Aula 9 e 10 matema

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Matemática para Negócios / Aula 9 - Limites de uma função
Introdução
Nesta aula, você aprenderá a calcular o limite com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de funções.
Limite de função em um ponto
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p. Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
Vejamos na prática!
Situação 1: Vamos determinar como se comportam os valores da função y = 3x + 5 quando x se aproxima do ponto p = 4.
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p.
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
Situação 2: Seja a função f(x)=2x+1. Vamos determinar como se comportam os valores da função f(x) quando x se aproxima do ponto p = 1.
Vamos atribuir a x valores que se aproximam de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y ou f(x):
Notamos que, à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x -> 1), y tende para 3 (y -> 3), ou seja:
Quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1).
Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)3), dizemos que o limite de f(x).
Quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
Propriedades dos limites
Vejamos na prática!
Situação 1: Vamos determinar como se comportam os valores da função , quando x se aproxima do ponto p=2.
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
• (x-2) se aproxima de zero
• (x+1) se aproxima de 3
Portanto, o limite da função  estará se aproximando do quociente dos limites de (x-2) e de (x+1) no ponto p=2, ou seja, será igual a: 0/3 = 0.
Situação 2: Vamos determinar como se comportam os valores da função y = (x+4).(x2 – 2x) quando x se aproxima do ponto x=3.
Lembramos que, pela propriedade do limite do produto de funções, o resultado é o produto dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=3:
• (x+4) se aproxima de 7
• (x2 – 2x) se aproxima de 3
Portanto,  o limite da função  y = (x + 4).(x2 – 2x) estará se aproximando do produto dos limites de (x + 4) e de (x2 – 2x) no ponto p=3, ou seja, será igual a: 7.3 = 21
Situação 3: Vamos determinar como se comportam os valores da função  quando x se aproxima do ponto p=2.
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
• (x2 - 4) se aproxima de zero
• (x - 2) se aproxima de zero
Portanto, o limite da função  aproxima-se de uma fração do tipo 0/0. Logo, não podemos aplicar a propriedade do quociente dos limites.
Para resolver essa questão, vamos construir duas tabelas de valores que se aproximam à esquerda e à direita do ponto p=2.
Vamos procurar concluir para que valor a expressão realmente converge.
Portanto, podemos concluir que, à medida que x se aproxima de 2, os valores de y é  aproximam-se do valor L=4.
Atividades
1 - Como se comportam os valores da função y = x2 – 2x + 1 quando x se aproxima do ponto p = 3?
2
4
3
5
2 - Calcule o limite da função  com o auxílio de uma tabela de valores à esquerda e à direta do ponto p = 3.
9
1
0
6
3 - Calcule o limite da função y , usando o conceito intuitivo de limite para o ponto p = -3.
1
0
5
3/4
4 - Calcule o limite da função  com o auxílio de uma tabela de valores à esquerda e à direita do ponto p = 0.
-1
-2
2
0
Matemática para Negócios / Aula 10 – Derivadas
Introdução
Veremos nesta aula algumas técnicas de derivação como: Derivada da Função Potência, Derivada de uma Constante, Derivada de uma Constante Multiplicada por uma Função, Derivada de uma Soma, Derivada do Produto e Derivada do Quociente.
Derivada da Função Potência
A derivada da função potência pode ser usada em diferentes contextos.
Derivada de uma função
Para realizar a diferenciação da derivada de uma função, deve-se seguir algumas regras. São elas:
Derivadas
Uma função y=f(x) tem como derivada a representação y’. As regras de derivação são bem simples:
Derivada da Função Potência
Taxa Média de Variação de uma função y = f(x) no intervalo [a, b].
Quando a variável x passa do valor a para o valor b, variando ∆ x = b – a, os valores da função y = f(x) passam de y = f(a) para  y= f(b), variando ∆ y = f(b) - f(a).
A divisão da variação (∆ y de y) pela variação (∆ x de x) é a taxa média de variação (TMV) dessa função no intervalo[a, b]:
Vejamos na prática!
Vamos calcular e interpretar o valor da taxa média de variação da função y = x² + 1 no intervalo [1, 3].
Para a = 1 e b = 3 → ∆ x = 3 – 1 = 2
y = f(3) = 9 + 1 = 10
y = f(1) = 1 + 1 = 2
No intervalo [1, 3] a função y = x² + 1 está crescendo, em média, 4 para cada unidade acrescida em x.
Exemplo
y = 2x5 → y’ = 5.2x4  = 10x4
y = 7√𝑥 → y’ = (7).(x1/2)’  = 7.(1/2).(x-1/2) = 7/2 √𝑥
y = 3x5 + 2x4 → y’ = (5).(3x4) + (4).(2x3) = 15x4 + 8x3
y = 5x → y’ = 5
y = 5 → y’ = 0
y = 8x4 – 7x3 + 2x2 – 2x + 11 → y’ = 32x3 – 21x2 + 4x – 2
Cálculo da Derivada em um Ponto
Para compreendermos como determinar a derivada em um ponto, vamos calcular o valor da derivada de y = 3x2 + 10x – 50 no ponto p = 0,8 e interpretar o resultado obtido.
y = 3x2 + 10x – 50 no ponto p=0,8
Cálculo da função derivada: y’= 6x + 10
Cálculo do valor da função derivada no ponto p=0,8:
y’ (0,8) = 6(0,8) + 10 = 14,8
Interpretação:
no ponto p=0,8 a tendência da função y = 3x2 + 10x – 50 é crescer 14,8.
Vamos praticar!
Se o custo de um produto em função da quantidade produzida é dado por: CT = q3 –3q2 + 100q + 1000, calcule a tendência à variação do custo com a quantidade, relativa ao valor do custo quando a quantidade é de 50 unidades.
GABARITO
CT = q3 –3q2 + 100q + 1000
Para calcularmos a tendência à variação quando a quantidade for exatamente no ponto de quantidade igual a 50, teremos que calcular primeiro a derivada da função custo em relação à quantidade.
CT’ = 3q2 –6q + 100.
A tendência para q = 50: CT’ (50) = 3 (50)2 – 6 (50) + 100 = 7.300
O valor do custo para q = 50.
CT (50) = (50)3 – 3 (50)2 + 100 (50) + 1.000 = 123.500
A tendência relativa será: CT’ (50) / CT (50) = 7.300 / 123.500 = 5,91%
Derivada do Produto de Duas Funções:  y = f(x) . g(x)
Seja a função:
Vamos calcular a derivada da função y = (x + 1).(x – 3x), x ∈ 𝑹
f(x) = x + 1 ; g(x) = x² - 3x
(x) = 1;   g’(x) = 2x – 3
Correção:
Então: y’ = (x + 1)’ . (x² – 3x) + (x + 1) . (x² - 3x)’ = 1 . (x² - 3x) + (x + 1) . (2x – 3) = x² –3x + 2x² + 2x – 3x – 3 = 3x² – 4x – 3,  x ∈ R
Derivada do Quociente de duas funções
É determinada pelas funções:
Vejamos alguns exemplos:
Vamos calcular a derivada da função y = x / (x+1) , x ≠ − 1
f(x) = x  ;  g(x) = x+1
f’(x) = 1  ;  g’(x) = 1
y = f/g → y’ = (f’ . g – f . g’) / g²
y'=[x+1)-x]/(x+1)²=1/(x+1)² para x ∈ 0
Vamos calcular a derivada da função y = 5x / (x2 + 4), x ∈ R
f(x) = 5x ; g(x) = x² + 4
f’(x) = 5 ; g’ (x) = 2x
y = f / g → y’ = (f’ . g – f . g’) / g²
(f/g)’ = [(5) (x² + 4) – (5x) (2x) ] / (x² + 4)² = 
(5x² + 20 - 10x²) / (x² + 4)² = (20 – 5x²) / (x² + 4)² , x ∈ R
Atividade
1 - Calcule o valor da derivada da função y = –0,25x² + 6x + 5, x ∈ R, no ponto p= –5 e interprete o resultado obtido.
GABARITO
y’= 8,5 ; no ponto p= –5 a tendência da funçãoé crescer 8,5.
Atividade
2 - Calcule a função derivada de cada uma das funções:
GABARITO
Atividade
3 – Calcule e interprete o valor da taxa média de variação da função y = x2 – 8x no intervalo [2, 6].
1
0
2
6
4 – Calcule a função derivada da função y = 4x4 – 10, (x ∈ R).
16x3
4x3 – 10
16x4 – 10
11x3 – 10
5 - Calcule a função derivada da função y = x-1, supondo x ≠ 0.
-1 . x1
-1. x-1
x-2
1x2
6 – Calcule o valor da derivada da função y = -3x2 + x + 2, x ∈ R, no ponto p = 2 e interprete o resultado obtido.
y’ = -11; no ponto p = 2 a tendência da função é decrescer 11.
y’ = 13; no ponto p = 2 a tendência da função é crescer 13.
y’ = 13; no ponto p = 2 a tendência da função é decrescer 13.
y’ = 11; no ponto p = 2 a tendência da função é crescer 13.