Parte 1 Limites

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1. Limites: uma visão intuitiva 
 
A idéia de limite é uma das mais importantes (e difíceis) da Matemática. Ela diz 
respeito essencialmente ao fato de estar próximo. 
 
Em Matemática, dizer que dois objetos estão próximos significa que a distância entre 
eles é pequena. É claro que ser pequeno é algo extremamente relativo. 
 
A distância entre astros, como o planeta Terra e seu satélite natural, a Lua é de 
aproximadamente 384.405 km, ao passo que a distância entre a Terra e o Sol é de 
149.000.000 km. Comparando essas distâncias, vemos que a distância entre a Terra e a 
Lua é pequena, quando comparada com a distância entre a Terra e o Sol, mas gigantesca 
quando comparada com a distância entre João Pessoa e Recife, por exemplo. 
 
A idéia por trás da definição de limite é a de observar o que ocorre com os valores de 
uma dada função f quando os valores da variável independente se tornam 
arbitrariamente grandes (positivos ou negativos) ou próximos de um determinado valor 
fixado. Recorde que, se ( )y f x= é uma função, a variável x é chamada de variável 
independente. 
 
 
Aqui é necessário que entendamos bem uma coisa simples, mas que algumas vezes 
gera alguma confusão. É o seguinte: se f é uma função e x é um ponto do domínio 
de f , o valor de ( )f x (isto é o y que se corresponde com x através da função f ) 
é visto no gráfico de f olhando quem é o y do ponto correspondente do gráfico e 
que tem aquele x como abscissa. 
 
 
 Para começarmos a falar de limites, vamos observar atentamente os exemplos que virão 
a seguir. 
 
Exemplo 1. Considere a função ( ) 2 2f x x x= − + . Para essa função, vamos procurar 
compreender o que acontece com os valores de ( )y f x= , quando os valores de x se 
tornam cada vez mais próximos de 2 . Observe a tabela a seguir: 
 
x ( )y f x= x ( )y f x= 
1,0 2,000000 3,0 8,000000 
1,5 2,750000 2,5 5,750000 
1,8 3,440000 2,2 4,640000 
1,9 3,710000 2,1 4,310000 
1,95 3,852500 2,05 4,152500 
1,99 3,970100 2,01 4,030100 
1,995 3,985025 2,005 4,015025 
1,999 3,997001 2,001 4,003001 
 
Nessa tabela vemos que ocorre a seguinte situação: à medida que nos aproximamos de 
2x = , os valores de ( )y f x= se aproximam de 4 . Dizendo isso de outra maneira: 
quando a distância entre x e 2 é pequena, a distância entre ( )y f x= e 4 também é 
pequena. Para simbolizar essa situação utilizamos o seguinte símbolo: ( ) 4f x → 
quando 2x → . Esse símbolo captura toda essa situação que acabamos de descrever. Ele 
diz que quando x está próximo de 2 , ( )f x está próximo de 4 . Mais tarde retornaremos 
a ele em um contexto e numa reformulação um pouco mais gerais. Deste exemplo, 
tiramos a seguinte conclusão que está destacada a seguir: 
 
Estando os valores de x próximos de 2 , tanto pela esquerda, como pela direita de 
2, os valores de ( )y f x= ficam próximos de 4 . 
 
Com o auxílio do software livre Geogebra (versão on line 
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR), podemos traçar o gráfico dessa função e 
confirmarmos, geometricamente, o fato que a tabela acima nos mostrou. Logo a seguir, 
vemos o gráfico dessa função. 
 
 
Exemplo 2. Agora consideremos a seguinte função ( )
2 1, 1
1, 1
x se xf x
x se x
 − <
= 
+ ≥
. Façamos 
uma discussão semelhante à que foi feita para a função do exemplo anterior, observando 
o que ocorre com os valores de ( )y f x= quando os valores de x ficam próximos de 1. 
Vamos construir uma tabela semelhante à que foi feita no exemplo anterior. 
 
x ( )y f x= x ( )y f x= 
0,9 -0,19 1,01 2,01 
0,99 -0,9919 1,001 2,001 
0,999 -0,999919 1,0001 2,0001 
0,9999 -0,001999 1,00001 2,00001 
0,99999 -0,0000199999 1,000001 2,000001 
0,999999 -0,000001999999 1,0000001 2,0000001 
0,9999999 -0,00000019999999 1,00000001 2,00000001 
0,99999999 -0,0000000199999999 1,0000000001 2,0000000001 
 
Nesse caso, aconteceu algo diferente da situação do exemplo anterior. Olhando 
atentamente para a tabela, vemos que quando os valores de x ficam próximos de 1, os 
valores de ( )y f x= não ficam perto de alguém definido. Como assim? Veja: se os 
valores de x ficam próximos de 1, mas pela esquerda de 1 (isto é, por valores 
menores que 1) os valores de ( )y f x= ficam próximos de 0 . Por outro lado, se os 
valores de x ficam próximos de 1, mas pela direita de 1 (isto é, por valores maiores 
que 1) os valores de ( )y f x= ficam próximos de 2 . 
Nesse caso não podemos dizer que, quando x está próximo de 1, os valores de 
( )y f x= ficam próximos de alguém determinado. Isso porque, como vimos, 
dependendo de que lado de 1 os valores de x estejam, os valores de ( )y f x= podem 
ficar próximos de 0 (esquerda) ou de 2 (direita). O máximo que podemos dizer é que: 
 
• Quando x ficam próximos de 1, mas pela esquerda de 1 (isto é, por valores 
menores que 1) os valores de ( )y f x= ficam próximos de 0 . Para simbolizar 
isso utilizamos o seguinte símbolo ( ) 0f x → quando 1x −→ Ele, conforme o 
anterior captura o fenômeno que nós constatamos acontecer. Escrever que 
1x −→ significa que x está próximo de 1 pela esquerda de 1. 
 
• Quando x ficam próximos de 1, mas pela direita de 1 (isto é, por valores 
maiores que 1) os valores de ( )y f x= ficam próximos de 2 . Para simbolizar 
isso utilizamos o seguinte símbolo ( ) 2f x → quando 1x +→ . Ele, conforme o 
anterior captura o fenômeno que nós constatamos acontecer. Escrever que 
1x +→ significa que x está próximo de 1 pela direita de 1. 
 
Desse exemplo, tiramos uma importante lição, que destacaremos a seguir: 
 
Estando os valores de x próximos de 1, pela esquerda, os valores de ( )y f x= ficam 
próximos de 0 e estando os valores de x próximos de 1, pela direita, os valores de 
( )y f x= ficam próximos de 2 . 
 
Com o auxílio do software Geogebra, podemos traçar o gráfico dessa função e 
confirmarmos, geometricamente, o fato que a tabela acima nos mostrou. Logo a seguir, 
vemos o gráfico dessa função. 
 
 
 
Exemplo 3. Agora vamos analisar o que ocorre com a função ( ) 1 2
2
f x
x
= +
−
. Vejamos 
o que ocorre com os valores de ( )y f x= , quando os valores de x ficam cada vez mais 
próximos de 2 . Perceba que 2 não pertence ao domínio da função f . Novamente 
vamos construir uma tabela com valores e vermos o que ocorre. 
 
x ( )y f x= x ( )y f x= 
1,9 -8 2,01 102 
1,99 -98 2,001 1002 
1,999 -998 2,0001 10002 
1,9999 -9998 2,00001 100002 
1,99999 -99998 2,000001 1000002 
1,999999 -999998 2,0000001 10000002 
1,9999999 -9999998 2,00000001 100000002 
1,99999999 -99999998 2,0000000001 1000000002 
 
Observe à medida que os valores de x ficam mais próximos de 2 , mas pela esquerda de 
2, os valores de ( )y f x= ficam cada vez maiores, mas negativos. Por outro lado, 
quando valores de x ficam mais próximos de 2 , mas pela direita de 2, os valores de 
( )y f x= ficam cada vez maiores, mas positivos. Antes de representarmos 
simbolicamente essa situação, vamos destacar algo em que esse exemplo difere dos 
anteriores: 
 
Estando próximos de 2, não importa se pela esquerda ou pela direita, os valores de 
( )y f x= não ficam próximos a nenhum valor definido ou finito. 
 
 
Agora vamos representar simbolicamente a situação anteriormente descrita. Já temos 
um símbolo que represente “ x está próximo de 2 pela esquerda” que é 2x −→ . Agora 
vamos introduzir um símbolo que traduza a expressão “os valores de ( )y f x= ficam 
cada vez maiores, mas negativos”. Esse símbolo é ( )f x → −∞ . O símbolo ∞ (lemos 
infinito) não é um número. Ele serve para indicar que uma variável está assumindo 
valores muito grandes. Se esses valores muito grandes são negativos, colocamos o sinal 
de menos à frente dele. Se esses valores forem positivos, colocamos o sinalde mais. O 
símbolo ∞ foi introduzido na Matemática pelo inglês John Wallis. Assim, quando 
dissermos que ( )f x → −∞ quando 2x −→ estamos querendo dizer que: “quando os 
valores de x estão próximos de 2 , mas pela esquerda dele, os valores de ( )y f x= 
ficam cada vez maiores, mas negativos.” De forma totalmente semelhante, podemos 
dizer que ( )f x → +∞ quando 2x +→ . 
 
Com o auxílio do software Geogebra, podemos traçar o gráfico dessa função e 
confirmarmos, geometricamente, o fato que a tabela acima nos mostrou. Logo a seguir, 
vemos o gráfico dessa função. 
 
 
 
Vamos fazer uma pausa e observar o que fizemos até agora. Nos três exemplos 
anteriores, dispúnhamos de uma função e um ponto que podia pertencer ou não ao seu 
domínio e investigamos o que acontecia com os valores que essa função assumia 
quando os valores da variável independente estavam próximos do ponto. Os três 
exemplos, a menos de pequenas alterações, mostram as situações possíveis. 
 
No próximo exemplo, mudaremos um pouco essa perspectiva: vamos tornar os valores 
da variável independente, muito grandes, positivamente ou negativamente, e vermos o 
que ocorre com os valores assumidos pela função. 
 
Exemplo 4. Vamos aproveitar a função do Exemplo 3 para observarmos o que ocorre 
com os valores de ( )y f x= quando os valores de x ficam muito grandes positivamente. 
Podemos dizer isso simbolicamente apenas escrevendo x → +∞ . Como nos exemplos 
anteriores, vamos primeiro construir uma tabela. 
 
x ( )y f x= 
12 2,1 
102 2,01 
1002 2,001 
10002 2,0001 
100002 2,00001 
1000002 2,000001 
10000002 2,0000001 
100000002 2,00000001 
 
O que notamos, da análise dos resultados da tabela? Notamos que, quando os valores de 
x se tornam cada vez maiores, positivamente, os valores de ( )y f x= estão cada vez 
mais próximos de 2 . Isso pode ser traduzido em símbolos da seguinte maneira: 
( ) 2f x → quando x → +∞ . 
 
Construamos agora uma tabela para valores de x cada vez maiores, negativamente. 
 
x ( )y f x= 
-8 1,9 
-98 1,99 
-998 1,999 
-9998 1,9999 
-99998 1,99999 
-999998 1,999999 
-99999998 1,9999999 
-999999998 1,99999999 
 
Perceba a semelhança com o que aconteceu quando os valores de x eram muito grandes, 
positivamente. Aqui temos que, quando os valores de x ficam muito grandes, 
negativamente, os valores de ( )y f x= ficam cada vez mais próximos de 2 . Isso pode 
ser traduzido em símbolos da seguinte maneira: ( ) 2f x → quando x → −∞ . Confira na 
animação do Geogebra que está na página da disciplina o gráfico dessa função e o 
comportamento que acabamos de detectar. 
 
Exemplo 5. Consideremos agora a função ( ) 3f x x= e observemos o que ocorre com os 
valores de ( )y f x= quando os valores de x ficam muito grandes, negativamente. 
Comecemos com a nossa tabela. 
 
x ( )y f x= 
-10 -1000 
-100 -1000000 
-1000 -1000000000 
-10000 -1000000000000 
-100000 -1000000000000000 
-1000000 -1000000000000000000 
-10000000 -1000000000000000000000 
-100000000 -1000000000000000000000000 
 
Constatamos nesse caso que à medida que os valores de x vão ficando cada vez 
maiores, negativamente, o mesmo se dá com os valores de ( )y f x= . Assim, de acordo 
com nossas experiências anteriores, podemos escrever essa situação de forma simbólica 
assim: ( )f x → −∞ quando x → −∞ . 
 
Passemos agora à análise do caso em que os valores de x vão ficando cada vez maiores, 
positivamente. De novo, vamos recorrer a uma tabela. 
 
x ( )y f x= 
10 1000 
100 1000000 
1000 1000000000 
10000 1000000000000 
100000 1000000000000000 
1000000 1000000000000000000 
10000000 1000000000000000000000 
100000000 1000000000000000000000000 
 
O que constatamos? Algo muito parecido com o que foi constatado na análise anterior: à 
medida que os valores de x ficam cada vez maiores, positivamente, o mesmo ocorre 
com os valores de ( )y f x= . De acordo com nossas experiências anteriores, podemos 
descrever essa situação de forma simbólica assim: ( )f x → +∞ quando x → +∞ . 
 
Com o auxílio do software Geogebra, podemos traçar o gráfico dessa função e 
confirmarmos, geometricamente, o fato que a tabela acima nos mostrou. 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
1. Para a função ( )
3
2
8
4
xf x
x
−
=
−
, complete as seguintes tabelas e utilize-as para intuir o 
que acontece com os valores de ( )y f x= , quando 2x +→ e quando 2x −→ . 
 
x ( )y f x= 
2,5 
2,1 
2,01 
2.001 
2,0001 
 
x ( )y f x= 
1,5 
1,9 
1,99 
1,999 
1,9999 
 
2. Para a função ( )
2
2
4 12
2
x xf x
x x
+ −
=
−
, construa uma tabela com os valores de x próximos 
de 2 , tanto pela esquerda quanto pela direita e, veja qual o comportamento dos valores 
de ( )y f x= nesses dois casos. 
 
3. Para a função f cujo gráfico está mostrado a seguir, complete a tabela dada. Você 
não vai precisar construir uma tabela como nas questões anteriores. Suas conclusões 
serão tiradas a partir do gráfico. 
 
 
 
 
x → ( )f x → 
5+− 
4− 
3−− 
3+− 
2− 
1+− 
1−− 
2− 
2+ 
4 
 
 
4. Para a função f cujo gráfico está mostrado a seguir, complete a tabela 
 
 
 
x → ( )f x → 
2− 
2+ 
+∞ 
−∞ 
 
 
 
 
 
 
 
2. Limites: uma visão menos intuitiva 
 
Passaremos agora a algumas definições que serão dadas de forma bastante intuitiva. A 
forma exata e precisa de cada uma delas poderá ser vista em qualquer livro de Análise, 
como por exemplo, o Introdução à Análise Real, volume 1, de Elon Lages Lima. 
 
No caso do exemplo 1, observamos que, quando os valores de x estão próximos de 2 
(independente de que lado), os valores ( )f x estão próximos de um valor definido, no 
caso 4 . 
 
De uma maneira mais geral, quando isso acontecer, isto é, quando os valores ( )f x 
estiverem próximos de um valor definido L quando os valores de x estiverem 
próximos de a (independente de que lado), diremos que o número L é o limite da 
função f quando x tende a a e escreveremos ( )lim
x a
f x L
→
= para simbolizar isso. 
 
É muito importante você entender o que significa esse símbolo. Ele captura a essência 
da seguinte situação: ( )f x está próximo de L , quando x estiver próximo de a . Ou 
seja, quando escrevermos ( )lim
x a
f x L
→
= estamos querendo dizer que os valores de ( )f x 
estarão próximos de L , quando os valores de x estiverem próximos de a . Caso não 
exista um número L que satisfaça a definição anterior, diremos que ( )lim
x a
f x
→
 não existe. 
 
No caso do exemplo 1, é lícito então dizermos que ( )
2
lim 4
x
f x
→
= . 
 
Olhemos agora a situação do exemplo 2. Nesse exemplo, vimos que não ocorre a 
mesma coisa que ocorreu no exemplo 1. Em virtude disso não podemos dizer que 
( )
1
lim 0
x
f x
→
= , pois, apesar dos valores de ( )y f x= estarem próximos de 0 , quando os 
valores x estiverem próximos de 1 pela esquerda, não podemos dizer a mesma coisa 
quando os valores de x estiverem próximos de 1 pela direita. Nesse caso, os valores de 
( )y f x= estarão próximos de 2 , como vimos no exemplo. Também não podemos dizer 
que ( )
1
lim 2
x
f x
→
= . De fato, revertendo o raciocínio anterior, temos que quando os valores 
de x estiverem próximos de 1 pela direita, os valores de ( )y f x= estarão próximos de 
2 , mas quando estiverem próximos de 1 pela esquerda, os valores de ( )y f x= estarão 
próximos de 0 . O que acontece nesse caso é que a função à esquerda de 1 tem um 
comportamento e à direita tem outro. Nesse caso, temos que ( )
1
lim
x
f x→
 não existe. 
 
Apesar de ( )
1
lim
x
f x
→
 não existir, esse exemplo retrata que, pelo menos lateralmente, a 
função tem comportamentos definidos, mesmo que diferentes. Pela esquerda de 1, ela se 
aproxima de 0 , enquanto que pela direita, se aproxima de 2 . 
 
De uma maneira mais geral, isto é, quando os valores ( )f x estão próximos de um 
número M , quando os valores x estão próximos de a , por valores menores que a (ou 
pela esquerda de a ), diremos que M é o limite da função f quando x tende a a pela 
esquerda e escreveremos ( )lim
x a
f x M
−→
= para simbolizar isso. 
Quando os valores de ( )f x estão próximos de um número N , quando os valores de x 
estão próximos de a , por valores maiores que a (ou pela direita de a ), diremos que 
N é o limite da função f quando x tende a a pela direita e escreveremos 
( )lim
x a
f x N
+→
= para simbolizar isso. 
 
É lícito dizermos que, no caso do exemplo 2, temos ( )
1
lim 0
x
f x
−→
= e que ( )
1
lim 2
x
f x
+→
= . 
 
Voltemo-nos agora para o exemplo 3. Nesse exemplo ocorre uma situação parecida com 
a do exemplo 2. Nesse exemplo, quando os valores de x estão cada vez mais próximos 
de 2 pela esquerda, os valores de ( )y f x= se tornam muito grandes, negativamente. 
Situação semelhante ocorre se os valores de x estão se aproximando de 2 pela direita. 
Nesse caso os valores de ( )y f x= se tornam muito grandes, só que positivamente. 
Nesse exemplo podemos dizer que ( )
2
lim
x
f x
→
 não existe. Entretanto, esse tipo de situação 
também merece um destaque. A seguir damos as definições para esse tipo de situação. 
 
De uma maneira mais geral, isto é, quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, 
mas positivos, à medida que os valores x estão próximos de a , por valores menores 
que a (ou pela esquerda de a ), diremos que o limite da função f quando x tende a 
a pela esquerda é +∞ e escreveremos ( )lim
x a
f x
−→
= +∞ para simbolizar isso. 
 
Quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, mas positivos, à medida que os 
valores x estão próximos de a , por valores maiores que a (ou pela direita de a ), 
diremos que o limite da função f quando x tende a a pela direita é +∞ e 
escreveremos ( )lim
x a
f x
+→
= +∞ para simbolizar isso. 
 
Quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, mas negativos, à medida que os 
valores x estão próximos de a , por valores maiores que a (ou pela direita de a ), 
diremos que o limite da função f quando x tende a a pela direita é −∞ e 
escreveremos ( )lim
x a
f x
+→
= −∞ para simbolizar isso. 
 
Quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, mas negativos, à medida que os 
valores x estão próximos de a , por valores menores que a (ou pela esquerda de a ), 
diremos que o limite da função f quando x tende a a pela direita é −∞ e 
escreveremos ( )lim
x a
f x
−→
= −∞ para simbolizar isso. 
 
 
Na figura a seguir ilustramos algumas das situações contempladas na definição acima. 
Convença-se de que a definição se enquadra na figura. 
 
 
Por fim, vamos retornar ao exemplo 4 para darmos uma definição associada ao 
fenômeno lá ocorrido. Nesse exemplo, observamos um comportamento diferente da 
função f , a saber, à medida que os valores de x se tornaram muito grandes, 
positivamente, os valores de ( )f x ficaram cada vez mais próximos de 2 . Situação 
análoga ocorreu quando os valores de x se tornaram muito grandes, negativamente. 
 
De uma maneira geral, quando os valores ( )f x ficam próximos de um número L , à 
medida que os valores x estão cada vez maiores, positivamente, diremos que L é o 
limite da função f quando x tende a +∞ e escreveremos ( )lim
x
f x L
→+∞
= para 
simbolizar isso. 
 
Quando os valores ( )f x ficam próximos de um número M , à medida que os valores x 
estão cada vez maiores, negativamente, diremos que M é o limite da função 
f quando x tende a −∞ e escreveremos ( )lim
x
f x M
→−∞
= para simbolizar isso. 
 
 
 
Faremos agora alguns comentários importantes acerca dessas definições. 
 
1. Em geral não é necessário que ( )lim
x a
f x
→
, quando existir, seja igual a ( )f a . Primeiro 
porque a pode não estar no domínio da função. Segundo porque, mesmo que a esteja 
no domínio da função, pode ocorrer um fenômeno semelhante ao que ocorreu no 
exemplo 2. 
 
2. Não é difícil você convencer-se do seguinte fato: Se ( )lim
x a
f x L
→
= então 
( ) ( )lim lim
x a x a
f x f x L
− +→ →
= = . Em português ele diz que, se os valores de ( )f x ficam 
próximos de L quando os valores de x estão próximos de a então, esses valores 
continuam próximos de L tanto quando os valores de x estão próximos de a , pela 
esquerda, quanto pela direita. A recíproca desse fato também é verdadeira. 
 
3. Mesmo que para uma função f tenhamos ( ) ( )lim lim
x a x a
f x f x
+ −→ →
= = +∞ não podemos 
dizer que ( )lim
x a
f x
→
existe. Isso porque reservamos essa existência apenas para o caso em 
que o valor é um NÚMERO, porquanto, ∞ não é um número. 
 
Vejamos alguns exemplos 
 
Exemplo 1. Considere f a função cujo gráfico está mostrado na figura a seguir. 
 
 
Através desse gráfico podemos ver que: 
 
• ( )
6
lim 0
x
f x
→−
= , já que os valores de ( )f x estão próximos de 0 quando os valores 
de x estão próximos de 6 , tanto pela esquerda, quanto pela direita. 
• ( )
1
lim 4
x
f x
−→
= e ( )
1
lim 2
x
f x
+→
= − , o que nos mostra que ( )
1
lim
x
f x
→
 não existe. 
• ( )
6
lim 5
x
f x
→
= , mas ( )6 2f = 
 
Exemplo 2. Vamos observar o gráfico da função ( ) 4
2
f x
x
−
=
+
 que está mostrado a 
seguir. 
 
 
 
Desse gráfico podemos concluir que: 
 
• ( )
2
lim
x
f x
−→
= +∞ e ( )
2
lim
x
f x
+→
= −∞ . Conseqüentemente, ( )
2
lim
x
f x
→
não existe. 
• ( )lim 0
x
f x
→−∞
= 
• ( )lim 0
x
f x
→+∞
= 
 
Exemplo 3. Para a função ( ) 26f x x= , cujo gráfico está mostrado a seguir, vemos que 
2 20 0
6 6lim lim
x xx x+ −→ →
= = +∞ , bem como 2 2
6 6lim lim 0.
x xx x→−∞ →+∞
= = 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
1. Para a função f cujo gráfico está mostrado a seguir, determine, caso existam os 
limites indicados. 
 
 
 
 
a. ( )
8
lim
x
f x
−→−
 b. ( )
8
lim
x
f x
+→−
 c. ( )
8
lim
x
f x
→−
 d. ( )
2
lim
x
f x
−→−
 
e. ( )
2
lim
x
f x
+→−
 f. ( )
2
lim
x
f x
→−
 g. ( )
6
lim
x
f x
−→
 h. ( )
6
lim
x
f x
+→
 
i. ( )
6
lim
x
f x
→
 j. ( )
10
lim
x
f x
−→
 k. ( )
10
lim
x
f x
+→
 l. ( )
10
lim
x
f x
→
 
 
 
2. Para a função f cujo gráfico está mostrado a seguir, determine, quando existirem, os 
limites pedidos. 
 
 
 
a. ( )
3
lim
x
f x
+→−
 b. ( )
3
lim
x
f x
−→−
 c. ( )
2
lim
x
f x
+→
 
d. ( )
2
lim
x
f x
−→
 e. ( )
5
lim
x
f x
+→
 f. ( )
5
lim
x
f x
−→
 
3. Na figura a seguir está mostrado o gráfico da função f . Baseado nesse gráfico 
complete o texto que vem a seguir. 
 
 
Observando o gráfico da função f , concluímos que ( )
2
lim
x
f x
→
__________ (existe/não 
existe), pois quando os valores de x estão próximos de 2 pela __________ 
(esquerda/direita), os valores de ( )f x ficam próximos de (0/2), enquanto que se os 
valores de x estão próximos de 2 pela __________ (esquerda/direita), os valores de 
( )f x ficam próximos de (0/2). 
 
4. Na figura a seguirestá mostrado o gráfico da função ( )
2
2 1
xf x
x
=
+
. Baseado nesse 
gráfico complete o texto que vem a seguir. 
 
 
Da figura vemos que ( )lim
x
f x
→+∞
 vale __________ pois à medida que os valores de x 
ficam positivos e muito grandes, positivamente, os valores de ( )f x ficam cada vez 
mais próximos de __________. Analogamente concluímos que ( )lim
x
f x
→−∞
 vale 
__________ pois à medida que os valores de x ficam positivos e muito grandes, 
negativamente, os valores de ( )f x ficam cada vez mais próximos de __________. 
 
5. Considere a função ( ) 1
2
xf x
x
−
=
−
. Descreva, sem recorrer ao gráfico dessa função, 
nem a uma tabela, 
2
1lim
2x
x
x+→
−
−
 e 
2
1lim
2x
x
x−→
−
−
. 
 
 
3. Cálculo de Limites: caso finito 
 
Consideraremos agora o cálculo de limites, no caso de resultados finitos. Enquanto que 
nas aulas anteriores a abordagem foi essencialmente aritmética (tabelas) e geométrica 
(gráficos), aqui o nosso ponto de vista será algébrico. Conheceremos algumas regras 
que nos ajudarão bastante a calcular limites em diversas situações. 
 
Vamos começar com duas importantes regras que, apesar de simples, serão de grande 
valia. 
 
Regra 1. Se ,a k ∈ℝ então lim
x a
k k
→
= . 
Regra 2. Se a ∈ℝ então lim
x a
x a
→
= . 
 
A Regra 1 pode ser entendida notando que, independente do valor de x , uma constante 
não se altera. Já a Regra 2, pode ser entendida através do seguinte argumento 
redundante: Quando x está próximo de a , x está próximo de a ! 
 
As próximas regras são muito importantes para tudo o que vem em seguida, inclusive 
para construir outras regras. Elas são intuitivamente óbvias, apesar de necessitarem de 
uma prova. No curso de Introdução à Análise Real você terá oportunidade de ver as 
demonstrações. 
 
Suponha que a ∈ℝ , ( )lim
x a
f x M
→
= e ( )lim
x a
g x N
→
= . Então valem as seguintes regras: 
Regra 3. ( )lim ( )
x a
f x g x M N
→
+ = + (O limite da soma é a soma dos limites). 
Regra 4. ( ) ( )lim
x a
f x g x M N
→
− = − (O limite da diferença é a diferença dos limites). 
Regra 5. ( ) ( )lim
x a
f x g x M N
→
⋅ = ⋅ (O limite do produto é o produto dos limites). 
Regra 6. ( )( )limx a
f x M
g x N→
= , desde que 0N ≠ (O limite do quociente é o quociente dos 
limites, desde que o limite do denominador não seja nulo). 
 
Com essas regras em mãos, podemos discutir diversos exemplos. 
 
Exemplo 1. Suponha que ( )
2
lim 4
x
f x
→
= − e ( )
2
lim 5
x
g x
→
= . Então vamos calcular os 
seguintes limites: 
 
a. ( )
2
lim ( )
x
f x g x
→
+ 
 
b. ( )
2
lim6
x
f x
→
⋅ 
 
c. ( )
2
lim ( )
x
f x g x
→
− 
 
d. ( )
2
lim ( )
x
f x g x
→
⋅ 
 
e. ( )
2
lim6. 2 ( )
x
f x g x
→
− ⋅ 
 
f. ( )
2
lim6 3 ( )
x
f x g x
→
⋅ + ⋅ 
 
g. ( )( )2limx
f x
g x→
 
 
h. ( ) ( )( )2
4 3
lim
10x
f x g x
g x→
⋅ − ⋅
⋅
 
 
 
a. ( )
�2
 3
lim ( ) 4 5 1
x
regra
f x g x
→
+ = − + = . 
b. ( )
�
( )
�
( )
2 2 2
 5 1
lim6 lim6 lim 6 4 24
x x x
regra regra
f x f x
→ → →
⋅ = ⋅ = ⋅ − = − . 
c. ( )
�2
 4
lim ( ) 4 5 9
x
regra
f x g x
→
− = − − = − . 
d. ( )
�2
 5
lim ( ) 4 5 20
x
regra
f x g x
→
⋅ = − ⋅ = − . 
e. 
( )
�
( ) ( )
�
( ) ( )
�
( )
2
 4
2 2 2 2 2 2
 5 1
lim 6. 2 ( ) lim6 lim 2 lim6 lim lim 2 lim
6 4 2 5 34
x
regra
x x x x x x
regra regra
f x g x f x g x f x g x
→ → → → → → →
− ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =
⋅ − − ⋅ = −
 
f. 
( )
�
( ) ( )
�
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
 3 5
lim6 3 ( ) lim6 lim3 lim6 lim lim3 lim
6 4 3 5 11
x x x x x x x
regra regra
f x g x f x g x f x g x
→ → → → → → →
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
⋅ − + ⋅ = −
 
g. ( )( ) �2
 6
4lim
5x regra
f x
g x→
−
= 
h. 
( ) ( )
( ) �
( ) ( )
( ) �
( ) ( )
( ) �
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
 6 4 5
2 2
2 2 2 2
2 2
lim 4 3 lim 4 lim34 3
lim
10 lim10 lim10
lim 4 lim lim3 lim 4 4 3 5 16 15 31
lim10 lim 10 5 50 50
x x x
x
regra regra regra
x x
x x x x
x x
f x g x f x g xf x g x
g x g x g x
f x g x
g x
→ → →
→
→ →
→ → → →
→ →
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
⋅ − ⋅
= = =
⋅ ⋅ ⋅
⋅ − ⋅
⋅ − − ⋅
− − −
= = =
⋅ ⋅
 
 
Exemplo 2. Calcule os seguintes limites 
 
a. 2
5
lim2 3 4
x
x x
→
− + b. 4 3
3
lim
x
x x
→
− 
c. 
2
4
2
3 5
lim
x
x x
x→−
−
+
 
 
a. 
2 2
2
2
5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2 3 4 2 3 4
2 3 4 2 3 4
2 5 5 3 5 4 39
lim2 3 4 lim lim lim lim lim lim lim lim
lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x
→ → → → → → → → →
→ → → → → → → → → → →
− + = ⋅ − ⋅ + =
⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ + =
⋅ ⋅ − ⋅ + =
− + =
 
 
b. 
4 3 4 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 81 27 54
lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
→ → → → → → → → → →
− = − = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − =
 
 
c. 
2 22
4 4 4 4 4 4 4
4
4 4 4 4 4 4
2 2 22
3 5 3 5 3 5 3 5
4 4 2 4 24
3 4 5 7
lim lim lim lim lim lim lim
lim
lim lim lim lim lim lim
x x x x x x x
x
x x x x x x
x x x x x x xx x
x x x x
→− →− →− →− →− →− →−
→−
→− →− →− →− →− →−
− − ⋅ − ⋅
−
= = = =
+ + + ⋅ +
− ⋅ − − ⋅ −
= −
⋅ − +
 
 
Comentário: Como você deve ter notado em todos os exemplos acima, o cálculo do 
limite em questão foi feito substituindo o valor para onde x tendia na própria função. 
Isso foi apenas coincidência, pois todas as funções anteriores gozam de uma 
propriedade que será estudada mais tarde. Nos dois próximos exemplos veremos que 
não é possível fazer tal substituição. 
 
Exemplo 3. Vamos calcular 
2
2
4lim
2x
x
x→
−
−
. Perceba de início que a nossa intenção inicial é 
usar a regra 6. Entretanto, o limite da função que está no denominador é 0 e, portanto, o 
uso dessa regra fica prejudicado. O que fazer então? Lembremos que quando 2x → 
estamos admitindo que x está próximo de 2 e não é igual a ele. Portanto temos que os 
valores de x estão ficando cada vez mais próximos de 2 , mas são diferentes de 2 . 
Sendo assim, podemos fazer a seguinte conta: 
 
( )( )
� ( )22 2 2 2 2Já que
 2 0
.
2 24lim lim lim 2 lim lim2 2 2 42 2x x x x x
x
x xx
x x
x x→ → → → →
− ≠
− +
−
= = + = + = + =
− −
 
 
Exemplo 4. Vamos calcular ( )
2
0
2 4
lim
h
h
h→
+ −
. Observe que, novamente, não podemos 
utilizar a regra 6, pois o limite do denominador é 0 , quando 0h → . Observe então que 
há duas possibilidades para lidarmos com tal limite. Vamos ver as duas para que você 
veja como funciona. 
 
1º. Modo: Utilizando a diferença de quadrados, podemos fatorar o numerador e ficamos 
com: 
 
( ) ( )( ) ( )2
0 0 0 0
2 4 2 2 2 2 4
lim lim lim lim4 4
h h h h
h h h h h
hh h h→ → → →
+ − + − + + +
= = = + = . 
 
2º. Modo: Utilizando a fórmula do quadrado da soma, podemos reescrever o numerador 
como: 
 
( )2 2 2
0 0 0 0
2 4 4 4 4 4lim lim lim lim4 4
h h h h
h h h h h hh h h→ → → →
+ − + + − +
= = = + = . 
 
Comentário: As regras 1, 3,4,5 e 6 permanecem válidas se trocarmos x a→ por 
x → +∞ ou x → −∞ , claro, com , e k M N sendo números reais. Assim, não vamos 
acrescentar novas regras para esses casos. Vamos utilizá-las livremente. 
 
Uma regra muito importante é a seguinte: 
 
 
Regra 7. Se n∈ℕ e k ∈ℝentão lim 0
nx
k
x→±∞
= . 
 
Vamos utilizar essa regra para calcularmos dois limites muito interessantes. 
 
Exemplo 5. Vamos calcular 
5 3
5
12 4 1lim
3 1x
x x
x→+∞
+ −
+
. Observe que não podemos utilizar as 
regras 3,4,5 ou 6, porque os limites que aparecem no numerador e no denominador não 
são finitos. Por exemplo, quando olhamos para o que ocorre com 53 1x + quando 
x → +∞ , percebemos que 53 1x + → +∞ . A estratégia nesse caso é tentar utilizar a regra 
7. Veja como vamos proceder: vamos dividir o numerador e o denominador dessa 
fração, pelo x de maior potência, no caso 5x . Fazendo isso, vamos obter o seguinte: 
 
5 3 5 3
5 3 5 5 5 5
5 5 5
5 5 5
.
12 4 1 12 4 1
12 4 1lim lim lim
3 1 3 1 3 1x x x
x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
+ − + −+ −
= =
+ + +
 
 
De posse dessa transformação, podemos utilizar a regra 7 e calcularmos o limite. 
 
5 5 52 2 2
5 5 5
4 1 4 1 4 112 lim 12 lim 12 lim lim 12 0 0 12lim 41 1 1 3 0 33 lim 3 lim 3 lim
x x x x
x
x x x
x x xx x x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
→+∞
→+∞ →+∞ →+∞
+ − + − + − + −
= = = = =
++ + +
 
Exemplo 6. Vamos calcular agora 
5 2
8 7
2 4lim
3x
x x x
x x→−∞
− +
+
. Pela mesma razão do exemplo 
anterior, não podemos utilizar as regras 3,4,5 ou 6. A estratégia nesse caso é tentar 
utilizar a regra 7. Veja como vamos proceder: vamos dividir o numerador e o 
denominador dessa fração, pelo x de maior potência, no caso 8x . Fazendo isso, vamos 
obter o seguinte: 
 
5 2 5 2
5 2 8 8 8 8
8 7 8 7 8 7
8 8 8
2 4 2 4
2 4lim lim lim
3 3 3x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
− +
− +
= =
+ + +
 
De posse dessa transformação, podemos utilizar a regra 7 e calcularmos o limite. 
 
3 6 7 3 6 7 3 6 7
5 2
8 8 8
8 7
8 8
2 4 1 2 4 1 2 4 1
0 0 0
0
1 1 1 3 03 3 3
2 4 lim lim lim lim
lim lim
3 lim lim lim
x x x x
x x
x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞ →−∞
− + − + − +
− +
= = = = =
++ + +
− +
+
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
1. Supondo que ( ) ( ) ( )
8 8 8
lim 9,lim 2 e lim 4
x x x
f x g x h x
→ → →
= − = = , calcule, usando as regras vistas 
no nosso texto, os seguintes limites. 
 
a. ( ) ( )
8
lim 2 12
x
f x h x
→
− b. ( )
8
lim3 6
x
h x
→
− c. ( ) ( ) ( )
8
lim
x
g x h x f x
→
− d. ( ) ( ) ( )
8
lim
x
f x g x h x
→
− + 
 
2. Supondo que ( ) ( ) ( )
4 4 4
lim 1,lim 10 e lim 7
x x x
f x g x h x
→ → →
= = = − , calcule, usando as regras vistas 
em nosso texto, os seguintes limites. 
 
a.
( )
( )
( )
( )4limx
f x h x
g x f x→ − 
b. ( ) ( ) ( )
4
lim
x
f x g x h x
→
⋅ ⋅ 
c. ( )
( )
( ) ( )4
31lim
x
f x
h x g x h x→
−
−
+
 
d. ( ) ( ) ( )4
1lim 2
6x
h x
h x f x→ − + 
 
3. Calcule os seguintes limites usando as regras vistas em nosso texto. 
 
a. 2
4
lim5 2 3
x
x x
→
− + 
d. 
24 2
41
6lim
2 3x
x x
x x→
 + −
 
+ + 
 
b. ( )( )3 2
3
lim 2 5
x
x x x
→
+ − e. 4
2
lim 3 6
u
u u
→−
+ + 
c. 21
2lim
4 3x
x
x x→−
−
+ −
 
f. ( ) ( )9 2
2
lim 1 1
t
t t
→−
+ − 
 
4. Nos cálculo dos limites a seguir não podemos utilizar algumas das regras vistas em 
nosso texto. Entretanto após algumas fatorações e cancelamentos, isso se torna possível. 
Calcule então cada um deles. Será conveniente aqui você estar em dia com os produtos 
notáveis. No link http://pt.wikipedia.org/wiki/Produtos_not%C3%A1veis temos uma 
revisão bem rápida deles. 
 
a. 
2
3
12lim
3x
x x
x→−
− −
+
 d. ( )
4
0
1 1
lim
h
h
h→
+ −
 
b. 22
2lim
6x
x
x x→−
+
− −
 e. 
( )3
0
2 8
lim
h
h
h→
+ −
 
c. 
3
21
1lim
1x
x
x→
−
−
 
f. 
9
9lim
3t
t
t→
−
−
 
 
5. Utilizando as regras vistas no nosso texto, calcule os seguintes limites 
 
a. 
2 3lim
5 7x
x
x→+∞
+
+
 c. 
3
3 2
7lim
3 6x
x
x x x→+∞ − +
 
b. 2
1lim
3x
x
x→−∞
+
+
 d. 
3
3 2
2 2 3lim
3 3 5 7x
x x
x x x→−∞
− − +
+ − +
 
 
 
4. Cálculo de Limites: caso infinito 
 
Continuaremos o estudo iniciado na seção anterior relativo ao cálculo de limites. Aqui 
lidaremos com limites que assumem valores muito grandes positivos ( +∞ ) ou muito 
grandes negativos ( −∞ ). Veremos algumas regras para esse caso também. Mas serão 
regras que são intuitivamente óbvias, mas que, como já dissemos anteriormente, 
precisam de uma demonstração. Daremos algumas definições para Essencialmente 
discutiremos exemplos porque esse tipo de comportamento da função gera alguns 
embaraços. 
 
Vamos recordar algumas definições das aulas passadas. 
 
De uma maneira mais geral, isto é, quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, 
mas positivos, à medida que os valores x estão próximos de a , por valores menores 
que a (ou pela esquerda de a ), diremos que o limite da função f quando x tende a 
a pela esquerda é +∞ e escreveremos ( )lim
x a
f x
−→
= +∞ para simbolizar isso. 
 
Quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, mas positivos, à medida que os 
valores x estão próximos de a , por valores maiores que a (ou pela direita de a ), 
diremos que o limite da função f quando x tende a a pela direita é +∞ e 
escreveremos ( )lim
x a
f x
+→
= +∞ para simbolizar isso. 
 
Quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, mas negativos, à medida que os 
valores x estão próximos de a , por valores maiores que a (ou pela direita de a ), 
diremos que o limite da função f quando x tende a a pela direita é −∞ e 
escreveremos ( )lim
x a
f x
+→
= −∞ para simbolizar isso. 
 
Quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, mas negativos, à medida que os 
valores x estão próximos de a , por valores menores que a (ou pela esquerda de a ), 
diremos que o limite da função f quando x tende a a pela direita é −∞ e 
escreveremos ( )lim
x a
f x
−→
= −∞ para simbolizar isso. 
 
 
Essas definições motivam outras, quando trocamos x a+→ ou x a+→ por x → +∞ ou 
x → −∞ 
 
De uma maneira mais geral, isto é, quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, 
mas positivos, à medida que os valores x estão cada vez maiores positivamente, 
diremos que o limite da função f quando x tende a +∞ é +∞ e escreveremos 
( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ para simbolizar isso. 
 
Quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, mas positivos, à medida que os 
valores x estão cada vez maiores negativamente, diremos que o limite da função 
f quando x tende a −∞ é +∞ e escreveremos ( )lim
x
f x
→−∞
= +∞ para simbolizar isso. 
 
Quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, mas negativos, à medida que os 
valores x estão cada vez maiores negativamente, diremos que o limite da função 
f quando x tende a −∞ é −∞ e escreveremos ( )lim
x
f x
→−∞
= −∞ para simbolizar isso. 
 
Quando os valores ( )f x tornam-se muito grandes, mas negativos, à medida que os 
valores x estão cada vez maiores positivamente, diremos que o limite da função 
f quando x tende a +∞ é −∞ e escreveremos ( )lim
x
f x
→+∞
= −∞ para simbolizar isso. 
 
 
Exemplo 1. Considere a função ( ) 3f x x= , cujo gráfico está mostrado a seguir. 
Observando o gráfico podemos concluir que 3lim
x
x
→+∞
= +∞ e que 3lim
x
x
→−∞
= −∞ . 
 
 
 
Exemplo 2. Considere a função ( ) 2f x x= , cujo gráfico está mostrado a seguir. 
Observando o gráficopodemos concluir que 2lim
x
x
→+∞
= +∞ e que 2lim
x
x
→−∞
= +∞ . 
 
 
 
Exemplo 4. Considere a função ( ) 3f x x= − , cujo gráfico está mostrado a seguir. 
Observando o gráfico podemos concluir que 3lim
x
x
→−∞
− = +∞ e que 3lim
x
x
→+∞
− = −∞ . 
 
 
 
As regras para esse caso existem, mas precisamos ter muito cuidado com elas. O grande 
perigo aqui é que o símbolo ∞ não se comporta muito bem quando tentamos dar-lhe um 
caráter de número. Em casos como +∞ + ∞ podemos dizer que esse resultado dá +∞ . 
Também podemos dizer que −∞ − ∞ tem como resultado −∞ , bem como dizer que 
( )+∞ ⋅ +∞ dá como resultado +∞ e, até mesmo, que ( )+∞ ⋅ −∞ = −∞ . No livro-texto da 
disciplina, na página 18, há uma interessante tabela com algumas possibilidades das 
quais não falamos aqui. Vale a pena você dar uma olhada. 
Entretanto, duas situações podem nos induzir a erros: +∞ − ∞ e +∞
+∞
. Esses dois casos 
são conhecidos por um termo bastante próprio da Matemática: Expressões 
Indeterminadas. Essas situações merecem esse nome porque elas podem assumir 
vários valores, dependendo do caso. Por isso são indeterminadas. 
Um exemplo de indeterminação que você já deve ter visto, diz respeito à expressão 0
0
. 
Por que ela é indeterminada. Simplesmente porque ela pode assumir qualquer valor. De 
fato, 0 1
0
= , pois 0 0 1= ⋅ . Também podemos ter 0 2
0
= − , já que ( )0 0 2= ⋅ − . Seguindo esse 
raciocínio, 0
0
a= , qualquer que seja o a ∈ℝ ! Por isso ela é uma expressão 
indeterminada. 
 
Exemplo 5. Vamos ver qual o comportamento de ( ) 3 2f x x x= − quando x → +∞ . Note 
que se tratássemos ∞ como número, a expressão 3 2lim
x
x x
→+∞
− poderia ser pensada como 
tendo valor ∞ − ∞ . Erroneamente poderíamos pensar que o seu valor seria 0 . Vejamos 
por que. Perceba que 3 2 3 1lim lim 1
x x
x x x
x→+∞ →+∞
 
− = − 
 
. Agora perceba que o limite do termo 
entre parêntesis, quando x → +∞ é 1, ao passo que o limite de 3x quando x → +∞ é +∞ . 
Portanto, algo que está ficando muito grande positivamente multiplicado por 1 tende a 
ficar muito grande e positivamente! Assim, 3 2lim
x
x x
→+∞
− = +∞ . Nesse caso, utilizando 
uma linguagem pouco precisa, poderíamos dizer que +∞ − ∞ = +∞ . Mas atente bem: 
Nem sempre teremos +∞ − ∞ = +∞ ! Mais tarde quando tivermos mais alguns limites à 
nossa disposição voltaremos a esse exemplo. 
 
Exemplo 6. Vamos ver o comportamento da função ( )
9 4
6
8 3 4
7 12
x xf x
x x
+ −
=
− +
 quando 
x → +∞ . Observe que se tratássemos ∞ como número, a expressão 
9 4
6
8 3 4lim
7 12x
x x
x x→+∞
+ −
+ +
 
poderia ser pensada como tendo valor +∞
+∞
. Erroneamente poderíamos pensar que esse 
limite vale 1. Vejamos por que. Faremos um cálculo já feito anteriormente. Vamos 
colocar a maior potencia de x do numerador em evidência e fazer o mesmo para o 
denominador. Fazendo isso, obtemos: 
 
9
9 4 2 6 2 6 2 6
3 3
6
6
5 6 5 65 6
8
7
3 4 3 4 3 48 8 88 3 4lim lim lim lim lim1 12 1 121 127 12 7 77
x x x x x
x
x x x x x x x xx x
x x
x
x x x xx x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞
→+∞
→
 
+ − + − + − + −  
= = = ⋅ = +∞
+ +   + + + ++ + 
 
���
�������
 
 
Aqui usamos um fato bem intuitivo que é o de que algo que está assumindo valores 
positivos cada vez maiores continua com esse comportamento, mesmo quando 
multiplicado por 87 . Daí, podemos dizer que 
9 4
6
8 3 4lim
7 12x
x x
x x→+∞
+ −
= +∞
+ +
. 
Exemplo 7. Vamos estudar o comportamento da função ( ) 1
2
f x
x
=
−
, quando 2x +→ . 
Observe que quando os valores de x estão próximos de 2 pela direita, mas diferentes 
de 2 , o denominador ficará positivo e cada vez mais próximo de 0 . Perceba então o que 
está acontecendo: estamos dividindo 1 por um número positivo que está cada vez mais 
próximo de 0 . O que concluímos disso é que o resultado dessa divisão tende a ficar 
cada vez maior e positivo. Utilizando a nossa simbologia, podemos escrever que 
2
1lim
2x x+→
= +∞
−
. E se tornássemos os valores de x cada vez mais próximos de 2 , mas 
pela esquerda de 2 , o que ocorreria? Algo semelhante. Só que dessa vez o denominador 
ficaria negativo e cada vez mais próximo de 0. Assim, o fenômeno aqui seria que 
estaríamos dividindo 1 por um número negativo e cada vez mais próximo de 0. O que 
concluímos disso é que o resultado dessa divisão é um número negativo e cada vez 
maior. Utilizando nossa simbologia, podemos escrever 
2
1lim
2x x−→
= −∞
−
. 
 
Exemplo 8. Vamos agora observar o comportamento da função ( )
2
2
3
4
x xf x
x
+
=
−
 quando 
2x +→ . Observe que nesse caso, o numerador tende a 10 e o denominador tende a 0 . 
Então as regras vistas nas aulas passadas não servem aqui. Outro procedimento que 
também não pode ser aplicado é aquele de tentar fatorar o denominador e cancelar com 
algo que exista no numerador. O que faremos é uma análise detalhada. Note que essa 
função pode ser escrita assim: ( ) ( )( )
2 2 2
2
3 3 1 3
4 2 2 2 2
x x x x x xf x
x x x x x
+ + +
= = =
− − + − +
. Agora 
perceba que quando fizermos os valores de x cada vez mais próximos de 2 , mas pela 
direita de 2 , o primeiro fator tende a +∞ , como vimos no exemplo anterior e o segundo 
fator tende a 10 4 . Portanto, o produto de algo que está ficando cada vez maior e 
positivo por 10 4 tende a ficar cada vez maior e positivo. De acordo com a nossa 
simbologia, podemos escrever 
2
22
3lim
4x
x x
x+→
+
= +∞
−
. 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
1. Investigue o comportamento das seguintes funções quando x → +∞ e x → −∞ . 
 
a. ( ) 23 5 2f x x x= − + 
b. ( ) 5 43 2 3f x x x= − + 
c. ( )
5 3
3
12 4 1
3 2
x xf x
x
+ −
=
+
 
d. ( )
5 3
5
12 4 1
3 2
x xf x
x
+ −
=
+
 
 
2. Investigue o comportamento das funções a seguir quando x está próximo do ponto 
indicado, tanto pela esquerda, como pela direita. 
 
a. ( )
2
2
2 1
4
xf x
x
−
=
−
 no ponto 2a = 
b. ( )
2
2
3
1
xf x
x
−
=
−
 no ponto 1a = 
c. ( )
21
5
xf x
x
−
=
−
 no ponto 5a = 
d. ( ) ( )
2
2
12
12
xf x
x
−
=
−
 no ponto 12a = 
 
 
 
Respostas ou soluções para os exercícios 
 
 
É muito tentador pegar um exercício resolvido e querer dar uma olhadinha básica 
na resolução. Mas isso gera um problema de inversão: você quer tirar a dúvida 
antes que ela surja! Então, antes de ir até as soluções, faça uma, duas, três, enfim 
várias tentativas. Só após o esforço infrutífero é que você deve consultá-las. 
 
1. Limites: uma visão intuitiva 
 
1. Utilizando uma calculadora, científica, como a do Windows, por exemplo, 
completamos as duas tabelas. 
 
x ( )y f x= 
2,5 -3.38888889 
2,1 -3.07560976 
2,01 -3.00750623 
2.001 -3.00075006 
2,0001 -3.00007500 
 
x ( )y f x= 
1,5 -2.64285714 
1,9 -2.92564103 
1,99 -2.99250627 
1,999 -2.99925006 
1,9999 -2.99992500 
 
 
A primeira tabela que dá uma idéia do que se passa com os valores de ( )y f x= quando 
2x +→ , enquanto que a segunda dá uma idéia do que se passa com os valores de 
( )y f x= quando 2x −→ . De ambas concluímos que ( ) 3f x → − . 
 
2. Utilizando uma calculadora, científica, como a do Windows, por exemplo, 
construímos as duas tabelas a seguir. A primeira tabela que dá uma idéia do que se 
passa com os valores de ( )y f x= quando 2x +→ , enquanto que a segunda dá uma 
idéia do que se passa com os valores de ( )y f x= quando 2x −→ . Em ambas vemos que 
( ) 4f x → , ou seja, quando 2x → , temos ( ) 4f x → .x ( )y f x= 
2.5 3.4 
2.1 3.857142857 
2.01 3.985074627 
2.001 3.998500750 
2.0001 3.999850007 
2.00001 3.999985000 
 
x ( )y f x= 
1.5 5.0 
1.9 4.157894737 
1.99 4.015075377 
1.999 4.001500750 
1.9999 4.000150008 
1.99999 4.000015000 
 
 
3. Primeiro recordemos uma observação feita no material da primeira aula e que vamos 
refazer aqui: 
 
 
Aqui é necessário que entendamos bem uma coisa simples, mas que algumas vezes 
gera alguma confusão. É o seguinte: se f é uma função e x é um ponto do domínio 
de f , o valor de ( )f x (isto é o y que se corresponde com x através da função f ) 
é visto no gráfico de f olhando quem é o y do ponto correspondente do gráfico e 
que tem aquele x como abscissa. 
 
De posse dessa recordação, observando o gráfico teremos a tabela preenchida. 
 
 
x → ( )f x → 
5+− 1 
4− 2,3≈ 
3−− 4 
3+− -2 
2− 0,04≈ − 
1+− 1 
1−− 1 
2− 1 
2+ 1 
4 5 
 
 
4. Mesma observação da questão 3. A tabela preenchida fica assim: 
 
 
x → ( )f x → 
2− +∞ 
2+ −∞ 
+∞ 1− 
−∞ 1 
 
 
2. Limites: uma visão menos intuitiva 
 
1. 
a. -6 b. -6 c. -6 d. 3 
e. +∞ f. não existe g. 2 h. 5 
i. não existe j. 0 k. 0 l. 0 
 
2. 
a. +∞ b. −∞ c. −∞ 
d. −∞ e. +∞ f. +∞ 
3. Observando o gráfico da função f , concluímos que ( )
2
lim
x
f x
→
 não existe, pois quando 
os valores de x estão próximos de 2 pela esquerda, os valores de ( )f x ficam próximos 
de 2 , enquanto que se os valores de x estão próximos de 2 pela direita, os valores de 
( )f x ficam próximos de 0 . 
 
4. Da figura vemos que ( )lim
x
f x
→+∞
 vale 1 pois à medida que os valores de x ficam 
positivos e muito grandes, positivamente, os valores de ( )f x ficam cada vez mais 
próximos de 1. Analogamente concluímos que ( )lim
x
f x
→−∞
 vale 1 , pois à medida que os 
valores de x ficam positivos e muito grandes, negativamente, os valores de ( )f x ficam 
cada vez mais próximos de 1. 
 
5. Observe que, quando os valores de x estão próximos de 2 , pela direita dele, isto é, 
quando 2x +→ , os valores do numerador da fração que determina a função, ficam 
próximos de 1 e são positivos, enquanto que os valores do denominador ficam cada vez 
mais próximos de 0 e são também positivos. Então o que está em andamento é a 
divisão entre um número que está próximo de 1 e é positivo por outro, também positivo, 
e que está cada vez mais próximo de 0 . O que ocorre então com essa fração? Dá pra 
imaginar - e você pode até brincar com uma calculadora para chegar a essa conclusão – 
que essa fração vai ficando cada vez maior e positivamente! Isso quer dizer que 
2
1lim
2x
x
x+→
−
= +∞
−
. 
 
Por outro lado, quando os valores de x estão próximos de 2 , pela esquerda dele, isto é, 
quando 2x −→ , os valores do numerador da fração que determina a função, ficam 
próximos de 1 e são positivos, enquanto que os valores do denominador ficam cada vez 
mais próximos de 0 e são negativos, pois 2x −→ implica que 2x < . Então o que está em 
andamento é a divisão entre um número que está próximo de 1 e é positivo por outro, 
que é negativo, e que está cada vez mais próximo de 0 . O que ocorre então com essa 
fração? Dá pra imaginar - e você pode até brincar com uma calculadora para chegar a 
essa conclusão – que essa fração vai ficando cada vez maior e negativamente! Isso quer 
dizer que 
2
1lim
2x
x
x+→
−
= −∞
−
. 
 
3. Cálculo de Limites: caso finito 
 
 
1. 
a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8 8 8 8
lim 2 12 lim 2 lim12 2lim 12lim 2 9 12 4 66
x x x x x
f x h x f x h x f x h x
→ → → → →
− = − = − = ⋅ − − ⋅ = − 
b. ( ) ( ) ( )
8 8 8 8
lim3 6 lim3 lim6 3lim 6 3 4 6 6
x x x x
h x h x h x
→ → → →
− = − = − = ⋅ − = 
c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8 8 8 8 8
lim lim lim lim lim lim 2 4 9 17
x x x x x x
g x h x f x g x h x f x g x h x f x
→ → → → → →
− = − = ⋅ − = ⋅ − − = 
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8 8 8
lim lim lim lim 9 2 4 7
x x x x
f x g x h x f x g x h x
→ → → →
− + = − + = − − + = − 
 
2. 
a.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4 4
4 4 4
4 4
lim lim 1 71lim lim lim 7
lim lim 10 10
x x
x x x
x x
f x h xf x h x f x h x
g x f x g x f x g x f x
→ →
→ → →
→ →
− = − = − = + = 
b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4
lim lim lim lim 1 10 7 70
x x x x
f x g x h x f x g x h x
→ → → →
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = − 
c. 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
4 4
4 4 4
4 4
4 4
4 4
lim1 lim33 31 1lim lim lim
lim lim
lim3 lim1 1 3 1 1 2 17
7 lim lim 7 10 7 7 3 21
x x
x x x
x x
x x
x x
f xf x f x
h x g x h x h x g x h x h x g x h x
f x
g x h x
→ →
→ → →
→ →
→ →
→ →
−
− −
− = − = − =
+ + +
−
−
− − = − − = − − = −
+ −
 
d. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4
4 4 4 4
4
4 4
lim11 1lim 2 lim 2 lim 2lim
6 6 lim 6
1 12 7 14 14 1 13
lim 6lim 7 6 1
x
x x x x
x
x x
h x h x h x
h x f x h x f x h x f x
h x f x
→
→ → → →
→
→ →
− = − = − =
+ + +
⋅ − − = − − = − + = −
+ − + ⋅
 
 
3. 
a. 2 2 2
4 4 4 4 4 4
lim5 2 3 lim5 lim 2 lim3 5lim 2lim 3 5 16 2 4 3 67
x x x x x x
x x x x x x
→ → → → → →
− + = − + = − + = ⋅ − ⋅ + = 
b. ( )( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
3 2 3 2 3 2
3 3 3 3 3 3 3
lim 2 5 lim 2 lim 5 lim lim 2 lim lim5
27 2 9 15 174
x x x x x x x
x x x x x x x x x
→ → → → → → →
   + − = + ⋅ − = + ⋅ − =
   
+ ⋅ − = −
 
c. 1 1 12 2 21
1 1 1 1
lim 2 lim lim 22 1 2 3lim
4 3 lim 4 3 lim 4 lim lim 3 1 4 3 2
x x x
x
x x x x
x xx
x x x x x x
→− →− →−
→−
→− →− →− →−
− −
− − −
= = = = −
+ − + − + − + −
 
d. 
24 2 4 2 4 2 4 2 4 2
4 4 4 4 41 1 1 1
22 4 24 2
1
4 41
1
6 6 6 6 6lim lim lim lim
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
lim 66lim
2 3 lim 2 3
x x x x
x
x
x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xx x
x x x x
→ → → →
→
→
→
         + − + − + − + − + −
= ⋅ = ⋅ =         
+ + + + + + + + + +         
 + −  + −
 = =  
+ + + +     
24 2 2 2
1 1 1
4
1 1 1
lim lim lim6 1 1 6 4 16 4
lim 2lim lim3 1 2 3 6 36 9
x x x
x x x
x x
x x
→ → →
→ → →
 + − + − −     = = = =   + + + +      
 
 
e. 
( ) ( )44 4 4
2 2 2 2 2
lim 3 6 lim 3 6 lim lim 3 lim 6 2 3 2 6 16 4
u u u u u
u u u u u u
→− →− →− →− →−
+ + = + + = + + = − + ⋅ − + = = 
f. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]9 99 92 2 2
2 2 2 2 2
lim 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 3 3
t t t t t
t t t t t t
→− →− →− →− →−
 + − = + ⋅ − = + ⋅ − = − ⋅ = −
 
 
 
4. 
a. 
( )( )2
3 3 3
3 412lim lim lim 4 7
3 3x x x
x xx x
x
x x→− →− →−
+ −
− −
= = − = −
+ +
 
b. ( )( )22 2 2
2 2 1 1lim lim lim
6 2 3 3 5x x x
x x
x x x x x→− →− →−
+ +
= = = −
− − + − −
 
c. 
( )( )
( )( )
23 2
21 1 1
1 11 1 3lim lim lim
1 1 1 1 2x x x
x x xx x x
x x x x→ → →
− + +
− + +
= = =
− − + +
 
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 2
lim lim lim lim 2 0
h h h h
h h h h h
h h
h h h→ → → →
+ − + + + − +
= = = + = 
e. 
( )3 3 2 2 3 2 3 2
0 0 0 0
2 8 2 3 2 3 2 8 6 12lim lim lim lim6 12 12
h h h h
h h h h h h h h h
h h h→ → → →
+ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − + +
= = = + + = 
f. 
( )( )
( )( )
( )( )
9 9 9 9
9 3 9 39lim lim lim lim3 6
93 3 3t t t t
t t t tt
t
tt t t→ → → →
− + − +
−
= = = + =
−
−
− +
 
 
5. 
a. 
2 3 322 3 2limlim lim5 7 75 7 55x x x
x
x x x
xx
x x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
+
= = =
++ +
 
b. 
2 2
22
22
1 1 1
1 0lim lim lim 0333 11
x x x
x
x x x x
xx
xx
→−∞ →−∞ →−∞
+
+
+
= = = =
++ +
 
c. 
3
3 3
3 23 2
23
7
7 7 7lim lim lim 73 63 63 6 11x x x
x
x x
x x xx x x
x xx
→+∞ →+∞ →+∞
= = = =
− +− +
− +
 
d. 
3
3 3 2 3
3 23 2
2 33
2 2 3 2 322 2 3 2lim lim lim 3 5 73 3 5 73 3 5 7 33x x x
x x
x x x x x
x x xx x x
x x xx
→−∞ →−∞ →−∞
− − +
− − +
− − +
= = = −
+ − ++ − + + − +
 
 
 
 
4. Cálculo de Limites: caso infinito 
 
1. 
a. 
�
2 2 2
2 2
3
5 2 5 2lim 3 5 2 lim 3 lim 3
x x x
x x x x
x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
→
   
− + = − + = − + = +∞   
   
�������
 
�
2 2 2
2 2
3
5 2 5 2lim 3 5 2 lim 3 lim 3
x x x
x x x x
x x x x→−∞ →−∞ →−∞ →+∞
→
   
− + = − + = − + = +∞   
   
�������
 
b. 
�
5 4 5 5
5 5
3
2 3 2 3lim 3 2 3 lim 3 lim 3
x x x
x x x x
x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
→
   
− + = − + = − + = +∞   
   
�������
 
�
5 4 5 5
5 5
3
2 3 2 3lim 3 2 3 lim 3 lim 3
x x x
x x x x
x x x x→−∞ →−∞ →+∞ →−∞
→
   
− + = − + = − + = −∞   
   
�������
 
c. 
�
5
5 3 5 5 5
2 2
3
3
3 3 3
4
4 1 4 1 4 112 12 12
12 4 1lim lim lim lim
2 2 23 2 3 3 3
x x x x
x
x x x x x x x x
x x
x
x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
→+∞
→
     
+ − + − + −     + −      
= = = = +∞
+      
+ + +     
     
�������
�
5
5 3 5 5 5
2 2
3
3
3 3 3
4
4 1 4 1 4 112 12 12
12 4 1lim lim lim lim
2 2 23 2 3 3 3
x x x x
x
x x x x x x x x
x x
x
x
x x x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
→+∞
→
     
+ − + − + −     + −      
= = = = +∞
+      
+ + +     
     
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d. 
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5
5 3 2 5 2 5 2 5
3 3
2
2
2 2 2
4
4 1 4 1 4 112 12 12
12 4 1lim lim lim lim
2 2 23 2 3 3 3
x x x x
x
x x x x x x x x
x x
x
x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
→+∞
→
     
+ − + − + −     + −      
= = = = +∞
+      
+ + +     
     
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5
5 3 2 5 2 5 2 5
3 3
2
2
2 2 2
4
4 1 4 1 4 112 12 12
12 4 1lim lim lim lim
2 2 23 2 3 3 3
x x x x
x
x x x x x x x x
x x
x
x
x x x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
→−∞
→
     
+ − + − + −     + −      
= = = = −∞
+      
+ + +     
     
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2. 
 
a. 
2 2 2
22 2 2 2
7
4
2 1 2 1 1 2 1 1lim lim lim lim
4 2 2 2 2x x x x
x x x
x x x x x+ + + +→ → → →
→+∞→
− − −
= ⋅ = ⋅ = +∞
− + − + −
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2 2 2
22 2 2 2
7
4
2 1 2 1 1 2 1 1lim lim lim lim
4 2 2 2 2x x x x
x x x
x x x x x− − − −→ → → →
→−∞→
− − −
= ⋅ = ⋅ = −∞
− + − + −
����� �����
 
b. 
2 2 2
21 1 1 1
1
3 3 1 3 1lim lim lim lim
1 1 1 1 1x x x x
x x x
x x x x x+ + + +→ → → →
→− →+∞
− − −
= ⋅ = ⋅ = −∞
− + − + −
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2 2 2
21 1 1 1
1
3 3 1 3 1lim lim lim lim
1 1 1 1 1x x x x
x x x
x x x x x− − − −→ → → →
→− →−∞
− − −
= ⋅ = ⋅ = +∞
− + − + −
����� �����
 
c. ( ) ( )2 2 2
5 5 5 5
24
1 1 1lim lim 1 lim 1 lim
5 5 5x x x x
x
x x
x x x+ + + +→ → → →
→− →+∞
−
= − ⋅ = − ⋅ = −∞
− − −����� �����
 
( ) ( )2 2 2
5 5 5 5
24
1 1 1lim lim 1 lim 1 lim
5 5 5x x x x
x
x x
x x x− − − −→ → → →
→− →−∞
−
= − ⋅ = − ⋅ = +∞
− − −����� �����
 
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2 212 12 12 12
132
12 1 1lim lim 12 lim 12 lim
12 12 12x x x x
x
x x
x x x
+ + + +→ → → →
→
→+∞
−
= − ⋅ = − ⋅ = +∞
− − −�������
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2 212 12 12 12
132
12 1 1lim lim 12 lim 12 lim
12 12 12x x x x
x
x x
x x x
− − − −→ → → →
→
→+∞
−
= − ⋅ = − ⋅ = +∞
− − −�������
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