < 0
Resolvendo uma inequação de 1° grau
Uma maneira simples de resolver uma inequação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros. Observe dois exemplos:
Exemplo 1: -2x + 7 > 0
Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1)
2x < 7
x < 7/2
Portanto a solução da inequação é x < 7/2.
Exemplo 2: 2x - 6 < 0
Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3
Portanto a solução da inequação e x < 3
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x - 6 = 0
x = 3
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Função Quadrática
  Definição
    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
 
Gráfico
    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamadaparábola.
Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
		x
	y
	-3
	6
	-2
	2
	-1
	0
	
	
	0
	0
	1
	2
	2
	6
	
    Observação:
   Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
 
Zero e Equação do 2º Grau
    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
    Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
	
    Temos:
                    
Observação
   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:
quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando  é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
quando  é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do Vértice de uma Parábola
Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Função25 comentários
Para determinarmos os vértices de uma parábola temos que encontrar o par ordenado de pontos que constituem as coordenadas de retorno da parábola. Esse ponto de retorno da parábola, mais conhecido como vértice da parábola, pode ser calculado com base nas expressões matemáticas envolvendo os coeficientes da função do 2º grau dada pela lei de formação y = ax² + bx + c. 
O valor de x na determinação do vértice de uma parábola é dado por  e o valor de y é calculado por  . Nesse caso, temos que, quando o coeficiente a for maior que zero, a parábola possui valor mínimo e quando a menor que zero, valor máximo. 
Valor mínimo (a > 0)
Valor máximo (a < 0) 
Exemplo 
Para produzirmos x unidades de uma mercadoria, temos que o custo dessa produção em reais é dado pelaexpressão matemática C = x² – 80x + 3000. Com base nessa expressão, determine a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo e qual o valor mínimo do custo. 
Quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo será de 40 peças. Observe:
Valor mínimo do custo será de R$ 1 400,00. Veja:
 Por Marcos Noé
Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião a jato descreve um arco no formato de uma parábola de acordo com a seguinte função y = –x² + 60x. Determine a altura máxima atingida pelo avião. 
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Questão 2
Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo. 
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Questão 3
(UA – AM)
Após várias experiências em laboratório, observou-se que a concentração de certo antibiótico, no sangue de cobaias, varia de acordo com a função y = 12x – 2x², em que x é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas condições, determine o tempo necessário para que o antibiótico atinja nível máximo de concentração no sangue dessas cobaias. 
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Questão 4
De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L = R – C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto.
Uma indústria de peças automotivas produziu x unidades e verificou que o custo de produção era dado pela função C(x) = x² – 2000x e a receita representada por R(x) = 6000x – x². Com base nessas informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo. 
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Respostas
Resposta Questão 1
Parábola com concavidade voltada para baixo.
Coeficientes da função: a = –1, b = 60 e c = 0
Altura máxima será representada por Yv.
A altura máxima atingida pelo avião de acordo com a função foi de 900 metros
 
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Resposta Questão 2
Parábola com concavidade voltada para cima.
Na função, os coeficientes são: a = 1, b = –80 e c = 3000
Quantidade de unidades vendidas para que o custo seja mínimo será dada por Xv.
Para que o custo seja mínimo, a empresa deverá produzir somente 40 unidades do produto.
Valor do custo mínimo será dado por Yv.
 
O valor do custo mínimo é de R$ 1 400,00.
 
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Resposta Questão 3
Parábola com concavidade voltada para baixo.
Coeficientes da função: a = –2, b = 12 e c = 0
O tempo necessário será representado por Xv.
O tempo necessário será de 3 horas. 
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Resposta Questão 4
L = R – C
L = 6000 – x² – (x² – 2000x)
L = 6000 – x² – x² + 2000x
L = –2x² + 8000x
Coeficientes: a = –2, b = 8000 e c = 0
Para determinar o número de peças produzidas para que o lucro seja máximo, devemos utilizar Xv.
Para que o lucro seja máximo, a empresa deverá produzir 2 000 peças.