vertice da parabola

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Midiateca
Aula 3Aplicação: problemas de otimização
Os números governam o mundo.
Platão
Nesta aula, estudaremos o modelo quadrático e suas aplicações nas análises de problemas reais, sendo que, agora, com foco na busca pelos melhores resultados, o que chamamos de otimização.
É comum o interesse no universo da gestão de processos na otimização, tais como: maior produção com menor custo, maior rentabilidade em uma aplicação com menor risco ou prazo e lucro maior.
E a função quadrática apresenta um ponto de máximo ou de mínimo; assim, é muito frequente o interesse no ponto que conhecemos como coordenadas do vértice da parábola.
Exemplo:
O sócio-diretor, surpreendido com a resposta, mas convencido dos argumentos apresentados por você, gerente financeiro, formulou a seguinte pergunta:
Então, qual deve ser o preço para que possamos ter nosso melhor resultado?
O que você diria?
Solução:
Já vimos, na aula anterior, que a função lucro se comporta de forma quadrática e, assim, apresenta um ponto de máximo ou de mínimo. No caso, como o coeficiente que acompanha a variável quadrática é negativo (a < 0), sabemos, de acordo com o conteúdo da Aula 1, que a concavidade dessa função está voltada para baixo, logo ela apresenta um ponto de máximo; como ela representa a modelagem do lucro, então temos um ponto de lucro máximo.
Toda atividade econômica objetiva maximizar seus resultados explorando ao máximo a planta (reunião de toda a infraestrutura disponível para a operação), o que chamamos de otimização de resultado, que, no nosso exemplo, está no ponto de máximo da função que é seu vértice.
A determinação do vértice de uma parábola é dada pelas seguintes fórmulas:
	Ly =  -∆  = -(b2 - 4.a.c)
   4.a          4.a  
Lx =   -b  
       2.a
Os coeficientes podem ser obtidos a partir da função lucro:
	f(x) = a.x2 + b.x -c
L(q) = - 0,167.q2 + 83,33.q - 6.667
a = -0,167       b = 83,33       c = -6.667
Substituindo os coeficientes nas fórmulas dos vértices, temos:
	Ly =  -∆  = -(b2 - 4.a.c) = -(83,332 - 4. - 0,167. - 6.667) = 3.728,04 ≈ 3.750,00
4.a          4.a                       4. - 0,167                                           
Lx =   -b   =     -83,33     = 249,49 ≈ 250
       2.a       2. - 0,167                         
Concluímos, então, que, com uma demanda de 250 unidades, teremos um Lucro de R$ 3.750,00, e esse lucro é o maior que poderemos conseguir com essa planta. Claro que, se alterarmos os parâmetros do custo ou da demanda, teremos impactos nos lucros.
Então, a partir da demanda (250) que leva ao máximo lucro (3.750), devemos consultar a equação da demanda versus preço e verificar a qual preço essa demanda está associada.
Vejamos:
	Pv = 133,33 - 0,167.q = 133,33 - 0,167.250 = 91,58
Então, o máximo lucro ocorrerá quando a demanda for de 250 unidades, e, para isso, deverá ser praticado um preço de R$ 91,58.
O que responder, então, ao sócio-diretor?
Sr. Diretor, nossa empresa atualmente pratica um preço de venda do nosso perfume de R$ 100,00, e, assim, estamos vendendo 200 unidades mensalmente. Contudo, se aumentarmos o preço, aparentemente isso nos sugere um aumento na receita, mas veja que, com o aumento no preço, venderemos um número menor de unidades, e isso neutralizará nosso aumento de receita. Isso pode ser visto no gráfico do nosso lucro: para podermos ter sucesso (lucro > 0), devemos trabalhar com uma faixa de vendas de 100 a 400 unidades, o que implica uma faixa de preço de R$ 116,67 a R$ 66,67, respectivamente.
Então, se aplicarmos um aumento de 20% sobre o valor atual de R$ 100,00, isso nos levará a um preço de R$ 120,00, cuja demanda será de 80 unidades por mês, e, assim, nosso lucro será negativo.
Então, nossa ação correta deverá ser de ter o foco no lucro, que é nosso resultado final, e, assim, maximizá-lo. Isso acontece quando temos uma demanda de 250 unidades por mês em vendas, o que é obtido com um preço de venda de R$ 91,58, logo deveremos baixar o preço dos atuais R$ 100,00 para R$ 91,58, o que representa uma redução no nosso preço de:
	% = 91,58 - 100,00 = -8,42%
   100,00            
Os gráficos abaixo mostram o que estou dizendo: