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CURSO DE A´LGEBRA VOLUME II (Versa˜o Preliminar) Abramo Hefez 12 de novembro de 2002 2 Suma´rio 1 POLINOˆMIOS 7 1.1 Se´ries de Poteˆncias e Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Divisa˜o de Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Polinoˆmios com Coeficientes em Corpos . . . . . . . . . . . . . 25 1.4 Polinoˆmios sobre C e sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Polinoˆmios em Va´rias Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . 32 2 DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE 41 2.1 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Divisa˜o por X − a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU 57 3.1 Ra´ızes em K de polinoˆmios em D[X] . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 O Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Me´todo de Kronecker para fatorac¸a˜o em Z[X] . . . . . . . . . 66 3.4 Crite´rios de divisibilidade em Q[X] . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5 A Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 AS EQUAC¸O˜ES DE GRAU ≤ 4 81 4.1 A Equac¸a˜o do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 A Equac¸a˜o do Terceiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3 A Equac¸a˜o do Quarto Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5 O GRUPO SIME´TRICO 95 5.1 Relac¸o˜es Entre Coeficientes e Ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2.1 A noc¸a˜o de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3 4 SUMA´RIO 5.2.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2.3 Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.3 Estrutura de O´rbitas de uma Permutac¸a˜o . . . . . . . . . . . . 114 5.3.1 Decomposic¸a˜o de uma permutac¸a˜o em um produto de ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4 O Grupo Alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5 Func¸o˜es Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.6 Conjugac¸a˜o em Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6 O ME´TODO DE LAGRANGE 133 7 EXTENSO˜ES DE CORPOS 147 7.1 A A´lgebra Linear da Extensa˜o de Corpos . . . . . . . . . . . . 147 7.2 Construc¸o˜es com Re´gua e Compasso . . . . . . . . . . . . . . 156 SUMA´RIO 5 NOTAC¸O˜ES Anel = Anel comutativo com unidade N = {1, 2, 3, . . .} = Conjunto dos nu´meros naturais Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} = Anel dos nu´meros inteiros Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} = Subconjunto dos nu´meros inteiros na˜o negativos Q = Corpo dos nu´meros racionais R = Corpo dos nu´meros reais C = Corpo dos nu´meros complexos Y X = Conjunto da func¸o˜es de X em Y A∗ = Conjunto dos elementos invert´ıveis do anel A Kern ϕ = nu`cleo do homomorfismo ϕ 6 SUMA´RIO Cap´ıtulo 1 POLINOˆMIOS Neste Cap´ıtulo iniciaremos o estudo das propriedades alge´bricas ba´sicas dos polinoˆmios com coeficientes num anel comutativo com unidade. Nas disciplinas de Ca´lculo os polinoˆmios sa˜o vistos como func¸o˜es particu- lares de varia´vel real e como tal sa˜o estudados. A necessidade de se distinguir os polinoˆmios das func¸o˜es polinomiais surge pela considerac¸a˜o de polinoˆmios com coeficientes em corpos finitos, de uso cada vez mais frequ¨ente por causa de suas inu´meras aplicac¸o˜es pra´ticas. Muito do estudo das propriedades dos polinoˆmios em uma indeterminada esta´ relacionado com o desenvolvimento da Teoria das Equac¸o˜es Alge´bricas a` qual esta˜o associados os nomes de Tartaglia, Lagrange, Ruffini, Gauss, Abel, culminando com as contribuic¸o˜es fundamentais de Abel e Galois. As propriedades dos polinoˆmios em va´rias indeterminadas foram pesqui- sadas inicialmente por suas conexo˜es com a Geometria Anal´ıtica, evoluindo no que hoje se chama Geometria Alge´brica. Atualmente os polinoˆmios desempenham papel relevante em muitas par- tes da Matema´tica. 1.1 Se´ries de Poteˆncias e Polinoˆmios Seja A um anel, considerado, uma vez por todas, comutativo com unidade, e seja X uma indeterminada sobre A. Uma se´rie de poteˆncias f(X) com coeficientes em A e´ uma soma formal infinita do tipo: f(X) = ∞∑ i=0 aiX i = a0X 0 + a1X 1 + a2X 2 + · · · 7 8 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS com ai ∈ A, para todo i ∈ Z+. Os X i sa˜o provisoriamente vistos apenas como s´ımbolos indicadores de posic¸a˜o. Duas se´ries de poteˆncias f(X) = ∑∞ i=0 aiX i e g(X) = ∑∞ i=0 biX i sa˜o con- sideradas iguais se ai = bi para todo i ∈ Z+. Os elementos ai sa˜o chamados de coeficientes e a parcela aiX i de monoˆmio de grau i. Convenciona-se omitir o monoˆmio aiX i quando ai = 0 e costuma-se denotar a0X 0 por a0 e a1X 1 por a1X. O conjunto de todas as se´ries de poteˆncias com coeficientes em A e´ de- notado por A[[X]] e nele definimos as seguintes operac¸o˜es: Adic¸a˜o: ∞∑ i=0 aiX i + ∞∑ i=0 biX i = ∞∑ i=0 (ai + bi)X i. Multiplicac¸a˜o:( ∞∑ i=0 aiX i ) · ( ∞∑ i=0 biX i ) = ∞∑ i=0 ( i∑ j=0 ajbi−j ) X i. Note que com esta definic¸a˜o de produto, temos que X i · Xj = X i+j, para todo i e j, dando assim um sentido de poteˆncia ao s´ımbolo X i. PROPOSIC¸A˜O 1.1. O conjunto A[[X]] com as operac¸o˜es acima definidas e´ um anel. DEMONSTRAC¸A˜O: A associatividade e a comutatividade da adic¸a˜o sa˜o de verificac¸o˜es imediatas. O elemento neutro da adic¸a˜o e´ 0 = ∑∞ i=0 0X i, enquanto que o sime´trico de f(X) = ∑∞ i=0 aiX i e´ −f(X) = ∑∞i=0(−ai)X i. A comutatividade da multiplicac¸a˜o e´ imediata e a propriedade distributiva e´ fa´cil de ser verificada. A u´nica propriedade que merece verificac¸a˜o e´ a associatividade da multiplicac¸a˜o. Sejam f(X) = ∞∑ i=0 aiX i, g(X) = ∞∑ i=0 biX i e h(X) = ∞∑ i=0 ciX i. 1.1. SE´RIES DE POTEˆNCIAS E POLINOˆMIOS 9 Temos que (f(X) · g(X)) · h(X) = ∞∑ i=0 diX i, onde di = i∑ k=0 ( k∑ j=0 ajbk−j ) ci−k = ∑ λ+µ+η=i aλbµcη. Por outro lado, f(X) · (g(X) · h(X)) = ∞∑ i=0 eiX i, onde ei = i∑ k=0 ak ( i−k∑ j=0 bjci−k−j ) = ∑ λ+µ+η=i aλbµcη. Portanto, di = ei, para todo i, provando assim a associatividade da mul- tiplicac¸a˜o. E´ claro que A ⊂ A[[X]], pois todo elemento a ∈ A pode ser visto como a0 + 0X + 0X 2 + · · · e portanto como elemento de A[[X]]. Ale´m disso, se f(X) = a e g(X) = b, temos que f(X) + g(X) = a+ b e f(X) · g(X) = a · b, onde as operac¸o˜es nos primeiros membros sa˜o efetuadas em A[[X]] e as dos segundos membros o sa˜o em A. Vemos com isto que as operac¸o˜es definidas em A[[X]] estendem as operac¸o˜es definidas em A, fazendo com que A seja um subanel de A[[X]]. Um outro subanel de A[[X]] que se destaca e´ o anel A[X] dos polinoˆmios em uma indeterminada com coeficientes em A. Como conjunto, este anel e´ descrito como A[X] = { a0 + a1X + a2X 2 + · · · ∈ A[[X]] | ∃ n tal que ai = 0 se i > 0 } Todo elemento de A[X] e´ chamado de polinoˆmio e pode ser representado como soma finita, p(X) = ∑n i=0 aiX i , para algum n ∈ Z+. 10 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS PROPOSIC¸A˜O 1.2. A[X] e´ um subanel de A[[X]]. DEMONSTRAC¸A˜O: Basta, de acordo com I-7, Proposic¸a˜o 1, mostrar que 1 ∈ A[X], o que e´ o´bvio; e que se p(X)q(X) ∈ A[X], enta˜o p(X) − q(X) ∈ A[X] e p(X) · q(X) ∈ A[X]. De fato, se p(X) = ∑n i=0 aiX i e q(X) = ∑n i=0 biX i, enta˜o p(X)− q(X) = max{n,m}∑ i=0 (ai − bi)X i ∈ A[X] e p(X) · q(X) = n+m∑ j=0 cjX j ∈ A[X] onde cj = ∑ i+k=j ai · bk. Dado um polinoˆmio p(X) = a0+ a1X + · · ·anXn ∈ A[X]−{0}, define-se grau de p(X) como sendo o inteiro gr(p(X)) = max{i ∈ Z+; ai 6= 0}.Note que o polinoˆmio nulo e´ o u´nico polinoˆmio que na˜o possui grau e que gr(p(X)) > 0 se, e somente se, p(X) ∈ A[X]− A. O coeficiente do teˆrmo de grau igual ao gr(p(X)) e´ chamado de coeficiente l´ıder de p(X). Um polinoˆmio cujo coeficiente l´ıder e´ igual a 1 e´ chamado de polinoˆmio moˆnico. Um polinoˆmio nulo ou de grau zero sera´ chamado de polinoˆmio constante. Vejamos agora como a hipo´tese sobre A de ser domı´nio se reflete sobre A[X]. PROPOSIC¸A˜O 1.3. Seja A um domı´nio. Se p(X), q(X) ∈ A[X] − {0}, enta˜o p(X) · q(X) 6= 0 e gr(p(X) · q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)). DEMONSTRAC¸A˜O: Considere os polinoˆmios p(X), q(X) ∈ A[X] dados por p(X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn e q(X) = b0 + b1X + · · ·+ bmXm onde an 6= 0 e bm 6= 0. Enta˜o, p(X) · q(X) = a0 · b0 + (a0 · b1 + a1 · b0)X + · · ·+ an · bmXn+m. Como A e´ domı´nio, segue que an · bm 6= 0, logo p(X) · q(X) 6= 0 e gr(p(X) · q(X)) = n+m = gr(p(X) + q(X)). 1.1. SE´RIES DE POTEˆNCIAS E POLINOˆMIOS 11 COROLA´RIO 1.1. Se A e´ um domı´nio, enta˜o A[X] e´ domı´nio. Em particular, se K e´ um corpo enta˜o K[X] e´ um domı´nio. COROLA´RIO 1.2. Seja A um domı´nio. Se p(X), q(X) ∈ A[X]− {0} sa˜o tais que t(X) divide p(X), enta˜o gr(t(X)) ≤ gr(p(X)). DEMONSTRAC¸A˜O: Existe por hipo´tese, um polinoˆmio na˜o nulo q(X) em A[X] tal que t(X) · q(X) = p(X) . Logo pela Proposic¸a˜o 3, segue que gr(p(X))− gr(t(X)) = gr(q(X)) ≥ 0 . Da´ı segue a desigualdade desejada. COROLA´RIO 1.3. Seja A um domı´nio. Um elemento p(X) ∈ A[X] e´ invert´ıvel se, e somente se, p(X) ∈ A e e´ invert´ıvel em A. Em s´ımbolos, (A[X])∗ = A∗. DEMONSTRAC¸A˜O: Se p(X) ∈ A[X] e´ invert´ıvel, enta˜o p(X) 6= 0 e existe q(X) ∈ A[X]−{0} tal que p(X) · q(X) = 1. Tomando graus e usando a Proposic¸a˜o 3 temos que gr(p(X)) + gr(q(X)) = 0 . Logo gr(p(X)) = gr(q(X)) = 0 e, portanto p(X), q(X) ∈ A e p(X) e´ invert´ıvel em A. A rec´ıproca e´ imediata. Um fato que merece ser evidenciado e´ a diferenc¸aa existente entre po- linoˆmios e func¸o˜es polinomiais, dois conceitos que frequ¨entemente sa˜o inde- vidamente confundidos. A um polinoˆmio p(X) ∈ A[X] associa-se uma func¸a˜o p ∈ AA chamada func¸ao polinomial, definida por p : A −→ A a 7−→ p(a) = a0 + a1 · a + · · ·+ an · an. O elemento p(a) de A e´ chamado de valor de p(X) em a. E´ evidente que a dois polinoˆmios iguais sa˜o associadas duas func¸o˜es polinomiais iguais. Em contrapartida, dois polinoˆmios distintos podem dar origem a duas func¸oes po- linomiais iguais. Por exemplo, p(X) = X2−X e q(X) = 0, como polinoˆmios de Z2[X] sa˜o distintos, pore´m, as func¸o˜es polinomiais a eles associadas sa˜o iguais. Mais geralmente, se p e´ um nu´mero primo positivo, decorre do Pe- queno Teorema de Fermat (I-6, Problema 1.10) que os polinoˆmios Xp − X 12 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS e 0¯ de Zp[X] determinam a mesma func¸a˜o polinomial. Veremos na pro´xima sec¸a˜o 2, Corola´rio 4 do Teorema 1, que se A e´ infinito tal fato na˜o ocorre. Uma te´cnica muito u´til ao lidarmos com polinoˆmios e´ o chamado me´todo dos coeficientes a determinar que utiliza basicamente as definic¸o˜es da igual- dade e das operac¸o˜es no anel de polinoˆmios. Ilustraremos o me´todo com alguns exemplos. EXEMPLO 1 : Mostraremos neste exemplo que X4 + 4 pode ser escrito como produto do dois polinoˆmios de segundo grau com coeficientes inteiros. De fato, escreva, X4+4 = (aX2 + bX + c) · (a′X2+ b′X + c′). Efetuando o produto, tem-se que X4+4 = a·a′X4+(a·b′+a′ ·b)X3+(a·c′+b·b′+c·a′)X2+(b·c′+c·b′)X+c·c′. Pela igualdade de polinoˆmios acima, obte´m-se o sistema de equac¸o˜es: a · a′ = 1 a · b′ + a′ · b = 0 a · c′ + b · b′ + c · a′ = 0 b · c′ + c ·+c · b′ = 0 c · c′ = 4 Procuremos as soluc¸o˜es inteiras deste sistema de equac¸o˜es. Da primeira equac¸a˜o, obte´m-se que a = a′ = ±1. Da segunda, segue que b + b′ e da quarta, b · (c′ − c) = 0, logo b = 0 ou c = c′. Caso 1: b = 0. Da terceira equac¸a˜o tem-se que c+ c′ = 0, donde c′ = −c. Substituindo na quinta equac¸a˜o tem-se c2 = −4, o que e´ imposs´ıvel. Caso 2: c = c′. Da quinta equac¸a˜o tem-se que c = c′ = ±2. Da segunda, segue que b+ b′ = 0, logo da terceira obte´m-se b · b′ = −2a · c = −4 . Donde b = −b′ = ±2. Testando os valores obtidos temos que X4+4 = (X2−2X+2) · (X2+2X+2) = (−X2+2X−2) · (−X2−2X−2). EXEMPLO 2 : Determinaremos a e b em Z7 de modo que X 4 + 4¯X3 + aX2 − 4¯X + b ∈ Z7[X] seja o quadrado de um polinoˆmio de Z7[X] . Da igualdade, X4 + 4¯X3 + aX2 − 4¯X + b = (X2 + cX + d)2 = X4 + 2¯cX3 + (2¯d+ c2)X2 + 2¯cdX + d2 1.1. SE´RIES DE POTEˆNCIAS E POLINOˆMIOS 13 obtemos o sistema: 2¯ · c = 4¯ 2¯ · d+ c2 = a 2¯ · c · d = −4¯ d2 = b que resolvido, nos fornece c = 2¯, d = −1¯, b = 1¯ e a = 2¯. Portanto, X4 + bar4X3 + 2¯X2 − 4¯X + 1¯ = (X2 + 2¯X − 1¯)2 PROBLEMAS 1.1. 1. Um elemento a 6= 0 de um anel comutativo com unidade A e´ chamado regular ou na˜o divisor de zero em A se a · b 6= 0, para todo b ∈ A−{0}. Em particular, todo elemento invert´ıvel de A e´ regular. (a) Se p(X), q(X) ∈ A[X], com coeficiente l´ıder de p(X) ou de q(X) regular, enta˜o gr(p(X) · q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)). (b) Se p(X), t(X) ∈ A[X], com coeficiente l´ıder de t(X) regular e se t(X) | p(X), enta˜o gr(t(X)) ≤ gr(p(X)). (c) Calcule gr(p(X) · q(X)) onde p(X) = 3¯X3 + 2¯X + 1¯ e q(X) = 2¯X2 + 3¯X + 1 em Z6[X]. (d) Mostre que (2¯X2 + 2¯X + 1¯) | 3¯ em Z6[X] . 2. Determine a ∈ Z tal que (a) O polinoˆmio X4−aX3+8X2+a seja o quadrado de um polinoˆmio de Z[X]. (b) O polinoˆmio X4 + X3 + aX2 + X + 1 seja o produto de dois polinoˆmios do segundo grau em Z[X]. 3. Determine a, b ∈ Z7 tais que (a) O polinoˆmio X4 + 3¯X3 + 5¯X2 + aX + b seja o quadrado de um polinoˆmio de Z7[X]. (b) O polinoˆmio X3+aX+5¯ seja divis´ıvel por X2+5¯X+6¯ em Z7[X]. 14 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS 4. Mostre que a func¸a˜o avaliac¸a˜o em a ∈ A: Ava : A[X] −→ A p(X) 7−→ p(a) e´ um homomorfismo de ane´is. 5. Seja p um nu´mero primo positivo e f(X) ∈ Zp[X]. Mostre que f(X) e f(Xp) determinam a mesma func¸a˜o polinomial. Sugesta˜o: Use o Pequeno Teorema de Fermat. 6. Sejam p(X) ∈ C[X ] e ξ uma raiz n-e´sima primitiva da unidade em C . (a) Se gr(p(X)) < n, mostre que p(X) + p(ξX) + p(ξ2X) + · · ·+ p(ξn−1X) = n · p(0). (b) Deduza uma fo´rmula para esta soma se gr(p(X)) ≥ n . 7. Mostre que f(X) = ∑ ∞ i=0 aiX i ∈ A[[X ]] e´ invert´ıvel em A[[X ]] se, e somente se, a0 e´ invert´ıvel em A[X ]. Sugesta˜o: Seja g(X) = ∑ ∞ i=0 biX i. Tem-se que f(X) · g(X) = 1 se, e somente se, a0 · b0 = 1 e ∑i j=0 ajbi−j = 0, para todo i ≥ 1. Mostre que se b0 = a−10 , enta˜o a equac¸a˜o acima determina bi em func¸a˜o dos a ′ js e de b0, b1, . . . , bi−1, determinando assim g(X) = (f(X))−1. 8. Seja K um corpo. Mostre que 1−X e´ invert´ıvel em K[[X ]] e que (1 −X)−1 = ∞∑ i=0 X i. Se a ∈ K − {0}, determine (a−X)−1. 9. Seja f(X) = ∑ ∞ i=0 aiX i ∈ A[[X ]]− {0}. Defina a ordem de f(X) com sendo ord(f(X)) = min{i | ai 6= 0}. Mostre que se A e´ um domı´nio e se f(X), g(X) ∈ A[[X ]]− {0}, enta˜o ord(f(X) · g(X)) = ord(f(X)) + ord(g(X)). Isto prova que se A e´ um domı´nio, enta˜o A[[X ]] tambe´m e´ um domı´nio. 10. Seja K um corpo. (a) Dado f ∈ K[[X ]]− K, mostre que existem m ∈ N e u invert´ıvel em K[[X ]] tais que f = Xm · u. 1.2. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 15 (b) Mostre queK[[X ]] e´ um domı´nio principal. Conclua queK[[X ]] e´ um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica (DFU). Sugesta˜o: Veja I-Teorema 2, Cap´ıtulo 4. (c) Descreva o corpo de frac¸o˜es de K[[X ]]. 11. Sejam fi(X) ∈ A[[X ]], i ∈ Z+, tais que ord(fi(X)) ≥ i. Mostre que ∑ ∞ i=0 fiX i e´ bem definido como elemento de A[[X ]]. Mostre que se f(X), g(X) ∈ A[[X ]] com f(X) = ∑ ∞ i=0 aiX i, enta˜o ∞∑ i=0 aiX i · g(X) = f(X) · g(X). 12. Suponha que B seja um subanel de A. Mostre que B[[X ]] e B[X ] sa˜o respectiva-mente subaneis de A[[X ]] e de A[X ]. 1.2 Divisa˜o de Polinoˆmios Mostraremos nesta sec¸a˜o que sob certas condic¸o˜es, a` semelhanc¸a dos in- teiros, e´ poss´ıvel efetuar a divisa˜o com resto ”pequeno”de um polinoˆmio por outro. TEOREMA 1.1. (ALGORI´TMO DA DIVISA˜O) Seja A um anel e sejam p(X) e t(X) polinoˆmios em A[X]. Se t(X) 6= 0 possui coeficiente l´ıder invert´ıvel, enta˜o existem q(X) e r(X) em A[X] tais que p(X) = t(X) · q(X) + r(X), com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(t(X)). Ale´m disso, q(X) e r(X) sa˜o univocamente determinados por estas condic¸o˜es. DEMONSTRAC¸A˜O : Sejam p(X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn e t(X) = b0 + b1X + · · ·+ bmXm, com an 6= 0 e bm invert´ıvel. Existeˆncia: Se p(X) = 0 ou n < m, fac¸a q(X) = 0 e r(X) = p(X). Suponha agora p(X) 6= 0 e n ≥ m. Tomando q1(X) = b−1m anXn−m ∈ A[X] tem-se que p(X)− q1(X) · t(X) = r1(X), (1.1) 16 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS com r1(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(p(X)). Se r1(X) = 0 ou se gr(r1(X)) < gr(t(X)), o problema fica resolvido tomando r(X) = r1(X) e q(X) = b −1 m anX n−m . Se gr(r1(X)) ≥ gr(t(X)), repete-se o procedimento acima com r1(X) no lugar de p(X), obtendo r1(X)− q2(X) · t(X) = r2(X), (1.2) com r2(X) = 0 ou gr(r2(X)) < gr(r1(X)). Se r2(X) = 0 ou se gr(r2(X)) < gr(t(X)), o problema fica resolvido pois p(X) = (q1(X) + q2(X)) · t(X) + r2(X). Se gr(r2(X)) ≥ gr(t(X)), repete-se o procedimento acima com r2(X) no lugar de r1(X), obtendo r2(X)− q3(X) · t(X) = r3(X), (1.3) com r3(X) = 0 ou gr(r3(X)) < gr(r2(X)). E assim sucessivamente, obtendo r1(X), r2(X), r3(X), . . . tais que gr(r1(X)) > gr(r2(X)) > gr(r3(X)) > · · · Segue enta˜o que para certo s ∈ N, tem-se rs(X) = 0 ou gr(rs(X)) < gr(t(X)). Levando em conta (1), (2), (3), . . . temos que p(X) = (q1(X) + q2(X) + · · ·+ qs(X)) · t(X) + rs(X) bastando enta˜o tomar q(X) = q1(X))+q2(X)+ · · ·+qs(X)) e r(X) = rs(X). Unicidade: Suponha que t(X) · q(X) + r(X) = t(X) · q1(X) + r1(X) com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(t(X)) e r1(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(t(X)). Da igualdade acima, obtemos que t(X)[q(X)− q1(X)] = r1(X)− r(X) (1.4) Pelas condic¸o˜es impostas a r(X) e r1(X) temos que r1(X)− r(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(t(X)). 1.2. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 17 Se r1(X)− r(X) 6= 0, segue de (1.4) e do Problema 1.1 (b) que gr(r1(X)− r(X)) ≥ gr(t(X)), o que e´ uma contradic¸a˜o. Portanto r1(X) = r(X) e consequ¨entemente de (1.4) temos que q1(X) = q(X). OBSERVAC¸A˜O 1: Seguindo os passos da demonstrac¸a˜o do Teorema, obtemos o algoritmo da divisa˜o longa de dois polinoˆmios: anX n + an−1Xn−1 + · · · · · · · · ·+ a0 bmXm + · · ·+ b0 −anXn − b−1m bm−1anXn−1 − · · · − b−1m b0anXn−m b−1m anXn−m + · · · r1(X) ... OBSERVAC¸A˜O 2: Se A e´ um corpo enta˜o e´ sempre poss´ıvel efetuar a divisa˜o por qualquer polinoˆmio t(X) 6= 0. OBSERVAC¸A˜O 3: Suponha que p(X), t(X) ∈ B[X] onde B e´ um su- banel de A e o coeficiente l´ıder de t(X) e´ invert´ıvel em B. Enta˜o q(X) e r(X) calculados pelo algoritmo da divisa˜o em A[X] tera˜o necessa`riamente coeficientes em B. OBSERVAC¸A˜O 4: Os polinoˆmios p(X), t(X), q(X) e r(X) no algoritmo da divisa˜o sa˜o chamados respectivamente de dividendo, divisor, quociente e resto. EXEMPLO 1 : E´ poss´ıvel efetuar a divisa˜o de 3X5+2X3+X2− 5X +7 por 2X3 + 3X + 1 em Q[X] mas na˜o e´ poss´ıvel fazeˆ-lo em Z[X] . 18 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS 3X5 + 2X3 + X2 − 5X + 7 2X3 + 3X + 1 −3X5 − 9 2 X3 − 3 2 X2 3 2 X2 − 5 4 −5 2 X3 − 1 2 X2 − 5X + 7 5 2 X3 + 15 4 X + 5 4 −1 2 X2 − 5 4 X + 33 4 Neste caso q(X) = 3 2 X2 − 5 4 e r(X) = −1 2 X2 − 5 4 X + 33 4 . EXEMPLO 2 : O fato de bm na˜o ser invert´ıvel na˜o quer dizer que na˜o se possa efetuar a divisa˜o. Por exemplo, sejam dados p(X) = 2X3 − 3X2 + 1 e t(X) = 2X + 1, temos em Z[X]: 2X3 − 3X2 + 1 2X + 1 −2X3 −X2 X2 − 2X + 1 −4X2 + 1 4X2 + 2X 2X + 1 −2X − 1 0 Neste caso q(X) = X2 − 2X + 1 e r(X) = 0. Damos a seguir alguns corola´rios do Teorema, cuja importaˆncia ficara´ mais clara na pro´xima secc¸a˜o. COROLA´RIO 1.4. Sejam a, b ∈ A com a invert´ıvel e p(X) ∈ A[X]. O resto da divisa˜o de p(X) por aX + b e´ p (− b a ) . 1.2. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 19 DEMONSTRAC¸A˜O : Pelo Teorema 1, existem q(X), r(X) ∈ A[X] tais que p(X) = (aX + b) · q(X) + r(X) com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < 1. Em qualquer caso r(X) e´ um polinoˆmio constante, logo p ( − b a ) = 0 · q ( − b a ) + r ( − b a ) = r(X). COROLA´RIO 1.5. Sejam a, b ∈ A com a invert´ıvel e p(X) ∈ A[X]. O polinoˆmio p(X) e´ divis´ıvel por aX + b se, e somente se p (− b a ) = 0. DEFINIC¸A˜O 1.1. Se p(X) ∈ A[X] e α ∈ A sa˜o tais que p(α) = 0, dizemos que α e´ raiz do polinoˆmio p(X). Segue do Corola´rio 2 que α e´ raiz de p(X) se e somente se (X−α) divide p(X). COROLA´RIO 1.6. Seja A um domı´nio. Se p(X) ∈ A[X]− {0} tem grau n, enta˜o p(X) tem no ma´ximo n ra´ızes distintas. DEMONSTRAC¸A˜O : Vamos provar isto por induc¸a˜o em n. Se n = 0, enta˜o p(X) e´ uma constante na˜o nula e portanto tem zero ra´ızes, estabe- lecendo o resultado neste caso. Suponha agora o resultado va´lido para n e seja p(X) um polinoˆmio de grau n + 1. Se p(X) na˜o tem ra´ızes, nada temos a provar. Se p(X) tem uma raiz α, enta˜o p(X) = (X − α) · q(X), com q(X) ∈ A[X] e gr(q(X)) = n. Pela hipo´tese de induc¸a˜o, q(X) tem no ma´ximo n ra´ızes distintas e sendo A um domı´nio, as ra´ızes de p(X) sa˜o as ra´ızes de q(X) e as ra´ızes de (X−α), logo p(X) tem no ma´ximo n+1 ra´ızes. COROLA´RIO 1.7. Seja A um domı´nio infinito. Se p(X), q(X) ∈ A[X] sa˜o tais que p(a) = q(a) para todo a ∈ A (i.e. as func¸o˜es polinomiais sa˜o iguais), enta˜o p(X) = q(X) (i.e. os polinoˆmios sa˜o iguais). DEMONSTRAC¸A˜O : Suponha por absurdo que p(X)−q(X) 6= 0. Enta˜o, pelo Corola´rio 3, p(X)−q(X) tem um nu´mero finito de ra´ızes. Isto contradiz a hipo´tese p(a) = q(a) para todo a ∈ A pois A e´ infinito. Considere a aplicac¸a˜o ϕ : A[X] −→ AA p(X) 7−→ func¸a˜o polinomial associada a p(X) 20 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS Usando o exerc´ıcio 1.4 e´ fa´cil verificar que ϕ e´ um homomorfismo de ane´is. O Corola´rio 4 mostra que se A e´ um domı´nio infinito, enta˜o N(ϕ) = {0}. DEFINIC¸A˜O 1.2. Dizemos que um corpo K e´ algebricamente fechado se todo polinoˆmio na˜o constante de K[X] tem pelo menos uma raiz em K. COROLA´RIO 1.8. Seja K um corpo algebricamente fechado e seja ainda p(X) ∈ K[X] um polinoˆmio na˜o constante. Se gr(p(X)) = n, enta˜o existem elementos α1, α2, . . . , αn ∈ K e a ∈ K tais que p(X) = a · (X − α1) · (X − α2) · · · (X − αn) DEMONSTRAC¸A˜O : A prova pode ser feita por induc¸a˜o sobre n e a dei- xamos a cargo do leitor. PROPOSIC¸A˜O 1.4. Se K e´ um corpo algebricamente fechado, enta˜o K e´ infinito. DEMONSTRAC¸A˜O : Suponha por absurdo que K seja finito, digamos que K = {a0, a1, . . . , an−1} onde a0 = 0 e a1 = 1. Considere o polinoˆmio p(X) = (X − a0) · (X − a1) · · · · · · · (X − an−1) + a1. Verifica-se diretamente que p(X) na˜o tem ra´ızes em K o que e´ uma con- tradic¸a˜o, pois p(X) e´ na˜o constante e K e´ algebricamente fechado. Nem todo corpo e´ algebricamente fechado, por exemplo, se p e´ um nu´mero primo positivo, o corpo Zp na˜o e´ algebricamente fechado por ser finito. O corpo R , apesar de infinito, na˜o e´ algebricamente fechado pois o polinoˆmio na˜o constante X2 + 1 ∈ R[X] na˜o possui ra´ızes em R. O famoso Teorema Fundamental da A´lgebra garante que C e´ algebrica- mente fechado. Este Teorema possui uma longa histo´ria e muitas demons- trac¸o˜es, nenhuma delas pore´m se faz com me´todos puramente alge´bricos, devendo-se sempre usar me´todos da ana´lise. Vamos ao longo do texto admi- tir este resultado cuja demonstrac¸a˜o encontra-se no Apeˆndice 1. 1.2. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 21 EXEMPLO 3 : O polinoˆmio p(X) = 2X4 − 7X3 − 2X2+ 13X + 6 e´ di- vis´ıvel pelo polinoˆmio X2 − 5X + 6 em Z[X]. De fato, tem-se que X2−5X+6 = (X−2)·(X−3). Como p(2) = 0, temos que p(X) = (X − 2) · q(X) com q(X) ∈ Z[X]. Por outro lado, p(3) = 0, logo q(3) = 0 e portanto q(X) = (X − 3) · q1(X) com q1(X) ∈ Z[X]. Conclui-se que p(X) = (X − 2) · (X − 3) · q1(X). Pede-se ao leitor generalizar a argumentac¸a˜o acima mostrando que se A e´ um domı´nio, p(X) ∈ A[X] e α1, α2, . . . , αn sa˜o elementos distintos de A tais que p(αi) = 0, i = 1, 2, . . . , n, enta˜o (X − α1) · (X − α2) · · · · · (X − αn) divide p(X). EXEMPLO 4 : O polinoˆmio p(X) = X3k+2+X3m+1+X3n com n,m, k ∈ N e´ divis´ıvel por X2 +X + 1 em Z[X]. De fato, podemos escrever X2 + X + 1 = (X − w) · (X − w2) em C[X] onde w e´ uma raiz cu´bica primitiva de 1. Temos tambe´m que p(w) = w3k+2 + w3m+1 + w3n = w2 + w + 1 = 0 e p(w2) = w6k+4 + w6m+2 + w6n = w + w2 + 1 = 0 Portanto pela argumentac¸a˜o acima, temos que (X2+X+1) | p(X) em C[X], logo p(X) = (X2+X+1) ·q1(X) para algum q1(X) ∈ C[X]. Pela Observac¸a˜o 3 temos que q1(X) ∈ Z[X], provando assim a nossa afirmac¸a˜o. EXEMPLO 5 : Seja ξ = cos 2pi n + i sen 2pi n . Vamos provar a identidade 1 +X +X2 + · · ·+Xn−1 = (X − ξ) · (X − ξ2) · · · · · (X − ξn−1). De fato, sendo p(X) = 1+X+X2+· · ·+Xn−1 e ξ uma raiz n-e´sima primitiva da unidade, temos que ξ, ξ2, . . . , ξn−1 sa˜o distintos e p(ξ) = p(ξ2) = · · · = p(ξn−1) = 0. Logo p(X) e´ divis´ıvel por (X − ξ) · (X − ξ2) · · · · · (X − ξn−1). Por serem do mesmo grau p(X) e este u´ltimo polinoˆmio, segue que existe a ∈ C− {0} tal que p(X) = a · (X − ξ) · (X − ξ2) · · · · · (X − ξn−1). 22 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS Comparando os coeficientes dos termos de mais alto grau dos polinoˆmios acima, conclui-se que a = 1, provando assim a identidade. PROPOSIC¸A˜O 1.5. (POLINOˆMIO DE INTERPOLAC¸A˜O DE LAGRANGE). Seja K um corpo. Sejam ai, bi ∈ K, i = 1, 2, . . . , n, com os ai dois a dois distintos e os bi na˜o todos nulos. Considere os polinoˆmios pi(X) = bi (X − a1) · · · (X − ai−1) · (X − ai+1) · · · (X − an) (ai − a1) · · · (ai − ai−1) · (ai − ai+1) · · · (ai − an) , para i = 1, 2, . . . , n. Enta˜o o polinoˆmio p(X) = n∑ i=1 pi(X) e´ o u´nico polinoˆmio de grau menor do que n tal que p(ai) = bi, para todos i = 1, 2, . . . , n. DEMONSTRAC¸A˜O : O polinoˆmio p(X) e´ de grau menor do que n e e´ tal que p(ai) = bi, ∀ i = 1, 2, . . . , n, pois pi(aj) = { 0 se i 6= j bj se i = j Agora so´ falta provar a unicidade de p(X). Suponha que q(X) seja um polinoˆmio que satisfaz as mesmas condic¸o˜es que p(X) satisfaz. Segue enta˜o que p(X) − q(X) e´ um polinoˆmio de grau menor do que n com n ra´ızes a1, a2, . . . , an, logo, pelo Corola´rio 3 do Teorema 1, tem-se que p(X) = q(X). O polinoˆmio p(X) acima e´ chamado Polinoˆmio de Interpolac¸a˜o de La- grange e desempenha papel importante na apresentac¸a˜o de Galois da sua Teoria das Equac¸o˜es. PROBLEMAS 1.2. 1. Ache q(X) e r(X) nas seguintes situac¸o˜es: (a) p(X) = 3X2 + 5X + 7, t(X) = X3 + 7X2 + 9 em Z[X]. (b) p(X) = X4 +X3 +X2 +X + 1, t(X) = X4 −X3 +X2 −X + 1 em Z[X]. 1.2. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 23 (c) p(X) = X7+3X6−X5+4X2+1, t(X) = X4−X +1 em Z[X]. (d) p(X) = X10 +X5 + 1, t(X) = X2 +X + 1 em Z[X]. (e) p(X) = X5+3X4+X3+X +1, t(X) = 2X2+3X +1 em Z[X]. (f) p(X) = X3 + 3¯X2 +X + 3¯, t(X) = X2 + 4¯X + 3¯ em Z5[X]. 2. Ache os poss´ıveis valores de a para que o polinoˆmio a2 ·X4 + 4X3 + 4 · a ·X + 7 seja divis´ıvel por X + 1 em Z[X]. 3. Sejam A um domı´nio e a ∈ A− {0}. (a) Mostre que o polinoˆmio Xn − an e´ divis´ıvel por X − a em A[X]. (b) Sob que condic¸o˜es Xn + an e´ divis´ıvel por X + a em A[X] ? (c) Sob que condic¸o˜es Xn − an e´ divis´ıvel por X + a em A[X] ? 4. Sem efetuar a divisa˜o, mostre que (a) 2X6 + 2X5 +X4 + 2X3 +X2 + 2 e´ divis´ıvel por X2 + 1 em Z[X]. (b) X6 + 4X5 + 3X4 + 2X3 +X2 + 1 e´ divis´ıvel por X2 +X + 1 em Z[X]. (c) X444+X333+X222+X111+1 e´ divis´ıvel por X4+X3+X2+X+1 em Z[X]. (d) Para n ∈ N, (X + 1)2n −X2n − 2X − 1 e´ divis´ıvel por X · (X + 1) · (2X + 1) em Q[X]. 5. Para quais valores de n ∈ N tem-se que (a) 1 +X2 +X4 + · · ·+X2n−2 e´ divis´ıvel por 1 +X + · · ·+Xn−1? (b) 1 +X3 +X6 + · · ·+X3n−3 e´ divis´ıvel por 1 +X + · · ·+Xn−1? (c) Generalize. 6. Sejam K um corpo e sejam p(X) ∈ K[X] e a, b ∈ K com a 6= b. Mostre que o resto da divisa˜o de p(X) por (X − a) · (X − b) e´ p(a)− p(b) a− b X + ap(b)− bp(a) a− b . 24 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS 7. Determine o polinoˆmio p(X) ∈ Q[X] de grau 7 tal que p(1) = p(2) = · · · = p(7) = 8 e p(0) = 1 8. (a) Resolva a equac¸a˜o 20X3 − 30X2 + 12X − 1 = 0 sabendo-se que 1 2 e´ uma de suas ra´ızes. (b) Uma raiz da equac¸a˜o X3− (2a+1)X2+ a(a+2)X − a(a+1) = 0 e´ a+ 1, ache as outras duas. 9. Ache o polinoˆmio de menor grau que tem ra´ızes 0, 1+ i, 1− i e assume os valores 2 e −2 em −1 e 1 respectivamente. 10. Sejam os polinoˆmios p1(X), . . . , ps(X) ∈ K[X] onde K e´ um corpo. Sejam ainda r1(X), . . . , rs(X) ∈ K[X] os respectivos restos das diviso˜es destes polinoˆmios por t(X) 6= 0. Fixados os elementos α1, . . . , αs ∈ K, mostre que o resto da divisa˜o de p(X) = ∑s i=1 αipi(X) por t(X) e´ o polinoˆmio r(X) = ∑s i=1 αiri(X) . 11. (a) Mostre que o resto da divisa˜o do polinoˆmio p(X) = ∑n i=0 aiX i por Xn − a e´ r(X) = ∑ni=0 airi(X), onde ri(X) e´ o resto da divisa˜o de X i por Xm − a. Sugesta˜o: use o exerc´ıcio 2.10. (b) Se i = λim+ µi com 0 ≤ µ < m, mostre que ri(X) = aλiXµi . (c) Conclua que r(X) = ∑n i=0 a λiXµi, justificando a seguinte regra pra´tica para calcular r(X): ”Substitua em p(X) todos os Xm que puder por a”. (d) Sob quais condic¸o˜es Xn − an e´ divis´ıvel por Xm − am ? (e) Ache os restos da divisa˜o de X60 − 1 e de X100 − 1 por X3 − 1. (f) Mostre que se a 6= 0, enta˜o (Xn − an, Xm − am) = Xd− ad, onde d = (m,n) . 12. Considere a igualdade do Exemplo 5, 1 +X +X2 + · · ·+Xn−1 = (X − ξ) · (X − ξ2) · · · · · (X − ξn−1), onde ξ = cos 2pi n + i sen 2pi n . 1.3. POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES EM CORPOS 25 (a) Na igualdade acima, fazendo X = 1 e tomando os mo´dulos em ambos os lados, mostre a seguinte identidade trigonome´trica: sen pi n · sen 2pi n · · · · · sen (n− 1)pi n = n 2n−1 Sugesta˜o: Use a identidade sen θ = 1−cos 2θ 2 . (b) Se p > 2 e´ um nu´mero primo, mostre que (X − 1) · (X2 − 1) · · · · · (Xp−1 − 1)− p e´ divis´ıvel por 1 +X + · · ·+Xp−1. 1.3 Polinoˆmios com Coeficientes em Corpos No que segue estudaremos propriedades espec´ıficas do anel de polinoˆmios com coeficientes num corpo K. Neste caso, o Teorema 1 nos garante que a divisa˜o com resto pode ser efetuada, tendo como dividendo um polinoˆmio qualquer e como divisor um polinoˆmio na˜o nulo arbitra´rio. Note tambe´m que, neste caso, de acordo com o Corola´rio 3 da Proposic¸a˜o 2, u(X) ∈ K[X] e´ invert´ıvel se, e somente se, u(X) ∈ K − {0}, ou seja gr(u(X)) = 0. Por- tanto, dois polinoˆmios p(X) e q(X) sa˜o associados se, e somente se, existe c ∈ K − {0} = K∗ tal que q(X) = cp(X). Segue disto que todo polinoˆmio na˜o nulo de K[X] e´ associado a um u´nico polinoˆmio moˆnico. TEOREMA 1.2. Todo ideal I de K[X] e´ principal. Se I 6= 0 enta˜o I e´ gerado por qualquer um dos seus elementos de menor grau. DEMONSTRAC¸A˜O : Se I = {0}, nada temos a provar. Suponha que I 6= {0} e seja p(X) 6= 0 um polinoˆmio em I de grau mı´nimo. Como p(X) ∈ I segue que I(p(X)) ⊂ I. Por outro lado, se g(X) ∈ I, pelo al- goritmo da divisa˜o, existem polinoˆmios q(X) e r(X) em K[X] com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(p(X)) tais que g(X) = p(X) · q(X) + r(X). Segue da´ı que r(X) ∈ I e como p(X) tem grau mı´nimo em I, conclui-se que r(X) = 0 e portanto g(X) ∈ I(p(X)). Isto acaba de mostrar que I = I(p(X)). 26 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS O fato que K[X] e´ um anel principal tem va´rios corola´rios que passamos a enunciar.COROLA´RIO 1.9. Sejam dados os polinoˆmios p1(X), . . . , ps(X) ∈ K[X]. Enta˜o existe um MDC destes elementos. Ale´m disso, todo MDC deles e´ da forma p1(X) · q1(X)+ · · ·+ ps(X) · qs(X) para elementos q1(X), . . . , qs(X) ∈ K[X]. DEMONSTRAC¸A˜O : Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Corola´rio 1 da Proposic¸a˜o 6. Como todo associado de umMDC de dados elementos e´ umMDC destes elementos (cf. I-4, Corola´rio da Proposic¸a˜o 4), segue que dados elementos p1(X), . . . , ps(X) ∈ K[X] na˜o todos nulos, estes elementos possuem um u´nico MDC moˆnico que sera´ chamado de oMDC destes elementos e denotado por (p1(X), . . . , ps(X)). Do fato de K[X] ser principal segue tambe´m que existe MMC de ele- mentos quaisquer de K[X] (Veja I-4, Problema 2.8) COROLA´RIO 1.10. Os polinoˆmios p1(X) e p2(X) em K[X] sa˜o primos entre si, se e somente se, existem q1(X), q2(X) ∈ K[X], tais que p1(X) · q1(X) + p2(X) · q2(X) = 1. DEMONSTRAC¸A˜O : Como p1(X) E p2(X) sa˜o primos entre si, se, e so- mente se, (p1(X), p2(X)) = 1, a relac¸a˜o entre p1(X), p2(X) e 1 segue do Corola´rio 1. COROLA´RIO 1.11. Em K[X] um elemento e´ primo se e somente se ele e´ irredut´ıvel. DEMONSTRAC¸A˜O : Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Proposic¸o˜es 8 e 9. COROLA´RIO 1.12. K[X] e´ um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica. DEMONSTRAC¸A˜O : Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Teorema 2. 1.3. POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES EM CORPOS 27 COROLA´RIO 1.13. Todo elemento p(X) ∈ K[X]−K pode ser escrito de modo u´nico, a menos da ordem dos fatores, sob a forma p(X) = c · (p1(X))α1 · · · (pr(X))αr onde c ∈ K − {0} e p1(X), . . . , pr(X) sa˜o polinoˆmios moˆnicos irredut´ıveis distintos em K[X] e αi ∈ N, para i = 1, 2, . . . , r. Observe que o Corola´rio 5 na˜o e´ construtivo, pois garante a existeˆncia da fatorac¸a˜o de um polinoˆmio em polinoˆmios irredut´ıveis sem entretanto indi- car como obteˆ-la. O problema de determinar algor´ıtmos ra´pidos para fatorar polinoˆmios e´ importante e atual. Tal como no caso dos inteiros, pelo fato de existir em K[X] um algo- ritmo para efetuar diviso˜es com resto pequeno, pode-se calcular efetivamente o MDC de dois polinoˆmios usando o algoritmo de Euclides. EXEMPLO 1 : Determinaremos o MDC em Q[X] dos polinoˆmios 2X5 + 2X4 +X3 − 2X2 −X − 4 e X3 − 2X2 +X − 2. Efetuando o algoritmo de Euclides, temos 2X5 + 2X4 +X3 − 2X2 −X − 4 = = (X3 − 2X2 +X − 2) · (2X2 + 6X + 11) + 18X2 + 18 X3 − 2X2 +X − 2 = (18X2 + 18) · ( 1 18 X − 1 9 ) + 0. Logo um MDC destes polinoˆmios e´ 18X2 + 18 e portanto MDC ( 2X5 + 2X4 +X3 − 2X2 −X − 4, X3 − 2X2 +X − 2) = X2 + 1 Sejam K e F corpos tais que K e´ um subcorpo de F . Sejam p1(X), p2(X) em K[X]. Em princ´ıpio, o MDC destes elementos em F [X] tem coeficientes em F . Seguindo pore´m, atrave´s do algoritmo de Euclides, o ca´lculo doMDC destes elementos, e´ fa´cil convencer-se que tal MDC esta´ em K[X]. Segue desta observac¸a˜o que dois polinoˆmios de K[X] teˆm um fator comum na˜o constante em F [X] se, e somente se, eles teˆm um fator comum na˜o constante em K[X]. 28 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS EXEMPLO 2 : Considere o homomorfismo de ane´is ϕ : A[X] −→ AA p(X) 7−→ func¸a˜o polinomial associada a p(X) definida no para´grafo 2. Suponha que A = Zp onde p e´ um nu´mero primo positivo. Note que Xp − X ∈ N(ϕ). Note tambe´m que Xp − X tem grau mı´nimo em N(ϕ) pois qualquer polinoˆmio na˜o nulo de N(ϕ), em se anulando em todos os elementos de Zp, tem que ter grau maior ou igual a p. Segue enta˜o do Teorema 2 que N(ϕ) = I(Xp −X). PROBLEMAS 1.3. 1. Determine o MDC dos seguintes pares de polinoˆmios de Q[X]: (a) X5 + 4X3 + 3X2 +X + 1 e X3 +X + 1. (b) X5+10X4+40X3+80X2+80X +32 e X3+6X2+12X +8. (c) X4 +X3 + 2X2 +X + 1 e X4 + 3X3 + 5X2 + 3X + 4. (d) X3 −X2 −X − 2 e X3 − 3X − 2. 2. Seja F uma extensa˜o de um corpo K. Sejam p1(X), p2(X) ∈ K[X] e α ∈ F . Mostre que α e´ raiz comum de p1(X) e p2(X) se e somente se α e´ raiz de (p1(X), p2(X)). Ache as ra´ızes comuns em C dos pares de polinoˆmios do problema 3.1. 3. Resolva em Q[X] a seguinte equac¸a˜o diofantina: (X3+3X2+3X+2)·u+(X3+2X2+2X+1)·v = X4+X3+2X2+X+1. 4. Seja K um corpo. (a) Mostre que todo polinoˆmio de grau 1 e´ irredut´ıvel em K[X]. (b) Sejam a, b ∈ K com a 6= b. Mostre que para todos n,m ∈ N, os polinoˆmios (X − a)n e (X − a)m sa˜o primos entre si. (c) Se K e´ algebricamente fechado, os u´nicos polinoˆmios irredut´ıveis de K[X] sa˜o os de grau 1. 1.4. POLINOˆMIOS SOBRE C E SOBRE R 29 5. (a) Mostre que se um polinoˆmio de grau maior do que 1 em K[X] tem uma raiz em K, enta˜o eˆle e´ redut´ıvel em K[X]. Deˆ um exemplo mostrando que na˜o vale a rec´ıproca. (b) Mostre que um polinoˆmio de grau 2 ou 3 em K[X] e´ redut´ıvel se, e somente se, ele possui uma raiz em K. Este resultado vale para graus maiores do que 3 ? (c) Determine todos os polinoˆmios irredut´ıveis de graus 2, 3 e 4 em Z5[X]. 6. Mostre que aX2 + bX + c ∈ R[X] e´ irredut´ıvel se, e somente se, tem-se ∆ < 0 onde ∆ = b2 − 4ac < 0. 7. Decomponha em C[X] e em R[X] os seguintes polinoˆmios: a) X4 − 1 b) X4 + 1 c) X6 − 1 d) X6 + 1 8. Para que valores de p, q ∈ R X4 + 1 e´ divis´ıvel por X2 + pX + q em R[X] ? Sugesta˜o: Decomponha X4 + 1 em C[X ] ). 9. Mostre que em K[X] ha´ infinitos polinoˆmios irredut´ıveis dois a dois na˜o associados. Sugesta˜o: Fac¸a uma reproduc¸a˜o a demonstrac¸a˜o de Euclides da existeˆncia de infinitos nu´meros primos (cf. I-5, Teorema 1). 10. Sejam p(X), q(X) ∈ K[X] com p(X) irredut´ıvel. Suponha que existe α numa extensa˜o de K tal que p(α) = q(α) = 0. Mostre que q(X) e´ mu´ltiplo de p(X). Se q(X) e´ tambe´m irredut´ıvel, enta˜o p(X) e q(X) sa˜o associados. 1.4 Polinoˆmios sobre C e sobre R Pelo fato de C ser algebricamente fechado (Teorema Fundamental da A´lgebra, Apeˆndice 1) e pelo Corola´rio 5 do Teorema 1, segue que todo po- linoˆmio p(X) ∈ C[X] se escreve de modo u´nico na forma, p(X) = a(X − α1)n1 · · · (X − αr)nr (1.5) com a, α1, . . . , αr ∈ C, αi 6= αj se i 6= j e n1, . . . , nr ∈ N. 30 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS As ra´ızes de p(X) sa˜o os α1, . . . , αr e o inteiro ni, i = 1, . . . , r, e´ chamado de multiplicidade da raiz αi. Como gr(p(X)) = n1+ · · ·+nr, segue que todo polinoˆmio em C[X] de grau n tem exatamente n ra´ızes, desde que contadas com suas multiplicidades. Seja p(X) = a0 + a1X + · · · + anXn ∈ C[X]. Define-se o polinoˆmio conjugado de p(X) como sendo p¯(X) = a¯0 + a¯1X + · · · a¯nXn ∈ C[X] onde a¯i e´ o conjugado de ai, i = 0, 1, . . . , n. A conjugac¸a˜o de polinoˆmios goza das seguintes propriedades, cujas veri- ficac¸o˜es deixamos a cargo do leitor. 1. Se p(X) = p1(X) + p2(X) enta˜o p¯(X) = p1(X) + p2(X). 2. Se p(X) = p1(X) · p2(X) enta˜o p¯(X) = p1(X) · p2(X). 3. p¯(X) = p(X) se, e somente se, p(X) ∈ R[X]. 4. Se a ∈ C[X] enta˜o p¯(a¯) = p(a) Da propriedade (4) acima deduz-se facilmente que α e´ raiz p(X) se, e somente se, α¯ e´ raiz de p¯(X). PROPOSIC¸A˜O 1.6. Seja p(X) ∈ R[X]. Se α ∈ C e´ raiz de multiplicidade m de p(X). enta˜o, α¯ e´ raiz de multiplicidade m de p(X). DEMONSTRAC¸A˜O : Se α ∈ C e´ raiz de multiplicidade m de p(X) enta˜o p(X) = (X −α)m · q(X), com q(X) ∈ C[X] e q(α) 6= 0. Como p(X) ∈ R[X], temos que p(X) = p¯(X) = (X− α¯)m · q¯(X). Note agora que q¯(α¯) = q(α) 6= 0 e portanto α¯ e´ raiz de multiplicidade m de p(X). COROLA´RIO 1.14. Todo polinoˆmio de grau ı´mpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real. DEMONSTRAC¸A˜O : As ra´ızes complexas aparecem aos pares e como o polinoˆmio e´ de grau ı´mpar, o resultado segue. 1.4. POLINOˆMIOS SOBRE C E SOBRE R 31 PROPOSIC¸A˜O 1.7. i) aX+b com a, b ∈ R e a 6= 0 e´ irredut´ıvel em R[X]. ii) aX2+ bX + c com a, b, c ∈ R e a 6= 0 e´ irredut´ıvel em R[X] se, e somente se, ∆ = b2 − 4ac < 0. iii) Todo polinoˆmio de grau maior do que 2 e´ redut´ıvel em R[X]. DEMONSTRAC¸A˜O : i) E´ evidente e vale emqualquer corpo. ii) aX2+ bX + c e´ irredut´ıvel se, e somente se, na˜o possui fatores do 10 grau em R[X] e isto equivale a dizer que aX2+ bX+ c na˜o possui ra´ızes em R que por sua vez e´ equivalente ao fato que ∆ < 0. iii) Seja p(X) um polinoˆmio em R[X] de grau maior do que 2. Seja α ∈ C uma raiz de p(X). Se α ∈ R, enta˜o p(X) e´ divis´ıvel em R[X] por (X−α), portanto ele e´ redut´ıvel. Se α ∈ C−R, enta˜o α¯ e´ raiz de p(X), logo (X−α) ·(X−α¯) = X2 − 2Re(α)X + |α|2 esta´ em R[X] e divide p(X) em R[X] com quociente na˜o constante, portanto p(X) e´ redut´ıvel. COROLA´RIO 1.15. Todo polinoˆmio p(X) ∈ R[X] − {0} se escreve de modo u´nico, a menos da ordem dos fatores como p(X) = a(X − α1) · · · (X − αr)(X2 + b1X + c1) · · · (X2 + bsX + cs) com a, α1, . . . , αr, b1, . . . , bs, c1, . . . , cs reais e bi 2 − 4ci < 0, i = 1, . . . , s. PROBLEMAS 1.4. 1. Sejam p(X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn e q(X) = b0 + b1X + · · ·+ bnXn polinoˆmios em C[X]. Suponha que eles tenham mesmas ra´ızes com mesmas multiplicidades. Prove que existe a ∈ C− {0} tal que aj = a · bj , j = 1, . . . , n. 2. Uma raiz de X4 + 3X3 − 30X2 + 366X − 340 e´ 3 + 5i, ache as demais ra´ızes. 3. 1 + i e´ raiz mu´ltipla de X6 − 3X5 + 5X4 − 4X3 + 4X2 − 4X + 4 = 0. Ache a multiplicidade desta raiz e as demais ra´ızes. 4. Fatore em R[X] os seguintes polinoˆmios a) X4 + 4X2 + 3 b) X4 + 4X2 + 4 c) X4 −X2 + 1 d) X4 + pX2 + q com p, q ∈ R 32 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS 5. Mostre que se n ∈ N, enta˜o (a) X2n − 1 = (X − 1)(X + 1) ·∏n−1k=1 (X2 − 2X cos kpin + 1). (b) X2n+1 − 1 = (X − 1) ·∏n−1k=1 (X2 − 2X cos 2kpi2n+1 + 1). 6. Fatore em R[X] os seguintes polinoˆmios a) X24 − 1 b) X12 − 1 c) X13 − 1. 1.5 Polinoˆmios em Va´rias Indeterminadas Seja A[X1] o anel dos polinoˆmios a coeficientes em A na indeterminada X1. Se X2 e´ uma indeterminada sobre o anel A[X1], define-se: A[X1, X2] = (A[X1]) [X2]. Pode-se enta˜o definir recorrentemente, A[X1, X2, . . . , Xn] = (A[X1, X2, . . . , Xn−1]) [Xn]. Se A e´ um domı´nio de integridade, pelo Corola´rio 1 da Proposic¸a˜o 3, temos que A[X1] tambe´m e´ um domı´nio de integridade. Usando o mesmo argumento iteradamente, conclui-se que A[X1, X2, . . . , Xn] e´ um domı´nio de integridade. Todo elemento p(X1, . . . , Xn) ∈ A[X1, . . . , Xn] pode ser escrito na forma p(X1, . . . , Xn) = ∑ ai1...inX i1 1 · · ·X inn , 0≤i1≤r1 ... 0≤in≤rn onde r1, . . . , rn ∈ Z+ e ai1,...,in ∈ A e e´ chamado polinoˆmio em n indetermi- nadas. Cada termo da forma ai1,...,inX i1 1 · · ·X inn e´ chamado monoˆmio e o seu grau e´ definido como sendo i1 + i2 + · · ·+ in. Dois monoˆmios sa˜o semelhantes se eles teˆm o mesmo grau. O grau de um polinoˆmio em n indeterminadas e´ o maior dos graus de seus monoˆmios na˜o nulos. Um polinoˆmio e´ chamado 1.5. POLINOˆMIOS EM VA´RIAS INDETERMINADAS 33 homogeˆneo de grau m se todos os seus monoˆmios teˆm grau m. Dado um polinoˆmio em A[X1, . . . , Xn], a soma dos seus monoˆmios de grau m e´ um po- linoˆmio homogeˆneo de graum chamado componente homogeˆneo de grau m do polinoˆmio. Enta˜o todo polinoˆmio e´ soma de polinoˆmios homogeˆneos de graus dois a dois distintos, pois ele e´ a soma das suas componentes homogeˆneas. O grau de um polinoˆmio p(X1, . . . , Xn) e´ simbolizado por gr(p(X1, . . .Xn)). Exemplo 1 : Seja p(X1, X2, X3) = 3 + 5X1 + 3X2 +X1X2 +X3 2 +X2 3X3 + 7X1 5. Este polinoˆmio e´ de grau 5, suas componentes homogeˆneas sa˜o: • de grau zero: 3; • de grau um: 5X1 + 3X2 ; • de grau dois: X1X2 +X32 ; • de grau treˆs: na˜o tem; • de grau quatro: X23X3 ; • de grau cinco: 7X15 . PROPOSIC¸A˜O 1.8.∑ ai1...inX i1 1 · · ·X inn = 0 0≤i1≤r1 ... 0≤in≤rn se, e somente se, ai1...,in = 0 para cada 0 ≤ i1 ≤ r1, . . . , 0 ≤ in ≤ rn. DEMONSTRAC¸A˜O : Em uma direc¸a˜o vamos provar por induc¸a˜o em n. Se n = 1, a asserc¸a˜o e´ verdadeira pela definic¸a˜o da igualdade de polinoˆmios em uma indeterminada. Vamos supor a asserc¸a˜o va´lida para n− 1. Seja∑ ai1...inX i1 1 · · ·X inn = 0, 0≤i1≤r1 ... 0≤in≤rn 34 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS podemos escrever, 0 = ∑ ai1...inX i1 1 · · ·X inn = 0≤i1≤r1 ... 0≤in≤rn = ∑ ∑ (ai1...inX i1 1 · · ·X in−1n−1 )X inn . 0≤in≤rn 0≤i1≤r1 ... 0≤in−1≤rn−1 Pela definic¸a˜o da igualdade em (A[X1, . . . , Xn−1])[Xn], segue que∑ ai1...inX i1 1 · · ·X in−1n−1 = 0 0≤i1≤r1 ... 0≤in≤rn para todo in, 0 ≤ in ≤ rn. Pela hipo´tese de induc¸a˜o, segue que ai1,...,in = 0 para cada 0 ≤ i1 ≤ r1 , . . . , 0 ≤ in ≤ rn. A rec´ıproca e´ imediata. Seja A um domı´nio de integridade. Pode-se verificar facilmente que para p(X1, . . . , Xn), q(X1, . . . , Xn) ∈ A[X1, . . . , Xn], tem-se gr(p(X1, . . . , Xn) · q(X1, . . . , Xn)) = gr(p(X1, . . . , Xn)) + gr(q(X1, . . . , Xn)). Portanto e´ imediato se checar que o polinoˆmio p(X1, . . . , Xn) e´ invert´ıvel em A[X1, . . . , Xn] se, e somente se, p(X1, . . . , Xn) ∈ A e e´ um elemento invert´ıvel de A. E´ claro que os polinoˆmios X1, . . . , Xn sa˜o irredut´ıveis em K[X1, . . . , Xn], onde K e´ um corpo. 1.5. POLINOˆMIOS EM VA´RIAS INDETERMINADAS 35 Seja A um domı´nio de integridade. O corpo de frac¸o˜es (cf. I-2) do domı´nio A[X1, . . . , Xn] e´ o corpo A(X1, . . . , Xn) = { p(X1, . . . , Xn) q(X1, . . . , Xn) | p(X1, . . . , Xn), q(X1, . . . , Xn) ∈ A[X1, . . . , Xn] e q(X1, . . . , Xn) 6= 0 } E´ fa´cil ver que se K e´ o corpo de frac¸o˜es de A, enta˜o A(X1, . . . , Xn) = K(X1, . . . , Xn). Dado um polinoˆmio p(X1, . . . , Xn) = ∑ ai1...inX i1 1 · · ·X inn ∈ A[X1, . . . , Xn], 0≤i1≤r1 ... 0≤in≤rn podemos definir a func¸a˜o polinomial: p : An −→ A (α1, . . . , αn) 7−→ ∑ ai1,...,inα i1 1 · · ·αinn = p(α1, . . . αn). 0≤i1≤r1 ... 0≤in≤rn Dois polinoˆmios iguais determinam a mesma func¸a˜o polinomial, mas dois polinoˆmios distintos podem definir a mesma func¸a˜o polinomial. Isto nova- mente na˜o ocorre se A e´ um domı´nio infinito, como veremos adiante. PROPOSIC¸A˜O 1.9. Sejam A e´ um domı´nio infinito e p(X1, . . .Xn) um polinoˆmio em A[X1, . . . , Xn]−{0}. Enta˜o existem infinitos (α1, . . . , αn) ∈ An tais que p(α1, . . . , αn) 6= 0. DEMONSTRAC¸A˜O : Vamos provar por induc¸a˜o em n. Se n = 1, o resul- tado segue do Corola´rio 3 do Teorema 1. Suponha o resultado va´lido para n− 1 e seja p(X1, . . . , Xn) = ∑ ai1...inX i1 1 · · ·X inn = 0≤i1≤r1 ... 0≤in≤rn 36 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS = ∑ ∑ (ai1...inX i1 1 · · ·X in−1n−1 )Xnin . 0≤in≤rn 0≤i1≤r1 ... 0≤in−1≤rn−1 Como p(X1, . . . , Xn) 6= 0, para algum in temos que,∑ ai1...inX i1 1 · · ·X in−1n−1 6= 0, 0≤i1≤r1 ... 0≤in−1≤rn−1 logo, pela hipo´tese de induc¸a˜o, existem α1, . . . αn−1 ∈ A tais que,∑ ai1...inα i1 1 · · ·αin−1n−1 6= 0, 0≤i1≤r1 ... 0≤in−1≤rn−1 logo o polinoˆmio p(α1, . . . , αn−1, Xn) = = ∑ ∑ ( ai1...inα i1 1 · · ·αin−1n−1 ) X inn ∈ A[Xn] 0≤in≤rn 0≤i1≤r1 ... 0≤in≤rn e´ na˜o nulo e logo possui um nu´mero finito de ra´ızes. Para infinitos valores de αn ∈ A (os elementos de A que na˜o sa˜o ra´ızes de p(α1, . . . , αn−1, Xn)) temos que p(α1, . . . , αn) 6= 0, o que prova o resultado. COROLA´RIO 1.16. Seja A um domı´nio infinito. Sejam ainda os po- linoˆmios p(X1, . . . , Xn) e q(X1, . . . , Xn) em A[X1, . . .Xn] tais que p(α1, . . . , αn) = q(α1, . . . , αn) ∀ (α1, . . . , αn) ∈ An. Enta˜o p(X1, . . . , Xn) = q(X1, . . . , Xn). 1.5. POLINOˆMIOS EM VA´RIAS INDETERMINADAS 37 DEMONSTRAC¸A˜O : Suponha por absurdo que p(X1, . . . , Xn)− q(X1, . . . , Xn) 6= 0, logo pela proposic¸a˜o 9, existem (α1, . . . , αn) ∈ An tais que p(α1, . . . , αn)− q(α1, . . . , αn) 6= 0. Mas, pela proposic¸a˜o, existem α1, . . . , αn ∈ A tais que p1(α1, . . . , αn)− p2(α1, . . . , αn) 6= 0, o que e´ uma contradic¸a˜o. PROPOSIC¸A˜O 1.10. Seja K um corpo algebricamente fechadoe seja f(X1, . . . , Xn) ∈ K[X1, . . . , Xn]−K com n ≥ 2. Enta˜o o conjunto VK(f) = {(α1, . . . , αn) ∈ Kn | f(α1, . . . , αn) = 0} e´ infinito. DEMONSTRAC¸A˜O : Como f(X1, . . . , Xn) na˜o esta´ em K, enta˜o pelo menos uma das indeterminadas figura em f(X1, . . . , Xn). Sem perda de ge- neralidade, podemos supor que seja Xn. Escrevemos f(X1, . . . , Xn) = f0(X1, . . . , Xn−1) + f1(X1, . . . , Xn−1)Xn + · · ·+ fd(X1, . . . , Xn−1)Xdn como polinoˆmio em (K[X1, . . . , Xn−1])[Xn], com fd(X1, . . . , Xn−1) 6= 0 e d ≥ 1. Pela Proposic¸a˜o 9, existem infinitos elementos (α1, . . . , αn) ∈ Kn−1 tais que fd(α1, . . . , αn−1) 6= 0 e para cada escolha de tais (α1, . . . , αn−1) existe αn ∈ Kn−1 raiz da equac¸a˜o f(α1, . . . , αn−1, Xn) = 0, pois K e´ algebricamente fechado, o que prova a asserc¸a˜o. 38 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS PROBLEMAS 1.5. 1. Sejam A um domı´nio de integridade e p, q ∈ A[X1, . . . , Xn]. Mostre que, (a) gr(p · q) = gr(p) + gr(q). (b) Se p e q sa˜o homogeˆneos, enta˜o p · q e´ homogeˆneo. (c) Se p e´ homogeˆneo e p = p1 · p2 em A[X1, . . . , Xn], enta˜o p1 e p2 sa˜o homogeˆneos. 2. Seja K um corpo. Se Fm, Fm+1 ∈ K[X1, . . . , Xn] sa˜o homogeˆneos de graus respectivamente m e m + 1, sem fatores na˜o constantes em co- mum, mostre que Fm + Fm+1 e´ irredut´ıvel em K[X1, . . . , Xn]. 3. Seja K um corpo. Mostre que Y 2+ p(X1, . . . , Xn) ∈ K[X1, . . . , Xn, Y ], onde p(X1, . . . , Xn) ∈ K[X1, . . . , Xn], e´ irredut´ıvel se, e somente se, p(X1, . . . , Xn) na˜o e´ o quadrado de um polinoˆmio em K[X1, . . . , Xn]. Em particular, mostre que Y 2 − X(X − 1)(X − λ), com λ ∈ K, e´ irredut´ıvel em K[X, Y ] . 4. Seja K um corpo algebricamente fechado. Seja p(X1, X2) ∈ K[X1, X2] um polinoˆmio homogeˆneo de grau m ≥ 1. Mostre que existem αi, βi ∈ K, i = 1, . . . , m tais que, p(X1, X2) = (α1X1 + β1X2) · (α2X1 + β2X2) · · · (αmX1 + βmX2). 5. (a) Seja A um anel. Sejam p(X1, . . . , Xn) ∈ A[X1, . . . , Xn] e Y uma indeterminada sobre A[X1, . . . , Xn]. Mostre que p(X1, . . . , Xn) e´ um polinoˆmio homogeˆneo de grau m se, e somente se, p(Y X1, . . . , Y Xn) = Y mp(X1, . . . , Xn) (Como polinoˆmio em A[X1, . . . , Xn]). (b) Seja p(X1, X2, X3) ∈ R[X1, X2, X3]. Mostre que V R(p) e´ um cone com ve´rtice na origem de R3 se, e somente se, p(X1, X2, X3) e´ um polinoˆmio homogeˆneo. 6. O polinoˆmio f(X1, X2) = X 2 1 +X 2 2 e´ irredut´ıvel em R[X1, X2] ? Deter- mine V R(f). Responda a`s mesmas perguntas em C[X1, X2]. 1.5. POLINOˆMIOS EM VA´RIAS INDETERMINADAS 39 7. SejaK um corpo algebricamente fechado e f(X1, . . . , Xn) um polinoˆmio em K[X1, . . . , Xn]. Mostre que VK(f) e´ na˜o vazio se, e somente se, f(X1, . . . , Xn) ∈ K∗. Deˆ um exemplo onde na˜o vale o resultado se K = R. 40 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS Cap´ıtulo 2 DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE 2.1 Derivada Primeira Seja K um corpo. Define-se o operador DX 1 em K[[X]] (i.e. D1X e´ uma aplicac¸a˜o de K[[X]] em si pro´prio) como segue D1X : K[[X]] −→ K[[X]] f(X) = ∑∞ i=0 aiX i 7−→ D1Xf(X) = ∑∞ i=0 iaiX i−1 Este e´ chamado operador de derivac¸a˜o de ordem 1 e tem propriedades nota´veis que o tornam muito u´til. A se´rie de poteˆncias D1X e´ chamada deri- vada primeira ou simplesmente derivada de f(X). Usa-se tambe´m a notac¸a˜o D1X = f ′(X). Segue claramente da definic¸a˜o que D1X(K[X]) ⊂ k[X]. PROPOSIC¸A˜O 2.1. Sejam f(X), g(X) ∈ K[X], a ∈ K e m ∈ N. Temos que 1. D1X(f(X) + ag(X)) = f ′(X) + ag′(X). 2. D1X(f(X) · g(X)) = f ′(X) · g(X) + f(X) · g′(X). 3. D1X((f(X)) m = m(f(X))m−1 · f ′(X) . Demonstrac¸a˜o: 41 42 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE 1. A demonstrac¸a˜o deste item segue diretamente da definic¸a˜o. 2. Em virtude do Problema 1.4 do Cap´ıtulo 1, basta provar a fo´rmula para produtos da forma Xng(X). Seja g(X) = ∑∞ i=0 biX i, temos que D1X(X ng(X)) = D1X ( ∞∑ i=0 biX n+i ) = ∞∑ i=0 (n + i)biX n+i−1 = = nXn−1 ∞∑ i=0 biX i +Xn ∞∑ i=0 ibiX i = ( D1XX n ) g(X) +XnD1Xg(X) 3. A demonstrac¸a˜o pode ser feita por induc¸a˜o sobre m e a deixamos a cargo do leitor. O pro´ximo resultado vai caracterizar aquelas se´ries de poteˆncias que teˆm derivada nula. PROPOSIC¸A˜O 2.2. 1. Se car(K) = 0 enta˜o, D1Xf(X) = 0 se, e so- mente se, f(X) ∈ K. 2. Suponha car(K) = p > 0. Enta˜o D1Xf(X) = 0 se, e somente se, f(X) = b0 + b1X p + b2X 2p + · · · , com bi ∈ K, ∀i ∈ Z+ Demonstrac¸a˜o: Seja f(X) = ∑∞ i=0 aiX i ∈ K[[X]]. D1Xf(X) = 0 se, e somente se, iai = 0 para todo i ∈ Z+. Por I-7, Problema 3.1, esta u´ltima condic¸a˜o e´ equivalente a i ≡ 0 mod car(K) ou ai = 0. 1. Se car (K) = 0, isto e´ equivalente a 0 = a1 = a2 = · · · , isto e´, f(X) = a0 ∈ K. 2. Se car (K) = p > 0, isto e´ equivalente a i ≡ 0 mod p se ai 6= 0. Assim, D1Xf(X) = 0 se, e somente se, f(X) = a0 + apX p + a2pX 2p + · · · . O resultado segue definindo bj = ajp, ∀ j ∈ Z+. Se um polinoˆmio p(X) e´ divis´ıvel por (X − α)m, onde α ∈ K e m ∈ N, e na˜o e´ divis´ıvel por (X − α)m+1, dizemos que α e´ raiz de multiplicidade m de p(X). Se m ≥ 2, dizemos que α e´ raiz mu´ltipla de p(X). Note que se (X−α)l divide p(X), enta˜o α e´ raiz de multiplicidade pelo menos l de p(X). Damos a seguir uma caracterizac¸a˜o daqueles polinoˆmios que teˆm ra´ızes mu´ltiplas em termos de derivadas. 2.1. DERIVADA PRIMEIRA 43 PROPOSIC¸A˜O 2.3. Um elemento α ∈ K e´ raiz mu´ltipla de p(X) ∈ K[X] se, e somente se, p(α) = p′(α) = 0. Demonstrac¸a˜o: Por um lado, suponha que p(X) = (X − α)m · q(X) com m ≥ 2. Logo, pela Proposic¸a˜o 1, (2) e (3) temos que p′(X) = (x− α)m · q′(X) +m(X − α)m−1 · q(X). Como m ≥ 2 e´ claro que p(α) = p′(α) = 0. Reciprocamente, Como p(α) = 0, temos que p(X) = (X−α)·q(X). Derivando ambos os lados desta igualdade, temos p′(X) = q(X)+ (X−α) · q1(X). Desta igualdade e de p′(α) = 0 segue que q(α) = 0 e da´ı que q(X) = (X − α) · q1(X) para algum q1(X) ∈ K[X]. Consequ¨entemente p(X) = (X−α)2 ·q1(X) e portanto α e´ uma raiz mu´ltipla de p(X). COROLA´RIO 2.1. Seja K um corpo algebricamente fechado. p(X) ∈ K[X] na˜o tem ra´ızes mu´ltiplas em K se, e somente se, (p(X), p′(X)) = 1. Demonstrac¸a˜o: Sendo K um corpo algebricamente fechado, os polinoˆmios p(X) e p′(X) teˆm raiz comum se, e somente se, eles teˆm um fator na˜o cons- tante comum. O resultado segue enta˜o da Proposic¸a˜o 3. COROLA´RIO 2.2. Se car (K) = 0 e se p(X) ∈ K[X] e´ irredut´ıvel, enta˜o p(X) na˜o pode ter raiz mu´ltipla em nenhuma extensa˜o F de K. Demonstrac¸a˜o: Note inicialmente que se car (K) = 0 e p(X) e´ irredut´ıvel enta˜o p′(X) 6= 0 e (p(X), p′(X)) = 1. A primeira destas asserc¸o˜es segue da Proposic¸a˜o 2. Para a segunda, suponha por absurdo que (p(X), p′(X)) 6= 1, logo p(X) e p′(X) teˆm um fator na˜o constante em comum e como p(X) e´ irredut´ıvel este fator comum e´ um associado de p(X), o que e´ imposs´ıvel pois gr(p′(X)) < gr(p(X)). Como (p(X), p′(X)) = 1 em K[X], o mesmo ocorre em F [X], logo pelo Corola´rio 1, p(X) na˜o tem ra´ızes mu´ltiplas em F . PROPOSIC¸A˜O 2.4. Seja p(X ∈ K[X]) com car(K) = 0. Enta˜o α e´ raiz de multiplicidade m ≥ 1 de p(X) se, e somente se, α e´ raiz de p(X) e raiz de multiplicidade m− 1 de p′(X). 44 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE Demonstrac¸a˜o: Por um lado, suponha que α seja uma raiz de multiplici- dade m de p(X). Temos enta˜o que p(X) = (X − α)mq(X), com q(X) ∈ K[X] e q(α) 6= 0. Segue enta˜o que p′(X) = m(X−α)m−1q(X)+(X−α)mq′(X), portanto temos claramente que (X − α)m−1 | p′(X). Vamos provar que (X −α)m na˜o divide p′(X). De fato, se (X −α)m | p′(X), enta˜o (X − α)m | m(X − α)m−1q(X), logo (X − α) | mq(X) e portanto mq(α) = 0. Como car(K) = 0, segue que q(α) = 0 o que e´ uma contradic¸a˜o. Reciprocamente, suponha que p(α) = 0 e que α e´ raiz de multiplicidade m− 1 de p′(X). Seja r a multiplicidade da raiz α de p(X), logo r≥ 1 e pela primeira parte da demonstrac¸a˜o, α e´ raiz de multiplicidade r− 1 de p′(X) e portanto r − 1 = m− 1 e portanto r = m. Dado um polinoˆmio p(X) ∈ K[X] podemos definir as suas derivadas ite- radas do seguinte modo: p′′(X) e´ a derivada de p′(X), ou seja p′′(X) = D1X(D 1 X(p(X)), p′′′(X) e´ a derivada de p′′(X), ou seja p′′′(X) = D1X(D 1 X(D 1 X(p(X))), ... ... ... p(n)(X) e´ a derivada de p(n−1)(X), ou seja p(n)(X) = D1X(D (n−1) X (p(X)). COROLA´RIO 2.3. Seja car (K) = 0 e p(X ∈ K[X]). Um elemento α ∈ K e´ raiz de multiplicidade m ≥ 2 de p(X) se, e somente se, p(α) = p′(α) = · · · = p(m−1)(α) = 0 e p(m)(α) 6= 0. Demonstrac¸a˜o: Por um lado, se α e´ raiz de multiplicidade m de p(X), enta˜o α e´ raiz de multiplicidade m− 1 de p′(X), logo raiz de multiplicidade (m − 2) de p′′(X), etc. ate´ concluirmos que α e´ raiz de multiplicidade 1 de p(m−1)(X) e portanto p(m) 6= 0. Segue enta˜o que p(α) = p′(α) = · · · = p(m−1)(α) = 0 e p(m)(α) 6= 0. Reciprocamente, sendo p(m−1)(α) = 0 e p(m)(α) 6= 0 tem-se que α e´ raiz de multiplicidade 1 de p(m−1)(X) e portanto de multiplicidade 2 de p(m−1)(X) 2.1. DERIVADA PRIMEIRA 45 e assim sucessivamente ate´ concluirmos que α e´ raiz de multiplicidade m de p(X). Exemplo 1 : A derivac¸a˜o permite obter algumas fo´rmulas interessantes. Por exemplo, derivando ambos os membros a identidade: (X + 1)n = ( n 0 ) Xn + ( n 1 ) Xn−1 + · · ·+ ( n n− 1 ) X + ( n n ) , e fazendo X = 1 obtemos a igualdade n · 2n−1 = n ( n 0 ) + (n− 1) ( n 1 ) + · · ·+ ( n n− 1 ) . Exemplo 2 : Na Proposic¸a˜o 5, Cap´ıtulo 1, demos a fo´rmula de interpolac¸a˜o de Lagrange. Recordando, e´ o u´nico polinoˆmio de grau menor do que n que assume o valor bi quando avaliado em ai onde os ai ′s sa˜o dois a dois distintos e os b′is na˜o sa˜o todos nulos, i = 1, . . . , n e´ o polinoˆmio p(X) = n∑ i=1 bi (X − a1) . . . (X − ai−1) · (X − ai+1) · · · (X − an) (ai − a1) · · · (ai − ai−1) · (ai − ai+1) · · · (ai − an) Podemos reescrever esta fo´rmula, usando derivadas, do seguinte modo mais sinte´tico: p(X) = n∑ i=1 f(X) (X − ai) · bi f ′(ai) , onde f(X) = (X − a1) · · · (X − an). PROBLEMAS 2.1. 1. Ache a multiplicidade da raiz 1 do polinoˆmio X5 − 3X4 + 5X3 − 7X2 + 6X − 2. Determine as demais ra´ızes. 2. Ache as ra´ızes da equac¸a˜o X3−(3+√2)X2+(1+2√2)X+(1+√2) = 0, sabendo-se que esta tem uma raiz dupla. 46 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE 3. Mostre que o polinoˆmio X(Xn−1 − nan−1) + an(n − 1) e´ divis´ıvel por (X − a)2, mas na˜o e´ divis´ıvel por (X − a)3, onde a 6= 0 e n ≥ 2. 4. Mostre que se n ≥ 3, enta˜o (1−X)3 divide o polinoˆmio (1−Xn)(1 +X)− 2nXn(1−X)− n2Xn(1−X)2 5. Determine os poss´ıveis valores de m, p e q em C de modo que o po- linoˆmio X6 +mX4 + 10X3 + pX + q tenha uma raiz qua´drupla em C. Determine, neste caso, as ra´ızes do polinoˆmio. 6. Seja ξ 6= 1 uma raiz n-e´sima da unidade e seja p(X) = Xn−1 +Xn−2 + · · ·+X + 1. Mostre que: (a) p′(ξ) = n ξ(ξ−1) . (b) ξ + 2ξ2 + · · ·+ (n− 1)ξn−1 = n ξ−1 . 7. (a) Mostre que o resto da divisa˜o de um polinoˆmio p(X) ∈ K[X] por t((X) = (X − x1) · (X − xn), onde x1, . . . , xn ∈ K sa˜o dois a dois distintos, e´ n∑ i=1 t(X) (X − xi) p(xi) t′(xi) (Sugesta˜o: Use a fo´rmula do Exemplo 2) (b) Ache o resto da divisa˜o de X9+3X7+4X6+X4−X3+2X2−X+1 por X(X + 1)(X − 1) 8. Deˆ um contraexemplo para o Corola´rio 1 quando K = R. 9. Deˆ um contraexemplo para a Proposic¸a˜o 4 quando car(K) > 0. 10. (a) Mostre que (X i)(n) = { 0, se i < n i(i− 1) · · · (i− n+ 1)X i−n, se i ≥ n. (b) Mostre que se n ≥ car(K), enta˜o (p(X))(n) = 0 ∀ p(X) ∈ K[X]. (c) Conclua que se car(K) = 2, enta˜o (p(X))(n) = 0 ∀ p(X) ∈ K[X], ∀ n ≥ 2. 2.2. DIVISA˜O POR X − A 47 2.2 Divisa˜o por X − a Frequ¨entemente dividiremos polinoˆmios por X − a, por isso desenvolve- mos um me´todo pra´tico para efetuar tais diviso˜es. Seja p(X) = a0 + a1X + · · · + anXn ∈ A[X], vamos usar o me´todo dos coeficientes a determinar para achar q(X) = b)+b1X+· · ·+bn−1Xn−1 ∈ A[X] e r ∈ A tais que p(X) = (X − a) · (b0 + b1X + · · ·+ bn−1Xn−1) + r = bn−1Xn + (bn−2 − a · bn−1)Xn−1 + (bn−3 − a · bn−2)Xn−2 + · · ·+ + (b0 − a · b1)X + r − a · b0 Igualando os coeficientes correspondentes, obte´m-se bn−1 = an bn−2 = an−1 + a · bn−1 bn−3 = an−2 + a · bn−2 ... b0 = a1 + a · b1 r = a0 + a · b0 Destas igualdades, deduz-se o seguinte dispositivo pra´tico: an an−1 an−2 · · · a1 a0 a an an−1 + a · bn−1 an−2 + a · bn−2 · · · a1 + a · b1 a0 + a · b0 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ bn−1 bn−2 bn−3 · · · b0 r = p(a) Exemplo 1 : Dividamos p(X) = 8X6 − 7X5 + 4X4 + X3 − 3X2 + 1 por X + 2 8 −7 4 1 −3 0 1 −2 8 −23 50 −99 195 −390 781 48 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE Portanto q(X) = 8X5−23X4+50X3−99X2+195X−390 e r = p(−2) = 781. Exemplo 2 : Dividamos p(X) = X5 + 4X4 + 2X2 +X + 1 por 2X + 1 1 4 0 2 1 1 1 2 1 9 2 9 4 25 8 41 16 73 32 Portanto p(X) = ( X − 1 2 ) · ( X4 + 9 2 X3 + 9 4 X2 + 25 8 X + 41 16 ) + 73 32 , segue da´ı que p(X) = (2X − 1) · ( 1 2 X4 + 9 4 X3 + 9 8 X2 + 25 16 X + 41 32 ) + 73 32 , logo q(X) = 1 2 X4 + 9 4 X3 + 9 8 X2 + 25 16 X + 41 32 e r = p ( 1 2 ) + 73 32 . Exemplo 3 : Dividamos p(X) = Xn − an por X − a 1 0 0 · · · 0 −an a 1 a a2 · · · an−1 0 Portanto q(X) = Xn−1+ a ·Xn−2+ a2 ·Xn−3+ · · ·+ an−1 e r = p(a) = 0. Sejam p(X) ∈ A[X] um polinoˆmio de grau n e a ∈ A. Considere as seguintes igualdades: p(X) = (X − a) · q1(X) + r0 q1(X) = (X − a) · q2(X) + r1 q2(X) = (X − a) · q3(X) + r2 ... = qn−1(X) = (X − a) · qn(X) + rn−1 2.2. DIVISA˜O POR X − A 49 Por considerac¸a˜o de graus, temos que qn(X) ∈ A. Pondo rn = qn(X) e substituindo uma equac¸a˜o na outra, no sistema acima, obtemos p(X) = r0+ r1 · (X − a)+ r2 · (X − a)2+ · · · rn−1 · (X − a)n−1+ rn · (X − a)n. Esta e´ a expressa˜o de p(X) em poteˆncias crescentes de (X − a). As diviso˜es sucessivas por (X − a) nos fornecem um algoritmo pra´tico para determinar tal expressa˜o. Seja p(X) = a0 + a1X + a2X 2 + · · · + anXn. Obtemos r0, r1, r2, . . . , rn como segue an an−1 · · · a1 a0 −an a Coeficientes de q1(X) r0 a Coeficientes de q2(X) r1 ... · · · · · · a Coeficientes de qn(X) rn−1 a rn Exemplo 4 : Vamos expandir X5 − 1 em poteˆncias crescentes de X − 1. 1 0 0 0 0 −1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 3 4 5 1 1 3 6 10 1 1 4 10 1 1 5 1 Assim, X5−1 = 5(X−1)+10(X−1)2+10(X−1)3+5(X−1)4+(X−1)5. Exemplo 5 : Vamos expandir p(X) = X6+4X5+7X4−3X3+X2−2X+1 em poteˆncias crescentes de X + 2. 50 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE 1 4 7 −3 1 −2 1 −2 1 2 3 −9 17 −36 73 −2 1 0 3 −15 47 −130 −2 1 −2 7 −29 105 −2 1 −4 15 10 −2 1 −6 27 −2 1 −8 1 Assim, p(X) = 73− 130(X + 2) + 105(X + 2)2 − 59(X + 2)3+ +27(X + 2)4 − (X + 2)5 + (X + 2)6. Sejam K um corpo, p(X) ∈ K[X] e a ∈ K. Derivando sucessivamente a igualdade p(X) = r0+ r1 · (X − a)+ r2 · (X − a)2+ · · · rn−1 · (X − a)n−1+ rn · (X − a)n. temos que, p′(X) = r1 + 2r2(X − a) + 3r3(X − a)2 + · · ·+ nrn−1(X − a)n−1 p′′(X) = 2r2 + 3 · 2r3(X − a) + 4 · 3r4(X − a)2 + · · · ... pi(X) = i! ri + (i+ 1) · i! ri+1(X − a) + · · · ... p(n)(X) = n! rn Avaliando este polinoˆmios em a, obtemos que r0 = p(a), r1 = p ′(a), r2 = 1 2! p′′(a), ... ri = 1 i! p(i)(a), ... rn = 1 n! p(n)(a). Portanto se car(K) = 0 ou car(K) > n, temos a fo´rmula de Taylor, 2.2. DIVISA˜O POR X − A 51 p(X) = p(a) + p′(a) · (X − a) + p ′′(a) 2! · (X − a)2 + · · ·+ p (n)(a) n! (X − a)n. Observe tambe´m que as derivadas sucessivas p(a), p′(a), . . . , p(n)(a) po- dem ser calculadas a partirde r0, r1, . . . , rn mediante diviso˜es sucessivas por (X − a). Exemplo 6 : Seja p(X) = X6+4X5+7X4− 3X3+X2− 2X +1 ∈ Q[X]. Pela discussa˜o acima e pelos ca´lculos do Exemplo 5, temos que p(−2) = 73, p′(−2) = −130, p′′(−2) = 1 2! · 105105 2 , p′′′(−2) = 1 3! · (−59) = −59 6 , p(4)(−2) = 1 4! · 27 = 9 8 , p(5)(−2) = 1 5! · (−8) = −1 15 p(6)(−2) = 1 6! = 1 720 . PROBLEMAS 2.2. 1. Divida: (a) −X4 + 7X3 − 4X2 por X + 3, (b) X4 + 5X3 + 7X − 1 por X − 3, (c) 10X3 − 2X2 + 3X − 1 por 2X − 3, (d) X4 +X3 −X2 + 1 por 3X + 2. 2. Seja n ∈ N. Ache o quociente e o resto da divisa˜o de (a) nXn+1 − (n+ 1)Xn + 1 por (X − 1)2, (b) nXn+2 − (n+ 2)Xn+1 + (n+ 2)X − n por (X − 1)3. 3. Resolva a equac¸a˜o 2X3 + 3X2 − 4X − 6 = 0, sabendo-se que ela tem uma raiz α = −3 2 . 4. Resolva a equac¸a˜o 2X4 + 5X3 + 5X2 − 2 = 0 sabendo-se que ela tem uma α = −1 e outra raiz β = 1 2 . 5. Seja p(X) = X7 + 2¯X6 +X5 + 3¯X4 − X3 + 4¯X2 − 2¯X + 5¯ ∈ Z13[X]. Desenvolva p(X) segundo as poteˆncias crescentes de X − 1¯. Calcule p(i)(1¯) para i = 0, 1, 2, . . . , 7. 52 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE 2.3 Derivadas de ordem superior Seja K um corpo e seja f(X) ∈ K[[X]]. Se Y e´ uma indeterminada sobre K[[X]], podemos considerar f(X + Y ) como elemento de K[[X]][[Y ]] e como tal tem uma expressa˜o u´nica da forma f(X + Y ) = f0(X) + f1(X)Y + f2(X)Y 2 + · · ·+ fm(X)Y m + · · · , com f0(X), f1(X), f2(X), . . . ,∈ K[[X]]. Definimos uma famı´lia infinita de operadores em K[[X]] como segue, ∀ m ∈ Z+: DmX : K[[X]] −→ K[[X]] f(X) 7−→ DmX f(X) = fm(X) PROPOSIC¸A˜O 2.5. DmXX n = ( n m ) Xn−m ∀ m,n ∈ Z+. Se f(X) = ∑∞ i=0 aiX i ∈ K[[X]], enta˜o DmXf(X) = ∑∞ i=0 aiD m XX i. Demonstrac¸a˜o: Pela fo´rmula do binoˆmio de Newton temos que (X + Y )n = n∑ m=0 ( n m ) Xn−mY m, de onde segue a primeira afirmac¸a˜o. A segunda afirmac¸a˜o segue da ob- servac¸a˜o que o coeficiente de Y m em f(X + Y ) = ∑∞ i=0 ai(X + Y ) i e´ a soma, ∀ i ∈ Z+, dos coeficientes de Y m em ai(X + Y )i (que e´ igual a ai vezes o coeficiente de Y m em (X + Y )i). Segue imediatamente da Proposic¸a˜o 5 que DmX(K[X]) ⊂ K[X] ∀ m ∈ Z+. TEOREMA 2.1. Sejam f(X), g(X) ∈ K[[X]] e c ∈ K. A famı´lia de operadores (DmX )m∈Z+ possui as seguintes propriedades: 1. D0X = Id; D 1 X = derivac¸a˜o de ordem 1; D m Xc = 0 ∀ m ∈ N. 2. DmX(f(X) + cg(X)) = D m Xf(X) + cD m Xg(X) ∀ m ∈ Z+. 3. DmX(f(X) · cg(X)) = ∑m i=0D i Xf(X) ·Dm−iX g(X) ∀ m ∈ Z+. 2.3. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 53 4. DmX ◦DnX = ( m+ n n ) Dm+nX ∀ m ∈ Z+. Demonstrac¸a˜o: 1. Da Proposic¸a˜o 5 temos que D0XX n = Xn e D1XX n = nXn−1. Da segunda afirmac¸a˜o da Proposic¸a˜o 5 temos que D0Xf(X) = f(X) e D1Xf(X) = f ′(X). A igualdade DmXc = 0 ∀ m ∈ N segue direta- mente da definic¸a˜o. 2. Segue facilmente da Proposic¸a˜o 5. 3. Denotando por (f · g)(X + Y ) a se´rie de poteˆncias em K[[X]][[Y ]] correspondente a f(X)·g(X) onde se substitui X porX+Y , o resultado segue da seguinte igualdade em K[[X]][[Y ]]: (f · g)(X + Y ) = f(X + Y ) · g(X + Y ). 4. Pela Proposic¸a˜o 5, DmXf(X) e´ calcula´vel por linearidade a partir dos valores de DmXX i, i ∈ Z+. Portanto para provar (4) basta verificar que vale a igualdade quando os dois operadores sa˜o aplicados a X i, para todo i ∈ Z+. De fato, DmX ◦DnXX i = DmX ( i n ) X i−n = ( i n ) · ( i m+ n ) e ( m+ n n ) Dm+nX X i = ( m+ n n ) · ( i m+ n ) X i−(m+n) Uma verificac¸a˜o direta mostra que( i n ) · ( i− n m ) = ( m+ n n ) · ( i m+ n ) , o que prova o resultado. Os operadores DmX permitem generalizar para cacater´ıstica positiva al- guns dos resultados da Sec¸a˜o 1 provados para car(K) = 0. Usaremos a seguinte notac¸a˜o, se α ∈ K, f(X) ∈ K[X] e m ∈ Z, DmXf(α) = Avα(D n Xf(X)) 54 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE onde Avα e´ a func¸a˜o avaliac¸a˜o introdizida no Cap´ıtulo 1, Problema 1.8. O pro´ximo resultado e´ uma generalizac¸a˜o do Corola´rio da Proposic¸a˜o 4. PROPOSIC¸A˜O 2.6. Seja p(X) ∈ K[X]. Um elemento α ∈ K e´ raiz de multiplicidade m ≥ 2 de p(X) se, e somente se, p(α) = D1Xp(α) = · · ·Dm−1X p(α) = 0 e DmXp(α) 6= 0. Demonstrac¸a˜o: Na expressa˜o f(X + Y ) = f(X) +D1Xf(X)Y + · · ·+DmXf(X)Y m + · · · , substituindo X por α e Y por (X − α), temos que f(X) = f(α) +D1Xf(α)(X − α) + · · ·+DmXf(α)(X − α)m + · · · . O resultado segue imediatamente da expressa˜o acima. Do Teorema 1 (4) e por induc¸a˜o, segue facilmente que (D1X) m = D1X ◦D1X ◦ · · · ◦D1X = m! DmX . Portanto, se car(K) = 0, temos que DmX = 1 m! (D1X) m, ∀ m ∈ Z+ e con- sequ¨entemente, os operadores DmX sa˜o todos determinados por D 1 X atrave´s de iterac¸o˜es. Se car(K) = p > 0, o quadro e´ bem diferente. Por exemplo, se p < m, enta˜o (D1X) m = 0, sem que DmX seja nulo. Portanto as iterac¸o˜es de D 1 X na˜o sa˜o suficientes para determinar todos os operadores DmX . Afim de esclarecer a situac¸a˜o temos o seguinte resultado: TEOREMA 2.2. Seja K um corpo de caracter´ıstica p > 0 e seja m ∈ Z. Considere a expansa˜o p-a´dica de m, isto e´, m = ∑s i=0mip i, com 0 ≤ mi < p. Tem-se que DmX = 1 m0! · · ·ms! (D ps X ) ms ◦ · · · ◦ (D1X)m0 . 2.3. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 55 Demonstrac¸a˜o: Se 0 ≤ 1 < p e r ∈ Z, temos que (DprX )l = l! Dlp r X . Isto segue do Teorema 1 (4), induc¸a˜o sobre l e a congrueˆncia ( ips ps ) ≡ i mod p (cf. I-6, Problema 1.16). Agora usando argumentos semelhantes temos que Dmip i X ◦Dm0+m1p+···+mi−1p i−1 X = = ( m0 + · · ·mipi m0 + · · ·+mi−1pi−1 ) D m0+···+mi−1pi−1 X = D m0+···+mipi X . Da´ı segue que (Dp s X ) ms ◦ · · · ◦ (D1X)m0 = m0! · · ·ms! Dmsp s+···+m0 X = m0! · · ·ms!DmX , o que prova o resultado. O Teorema 2 em particular nos mostra que os operadores DmX sa˜o gerados por composic¸o˜es dos operadores D1X , D p X , D p2 X , . . . , D ps X , . . . No ca´lculo diferencial em caracter´ıstica p e´ fundamental compararmos os desenvolvimentos p-a´dicos de dois inteiros. Sejam m = m0 +m1p 1 + · · ·+msps, 0 ≤ mi < p, i = 0, 1, . . . , s e n = n0 + n1p 1 + · · ·+ nsps, 0 ≤ ni < p, i = 0, 1, . . . , s Dizemos que n e´ p-adicamente maior ou igual do que m , escrevendo, n≥pm, se, e somente se, ni ≥ mi, ∀ i = 0, 1, . . . , s. Da congrueˆncia fundamental (I-6, Problema 1.16) sabemos que( n m ) ≡ ( n0 m0 ) · · · ( ns ms ) mod p, e, portanto, ( n m ) 6= 0 mod p ⇔ n≥pm. Os operadores DmX foram introduzidos por H. Hasse em 1936, sendo fun- damentais no desenvolvimento da Geometria Alge´brica em caracter´ıstica po- sitiva. Estes operadores, nesta mesma de´cada, foram extensivamente usa- dos por F. K. Schmidt na sua teoria de pontos de Weierstrass para curvas alge´bricas definidas sobre corpos de caracter´ıstica positiva e por isto sa˜o usu- alemnte chamados de operadores diferenciais de Hasse-Schmidt. Fato curioso 56 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE e´ que estes operadores tenham sido independentemente redescobertos entre 1948 e 1950 por J. Dieudonne´ que os chamou de semi-derivac¸o˜es. PROBLEMAS 2.3. 1. Sejam m,n ∈ Z+. Mostre que DmXXn 6= 0 ⇔ n≥pm. 2. Sejam f(X) ∈ K[X] com car(K) = p > 0 e m,n ∈ Z+. Mostre que se m≥pn e DnXf(X) = 0 enta˜o DmXf(X) = 0. 3. Seja car(K) = p e seja s ∈ Z+, determine Ker (Dp s X ) = {f(X) ∈ K[X] | Dp s X f(X) = 0}. 4. Seja f(X) ∈ K[T ] com car(K) = p > 0 e seja q uma poteˆncia de p. Mostre que DnXf(X q) = (D j Tf(T )(X q)), se n = jq 0, se n 6= 0 mod q onde (DjTf(T ))(X q) e´ o polinoˆmio que se obte´m substuindo T por Xq no polinoˆmio DjTf(T ). Cap´ıtulo 3 POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES NUM DFUDecidir se um polinoˆmio e´ irredut´ıvel ou na˜o em Q[X] e´ bem mais com- plicado do que decidir se e´ ou na˜o irredut´ıvel em C[X] ou em R[X]. Mostra- remos ainda neste cap´ıtulo que existem polinoˆmios irredut´ıveis de todos os graus em Q[X]. Um primeiro passo no sentido de estudar a irredutibilidade de um polinoˆmio em Q[X] sera´ de tentar determinar as suas ra´ızes em Q. Como esta teoria se desenvolve naturalmente em situac¸a˜o mais geral, e´ neste contexto que nos colocamos. Em todo este cap´ıtulo D sera´ um D.F.U. e K o seu corpo de frac¸o˜es. 3.1 Ra´ızes em K de polinoˆmios em D[X ] TEOREMA 3.1. Sejam D um D.F.U. e K o seu corpo de frac¸o˜es. Sejam ainda p(X) = a0 + a1X + · · ·anXn ∈ D[X] e r, s ∈ D primos entre si com s 6= 0. Se r s e´ uma raiz de p(X), enta˜o r | a0 e s | an. Demonstrac¸a˜o: Sendo r s raiz de p(X), tem-se que a0 + a1 r s + · · ·+ an−1 r n−1 sn−1 + an rn sn = 0. Multiplicando ambos os membros desta igualdade por sn segue que sna0 + s n−1ra1 + · · · srn−1an−1 + rnan = 0. 57 58 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU Esta u´ltima igualdade pode ser reescrita nas duas formas seguintes: s(sn−1a0 + s n−2ra1 + · · ·+ rn−1an−1) = −rnan (3.1) e r(rn−1an + srn−2an−1 + · · ·+ sn−1a1) = −sna0 (3.2) Como r e s sa˜o primos entre si, o mesmo ocorre com r e sn e para sn e rn. Como de (5) e (6) temos que s | rnan e r | sna0, segue que s | an e r | a0 (veja I-4, Problema 3.2 (i)). COROLA´RIO 3.1. Se p(X) ∈ D[X] e´ moˆnico, enta˜o toda raiz de p(X) em K, encontra-se em D e divide a0 = p(0). Exemplo 1 : Determinaremos todas as ra´ızes racionais do polinoˆmio se- guinte: p(X) = 4X3 + 11X2 + 45X − 12 ∈ Z[X]. De acordo com o Teorema 1 toda raiz racional r s de p(X) com r, s ∈ Z[X] e primos entre si e´ tal que r | 12 e s | 4. Portanto as possibilidades sa˜o as seguintes: r = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 e supondo sem perda de generalidade s > 0, s = 1, 2, 4. Em princ´ıpio ter´ıamos 36 valores poss´ıveis para r s a serem testados. Eliminando as repetic¸o˜es, ficamos reduzidos a 20 possibilidades: r s ∈ { ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, ±1 2 , ±3 2 , ±1 4 , ±3 4 } . Apo´s algumas tentativas, podendo ser numerosas, chega-se a` conclusa˜o que p(X) possui uma u´nica raiz racional que e´ 1 4 . O Exemplo acima nos sugere que pode ser muito trabalhoso determinar as ra´ızes racionais de um polinoˆmio. Existem va´rios crite´rios para excluir valores que na˜o sa˜o ra´ızes. O me´todo que descreveremos a seguir e´ particularmente simples e bas- tante eficiente. 3.1. RAI´ZES EM K DE POLINOˆMIOS EM D[X] 59 Seja p(X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn ∈ D[X]. Pondo X = Yan obte´m-se, p ( Y an ) = a0 + a1 Y an + · · ·+ an Y nann = = 1 an−1n (a0a n−1 n + a1 · an−2n Y + · · ·+ Y n) = = 1 an−1n q(Y ). As ra´ızes em K (logo em D) do polinoˆmio moˆnico q(Y ) ∈ D[Y ], quando divididas por an nos fornecem as ra´ızes em K de p(X). Podemos enta˜o nos limitar aos polinoˆmios moˆnicos com coeficientes em D. Sejam q(Y ) ∈ D[X], α ∈ D uma raiz de q(Y ) e c ∈ D um elemento qualquer. Como q(Y ) = (Y − α) · t(Y ) com t(Y ) ∈ D[Y ], temos que q(c) = (c− α) · t(c), e portanto (c− α) | q(c). Esta observac¸a˜o nos fornece o seguinte me´todo de exclusa˜o: Para achar as ra´ızes em K de um polinoˆmio p(X) ∈ D[X], basta achar as ra´ızes em D do polinoˆmio moˆnico q(Y ) ∈ D[Y ] e divid´ı-las por an. Pelo corola´rio do Teorema 1, os candidatos a ra´ızes em K (e portanto em D) de q(Y ) sa˜o o divisores do coeficiente do seu termo independente a0a n−1 n . Escolhe-se um candidato c a raiz em D de q(Y ) e calcula-se q(c) usando o me´todo pra´tico de divisa˜o de q(Y ) por Y −c. Dois casos podem se apresentar: 1. Um sucesso, isto e´, q(c) = 0. Tem-se enta˜o uma raiz c de q(Y ) e a procura das outras ra´ızes de q(Y ) se reduz a` procura das ra´ızes do polinoˆmio moˆnico. 2. Um insucesso, isto e´, q(c) 6= 0. Deve-se excluir c dentre os candidatos a ra´ızes de q(Y ). Pela observac¸a˜o feita acima, devem ser exclu´ıdos dentre os candidatos a raiz em D os elementos α tais que c − α na˜o divide q(c). Isto transforma o fracasso em algo extremamente u´til. Daremos a seguir um exemplo da aplicac¸a˜o deste me´todo. Exemplo 2 : Seja p(X) = X4−X3−13X2+16X−48. Procuremos as ra´ızes racionais deste polinoˆmio. Como o polinoˆmio ja´ e´ moˆnico na˜o necessitamos efetuar nenhuma transformac¸a˜o nele. As ra´ızes racionais de p(X) devem ser procuradas entre os inteiros que dividem −48 que sa˜o: 60 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±3, ±6, ±12, ±24, ±48. Calculemos p(1) e p(−1): 1 −1 −13 16 −48 1 1 0 −13 3 −45 = p(1) −1 1 −2 −11 27 −75 = p(−1) ±1 devem ser exclu´ıdos pois na˜o sa˜o ra´ızes. Se α fosse raiz, dever´ıamos ter (1 − α) | p(1) e (−1 − α) | p(1). Isto nos permite excluir os seguintes valores: ±8, ±16, ±3, ±6, ±12, ±24, ±48. Resta somente testar os seguintes candidatos: ±2, ±4. Calculemos os valores p(2) e p(−2): 1 −1 −13 16 −48 2 1 2 −11 −6 −60 = p(2) −2 1 −3 −7 30 −108 = p(−2) ±2 devem ser exclu´ıdos pois na˜o sa˜o ra´ızes. Se α fosse raiz, dever´ıamos ter (2 − α) | p(2) e (−2 − α) | p(2). Isto na˜o nos permite excluir nenhum outro candidato. Resta enta˜o verificar se ±4 sa˜o ra´ızes de p(X). De fato, 1 −1 −13 16 −48 4 1 3 −1 12 0 −4 1 −1 3 0 Portanto 4 e −4 sa˜o ra´ızes de p(X). Temos que p(X) = (X − 4)(X + 4)(X2 −X + 3). Isto nos permite achar todas as ra´ızes de p(X) que sa˜o 4, −4, 1 2 + √ 11 2 i e 1 2 − √ 11 2 i. 3.1. RAI´ZES EM K DE POLINOˆMIOS EM D[X] 61 Exemplo 3 : Sejam an ∈ N tais que a na˜o e´ poteˆncia n-e´sima de um nu´mero natural. Vamos mostrar que n √ a na˜o e´ um nu´mero racional. De fato, pondo b = n √ a, temos que b e´ raiz do polinoˆmio Xn−a. Se b fosse raci- onal, pelo Corola´rio do Teorema 1, b seria inteiro e portanto a seria poteˆncia n-e´sima do nu´mero natural b, o que e´ uma contradic¸a˜o. Exemplo 4 : Seja p(X) = X5 + 4X4 + 2X3 − 13X2 − 19X − 5. Vamos determinar, se existirem, as ra´ızes em Z[i]. Pelo Teorema 1, tais ra´ızes sa˜o divisores de 5 em Z[i], que sa˜o ±1, ±(1 ± 2i) e ±(1 ± 2i). Dentre estes elementos basta verificar se sa˜o ra´ızes os nu´meros ±1, 1+2i, −1−2i, −2+ i e 2 − i pois os outros sa˜o conjugados destes (lembre-se que p(α) = 0 se, e somente se p(α¯) = 0). Testando estes valores, verifica-se que: p(±1) 6= 0, p(1 + 2i) 6= 0, p(−1− 2i) 6= 0, p(−2 + i) = 0 e p(2− i) = 0. Logo as ra´ızes de p(X) em Z[i] sa˜o −2 + i e −2− i. PROBLEMAS 3.1. 1. Ache as ra´ızes racionais dos seguintes polinoˆmios: a) X4 −X3 −X2 + 19X − 42 b) X3 − 9X2 + 22X − 24 c) 2X3 −X2 + 1 d) 10X3 + 19X2 − 30X + 9 e) 6X5 +X4 − 14X3 + 4X2 + 5X − 2 2. Determine se e´ redut´ıvel ou na˜o em Q[X] cada polinoˆmio abaixo: a) 2X2 − 3X + 1 b) X2 − 2 c) X2 +X + 1 d) 4X3 + 3X2 + 3X − 1 e) X3 + 5X2 + 4X + 1 f) X3 + 6X2 + 8X − 1 3. (a) Mostre que α = √ 2 + √ 3 e´ raiz do polinoˆmio X4 − 10X2 + 1 e prove que α e´ irracional. (b) Mostre que √ 5 + √ 7 e´ irracional. (c) Mostre que 3 √ 2−√3 e´ irracional. 4. (a) Mostre que cos20◦ satisfaz a equac¸a˜o 8X3 − 6X − 1 = 0. (Sugesta˜o: Veja I-9, Problema 3.5). 62 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU (b) Prove que cos20◦ e´ irracional. 5. Determine os inteiros t para os quais a equac¸a˜o X4 − 3X3 + tX2 − 4X + t− 1 = 0 tenha uma raiz racional. 6. (a) Seja p(X) ∈ Z[X], a, b ∈ Z e m ∈ N. Mostre que se a ≡ b mod m enta˜o p(a) ≡ p(b) mod m. (b) Seja {r1, r2, . . . , rm} um sistema completo de res´ıduos mo´dulo m. Mostre que, se p(X) tem uma raiz em Z, enta˜o pelo menos um dos seguintes nu´meros e´ divis´ıvel por m: p(r1), p(r2), . . . , p(rm). (c) Prove que se p(X) ∈ Z[X] e se p(0) e p(1) sa˜o ı´mpares, enta˜o p(X) na˜o tem ra´ızes inteiras. (d)
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