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Curso de Álgebra Volume 2

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CURSO DE A´LGEBRA
VOLUME II
(Versa˜o Preliminar)
Abramo Hefez
12 de novembro de 2002
2
Suma´rio
1 POLINOˆMIOS 7
1.1 Se´ries de Poteˆncias e Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Divisa˜o de Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Polinoˆmios com Coeficientes em Corpos . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Polinoˆmios sobre C e sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Polinoˆmios em Va´rias Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . 32
2 DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE 41
2.1 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Divisa˜o por X − a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU 57
3.1 Ra´ızes em K de polinoˆmios em D[X] . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 O Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Me´todo de Kronecker para fatorac¸a˜o em Z[X] . . . . . . . . . 66
3.4 Crite´rios de divisibilidade em Q[X] . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 A Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 AS EQUAC¸O˜ES DE GRAU ≤ 4 81
4.1 A Equac¸a˜o do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 A Equac¸a˜o do Terceiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 A Equac¸a˜o do Quarto Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 O GRUPO SIME´TRICO 95
5.1 Relac¸o˜es Entre Coeficientes e Ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.1 A noc¸a˜o de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3
4 SUMA´RIO
5.2.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.3 Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3 Estrutura de O´rbitas de uma Permutac¸a˜o . . . . . . . . . . . . 114
5.3.1 Decomposic¸a˜o de uma permutac¸a˜o em um produto de
ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 O Grupo Alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.5 Func¸o˜es Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6 Conjugac¸a˜o em Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6 O ME´TODO DE LAGRANGE 133
7 EXTENSO˜ES DE CORPOS 147
7.1 A A´lgebra Linear da Extensa˜o de Corpos . . . . . . . . . . . . 147
7.2 Construc¸o˜es com Re´gua e Compasso . . . . . . . . . . . . . . 156
SUMA´RIO 5
NOTAC¸O˜ES
Anel = Anel comutativo com unidade
N = {1, 2, 3, . . .} = Conjunto dos nu´meros naturais
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} = Anel dos nu´meros inteiros
Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} = Subconjunto dos nu´meros inteiros na˜o negativos
Q = Corpo dos nu´meros racionais
R = Corpo dos nu´meros reais
C = Corpo dos nu´meros complexos
Y X = Conjunto da func¸o˜es de X em Y
A∗ = Conjunto dos elementos invert´ıveis do anel A
Kern ϕ = nu`cleo do homomorfismo ϕ
6 SUMA´RIO
Cap´ıtulo 1
POLINOˆMIOS
Neste Cap´ıtulo iniciaremos o estudo das propriedades alge´bricas ba´sicas
dos polinoˆmios com coeficientes num anel comutativo com unidade.
Nas disciplinas de Ca´lculo os polinoˆmios sa˜o vistos como func¸o˜es particu-
lares de varia´vel real e como tal sa˜o estudados. A necessidade de se distinguir
os polinoˆmios das func¸o˜es polinomiais surge pela considerac¸a˜o de polinoˆmios
com coeficientes em corpos finitos, de uso cada vez mais frequ¨ente por causa
de suas inu´meras aplicac¸o˜es pra´ticas.
Muito do estudo das propriedades dos polinoˆmios em uma indeterminada
esta´ relacionado com o desenvolvimento da Teoria das Equac¸o˜es Alge´bricas a`
qual esta˜o associados os nomes de Tartaglia, Lagrange, Ruffini, Gauss, Abel,
culminando com as contribuic¸o˜es fundamentais de Abel e Galois.
As propriedades dos polinoˆmios em va´rias indeterminadas foram pesqui-
sadas inicialmente por suas conexo˜es com a Geometria Anal´ıtica, evoluindo
no que hoje se chama Geometria Alge´brica.
Atualmente os polinoˆmios desempenham papel relevante em muitas par-
tes da Matema´tica.
1.1 Se´ries de Poteˆncias e Polinoˆmios
Seja A um anel, considerado, uma vez por todas, comutativo com unidade,
e seja X uma indeterminada sobre A. Uma se´rie de poteˆncias f(X) com
coeficientes em A e´ uma soma formal infinita do tipo:
f(X) =
∞∑
i=0
aiX
i = a0X
0 + a1X
1 + a2X
2 + · · ·
7
8 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
com ai ∈ A, para todo i ∈ Z+. Os X i sa˜o provisoriamente vistos apenas
como s´ımbolos indicadores de posic¸a˜o.
Duas se´ries de poteˆncias f(X) =
∑∞
i=0 aiX
i e g(X) =
∑∞
i=0 biX
i sa˜o con-
sideradas iguais se ai = bi para todo i ∈ Z+. Os elementos ai sa˜o chamados
de coeficientes e a parcela aiX
i de monoˆmio de grau i. Convenciona-se omitir
o monoˆmio aiX
i quando ai = 0 e costuma-se denotar a0X
0 por a0 e a1X
1
por a1X.
O conjunto de todas as se´ries de poteˆncias com coeficientes em A e´ de-
notado por A[[X]] e nele definimos as seguintes operac¸o˜es:
Adic¸a˜o:
∞∑
i=0
aiX
i +
∞∑
i=0
biX
i =
∞∑
i=0
(ai + bi)X
i.
Multiplicac¸a˜o:( ∞∑
i=0
aiX
i
)
·
( ∞∑
i=0
biX
i
)
=
∞∑
i=0
(
i∑
j=0
ajbi−j
)
X i.
Note que com esta definic¸a˜o de produto, temos que X i · Xj = X i+j, para
todo i e j, dando assim um sentido de poteˆncia ao s´ımbolo X i.
PROPOSIC¸A˜O 1.1. O conjunto A[[X]] com as operac¸o˜es acima definidas
e´ um anel.
DEMONSTRAC¸A˜O: A associatividade e a comutatividade da adic¸a˜o sa˜o
de verificac¸o˜es imediatas. O elemento neutro da adic¸a˜o e´ 0 =
∑∞
i=0 0X
i,
enquanto que o sime´trico de f(X) =
∑∞
i=0 aiX
i e´ −f(X) = ∑∞i=0(−ai)X i.
A comutatividade da multiplicac¸a˜o e´ imediata e a propriedade distributiva
e´ fa´cil de ser verificada. A u´nica propriedade que merece verificac¸a˜o e´ a
associatividade da multiplicac¸a˜o. Sejam
f(X) =
∞∑
i=0
aiX
i, g(X) =
∞∑
i=0
biX
i e h(X) =
∞∑
i=0
ciX
i.
1.1. SE´RIES DE POTEˆNCIAS E POLINOˆMIOS 9
Temos que
(f(X) · g(X)) · h(X) =
∞∑
i=0
diX
i,
onde
di =
i∑
k=0
(
k∑
j=0
ajbk−j
)
ci−k =
∑
λ+µ+η=i
aλbµcη.
Por outro lado,
f(X) · (g(X) · h(X)) =
∞∑
i=0
eiX
i,
onde
ei =
i∑
k=0
ak
(
i−k∑
j=0
bjci−k−j
)
=
∑
λ+µ+η=i
aλbµcη.
Portanto, di = ei, para todo i, provando assim a associatividade da mul-
tiplicac¸a˜o.
E´ claro que A ⊂ A[[X]], pois todo elemento a ∈ A pode ser visto como
a0 + 0X + 0X
2 + · · · e portanto como elemento de A[[X]]. Ale´m disso, se
f(X) = a e g(X) = b, temos que
f(X) + g(X) = a+ b e f(X) · g(X) = a · b,
onde as operac¸o˜es nos primeiros membros sa˜o efetuadas em A[[X]] e as dos
segundos membros o sa˜o em A. Vemos com isto que as operac¸o˜es definidas
em A[[X]] estendem as operac¸o˜es definidas em A, fazendo com que A seja
um subanel de A[[X]].
Um outro subanel de A[[X]] que se destaca e´ o anel A[X] dos polinoˆmios
em uma indeterminada com coeficientes em A. Como conjunto, este anel e´
descrito como
A[X] =
{
a0 + a1X + a2X
2 + · · · ∈ A[[X]] | ∃ n tal que ai = 0 se i > 0
}
Todo elemento de A[X] e´ chamado de polinoˆmio e pode ser representado
como soma finita, p(X) =
∑n
i=0 aiX
i , para algum n ∈ Z+.
10 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
PROPOSIC¸A˜O 1.2. A[X] e´ um subanel de A[[X]].
DEMONSTRAC¸A˜O: Basta, de acordo com I-7, Proposic¸a˜o 1, mostrar que
1 ∈ A[X], o que e´ o´bvio; e que se p(X)q(X) ∈ A[X], enta˜o p(X) − q(X) ∈
A[X] e p(X) · q(X) ∈ A[X].
De fato, se p(X) =
∑n
i=0 aiX
i e q(X) =
∑n
i=0 biX
i, enta˜o
p(X)− q(X) =
max{n,m}∑
i=0
(ai − bi)X i ∈ A[X]
e
p(X) · q(X) =
n+m∑
j=0
cjX
j ∈ A[X] onde cj =
∑
i+k=j
ai · bk.
Dado um polinoˆmio p(X) = a0+ a1X + · · ·anXn ∈ A[X]−{0}, define-se
grau de p(X) como sendo o inteiro
gr(p(X)) = max{i ∈ Z+; ai 6= 0}.Note que o polinoˆmio nulo e´ o u´nico polinoˆmio que na˜o possui grau e que
gr(p(X)) > 0 se, e somente se, p(X) ∈ A[X]− A.
O coeficiente do teˆrmo de grau igual ao gr(p(X)) e´ chamado de coeficiente
l´ıder de p(X). Um polinoˆmio cujo coeficiente l´ıder e´ igual a 1 e´ chamado
de polinoˆmio moˆnico. Um polinoˆmio nulo ou de grau zero sera´ chamado de
polinoˆmio constante.
Vejamos agora como a hipo´tese sobre A de ser domı´nio se reflete sobre
A[X].
PROPOSIC¸A˜O 1.3. Seja A um domı´nio. Se p(X), q(X) ∈ A[X] − {0},
enta˜o p(X) · q(X) 6= 0 e gr(p(X) · q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)).
DEMONSTRAC¸A˜O: Considere os polinoˆmios p(X), q(X) ∈ A[X] dados
por
p(X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn e q(X) = b0 + b1X + · · ·+ bmXm
onde an 6= 0 e bm 6= 0. Enta˜o,
p(X) · q(X) = a0 · b0 + (a0 · b1 + a1 · b0)X + · · ·+ an · bmXn+m.
Como A e´ domı´nio, segue que an · bm 6= 0, logo
p(X) · q(X) 6= 0 e gr(p(X) · q(X)) = n+m = gr(p(X) + q(X)).
1.1. SE´RIES DE POTEˆNCIAS E POLINOˆMIOS 11
COROLA´RIO 1.1. Se A e´ um domı´nio, enta˜o A[X] e´ domı´nio.
Em particular, se K e´ um corpo enta˜o K[X] e´ um domı´nio.
COROLA´RIO 1.2. Seja A um domı´nio. Se p(X), q(X) ∈ A[X]− {0} sa˜o
tais que t(X) divide p(X), enta˜o gr(t(X)) ≤ gr(p(X)).
DEMONSTRAC¸A˜O: Existe por hipo´tese, um polinoˆmio na˜o nulo q(X)
em A[X] tal que t(X) · q(X) = p(X) . Logo pela Proposic¸a˜o 3, segue que
gr(p(X))− gr(t(X)) = gr(q(X)) ≥ 0 . Da´ı segue a desigualdade desejada.
COROLA´RIO 1.3. Seja A um domı´nio. Um elemento p(X) ∈ A[X] e´
invert´ıvel se, e somente se, p(X) ∈ A e e´ invert´ıvel em A. Em s´ımbolos,
(A[X])∗ = A∗.
DEMONSTRAC¸A˜O: Se p(X) ∈ A[X] e´ invert´ıvel, enta˜o p(X) 6= 0 e
existe q(X) ∈ A[X]−{0} tal que p(X) · q(X) = 1. Tomando graus e usando
a Proposic¸a˜o 3 temos que gr(p(X)) + gr(q(X)) = 0 . Logo gr(p(X)) =
gr(q(X)) = 0 e, portanto p(X), q(X) ∈ A e p(X) e´ invert´ıvel em A. A
rec´ıproca e´ imediata.
Um fato que merece ser evidenciado e´ a diferenc¸aa existente entre po-
linoˆmios e func¸o˜es polinomiais, dois conceitos que frequ¨entemente sa˜o inde-
vidamente confundidos.
A um polinoˆmio p(X) ∈ A[X] associa-se uma func¸a˜o p ∈ AA chamada
func¸ao polinomial, definida por
p : A −→ A
a 7−→ p(a) = a0 + a1 · a + · · ·+ an · an.
O elemento p(a) de A e´ chamado de valor de p(X) em a. E´ evidente que a
dois polinoˆmios iguais sa˜o associadas duas func¸o˜es polinomiais iguais. Em
contrapartida, dois polinoˆmios distintos podem dar origem a duas func¸oes po-
linomiais iguais. Por exemplo, p(X) = X2−X e q(X) = 0, como polinoˆmios
de Z2[X] sa˜o distintos, pore´m, as func¸o˜es polinomiais a eles associadas sa˜o
iguais. Mais geralmente, se p e´ um nu´mero primo positivo, decorre do Pe-
queno Teorema de Fermat (I-6, Problema 1.10) que os polinoˆmios Xp − X
12 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
e 0¯ de Zp[X] determinam a mesma func¸a˜o polinomial. Veremos na pro´xima
sec¸a˜o 2, Corola´rio 4 do Teorema 1, que se A e´ infinito tal fato na˜o ocorre.
Uma te´cnica muito u´til ao lidarmos com polinoˆmios e´ o chamado me´todo
dos coeficientes a determinar que utiliza basicamente as definic¸o˜es da igual-
dade e das operac¸o˜es no anel de polinoˆmios. Ilustraremos o me´todo com
alguns exemplos.
EXEMPLO 1 : Mostraremos neste exemplo que X4 + 4 pode ser escrito
como produto do dois polinoˆmios de segundo grau com coeficientes inteiros.
De fato, escreva, X4+4 = (aX2 + bX + c) · (a′X2+ b′X + c′). Efetuando
o produto, tem-se que
X4+4 = a·a′X4+(a·b′+a′ ·b)X3+(a·c′+b·b′+c·a′)X2+(b·c′+c·b′)X+c·c′.
Pela igualdade de polinoˆmios acima, obte´m-se o sistema de equac¸o˜es:
a · a′ = 1
a · b′ + a′ · b = 0
a · c′ + b · b′ + c · a′ = 0
b · c′ + c ·+c · b′ = 0
c · c′ = 4
Procuremos as soluc¸o˜es inteiras deste sistema de equac¸o˜es. Da primeira
equac¸a˜o, obte´m-se que a = a′ = ±1. Da segunda, segue que b + b′ e da
quarta, b · (c′ − c) = 0, logo b = 0 ou c = c′.
Caso 1: b = 0. Da terceira equac¸a˜o tem-se que c+ c′ = 0, donde c′ = −c.
Substituindo na quinta equac¸a˜o tem-se c2 = −4, o que e´ imposs´ıvel.
Caso 2: c = c′. Da quinta equac¸a˜o tem-se que c = c′ = ±2. Da segunda,
segue que b+ b′ = 0, logo da terceira obte´m-se b · b′ = −2a · c = −4 . Donde
b = −b′ = ±2. Testando os valores obtidos temos que
X4+4 = (X2−2X+2) · (X2+2X+2) = (−X2+2X−2) · (−X2−2X−2).
EXEMPLO 2 : Determinaremos a e b em Z7 de modo que X
4 + 4¯X3 +
aX2 − 4¯X + b ∈ Z7[X] seja o quadrado de um polinoˆmio de Z7[X] .
Da igualdade,
X4 + 4¯X3 + aX2 − 4¯X + b = (X2 + cX + d)2
= X4 + 2¯cX3 + (2¯d+ c2)X2 + 2¯cdX + d2
1.1. SE´RIES DE POTEˆNCIAS E POLINOˆMIOS 13
obtemos o sistema: 
2¯ · c = 4¯
2¯ · d+ c2 = a
2¯ · c · d = −4¯
d2 = b
que resolvido, nos fornece c = 2¯, d = −1¯, b = 1¯ e a = 2¯. Portanto,
X4 + bar4X3 + 2¯X2 − 4¯X + 1¯ = (X2 + 2¯X − 1¯)2
PROBLEMAS 1.1.
1. Um elemento a 6= 0 de um anel comutativo com unidade A e´ chamado
regular ou na˜o divisor de zero em A se a · b 6= 0, para todo b ∈ A−{0}.
Em particular, todo elemento invert´ıvel de A e´ regular.
(a) Se p(X), q(X) ∈ A[X], com coeficiente l´ıder de p(X) ou de q(X)
regular, enta˜o gr(p(X) · q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)).
(b) Se p(X), t(X) ∈ A[X], com coeficiente l´ıder de t(X) regular e se
t(X) | p(X), enta˜o gr(t(X)) ≤ gr(p(X)).
(c) Calcule gr(p(X) · q(X)) onde p(X) = 3¯X3 + 2¯X + 1¯ e q(X) =
2¯X2 + 3¯X + 1 em Z6[X].
(d) Mostre que (2¯X2 + 2¯X + 1¯) | 3¯ em Z6[X] .
2. Determine a ∈ Z tal que
(a) O polinoˆmio X4−aX3+8X2+a seja o quadrado de um polinoˆmio
de Z[X].
(b) O polinoˆmio X4 + X3 + aX2 + X + 1 seja o produto de dois
polinoˆmios do segundo grau em Z[X].
3. Determine a, b ∈ Z7 tais que
(a) O polinoˆmio X4 + 3¯X3 + 5¯X2 + aX + b seja o quadrado de um
polinoˆmio de Z7[X].
(b) O polinoˆmio X3+aX+5¯ seja divis´ıvel por X2+5¯X+6¯ em Z7[X].
14 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
4. Mostre que a func¸a˜o avaliac¸a˜o em a ∈ A:
Ava : A[X] −→ A
p(X) 7−→ p(a)
e´ um homomorfismo de ane´is.
5. Seja p um nu´mero primo positivo e f(X) ∈ Zp[X]. Mostre que f(X) e
f(Xp) determinam a mesma func¸a˜o polinomial.
Sugesta˜o: Use o Pequeno Teorema de Fermat.
6. Sejam p(X) ∈ C[X ] e ξ uma raiz n-e´sima primitiva da unidade em C .
(a) Se gr(p(X)) < n, mostre que
p(X) + p(ξX) + p(ξ2X) + · · ·+ p(ξn−1X) = n · p(0).
(b) Deduza uma fo´rmula para esta soma se gr(p(X)) ≥ n .
7. Mostre que f(X) =
∑
∞
i=0 aiX
i ∈ A[[X ]] e´ invert´ıvel em A[[X ]] se, e somente se, a0
e´ invert´ıvel em A[X ].
Sugesta˜o: Seja g(X) =
∑
∞
i=0 biX
i. Tem-se que f(X) · g(X) = 1 se, e somente se,
a0 · b0 = 1 e
∑i
j=0 ajbi−j = 0, para todo i ≥ 1. Mostre que se b0 = a−10 , enta˜o a
equac¸a˜o acima determina bi em func¸a˜o dos a
′
js e de b0, b1, . . . , bi−1, determinando
assim g(X) = (f(X))−1.
8. Seja K um corpo. Mostre que 1−X e´ invert´ıvel em K[[X ]] e que
(1 −X)−1 =
∞∑
i=0
X i.
Se a ∈ K − {0}, determine (a−X)−1.
9. Seja f(X) =
∑
∞
i=0 aiX
i ∈ A[[X ]]− {0}. Defina a ordem de f(X) com sendo
ord(f(X)) = min{i | ai 6= 0}.
Mostre que se A e´ um domı´nio e se f(X), g(X) ∈ A[[X ]]− {0}, enta˜o
ord(f(X) · g(X)) = ord(f(X)) + ord(g(X)).
Isto prova que se A e´ um domı´nio, enta˜o A[[X ]] tambe´m e´ um domı´nio.
10. Seja K um corpo.
(a) Dado f ∈ K[[X ]]− K, mostre que existem m ∈ N e u invert´ıvel em K[[X ]]
tais que f = Xm · u.
1.2. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 15
(b) Mostre queK[[X ]] e´ um domı´nio principal. Conclua queK[[X ]] e´ um domı´nio
de fatorac¸a˜o u´nica (DFU).
Sugesta˜o: Veja I-Teorema 2, Cap´ıtulo 4.
(c) Descreva o corpo de frac¸o˜es de K[[X ]].
11. Sejam fi(X) ∈ A[[X ]], i ∈ Z+, tais que ord(fi(X)) ≥ i. Mostre que
∑
∞
i=0 fiX
i e´
bem definido como elemento de A[[X ]]. Mostre que se f(X), g(X) ∈ A[[X ]] com
f(X) =
∑
∞
i=0 aiX
i, enta˜o
∞∑
i=0
aiX
i · g(X) = f(X) · g(X).
12. Suponha que B seja um subanel de A. Mostre que B[[X ]] e B[X ] sa˜o respectiva-mente subaneis de A[[X ]] e de A[X ].
1.2 Divisa˜o de Polinoˆmios
Mostraremos nesta sec¸a˜o que sob certas condic¸o˜es, a` semelhanc¸a dos in-
teiros, e´ poss´ıvel efetuar a divisa˜o com resto ”pequeno”de um polinoˆmio por
outro.
TEOREMA 1.1. (ALGORI´TMO DA DIVISA˜O) Seja A um anel e sejam
p(X) e t(X) polinoˆmios em A[X]. Se t(X) 6= 0 possui coeficiente l´ıder
invert´ıvel, enta˜o existem q(X) e r(X) em A[X] tais que
p(X) = t(X) · q(X) + r(X), com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(t(X)).
Ale´m disso, q(X) e r(X) sa˜o univocamente determinados por estas condic¸o˜es.
DEMONSTRAC¸A˜O : Sejam
p(X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn e t(X) = b0 + b1X + · · ·+ bmXm,
com an 6= 0 e bm invert´ıvel.
Existeˆncia: Se p(X) = 0 ou n < m, fac¸a q(X) = 0 e r(X) = p(X).
Suponha agora p(X) 6= 0 e n ≥ m. Tomando q1(X) = b−1m anXn−m ∈ A[X]
tem-se que
p(X)− q1(X) · t(X) = r1(X), (1.1)
16 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
com r1(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(p(X)).
Se r1(X) = 0 ou se gr(r1(X)) < gr(t(X)), o problema fica resolvido
tomando r(X) = r1(X) e q(X) = b
−1
m anX
n−m .
Se gr(r1(X)) ≥ gr(t(X)), repete-se o procedimento acima com r1(X) no
lugar de p(X), obtendo
r1(X)− q2(X) · t(X) = r2(X), (1.2)
com r2(X) = 0 ou gr(r2(X)) < gr(r1(X)).
Se r2(X) = 0 ou se gr(r2(X)) < gr(t(X)), o problema fica resolvido pois
p(X) = (q1(X) + q2(X)) · t(X) + r2(X).
Se gr(r2(X)) ≥ gr(t(X)), repete-se o procedimento acima com r2(X) no
lugar de r1(X), obtendo
r2(X)− q3(X) · t(X) = r3(X), (1.3)
com r3(X) = 0 ou gr(r3(X)) < gr(r2(X)).
E assim sucessivamente, obtendo r1(X), r2(X), r3(X), . . . tais que
gr(r1(X)) > gr(r2(X)) > gr(r3(X)) > · · ·
Segue enta˜o que para certo s ∈ N, tem-se rs(X) = 0 ou gr(rs(X)) < gr(t(X)).
Levando em conta (1), (2), (3), . . . temos que
p(X) = (q1(X) + q2(X) + · · ·+ qs(X)) · t(X) + rs(X)
bastando enta˜o tomar q(X) = q1(X))+q2(X)+ · · ·+qs(X)) e r(X) = rs(X).
Unicidade: Suponha que
t(X) · q(X) + r(X) = t(X) · q1(X) + r1(X)
com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(t(X)) e r1(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(t(X)).
Da igualdade acima, obtemos que
t(X)[q(X)− q1(X)] = r1(X)− r(X) (1.4)
Pelas condic¸o˜es impostas a r(X) e r1(X) temos que
r1(X)− r(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(t(X)).
1.2. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 17
Se r1(X)− r(X) 6= 0, segue de (1.4) e do Problema 1.1 (b) que
gr(r1(X)− r(X)) ≥ gr(t(X)),
o que e´ uma contradic¸a˜o. Portanto r1(X) = r(X) e consequ¨entemente de
(1.4) temos que q1(X) = q(X).
OBSERVAC¸A˜O 1: Seguindo os passos da demonstrac¸a˜o do Teorema,
obtemos o algoritmo da divisa˜o longa de dois polinoˆmios:
anX
n + an−1Xn−1 + · · · · · · · · ·+ a0 bmXm + · · ·+ b0
−anXn − b−1m bm−1anXn−1 − · · · − b−1m b0anXn−m b−1m anXn−m + · · ·
r1(X)
...
OBSERVAC¸A˜O 2: Se A e´ um corpo enta˜o e´ sempre poss´ıvel efetuar a
divisa˜o por qualquer polinoˆmio t(X) 6= 0.
OBSERVAC¸A˜O 3: Suponha que p(X), t(X) ∈ B[X] onde B e´ um su-
banel de A e o coeficiente l´ıder de t(X) e´ invert´ıvel em B. Enta˜o q(X) e
r(X) calculados pelo algoritmo da divisa˜o em A[X] tera˜o necessa`riamente
coeficientes em B.
OBSERVAC¸A˜O 4: Os polinoˆmios p(X), t(X), q(X) e r(X) no algoritmo
da divisa˜o sa˜o chamados respectivamente de dividendo, divisor, quociente e
resto.
EXEMPLO 1 : E´ poss´ıvel efetuar a divisa˜o de 3X5+2X3+X2− 5X +7
por 2X3 + 3X + 1 em Q[X] mas na˜o e´ poss´ıvel fazeˆ-lo em Z[X] .
18 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
3X5 + 2X3 + X2 − 5X + 7 2X3 + 3X + 1
−3X5 − 9
2
X3 − 3
2
X2 3
2
X2 − 5
4
−5
2
X3 − 1
2
X2 − 5X + 7
5
2
X3 + 15
4
X + 5
4
−1
2
X2 − 5
4
X + 33
4
Neste caso q(X) = 3
2
X2 − 5
4
e r(X) = −1
2
X2 − 5
4
X + 33
4
.
EXEMPLO 2 : O fato de bm na˜o ser invert´ıvel na˜o quer dizer que na˜o se
possa efetuar a divisa˜o. Por exemplo, sejam dados p(X) = 2X3 − 3X2 + 1 e
t(X) = 2X + 1, temos em Z[X]:
2X3 − 3X2 + 1 2X + 1
−2X3 −X2 X2 − 2X + 1
−4X2 + 1
4X2 + 2X
2X + 1
−2X − 1
0
Neste caso q(X) = X2 − 2X + 1 e r(X) = 0.
Damos a seguir alguns corola´rios do Teorema, cuja importaˆncia ficara´
mais clara na pro´xima secc¸a˜o.
COROLA´RIO 1.4. Sejam a, b ∈ A com a invert´ıvel e p(X) ∈ A[X]. O
resto da divisa˜o de p(X) por aX + b e´ p
(− b
a
)
.
1.2. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 19
DEMONSTRAC¸A˜O : Pelo Teorema 1, existem q(X), r(X) ∈ A[X] tais
que p(X) = (aX + b) · q(X) + r(X) com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < 1. Em
qualquer caso r(X) e´ um polinoˆmio constante, logo
p
(
− b
a
)
= 0 · q
(
− b
a
)
+ r
(
− b
a
)
= r(X).
COROLA´RIO 1.5. Sejam a, b ∈ A com a invert´ıvel e p(X) ∈ A[X]. O
polinoˆmio p(X) e´ divis´ıvel por aX + b se, e somente se p
(− b
a
)
= 0.
DEFINIC¸A˜O 1.1. Se p(X) ∈ A[X] e α ∈ A sa˜o tais que p(α) = 0, dizemos
que α e´ raiz do polinoˆmio p(X).
Segue do Corola´rio 2 que α e´ raiz de p(X) se e somente se (X−α) divide
p(X).
COROLA´RIO 1.6. Seja A um domı´nio. Se p(X) ∈ A[X]− {0} tem grau
n, enta˜o p(X) tem no ma´ximo n ra´ızes distintas.
DEMONSTRAC¸A˜O : Vamos provar isto por induc¸a˜o em n. Se n = 0,
enta˜o p(X) e´ uma constante na˜o nula e portanto tem zero ra´ızes, estabe-
lecendo o resultado neste caso. Suponha agora o resultado va´lido para n
e seja p(X) um polinoˆmio de grau n + 1. Se p(X) na˜o tem ra´ızes, nada
temos a provar. Se p(X) tem uma raiz α, enta˜o p(X) = (X − α) · q(X),
com q(X) ∈ A[X] e gr(q(X)) = n. Pela hipo´tese de induc¸a˜o, q(X) tem
no ma´ximo n ra´ızes distintas e sendo A um domı´nio, as ra´ızes de p(X) sa˜o
as ra´ızes de q(X) e as ra´ızes de (X−α), logo p(X) tem no ma´ximo n+1 ra´ızes.
COROLA´RIO 1.7. Seja A um domı´nio infinito. Se p(X), q(X) ∈ A[X]
sa˜o tais que p(a) = q(a) para todo a ∈ A (i.e. as func¸o˜es polinomiais sa˜o
iguais), enta˜o p(X) = q(X) (i.e. os polinoˆmios sa˜o iguais).
DEMONSTRAC¸A˜O : Suponha por absurdo que p(X)−q(X) 6= 0. Enta˜o,
pelo Corola´rio 3, p(X)−q(X) tem um nu´mero finito de ra´ızes. Isto contradiz
a hipo´tese p(a) = q(a) para todo a ∈ A pois A e´ infinito.
Considere a aplicac¸a˜o
ϕ : A[X] −→ AA
p(X) 7−→ func¸a˜o polinomial associada a p(X)
20 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
Usando o exerc´ıcio 1.4 e´ fa´cil verificar que ϕ e´ um homomorfismo de ane´is.
O Corola´rio 4 mostra que se A e´ um domı´nio infinito, enta˜o N(ϕ) = {0}.
DEFINIC¸A˜O 1.2. Dizemos que um corpo K e´ algebricamente fechado
se todo polinoˆmio na˜o constante de K[X] tem pelo menos uma raiz em K.
COROLA´RIO 1.8. Seja K um corpo algebricamente fechado e seja ainda
p(X) ∈ K[X] um polinoˆmio na˜o constante. Se gr(p(X)) = n, enta˜o existem
elementos α1, α2, . . . , αn ∈ K e a ∈ K tais que
p(X) = a · (X − α1) · (X − α2) · · · (X − αn)
DEMONSTRAC¸A˜O : A prova pode ser feita por induc¸a˜o sobre n e a dei-
xamos a cargo do leitor.
PROPOSIC¸A˜O 1.4. Se K e´ um corpo algebricamente fechado, enta˜o K e´
infinito.
DEMONSTRAC¸A˜O : Suponha por absurdo que K seja finito, digamos
que K = {a0, a1, . . . , an−1} onde a0 = 0 e a1 = 1. Considere o polinoˆmio
p(X) = (X − a0) · (X − a1) · · · · · · · (X − an−1) + a1.
Verifica-se diretamente que p(X) na˜o tem ra´ızes em K o que e´ uma con-
tradic¸a˜o, pois p(X) e´ na˜o constante e K e´ algebricamente fechado.
Nem todo corpo e´ algebricamente fechado, por exemplo, se p e´ um nu´mero
primo positivo, o corpo Zp na˜o e´ algebricamente fechado por ser finito. O
corpo R , apesar de infinito, na˜o e´ algebricamente fechado pois o polinoˆmio
na˜o constante X2 + 1 ∈ R[X] na˜o possui ra´ızes em R.
O famoso Teorema Fundamental da A´lgebra garante que C e´ algebrica-
mente fechado. Este Teorema possui uma longa histo´ria e muitas demons-
trac¸o˜es, nenhuma delas pore´m se faz com me´todos puramente alge´bricos,
devendo-se sempre usar me´todos da ana´lise. Vamos ao longo do texto admi-
tir este resultado cuja demonstrac¸a˜o encontra-se no Apeˆndice 1.
1.2. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 21
EXEMPLO 3 : O polinoˆmio p(X) = 2X4 − 7X3 − 2X2+ 13X + 6 e´ di-
vis´ıvel pelo polinoˆmio X2 − 5X + 6 em Z[X].
De fato, tem-se que X2−5X+6 = (X−2)·(X−3). Como p(2) = 0, temos
que p(X) = (X − 2) · q(X) com q(X) ∈ Z[X]. Por outro lado, p(3) = 0, logo
q(3) = 0 e portanto q(X) = (X − 3) · q1(X) com q1(X) ∈ Z[X]. Conclui-se
que p(X) = (X − 2) · (X − 3) · q1(X).
Pede-se ao leitor generalizar a argumentac¸a˜o acima mostrando que se A
e´ um domı´nio, p(X) ∈ A[X] e α1, α2, . . . , αn sa˜o elementos distintos de A
tais que p(αi) = 0, i = 1, 2, . . . , n, enta˜o (X − α1) · (X − α2) · · · · · (X − αn)
divide p(X).
EXEMPLO 4 : O polinoˆmio p(X) = X3k+2+X3m+1+X3n com n,m, k ∈
N e´ divis´ıvel por X2 +X + 1 em Z[X].
De fato, podemos escrever X2 + X + 1 = (X − w) · (X − w2) em C[X]
onde w e´ uma raiz cu´bica primitiva de 1. Temos tambe´m que
p(w) = w3k+2 + w3m+1 + w3n = w2 + w + 1 = 0
e
p(w2) = w6k+4 + w6m+2 + w6n = w + w2 + 1 = 0
Portanto pela argumentac¸a˜o acima, temos que (X2+X+1) | p(X) em C[X],
logo p(X) = (X2+X+1) ·q1(X) para algum q1(X) ∈ C[X]. Pela Observac¸a˜o
3 temos que q1(X) ∈ Z[X], provando assim a nossa afirmac¸a˜o.
EXEMPLO 5 : Seja ξ = cos 2pi
n
+ i sen 2pi
n
. Vamos provar a identidade
1 +X +X2 + · · ·+Xn−1 = (X − ξ) · (X − ξ2) · · · · · (X − ξn−1).
De fato, sendo p(X) = 1+X+X2+· · ·+Xn−1 e ξ uma raiz n-e´sima primitiva
da unidade, temos que ξ, ξ2, . . . , ξn−1 sa˜o distintos e
p(ξ) = p(ξ2) = · · · = p(ξn−1) = 0.
Logo p(X) e´ divis´ıvel por (X − ξ) · (X − ξ2) · · · · · (X − ξn−1). Por serem do
mesmo grau p(X) e este u´ltimo polinoˆmio, segue que existe a ∈ C− {0} tal
que
p(X) = a · (X − ξ) · (X − ξ2) · · · · · (X − ξn−1).
22 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
Comparando os coeficientes dos termos de mais alto grau dos polinoˆmios
acima, conclui-se que a = 1, provando assim a identidade.
PROPOSIC¸A˜O 1.5. (POLINOˆMIO DE INTERPOLAC¸A˜O DE LAGRANGE).
Seja K um corpo. Sejam ai, bi ∈ K, i = 1, 2, . . . , n, com os ai dois a dois distintos e os bi
na˜o todos nulos. Considere os polinoˆmios
pi(X) = bi
(X − a1) · · · (X − ai−1) · (X − ai+1) · · · (X − an)
(ai − a1) · · · (ai − ai−1) · (ai − ai+1) · · · (ai − an) ,
para i = 1, 2, . . . , n. Enta˜o o polinoˆmio
p(X) =
n∑
i=1
pi(X)
e´ o u´nico polinoˆmio de grau menor do que n tal que p(ai) = bi, para todos i = 1, 2, . . . , n.
DEMONSTRAC¸A˜O : O polinoˆmio p(X) e´ de grau menor do que n e e´ tal
que p(ai) = bi, ∀ i = 1, 2, . . . , n, pois
pi(aj) =
{
0 se i 6= j
bj se i = j
Agora so´ falta provar a unicidade de p(X). Suponha que q(X) seja um
polinoˆmio que satisfaz as mesmas condic¸o˜es que p(X) satisfaz. Segue enta˜o
que p(X) − q(X) e´ um polinoˆmio de grau menor do que n com n ra´ızes
a1, a2, . . . , an, logo, pelo Corola´rio 3 do Teorema 1, tem-se que p(X) = q(X).
O polinoˆmio p(X) acima e´ chamado Polinoˆmio de Interpolac¸a˜o de La-
grange e desempenha papel importante na apresentac¸a˜o de Galois da sua
Teoria das Equac¸o˜es.
PROBLEMAS 1.2.
1. Ache q(X) e r(X) nas seguintes situac¸o˜es:
(a) p(X) = 3X2 + 5X + 7, t(X) = X3 + 7X2 + 9 em Z[X].
(b) p(X) = X4 +X3 +X2 +X + 1, t(X) = X4 −X3 +X2 −X + 1
em Z[X].
1.2. DIVISA˜O DE POLINOˆMIOS 23
(c) p(X) = X7+3X6−X5+4X2+1, t(X) = X4−X +1 em Z[X].
(d) p(X) = X10 +X5 + 1, t(X) = X2 +X + 1 em Z[X].
(e) p(X) = X5+3X4+X3+X +1, t(X) = 2X2+3X +1 em Z[X].
(f) p(X) = X3 + 3¯X2 +X + 3¯, t(X) = X2 + 4¯X + 3¯ em Z5[X].
2. Ache os poss´ıveis valores de a para que o polinoˆmio
a2 ·X4 + 4X3 + 4 · a ·X + 7
seja divis´ıvel por X + 1 em Z[X].
3. Sejam A um domı´nio e a ∈ A− {0}.
(a) Mostre que o polinoˆmio Xn − an e´ divis´ıvel por X − a em A[X].
(b) Sob que condic¸o˜es Xn + an e´ divis´ıvel por X + a em A[X] ?
(c) Sob que condic¸o˜es Xn − an e´ divis´ıvel por X + a em A[X] ?
4. Sem efetuar a divisa˜o, mostre que
(a) 2X6 + 2X5 +X4 + 2X3 +X2 + 2 e´ divis´ıvel por X2 + 1 em Z[X].
(b) X6 + 4X5 + 3X4 + 2X3 +X2 + 1 e´ divis´ıvel por X2 +X + 1 em
Z[X].
(c) X444+X333+X222+X111+1 e´ divis´ıvel por X4+X3+X2+X+1
em Z[X].
(d) Para n ∈ N, (X + 1)2n −X2n − 2X − 1 e´ divis´ıvel por
X · (X + 1) · (2X + 1) em Q[X].
5. Para quais valores de n ∈ N tem-se que
(a) 1 +X2 +X4 + · · ·+X2n−2 e´ divis´ıvel por 1 +X + · · ·+Xn−1?
(b) 1 +X3 +X6 + · · ·+X3n−3 e´ divis´ıvel por 1 +X + · · ·+Xn−1?
(c) Generalize.
6. Sejam K um corpo e sejam p(X) ∈ K[X] e a, b ∈ K com a 6= b. Mostre
que o resto da divisa˜o de p(X) por (X − a) · (X − b) e´
p(a)− p(b)
a− b X +
ap(b)− bp(a)
a− b .
24 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
7. Determine o polinoˆmio p(X) ∈ Q[X] de grau 7 tal que
p(1) = p(2) = · · · = p(7) = 8 e p(0) = 1
8. (a) Resolva a equac¸a˜o 20X3 − 30X2 + 12X − 1 = 0 sabendo-se que 1
2
e´ uma de suas ra´ızes.
(b) Uma raiz da equac¸a˜o X3− (2a+1)X2+ a(a+2)X − a(a+1) = 0
e´ a+ 1, ache as outras duas.
9. Ache o polinoˆmio de menor grau que tem ra´ızes 0, 1+ i, 1− i e assume
os valores 2 e −2 em −1 e 1 respectivamente.
10. Sejam os polinoˆmios p1(X), . . . , ps(X) ∈ K[X] onde K e´ um corpo.
Sejam ainda r1(X), . . . , rs(X) ∈ K[X] os respectivos restos das diviso˜es
destes polinoˆmios por t(X) 6= 0. Fixados os elementos α1, . . . , αs ∈ K,
mostre que o resto da divisa˜o de p(X) =
∑s
i=1 αipi(X) por t(X) e´ o
polinoˆmio r(X) =
∑s
i=1 αiri(X) .
11. (a) Mostre que o resto da divisa˜o do polinoˆmio p(X) =
∑n
i=0 aiX
i por
Xn − a e´ r(X) = ∑ni=0 airi(X), onde ri(X) e´ o resto da divisa˜o
de X i por Xm − a.
Sugesta˜o: use o exerc´ıcio 2.10.
(b) Se i = λim+ µi com 0 ≤ µ < m, mostre que ri(X) = aλiXµi .
(c) Conclua que r(X) =
∑n
i=0 a
λiXµi, justificando a seguinte regra
pra´tica para calcular r(X): ”Substitua em p(X) todos os Xm que
puder por a”.
(d) Sob quais condic¸o˜es Xn − an e´ divis´ıvel por Xm − am ?
(e) Ache os restos da divisa˜o de X60 − 1 e de X100 − 1 por X3 − 1.
(f) Mostre que se a 6= 0, enta˜o (Xn − an, Xm − am) = Xd− ad, onde
d = (m,n) .
12. Considere a igualdade do Exemplo 5,
1 +X +X2 + · · ·+Xn−1 = (X − ξ) · (X − ξ2) · · · · · (X − ξn−1),
onde ξ = cos 2pi
n
+ i sen 2pi
n
.
1.3. POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES EM CORPOS 25
(a) Na igualdade acima, fazendo X = 1 e tomando os mo´dulos em
ambos os lados, mostre a seguinte identidade trigonome´trica:
sen
pi
n
· sen 2pi
n
· · · · · sen (n− 1)pi
n
=
n
2n−1
Sugesta˜o: Use a identidade sen θ = 1−cos 2θ
2
.
(b) Se p > 2 e´ um nu´mero primo, mostre que
(X − 1) · (X2 − 1) · · · · · (Xp−1 − 1)− p
e´ divis´ıvel por 1 +X + · · ·+Xp−1.
1.3 Polinoˆmios com Coeficientes em Corpos
No que segue estudaremos propriedades espec´ıficas do anel de polinoˆmios
com coeficientes num corpo K. Neste caso, o Teorema 1 nos garante que a
divisa˜o com resto pode ser efetuada, tendo como dividendo um polinoˆmio
qualquer e como divisor um polinoˆmio na˜o nulo arbitra´rio. Note tambe´m
que, neste caso, de acordo com o Corola´rio 3 da Proposic¸a˜o 2, u(X) ∈ K[X]
e´ invert´ıvel se, e somente se, u(X) ∈ K − {0}, ou seja gr(u(X)) = 0. Por-
tanto, dois polinoˆmios p(X) e q(X) sa˜o associados se, e somente se, existe
c ∈ K − {0} = K∗ tal que q(X) = cp(X). Segue disto que todo polinoˆmio
na˜o nulo de K[X] e´ associado a um u´nico polinoˆmio moˆnico.
TEOREMA 1.2. Todo ideal I de K[X] e´ principal. Se I 6= 0 enta˜o I e´
gerado por qualquer um dos seus elementos de menor grau.
DEMONSTRAC¸A˜O : Se I = {0}, nada temos a provar. Suponha que
I 6= {0} e seja p(X) 6= 0 um polinoˆmio em I de grau mı´nimo. Como
p(X) ∈ I segue que I(p(X)) ⊂ I. Por outro lado, se g(X) ∈ I, pelo al-
goritmo da divisa˜o, existem polinoˆmios q(X) e r(X) em K[X] com r(X) = 0
ou gr(r(X)) < gr(p(X)) tais que g(X) = p(X) · q(X) + r(X). Segue da´ı que
r(X) ∈ I e como p(X) tem grau mı´nimo em I, conclui-se que r(X) = 0 e
portanto g(X) ∈ I(p(X)). Isto acaba de mostrar que I = I(p(X)).
26 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
O fato que K[X] e´ um anel principal tem va´rios corola´rios que passamos
a enunciar.COROLA´RIO 1.9. Sejam dados os polinoˆmios p1(X), . . . , ps(X) ∈ K[X].
Enta˜o existe um MDC destes elementos. Ale´m disso, todo MDC deles e´ da
forma p1(X) · q1(X)+ · · ·+ ps(X) · qs(X) para elementos q1(X), . . . , qs(X) ∈
K[X].
DEMONSTRAC¸A˜O : Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Corola´rio 1 da
Proposic¸a˜o 6.
Como todo associado de umMDC de dados elementos e´ umMDC destes
elementos (cf. I-4, Corola´rio da Proposic¸a˜o 4), segue que dados elementos
p1(X), . . . , ps(X) ∈ K[X] na˜o todos nulos, estes elementos possuem um u´nico
MDC moˆnico que sera´ chamado de oMDC destes elementos e denotado por
(p1(X), . . . , ps(X)).
Do fato de K[X] ser principal segue tambe´m que existe MMC de ele-
mentos quaisquer de K[X] (Veja I-4, Problema 2.8)
COROLA´RIO 1.10. Os polinoˆmios p1(X) e p2(X) em K[X] sa˜o primos
entre si, se e somente se, existem q1(X), q2(X) ∈ K[X], tais que p1(X) ·
q1(X) + p2(X) · q2(X) = 1.
DEMONSTRAC¸A˜O : Como p1(X) E p2(X) sa˜o primos entre si, se, e so-
mente se, (p1(X), p2(X)) = 1, a relac¸a˜o entre p1(X), p2(X) e 1 segue do
Corola´rio 1.
COROLA´RIO 1.11. Em K[X] um elemento e´ primo se e somente se ele
e´ irredut´ıvel.
DEMONSTRAC¸A˜O : Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Proposic¸o˜es 8 e
9.
COROLA´RIO 1.12. K[X] e´ um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica.
DEMONSTRAC¸A˜O : Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Teorema 2.
1.3. POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES EM CORPOS 27
COROLA´RIO 1.13. Todo elemento p(X) ∈ K[X]−K pode ser escrito de
modo u´nico, a menos da ordem dos fatores, sob a forma
p(X) = c · (p1(X))α1 · · · (pr(X))αr
onde c ∈ K − {0} e p1(X), . . . , pr(X) sa˜o polinoˆmios moˆnicos irredut´ıveis
distintos em K[X] e αi ∈ N, para i = 1, 2, . . . , r.
Observe que o Corola´rio 5 na˜o e´ construtivo, pois garante a existeˆncia da
fatorac¸a˜o de um polinoˆmio em polinoˆmios irredut´ıveis sem entretanto indi-
car como obteˆ-la. O problema de determinar algor´ıtmos ra´pidos para fatorar
polinoˆmios e´ importante e atual.
Tal como no caso dos inteiros, pelo fato de existir em K[X] um algo-
ritmo para efetuar diviso˜es com resto pequeno, pode-se calcular efetivamente
o MDC de dois polinoˆmios usando o algoritmo de Euclides.
EXEMPLO 1 : Determinaremos o MDC em Q[X] dos polinoˆmios
2X5 + 2X4 +X3 − 2X2 −X − 4 e X3 − 2X2 +X − 2.
Efetuando o algoritmo de Euclides, temos
2X5 + 2X4 +X3 − 2X2 −X − 4 =
= (X3 − 2X2 +X − 2) · (2X2 + 6X + 11) + 18X2 + 18
X3 − 2X2 +X − 2 = (18X2 + 18) · ( 1
18
X − 1
9
)
+ 0.
Logo um MDC destes polinoˆmios e´ 18X2 + 18 e portanto
MDC
(
2X5 + 2X4 +X3 − 2X2 −X − 4, X3 − 2X2 +X − 2) = X2 + 1
Sejam K e F corpos tais que K e´ um subcorpo de F . Sejam p1(X), p2(X)
em K[X]. Em princ´ıpio, o MDC destes elementos em F [X] tem coeficientes
em F . Seguindo pore´m, atrave´s do algoritmo de Euclides, o ca´lculo doMDC
destes elementos, e´ fa´cil convencer-se que tal MDC esta´ em K[X]. Segue
desta observac¸a˜o que dois polinoˆmios de K[X] teˆm um fator comum na˜o
constante em F [X] se, e somente se, eles teˆm um fator comum na˜o constante
em K[X].
28 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
EXEMPLO 2 : Considere o homomorfismo de ane´is
ϕ : A[X] −→ AA
p(X) 7−→ func¸a˜o polinomial associada a p(X)
definida no para´grafo 2. Suponha que A = Zp onde p e´ um nu´mero primo
positivo. Note que Xp − X ∈ N(ϕ). Note tambe´m que Xp − X tem grau
mı´nimo em N(ϕ) pois qualquer polinoˆmio na˜o nulo de N(ϕ), em se anulando
em todos os elementos de Zp, tem que ter grau maior ou igual a p. Segue
enta˜o do Teorema 2 que N(ϕ) = I(Xp −X).
PROBLEMAS 1.3.
1. Determine o MDC dos seguintes pares de polinoˆmios de Q[X]:
(a) X5 + 4X3 + 3X2 +X + 1 e X3 +X + 1.
(b) X5+10X4+40X3+80X2+80X +32 e X3+6X2+12X +8.
(c) X4 +X3 + 2X2 +X + 1 e X4 + 3X3 + 5X2 + 3X + 4.
(d) X3 −X2 −X − 2 e X3 − 3X − 2.
2. Seja F uma extensa˜o de um corpo K. Sejam p1(X), p2(X) ∈ K[X] e
α ∈ F . Mostre que α e´ raiz comum de p1(X) e p2(X) se e somente se
α e´ raiz de (p1(X), p2(X)). Ache as ra´ızes comuns em C dos pares de
polinoˆmios do problema 3.1.
3. Resolva em Q[X] a seguinte equac¸a˜o diofantina:
(X3+3X2+3X+2)·u+(X3+2X2+2X+1)·v = X4+X3+2X2+X+1.
4. Seja K um corpo.
(a) Mostre que todo polinoˆmio de grau 1 e´ irredut´ıvel em K[X].
(b) Sejam a, b ∈ K com a 6= b. Mostre que para todos n,m ∈ N, os
polinoˆmios (X − a)n e (X − a)m sa˜o primos entre si.
(c) Se K e´ algebricamente fechado, os u´nicos polinoˆmios irredut´ıveis
de K[X] sa˜o os de grau 1.
1.4. POLINOˆMIOS SOBRE C E SOBRE R 29
5. (a) Mostre que se um polinoˆmio de grau maior do que 1 em K[X] tem
uma raiz em K, enta˜o eˆle e´ redut´ıvel em K[X]. Deˆ um exemplo
mostrando que na˜o vale a rec´ıproca.
(b) Mostre que um polinoˆmio de grau 2 ou 3 em K[X] e´ redut´ıvel se,
e somente se, ele possui uma raiz em K. Este resultado vale para
graus maiores do que 3 ?
(c) Determine todos os polinoˆmios irredut´ıveis de graus 2, 3 e 4 em
Z5[X].
6. Mostre que aX2 + bX + c ∈ R[X] e´ irredut´ıvel se, e somente se, tem-se
∆ < 0 onde ∆ = b2 − 4ac < 0.
7. Decomponha em C[X] e em R[X] os seguintes polinoˆmios:
a) X4 − 1 b) X4 + 1 c) X6 − 1 d) X6 + 1
8. Para que valores de p, q ∈ R X4 + 1 e´ divis´ıvel por X2 + pX + q em
R[X] ?
Sugesta˜o: Decomponha X4 + 1 em C[X ] ).
9. Mostre que em K[X] ha´ infinitos polinoˆmios irredut´ıveis dois a dois
na˜o associados.
Sugesta˜o: Fac¸a uma reproduc¸a˜o a demonstrac¸a˜o de Euclides da existeˆncia de
infinitos nu´meros primos (cf. I-5, Teorema 1).
10. Sejam p(X), q(X) ∈ K[X] com p(X) irredut´ıvel. Suponha que existe
α numa extensa˜o de K tal que p(α) = q(α) = 0. Mostre que q(X) e´
mu´ltiplo de p(X). Se q(X) e´ tambe´m irredut´ıvel, enta˜o p(X) e q(X)
sa˜o associados.
1.4 Polinoˆmios sobre C e sobre R
Pelo fato de C ser algebricamente fechado (Teorema Fundamental da
A´lgebra, Apeˆndice 1) e pelo Corola´rio 5 do Teorema 1, segue que todo po-
linoˆmio p(X) ∈ C[X] se escreve de modo u´nico na forma,
p(X) = a(X − α1)n1 · · · (X − αr)nr (1.5)
com a, α1, . . . , αr ∈ C, αi 6= αj se i 6= j e n1, . . . , nr ∈ N.
30 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
As ra´ızes de p(X) sa˜o os α1, . . . , αr e o inteiro ni, i = 1, . . . , r, e´ chamado
de multiplicidade da raiz αi. Como gr(p(X)) = n1+ · · ·+nr, segue que todo
polinoˆmio em C[X] de grau n tem exatamente n ra´ızes, desde que contadas
com suas multiplicidades.
Seja p(X) = a0 + a1X + · · · + anXn ∈ C[X]. Define-se o polinoˆmio
conjugado de p(X) como sendo
p¯(X) = a¯0 + a¯1X + · · · a¯nXn ∈ C[X]
onde a¯i e´ o conjugado de ai, i = 0, 1, . . . , n.
A conjugac¸a˜o de polinoˆmios goza das seguintes propriedades, cujas veri-
ficac¸o˜es deixamos a cargo do leitor.
1. Se p(X) = p1(X) + p2(X) enta˜o p¯(X) = p1(X) + p2(X).
2. Se p(X) = p1(X) · p2(X) enta˜o p¯(X) = p1(X) · p2(X).
3. p¯(X) = p(X) se, e somente se, p(X) ∈ R[X].
4. Se a ∈ C[X] enta˜o p¯(a¯) = p(a)
Da propriedade (4) acima deduz-se facilmente que α e´ raiz p(X) se, e somente
se, α¯ e´ raiz de p¯(X).
PROPOSIC¸A˜O 1.6. Seja p(X) ∈ R[X]. Se α ∈ C e´ raiz de multiplicidade
m de p(X). enta˜o, α¯ e´ raiz de multiplicidade m de p(X).
DEMONSTRAC¸A˜O : Se α ∈ C e´ raiz de multiplicidade m de p(X) enta˜o
p(X) = (X −α)m · q(X), com q(X) ∈ C[X] e q(α) 6= 0. Como p(X) ∈ R[X],
temos que p(X) = p¯(X) = (X− α¯)m · q¯(X). Note agora que q¯(α¯) = q(α) 6= 0
e portanto α¯ e´ raiz de multiplicidade m de p(X).
COROLA´RIO 1.14. Todo polinoˆmio de grau ı´mpar com coeficientes reais
tem pelo menos uma raiz real.
DEMONSTRAC¸A˜O : As ra´ızes complexas aparecem aos pares e como o
polinoˆmio e´ de grau ı´mpar, o resultado segue.
1.4. POLINOˆMIOS SOBRE C E SOBRE R 31
PROPOSIC¸A˜O 1.7. i) aX+b com a, b ∈ R e a 6= 0 e´ irredut´ıvel em R[X].
ii) aX2+ bX + c com a, b, c ∈ R e a 6= 0 e´ irredut´ıvel em R[X] se, e somente
se, ∆ = b2 − 4ac < 0.
iii) Todo polinoˆmio de grau maior do que 2 e´ redut´ıvel em R[X].
DEMONSTRAC¸A˜O : i) E´ evidente e vale emqualquer corpo.
ii) aX2+ bX + c e´ irredut´ıvel se, e somente se, na˜o possui fatores do 10 grau
em R[X] e isto equivale a dizer que aX2+ bX+ c na˜o possui ra´ızes em R que
por sua vez e´ equivalente ao fato que ∆ < 0.
iii) Seja p(X) um polinoˆmio em R[X] de grau maior do que 2. Seja α ∈ C uma
raiz de p(X). Se α ∈ R, enta˜o p(X) e´ divis´ıvel em R[X] por (X−α), portanto
ele e´ redut´ıvel. Se α ∈ C−R, enta˜o α¯ e´ raiz de p(X), logo (X−α) ·(X−α¯) =
X2 − 2Re(α)X + |α|2 esta´ em R[X] e divide p(X) em R[X] com quociente
na˜o constante, portanto p(X) e´ redut´ıvel.
COROLA´RIO 1.15. Todo polinoˆmio p(X) ∈ R[X] − {0} se escreve de
modo u´nico, a menos da ordem dos fatores como
p(X) = a(X − α1) · · · (X − αr)(X2 + b1X + c1) · · · (X2 + bsX + cs)
com a, α1, . . . , αr, b1, . . . , bs, c1, . . . , cs reais e bi
2 − 4ci < 0, i = 1, . . . , s.
PROBLEMAS 1.4.
1. Sejam p(X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn e q(X) = b0 + b1X + · · ·+ bnXn
polinoˆmios em C[X]. Suponha que eles tenham mesmas ra´ızes com
mesmas multiplicidades.
Prove que existe a ∈ C− {0} tal que aj = a · bj , j = 1, . . . , n.
2. Uma raiz de X4 + 3X3 − 30X2 + 366X − 340 e´ 3 + 5i, ache as demais
ra´ızes.
3. 1 + i e´ raiz mu´ltipla de X6 − 3X5 + 5X4 − 4X3 + 4X2 − 4X + 4 = 0.
Ache a multiplicidade desta raiz e as demais ra´ızes.
4. Fatore em R[X] os seguintes polinoˆmios
a) X4 + 4X2 + 3 b) X4 + 4X2 + 4
c) X4 −X2 + 1 d) X4 + pX2 + q com p, q ∈ R
32 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
5. Mostre que se n ∈ N, enta˜o
(a) X2n − 1 = (X − 1)(X + 1) ·∏n−1k=1 (X2 − 2X cos kpin + 1).
(b) X2n+1 − 1 = (X − 1) ·∏n−1k=1 (X2 − 2X cos 2kpi2n+1 + 1).
6. Fatore em R[X] os seguintes polinoˆmios
a) X24 − 1 b) X12 − 1 c) X13 − 1.
1.5 Polinoˆmios em Va´rias Indeterminadas
Seja A[X1] o anel dos polinoˆmios a coeficientes em A na indeterminada
X1. Se X2 e´ uma indeterminada sobre o anel A[X1], define-se:
A[X1, X2] = (A[X1]) [X2].
Pode-se enta˜o definir recorrentemente,
A[X1, X2, . . . , Xn] = (A[X1, X2, . . . , Xn−1]) [Xn].
Se A e´ um domı´nio de integridade, pelo Corola´rio 1 da Proposic¸a˜o 3, temos
que A[X1] tambe´m e´ um domı´nio de integridade. Usando o mesmo argumento
iteradamente, conclui-se que A[X1, X2, . . . , Xn] e´ um domı´nio de integridade.
Todo elemento p(X1, . . . , Xn) ∈ A[X1, . . . , Xn] pode ser escrito na forma
p(X1, . . . , Xn) =
∑
ai1...inX
i1
1 · · ·X inn ,
0≤i1≤r1
...
0≤in≤rn
onde r1, . . . , rn ∈ Z+ e ai1,...,in ∈ A e e´ chamado polinoˆmio em n indetermi-
nadas.
Cada termo da forma ai1,...,inX
i1
1 · · ·X inn e´ chamado monoˆmio e o seu grau
e´ definido como sendo i1 + i2 + · · ·+ in. Dois monoˆmios sa˜o semelhantes se
eles teˆm o mesmo grau. O grau de um polinoˆmio em n indeterminadas e´
o maior dos graus de seus monoˆmios na˜o nulos. Um polinoˆmio e´ chamado
1.5. POLINOˆMIOS EM VA´RIAS INDETERMINADAS 33
homogeˆneo de grau m se todos os seus monoˆmios teˆm grau m. Dado um
polinoˆmio em A[X1, . . . , Xn], a soma dos seus monoˆmios de grau m e´ um po-
linoˆmio homogeˆneo de graum chamado componente homogeˆneo de grau m do
polinoˆmio. Enta˜o todo polinoˆmio e´ soma de polinoˆmios homogeˆneos de graus
dois a dois distintos, pois ele e´ a soma das suas componentes homogeˆneas. O
grau de um polinoˆmio p(X1, . . . , Xn) e´ simbolizado por gr(p(X1, . . .Xn)).
Exemplo 1 : Seja
p(X1, X2, X3) = 3 + 5X1 + 3X2 +X1X2 +X3
2 +X2
3X3 + 7X1
5.
Este polinoˆmio e´ de grau 5, suas componentes homogeˆneas sa˜o:
• de grau zero: 3;
• de grau um: 5X1 + 3X2 ;
• de grau dois: X1X2 +X32 ;
• de grau treˆs: na˜o tem;
• de grau quatro: X23X3 ;
• de grau cinco: 7X15 .
PROPOSIC¸A˜O 1.8.∑
ai1...inX
i1
1 · · ·X inn = 0
0≤i1≤r1
...
0≤in≤rn
se, e somente se, ai1...,in = 0 para cada 0 ≤ i1 ≤ r1, . . . , 0 ≤ in ≤ rn.
DEMONSTRAC¸A˜O : Em uma direc¸a˜o vamos provar por induc¸a˜o em n.
Se n = 1, a asserc¸a˜o e´ verdadeira pela definic¸a˜o da igualdade de polinoˆmios
em uma indeterminada. Vamos supor a asserc¸a˜o va´lida para n− 1. Seja∑
ai1...inX
i1
1 · · ·X inn = 0,
0≤i1≤r1
...
0≤in≤rn
34 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
podemos escrever,
0 =
∑
ai1...inX
i1
1 · · ·X inn =
0≤i1≤r1
...
0≤in≤rn
=
∑ ∑
(ai1...inX
i1
1 · · ·X in−1n−1 )X inn .
0≤in≤rn 0≤i1≤r1
...
0≤in−1≤rn−1
Pela definic¸a˜o da igualdade em (A[X1, . . . , Xn−1])[Xn], segue que∑
ai1...inX
i1
1 · · ·X in−1n−1 = 0
0≤i1≤r1
...
0≤in≤rn
para todo in, 0 ≤ in ≤ rn. Pela hipo´tese de induc¸a˜o, segue que ai1,...,in = 0
para cada 0 ≤ i1 ≤ r1 , . . . , 0 ≤ in ≤ rn.
A rec´ıproca e´ imediata.
Seja A um domı´nio de integridade. Pode-se verificar facilmente que para
p(X1, . . . , Xn), q(X1, . . . , Xn) ∈ A[X1, . . . , Xn], tem-se
gr(p(X1, . . . , Xn) · q(X1, . . . , Xn)) = gr(p(X1, . . . , Xn)) + gr(q(X1, . . . , Xn)).
Portanto e´ imediato se checar que o polinoˆmio p(X1, . . . , Xn) e´ invert´ıvel
em A[X1, . . . , Xn] se, e somente se, p(X1, . . . , Xn) ∈ A e e´ um elemento
invert´ıvel de A. E´ claro que os polinoˆmios X1, . . . , Xn sa˜o irredut´ıveis em
K[X1, . . . , Xn], onde K e´ um corpo.
1.5. POLINOˆMIOS EM VA´RIAS INDETERMINADAS 35
Seja A um domı´nio de integridade. O corpo de frac¸o˜es (cf. I-2) do domı´nio
A[X1, . . . , Xn] e´ o corpo
A(X1, . . . , Xn) =
{
p(X1, . . . , Xn)
q(X1, . . . , Xn)
| p(X1, . . . , Xn), q(X1, . . . , Xn) ∈
A[X1, . . . , Xn] e q(X1, . . . , Xn) 6= 0
}
E´ fa´cil ver que se K e´ o corpo de frac¸o˜es de A, enta˜o
A(X1, . . . , Xn) = K(X1, . . . , Xn).
Dado um polinoˆmio
p(X1, . . . , Xn) =
∑
ai1...inX
i1
1 · · ·X inn ∈ A[X1, . . . , Xn],
0≤i1≤r1
...
0≤in≤rn
podemos definir a func¸a˜o polinomial:
p : An −→ A
(α1, . . . , αn) 7−→
∑
ai1,...,inα
i1
1 · · ·αinn = p(α1, . . . αn).
0≤i1≤r1
...
0≤in≤rn
Dois polinoˆmios iguais determinam a mesma func¸a˜o polinomial, mas dois
polinoˆmios distintos podem definir a mesma func¸a˜o polinomial. Isto nova-
mente na˜o ocorre se A e´ um domı´nio infinito, como veremos adiante.
PROPOSIC¸A˜O 1.9. Sejam A e´ um domı´nio infinito e p(X1, . . .Xn) um
polinoˆmio em A[X1, . . . , Xn]−{0}. Enta˜o existem infinitos (α1, . . . , αn) ∈ An
tais que p(α1, . . . , αn) 6= 0.
DEMONSTRAC¸A˜O : Vamos provar por induc¸a˜o em n. Se n = 1, o resul-
tado segue do Corola´rio 3 do Teorema 1. Suponha o resultado va´lido para
n− 1 e seja
p(X1, . . . , Xn) =
∑
ai1...inX
i1
1 · · ·X inn =
0≤i1≤r1
...
0≤in≤rn
36 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
=
∑ ∑
(ai1...inX
i1
1 · · ·X in−1n−1 )Xnin .
0≤in≤rn 0≤i1≤r1
...
0≤in−1≤rn−1
Como p(X1, . . . , Xn) 6= 0, para algum in temos que,∑
ai1...inX
i1
1 · · ·X in−1n−1 6= 0,
0≤i1≤r1
...
0≤in−1≤rn−1
logo, pela hipo´tese de induc¸a˜o, existem α1, . . . αn−1 ∈ A tais que,∑
ai1...inα
i1
1 · · ·αin−1n−1 6= 0,
0≤i1≤r1
...
0≤in−1≤rn−1
logo o polinoˆmio p(α1, . . . , αn−1, Xn) =
=
∑ ∑ (
ai1...inα
i1
1 · · ·αin−1n−1
)
X inn ∈ A[Xn]
0≤in≤rn 0≤i1≤r1
...
0≤in≤rn
e´ na˜o nulo e logo possui um nu´mero finito de ra´ızes. Para infinitos valores de
αn ∈ A (os elementos de A que na˜o sa˜o ra´ızes de p(α1, . . . , αn−1, Xn)) temos
que p(α1, . . . , αn) 6= 0, o que prova o resultado.
COROLA´RIO 1.16. Seja A um domı´nio infinito. Sejam ainda os po-
linoˆmios p(X1, . . . , Xn) e q(X1, . . . , Xn) em A[X1, . . .Xn] tais que
p(α1, . . . , αn) = q(α1, . . . , αn) ∀ (α1, . . . , αn) ∈ An.
Enta˜o p(X1, . . . , Xn) = q(X1, . . . , Xn).
1.5. POLINOˆMIOS EM VA´RIAS INDETERMINADAS 37
DEMONSTRAC¸A˜O : Suponha por absurdo que
p(X1, . . . , Xn)− q(X1, . . . , Xn) 6= 0,
logo pela proposic¸a˜o 9, existem (α1, . . . , αn) ∈ An tais que
p(α1, . . . , αn)− q(α1, . . . , αn) 6= 0.
Mas, pela proposic¸a˜o, existem α1, . . . , αn ∈ A tais que
p1(α1, . . . , αn)− p2(α1, . . . , αn) 6= 0,
o que e´ uma contradic¸a˜o.
PROPOSIC¸A˜O 1.10. Seja K um corpo algebricamente fechadoe seja
f(X1, . . . , Xn) ∈ K[X1, . . . , Xn]−K com n ≥ 2.
Enta˜o o conjunto
VK(f) = {(α1, . . . , αn) ∈ Kn | f(α1, . . . , αn) = 0}
e´ infinito.
DEMONSTRAC¸A˜O : Como f(X1, . . . , Xn) na˜o esta´ em K, enta˜o pelo
menos uma das indeterminadas figura em f(X1, . . . , Xn). Sem perda de ge-
neralidade, podemos supor que seja Xn. Escrevemos
f(X1, . . . , Xn) =
f0(X1, . . . , Xn−1) + f1(X1, . . . , Xn−1)Xn + · · ·+ fd(X1, . . . , Xn−1)Xdn
como polinoˆmio em (K[X1, . . . , Xn−1])[Xn], com fd(X1, . . . , Xn−1) 6= 0 e
d ≥ 1. Pela Proposic¸a˜o 9, existem infinitos elementos (α1, . . . , αn) ∈ Kn−1
tais que fd(α1, . . . , αn−1) 6= 0 e para cada escolha de tais (α1, . . . , αn−1) existe
αn ∈ Kn−1 raiz da equac¸a˜o f(α1, . . . , αn−1, Xn) = 0, pois K e´ algebricamente
fechado, o que prova a asserc¸a˜o.
38 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
PROBLEMAS 1.5.
1. Sejam A um domı´nio de integridade e p, q ∈ A[X1, . . . , Xn].
Mostre que,
(a) gr(p · q) = gr(p) + gr(q).
(b) Se p e q sa˜o homogeˆneos, enta˜o p · q e´ homogeˆneo.
(c) Se p e´ homogeˆneo e p = p1 · p2 em A[X1, . . . , Xn], enta˜o p1 e p2
sa˜o homogeˆneos.
2. Seja K um corpo. Se Fm, Fm+1 ∈ K[X1, . . . , Xn] sa˜o homogeˆneos de
graus respectivamente m e m + 1, sem fatores na˜o constantes em co-
mum, mostre que Fm + Fm+1 e´ irredut´ıvel em K[X1, . . . , Xn].
3. Seja K um corpo. Mostre que Y 2+ p(X1, . . . , Xn) ∈ K[X1, . . . , Xn, Y ],
onde p(X1, . . . , Xn) ∈ K[X1, . . . , Xn], e´ irredut´ıvel se, e somente se,
p(X1, . . . , Xn) na˜o e´ o quadrado de um polinoˆmio em K[X1, . . . , Xn].
Em particular, mostre que Y 2 − X(X − 1)(X − λ), com λ ∈ K, e´
irredut´ıvel em K[X, Y ] .
4. Seja K um corpo algebricamente fechado. Seja p(X1, X2) ∈ K[X1, X2]
um polinoˆmio homogeˆneo de grau m ≥ 1.
Mostre que existem αi, βi ∈ K, i = 1, . . . , m tais que,
p(X1, X2) = (α1X1 + β1X2) · (α2X1 + β2X2) · · · (αmX1 + βmX2).
5. (a) Seja A um anel. Sejam p(X1, . . . , Xn) ∈ A[X1, . . . , Xn] e Y uma
indeterminada sobre A[X1, . . . , Xn]. Mostre que p(X1, . . . , Xn) e´
um polinoˆmio homogeˆneo de grau m se, e somente se,
p(Y X1, . . . , Y Xn) = Y
mp(X1, . . . , Xn)
(Como polinoˆmio em A[X1, . . . , Xn]).
(b) Seja p(X1, X2, X3) ∈ R[X1, X2, X3]. Mostre que V R(p) e´ um cone
com ve´rtice na origem de R3 se, e somente se, p(X1, X2, X3) e´ um
polinoˆmio homogeˆneo.
6. O polinoˆmio f(X1, X2) = X
2
1 +X
2
2 e´ irredut´ıvel em R[X1, X2] ? Deter-
mine V R(f). Responda a`s mesmas perguntas em C[X1, X2].
1.5. POLINOˆMIOS EM VA´RIAS INDETERMINADAS 39
7. SejaK um corpo algebricamente fechado e f(X1, . . . , Xn) um polinoˆmio
em K[X1, . . . , Xn]. Mostre que VK(f) e´ na˜o vazio se, e somente se,
f(X1, . . . , Xn) ∈ K∗. Deˆ um exemplo onde na˜o vale o resultado se
K = R.
40 CAPI´TULO 1. POLINOˆMIOS
Cap´ıtulo 2
DERIVAC¸A˜O E
MULTIPLICIDADE
2.1 Derivada Primeira
Seja K um corpo. Define-se o operador DX
1 em K[[X]] (i.e. D1X e´ uma
aplicac¸a˜o de K[[X]] em si pro´prio) como segue
D1X : K[[X]] −→ K[[X]]
f(X) =
∑∞
i=0 aiX
i 7−→ D1Xf(X) =
∑∞
i=0 iaiX
i−1
Este e´ chamado operador de derivac¸a˜o de ordem 1 e tem propriedades
nota´veis que o tornam muito u´til. A se´rie de poteˆncias D1X e´ chamada deri-
vada primeira ou simplesmente derivada de f(X). Usa-se tambe´m a notac¸a˜o
D1X = f
′(X). Segue claramente da definic¸a˜o que D1X(K[X]) ⊂ k[X].
PROPOSIC¸A˜O 2.1. Sejam f(X), g(X) ∈ K[X], a ∈ K e m ∈ N. Temos
que
1. D1X(f(X) + ag(X)) = f
′(X) + ag′(X).
2. D1X(f(X) · g(X)) = f ′(X) · g(X) + f(X) · g′(X).
3. D1X((f(X))
m = m(f(X))m−1 · f ′(X) .
Demonstrac¸a˜o:
41
42 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE
1. A demonstrac¸a˜o deste item segue diretamente da definic¸a˜o.
2. Em virtude do Problema 1.4 do Cap´ıtulo 1, basta provar a fo´rmula
para produtos da forma Xng(X). Seja g(X) =
∑∞
i=0 biX
i, temos que
D1X(X
ng(X)) = D1X
( ∞∑
i=0
biX
n+i
)
=
∞∑
i=0
(n + i)biX
n+i−1 =
= nXn−1
∞∑
i=0
biX
i +Xn
∞∑
i=0
ibiX
i =
(
D1XX
n
)
g(X) +XnD1Xg(X)
3. A demonstrac¸a˜o pode ser feita por induc¸a˜o sobre m e a deixamos a
cargo do leitor.
O pro´ximo resultado vai caracterizar aquelas se´ries de poteˆncias que teˆm
derivada nula.
PROPOSIC¸A˜O 2.2. 1. Se car(K) = 0 enta˜o, D1Xf(X) = 0 se, e so-
mente se, f(X) ∈ K.
2. Suponha car(K) = p > 0. Enta˜o D1Xf(X) = 0 se, e somente se,
f(X) = b0 + b1X
p + b2X
2p + · · · , com bi ∈ K, ∀i ∈ Z+
Demonstrac¸a˜o: Seja f(X) =
∑∞
i=0 aiX
i ∈ K[[X]]. D1Xf(X) = 0 se, e
somente se, iai = 0 para todo i ∈ Z+. Por I-7, Problema 3.1, esta u´ltima
condic¸a˜o e´ equivalente a i ≡ 0 mod car(K) ou ai = 0.
1. Se car (K) = 0, isto e´ equivalente a 0 = a1 = a2 = · · · , isto e´,
f(X) = a0 ∈ K.
2. Se car (K) = p > 0, isto e´ equivalente a i ≡ 0 mod p se ai 6= 0. Assim,
D1Xf(X) = 0 se, e somente se, f(X) = a0 + apX
p + a2pX
2p + · · · . O
resultado segue definindo bj = ajp, ∀ j ∈ Z+.
Se um polinoˆmio p(X) e´ divis´ıvel por (X − α)m, onde α ∈ K e m ∈ N,
e na˜o e´ divis´ıvel por (X − α)m+1, dizemos que α e´ raiz de multiplicidade
m de p(X). Se m ≥ 2, dizemos que α e´ raiz mu´ltipla de p(X). Note que
se (X−α)l divide p(X), enta˜o α e´ raiz de multiplicidade pelo menos l de p(X).
Damos a seguir uma caracterizac¸a˜o daqueles polinoˆmios que teˆm ra´ızes
mu´ltiplas em termos de derivadas.
2.1. DERIVADA PRIMEIRA 43
PROPOSIC¸A˜O 2.3. Um elemento α ∈ K e´ raiz mu´ltipla de p(X) ∈ K[X]
se, e somente se, p(α) = p′(α) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Por um lado, suponha que p(X) = (X − α)m · q(X) com
m ≥ 2. Logo, pela Proposic¸a˜o 1, (2) e (3) temos que
p′(X) = (x− α)m · q′(X) +m(X − α)m−1 · q(X).
Como m ≥ 2 e´ claro que p(α) = p′(α) = 0. Reciprocamente, Como p(α) = 0,
temos que p(X) = (X−α)·q(X). Derivando ambos os lados desta igualdade,
temos p′(X) = q(X)+ (X−α) · q1(X). Desta igualdade e de p′(α) = 0 segue
que q(α) = 0 e da´ı que q(X) = (X − α) · q1(X) para algum q1(X) ∈ K[X].
Consequ¨entemente p(X) = (X−α)2 ·q1(X) e portanto α e´ uma raiz mu´ltipla
de p(X).
COROLA´RIO 2.1. Seja K um corpo algebricamente fechado. p(X) ∈
K[X] na˜o tem ra´ızes mu´ltiplas em K se, e somente se, (p(X), p′(X)) = 1.
Demonstrac¸a˜o: Sendo K um corpo algebricamente fechado, os polinoˆmios
p(X) e p′(X) teˆm raiz comum se, e somente se, eles teˆm um fator na˜o cons-
tante comum. O resultado segue enta˜o da Proposic¸a˜o 3.
COROLA´RIO 2.2. Se car (K) = 0 e se p(X) ∈ K[X] e´ irredut´ıvel, enta˜o
p(X) na˜o pode ter raiz mu´ltipla em nenhuma extensa˜o F de K.
Demonstrac¸a˜o: Note inicialmente que se car (K) = 0 e p(X) e´ irredut´ıvel
enta˜o p′(X) 6= 0 e (p(X), p′(X)) = 1. A primeira destas asserc¸o˜es segue da
Proposic¸a˜o 2. Para a segunda, suponha por absurdo que (p(X), p′(X)) 6= 1,
logo p(X) e p′(X) teˆm um fator na˜o constante em comum e como p(X) e´
irredut´ıvel este fator comum e´ um associado de p(X), o que e´ imposs´ıvel pois
gr(p′(X)) < gr(p(X)). Como (p(X), p′(X)) = 1 em K[X], o mesmo ocorre
em F [X], logo pelo Corola´rio 1, p(X) na˜o tem ra´ızes mu´ltiplas em F .
PROPOSIC¸A˜O 2.4. Seja p(X ∈ K[X]) com car(K) = 0. Enta˜o α e´ raiz
de multiplicidade m ≥ 1 de p(X) se, e somente se, α e´ raiz de p(X) e raiz
de multiplicidade m− 1 de p′(X).
44 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE
Demonstrac¸a˜o: Por um lado, suponha que α seja uma raiz de multiplici-
dade m de p(X). Temos enta˜o que
p(X) = (X − α)mq(X), com q(X) ∈ K[X] e q(α) 6= 0.
Segue enta˜o que p′(X) = m(X−α)m−1q(X)+(X−α)mq′(X), portanto temos
claramente que (X − α)m−1 | p′(X).
Vamos provar que (X −α)m na˜o divide p′(X). De fato, se (X −α)m | p′(X),
enta˜o (X − α)m | m(X − α)m−1q(X), logo (X − α) | mq(X) e portanto
mq(α) = 0. Como car(K) = 0, segue que q(α) = 0 o que e´ uma contradic¸a˜o.
Reciprocamente, suponha que p(α) = 0 e que α e´ raiz de multiplicidade
m− 1 de p′(X). Seja r a multiplicidade da raiz α de p(X), logo r≥ 1 e pela
primeira parte da demonstrac¸a˜o, α e´ raiz de multiplicidade r− 1 de p′(X) e
portanto r − 1 = m− 1 e portanto r = m.
Dado um polinoˆmio p(X) ∈ K[X] podemos definir as suas derivadas ite-
radas do seguinte modo:
p′′(X) e´ a derivada de p′(X), ou seja p′′(X) = D1X(D
1
X(p(X)),
p′′′(X) e´ a derivada de p′′(X), ou seja p′′′(X) = D1X(D
1
X(D
1
X(p(X))),
...
...
...
p(n)(X) e´ a derivada de p(n−1)(X), ou seja p(n)(X) = D1X(D
(n−1)
X (p(X)).
COROLA´RIO 2.3. Seja car (K) = 0 e p(X ∈ K[X]). Um elemento α ∈ K
e´ raiz de multiplicidade m ≥ 2 de p(X) se, e somente se,
p(α) = p′(α) = · · · = p(m−1)(α) = 0 e p(m)(α) 6= 0.
Demonstrac¸a˜o: Por um lado, se α e´ raiz de multiplicidade m de p(X),
enta˜o α e´ raiz de multiplicidade m− 1 de p′(X), logo raiz de multiplicidade
(m − 2) de p′′(X), etc. ate´ concluirmos que α e´ raiz de multiplicidade 1 de
p(m−1)(X) e portanto p(m) 6= 0. Segue enta˜o que
p(α) = p′(α) = · · · = p(m−1)(α) = 0 e p(m)(α) 6= 0.
Reciprocamente, sendo p(m−1)(α) = 0 e p(m)(α) 6= 0 tem-se que α e´ raiz de
multiplicidade 1 de p(m−1)(X) e portanto de multiplicidade 2 de p(m−1)(X)
2.1. DERIVADA PRIMEIRA 45
e assim sucessivamente ate´ concluirmos que α e´ raiz de multiplicidade m de
p(X).
Exemplo 1 : A derivac¸a˜o permite obter algumas fo´rmulas interessantes.
Por exemplo, derivando ambos os membros a identidade:
(X + 1)n =
(
n
0
)
Xn +
(
n
1
)
Xn−1 + · · ·+
(
n
n− 1
)
X +
(
n
n
)
,
e fazendo X = 1 obtemos a igualdade
n · 2n−1 = n
(
n
0
)
+ (n− 1)
(
n
1
)
+ · · ·+
(
n
n− 1
)
.
Exemplo 2 : Na Proposic¸a˜o 5, Cap´ıtulo 1, demos a fo´rmula de interpolac¸a˜o
de Lagrange. Recordando, e´ o u´nico polinoˆmio de grau menor do que n que
assume o valor bi quando avaliado em ai onde os ai
′s sa˜o dois a dois distintos
e os b′is na˜o sa˜o todos nulos, i = 1, . . . , n e´ o polinoˆmio
p(X) =
n∑
i=1
bi
(X − a1) . . . (X − ai−1) · (X − ai+1) · · · (X − an)
(ai − a1) · · · (ai − ai−1) · (ai − ai+1) · · · (ai − an)
Podemos reescrever esta fo´rmula, usando derivadas, do seguinte modo mais
sinte´tico:
p(X) =
n∑
i=1
f(X)
(X − ai) ·
bi
f ′(ai)
, onde f(X) = (X − a1) · · · (X − an).
PROBLEMAS 2.1.
1. Ache a multiplicidade da raiz 1 do polinoˆmio
X5 − 3X4 + 5X3 − 7X2 + 6X − 2.
Determine as demais ra´ızes.
2. Ache as ra´ızes da equac¸a˜o X3−(3+√2)X2+(1+2√2)X+(1+√2) = 0,
sabendo-se que esta tem uma raiz dupla.
46 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE
3. Mostre que o polinoˆmio X(Xn−1 − nan−1) + an(n − 1) e´ divis´ıvel por
(X − a)2, mas na˜o e´ divis´ıvel por (X − a)3, onde a 6= 0 e n ≥ 2.
4. Mostre que se n ≥ 3, enta˜o (1−X)3 divide o polinoˆmio
(1−Xn)(1 +X)− 2nXn(1−X)− n2Xn(1−X)2
5. Determine os poss´ıveis valores de m, p e q em C de modo que o po-
linoˆmio X6 +mX4 + 10X3 + pX + q tenha uma raiz qua´drupla em C.
Determine, neste caso, as ra´ızes do polinoˆmio.
6. Seja ξ 6= 1 uma raiz n-e´sima da unidade e seja
p(X) = Xn−1 +Xn−2 + · · ·+X + 1.
Mostre que:
(a) p′(ξ) = n
ξ(ξ−1) .
(b) ξ + 2ξ2 + · · ·+ (n− 1)ξn−1 = n
ξ−1 .
7. (a) Mostre que o resto da divisa˜o de um polinoˆmio p(X) ∈ K[X] por
t((X) = (X − x1) · (X − xn), onde x1, . . . , xn ∈ K sa˜o dois a dois
distintos, e´
n∑
i=1
t(X)
(X − xi)
p(xi)
t′(xi)
(Sugesta˜o: Use a fo´rmula do Exemplo 2)
(b) Ache o resto da divisa˜o de X9+3X7+4X6+X4−X3+2X2−X+1
por X(X + 1)(X − 1)
8. Deˆ um contraexemplo para o Corola´rio 1 quando K = R.
9. Deˆ um contraexemplo para a Proposic¸a˜o 4 quando car(K) > 0.
10. (a) Mostre que
(X i)(n) =
{
0, se i < n
i(i− 1) · · · (i− n+ 1)X i−n, se i ≥ n.
(b) Mostre que se n ≥ car(K), enta˜o (p(X))(n) = 0 ∀ p(X) ∈ K[X].
(c) Conclua que se car(K) = 2, enta˜o
(p(X))(n) = 0 ∀ p(X) ∈ K[X], ∀ n ≥ 2.
2.2. DIVISA˜O POR X − A 47
2.2 Divisa˜o por X − a
Frequ¨entemente dividiremos polinoˆmios por X − a, por isso desenvolve-
mos um me´todo pra´tico para efetuar tais diviso˜es.
Seja p(X) = a0 + a1X + · · · + anXn ∈ A[X], vamos usar o me´todo dos
coeficientes a determinar para achar q(X) = b)+b1X+· · ·+bn−1Xn−1 ∈ A[X]
e r ∈ A tais que
p(X) = (X − a) · (b0 + b1X + · · ·+ bn−1Xn−1) + r
= bn−1Xn + (bn−2 − a · bn−1)Xn−1 + (bn−3 − a · bn−2)Xn−2 + · · ·+
+ (b0 − a · b1)X + r − a · b0
Igualando os coeficientes correspondentes, obte´m-se
bn−1 = an
bn−2 = an−1 + a · bn−1
bn−3 = an−2 + a · bn−2
...
b0 = a1 + a · b1
r = a0 + a · b0
Destas igualdades, deduz-se o seguinte dispositivo pra´tico:
an an−1 an−2 · · · a1 a0
a an an−1 + a · bn−1 an−2 + a · bn−2 · · · a1 + a · b1 a0 + a · b0
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
bn−1 bn−2 bn−3 · · · b0 r = p(a)
Exemplo 1 : Dividamos p(X) = 8X6 − 7X5 + 4X4 + X3 − 3X2 + 1 por
X + 2
8 −7 4 1 −3 0 1
−2 8 −23 50 −99 195 −390 781
48 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE
Portanto q(X) = 8X5−23X4+50X3−99X2+195X−390 e r = p(−2) = 781.
Exemplo 2 : Dividamos p(X) = X5 + 4X4 + 2X2 +X + 1 por 2X + 1
1 4 0 2 1 1
1
2
1 9
2
9
4
25
8
41
16
73
32
Portanto
p(X) =
(
X − 1
2
)
·
(
X4 +
9
2
X3 +
9
4
X2 +
25
8
X +
41
16
)
+
73
32
,
segue da´ı que
p(X) = (2X − 1) ·
(
1
2
X4 +
9
4
X3 +
9
8
X2 +
25
16
X +
41
32
)
+
73
32
,
logo
q(X) =
1
2
X4 +
9
4
X3 +
9
8
X2 +
25
16
X +
41
32
e r = p
(
1
2
)
+
73
32
.
Exemplo 3 : Dividamos p(X) = Xn − an por X − a
1 0 0 · · · 0 −an
a 1 a a2 · · · an−1 0
Portanto q(X) = Xn−1+ a ·Xn−2+ a2 ·Xn−3+ · · ·+ an−1 e r = p(a) = 0.
Sejam p(X) ∈ A[X] um polinoˆmio de grau n e a ∈ A. Considere as
seguintes igualdades:
p(X) = (X − a) · q1(X) + r0
q1(X) = (X − a) · q2(X) + r1
q2(X) = (X − a) · q3(X) + r2
... =
qn−1(X) = (X − a) · qn(X) + rn−1
2.2. DIVISA˜O POR X − A 49
Por considerac¸a˜o de graus, temos que qn(X) ∈ A. Pondo rn = qn(X) e
substituindo uma equac¸a˜o na outra, no sistema acima, obtemos
p(X) = r0+ r1 · (X − a)+ r2 · (X − a)2+ · · · rn−1 · (X − a)n−1+ rn · (X − a)n.
Esta e´ a expressa˜o de p(X) em poteˆncias crescentes de (X − a). As diviso˜es
sucessivas por (X − a) nos fornecem um algoritmo pra´tico para determinar
tal expressa˜o.
Seja p(X) = a0 + a1X + a2X
2 + · · · + anXn. Obtemos r0, r1, r2, . . . , rn
como segue
an an−1 · · · a1 a0 −an
a Coeficientes de q1(X) r0
a Coeficientes de q2(X) r1
... · · · · · ·
a Coeficientes de qn(X) rn−1
a rn
Exemplo 4 : Vamos expandir X5 − 1 em poteˆncias crescentes de X − 1.
1 0 0 0 0 −1
1 1 1 1 1 1 0
1 1 2 3 4 5
1 1 3 6 10
1 1 4 10
1 1 5
1
Assim, X5−1 = 5(X−1)+10(X−1)2+10(X−1)3+5(X−1)4+(X−1)5.
Exemplo 5 : Vamos expandir p(X) = X6+4X5+7X4−3X3+X2−2X+1
em poteˆncias crescentes de X + 2.
50 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE
1 4 7 −3 1 −2 1
−2 1 2 3 −9 17 −36 73
−2 1 0 3 −15 47 −130
−2 1 −2 7 −29 105
−2 1 −4 15 10
−2 1 −6 27
−2 1 −8
1
Assim,
p(X) = 73− 130(X + 2) + 105(X + 2)2 − 59(X + 2)3+
+27(X + 2)4 − (X + 2)5 + (X + 2)6.
Sejam K um corpo, p(X) ∈ K[X] e a ∈ K. Derivando sucessivamente a
igualdade
p(X) = r0+ r1 · (X − a)+ r2 · (X − a)2+ · · · rn−1 · (X − a)n−1+ rn · (X − a)n.
temos que,
p′(X) = r1 + 2r2(X − a) + 3r3(X − a)2 + · · ·+ nrn−1(X − a)n−1
p′′(X) = 2r2 + 3 · 2r3(X − a) + 4 · 3r4(X − a)2 + · · ·
...
pi(X) = i! ri + (i+ 1) · i! ri+1(X − a) + · · ·
...
p(n)(X) = n! rn
Avaliando este polinoˆmios em a, obtemos que
r0 = p(a),
r1 = p
′(a),
r2 =
1
2!
p′′(a),
...
ri =
1
i!
p(i)(a),
...
rn =
1
n!
p(n)(a).
Portanto se car(K) = 0 ou car(K) > n, temos a fo´rmula de Taylor,
2.2. DIVISA˜O POR X − A 51
p(X) = p(a) + p′(a) · (X − a) + p
′′(a)
2!
· (X − a)2 + · · ·+ p
(n)(a)
n!
(X − a)n.
Observe tambe´m que as derivadas sucessivas p(a), p′(a), . . . , p(n)(a) po-
dem ser calculadas a partirde r0, r1, . . . , rn mediante diviso˜es sucessivas por
(X − a).
Exemplo 6 : Seja p(X) = X6+4X5+7X4− 3X3+X2− 2X +1 ∈ Q[X].
Pela discussa˜o acima e pelos ca´lculos do Exemplo 5, temos que
p(−2) = 73, p′(−2) = −130,
p′′(−2) = 1
2!
· 105105
2
, p′′′(−2) = 1
3!
· (−59) = −59
6
,
p(4)(−2) = 1
4!
· 27 = 9
8
, p(5)(−2) = 1
5!
· (−8) = −1
15
p(6)(−2) = 1
6!
= 1
720
.
PROBLEMAS 2.2.
1. Divida:
(a) −X4 + 7X3 − 4X2 por X + 3,
(b) X4 + 5X3 + 7X − 1 por X − 3,
(c) 10X3 − 2X2 + 3X − 1 por 2X − 3,
(d) X4 +X3 −X2 + 1 por 3X + 2.
2. Seja n ∈ N. Ache o quociente e o resto da divisa˜o de
(a) nXn+1 − (n+ 1)Xn + 1 por (X − 1)2,
(b) nXn+2 − (n+ 2)Xn+1 + (n+ 2)X − n por (X − 1)3.
3. Resolva a equac¸a˜o 2X3 + 3X2 − 4X − 6 = 0, sabendo-se que ela tem
uma raiz α = −3
2
.
4. Resolva a equac¸a˜o 2X4 + 5X3 + 5X2 − 2 = 0 sabendo-se que ela tem
uma α = −1 e outra raiz β = 1
2
.
5. Seja p(X) = X7 + 2¯X6 +X5 + 3¯X4 − X3 + 4¯X2 − 2¯X + 5¯ ∈ Z13[X].
Desenvolva p(X) segundo as poteˆncias crescentes de X − 1¯. Calcule
p(i)(1¯) para i = 0, 1, 2, . . . , 7.
52 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE
2.3 Derivadas de ordem superior
Seja K um corpo e seja f(X) ∈ K[[X]]. Se Y e´ uma indeterminada sobre
K[[X]], podemos considerar f(X + Y ) como elemento de K[[X]][[Y ]] e como
tal tem uma expressa˜o u´nica da forma
f(X + Y ) = f0(X) + f1(X)Y + f2(X)Y
2 + · · ·+ fm(X)Y m + · · · ,
com f0(X), f1(X), f2(X), . . . ,∈ K[[X]].
Definimos uma famı´lia infinita de operadores em K[[X]] como segue,
∀ m ∈ Z+:
DmX : K[[X]] −→ K[[X]]
f(X) 7−→ DmX f(X) = fm(X)
PROPOSIC¸A˜O 2.5. DmXX
n =
(
n
m
)
Xn−m ∀ m,n ∈ Z+.
Se f(X) =
∑∞
i=0 aiX
i ∈ K[[X]], enta˜o DmXf(X) =
∑∞
i=0 aiD
m
XX
i.
Demonstrac¸a˜o: Pela fo´rmula do binoˆmio de Newton temos que
(X + Y )n =
n∑
m=0
(
n
m
)
Xn−mY m,
de onde segue a primeira afirmac¸a˜o. A segunda afirmac¸a˜o segue da ob-
servac¸a˜o que o coeficiente de Y m em f(X + Y ) =
∑∞
i=0 ai(X + Y )
i e´ a soma,
∀ i ∈ Z+, dos coeficientes de Y m em ai(X + Y )i (que e´ igual a ai vezes o
coeficiente de Y m em (X + Y )i).
Segue imediatamente da Proposic¸a˜o 5 que DmX(K[X]) ⊂ K[X] ∀ m ∈ Z+.
TEOREMA 2.1. Sejam f(X), g(X) ∈ K[[X]] e c ∈ K. A famı´lia de
operadores (DmX )m∈Z+ possui as seguintes propriedades:
1. D0X = Id; D
1
X = derivac¸a˜o de ordem 1; D
m
Xc = 0 ∀ m ∈ N.
2. DmX(f(X) + cg(X)) = D
m
Xf(X) + cD
m
Xg(X) ∀ m ∈ Z+.
3. DmX(f(X) · cg(X)) =
∑m
i=0D
i
Xf(X) ·Dm−iX g(X) ∀ m ∈ Z+.
2.3. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 53
4. DmX ◦DnX =
(
m+ n
n
)
Dm+nX ∀ m ∈ Z+.
Demonstrac¸a˜o:
1. Da Proposic¸a˜o 5 temos que D0XX
n = Xn e D1XX
n = nXn−1. Da
segunda afirmac¸a˜o da Proposic¸a˜o 5 temos que D0Xf(X) = f(X) e
D1Xf(X) = f
′(X). A igualdade DmXc = 0 ∀ m ∈ N segue direta-
mente da definic¸a˜o.
2. Segue facilmente da Proposic¸a˜o 5.
3. Denotando por (f · g)(X + Y ) a se´rie de poteˆncias em K[[X]][[Y ]]
correspondente a f(X)·g(X) onde se substitui X porX+Y , o resultado
segue da seguinte igualdade em K[[X]][[Y ]]:
(f · g)(X + Y ) = f(X + Y ) · g(X + Y ).
4. Pela Proposic¸a˜o 5, DmXf(X) e´ calcula´vel por linearidade a partir dos
valores de DmXX
i, i ∈ Z+. Portanto para provar (4) basta verificar que
vale a igualdade quando os dois operadores sa˜o aplicados a X i, para
todo i ∈ Z+. De fato,
DmX ◦DnXX i = DmX
(
i
n
)
X i−n =
(
i
n
)
·
(
i
m+ n
)
e (
m+ n
n
)
Dm+nX X
i =
(
m+ n
n
)
·
(
i
m+ n
)
X i−(m+n)
Uma verificac¸a˜o direta mostra que(
i
n
)
·
(
i− n
m
)
=
(
m+ n
n
)
·
(
i
m+ n
)
,
o que prova o resultado.
Os operadores DmX permitem generalizar para cacater´ıstica positiva al-
guns dos resultados da Sec¸a˜o 1 provados para car(K) = 0.
Usaremos a seguinte notac¸a˜o, se α ∈ K, f(X) ∈ K[X] e m ∈ Z,
DmXf(α) = Avα(D
n
Xf(X))
54 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE
onde Avα e´ a func¸a˜o avaliac¸a˜o introdizida no Cap´ıtulo 1, Problema 1.8.
O pro´ximo resultado e´ uma generalizac¸a˜o do Corola´rio da Proposic¸a˜o 4.
PROPOSIC¸A˜O 2.6. Seja p(X) ∈ K[X]. Um elemento α ∈ K e´ raiz de
multiplicidade m ≥ 2 de p(X) se, e somente se,
p(α) = D1Xp(α) = · · ·Dm−1X p(α) = 0 e DmXp(α) 6= 0.
Demonstrac¸a˜o: Na expressa˜o
f(X + Y ) = f(X) +D1Xf(X)Y + · · ·+DmXf(X)Y m + · · · ,
substituindo X por α e Y por (X − α), temos que
f(X) = f(α) +D1Xf(α)(X − α) + · · ·+DmXf(α)(X − α)m + · · · .
O resultado segue imediatamente da expressa˜o acima.
Do Teorema 1 (4) e por induc¸a˜o, segue facilmente que
(D1X)
m = D1X ◦D1X ◦ · · · ◦D1X = m! DmX .
Portanto, se car(K) = 0, temos que DmX =
1
m!
(D1X)
m, ∀ m ∈ Z+ e con-
sequ¨entemente, os operadores DmX sa˜o todos determinados por D
1
X atrave´s
de iterac¸o˜es.
Se car(K) = p > 0, o quadro e´ bem diferente. Por exemplo, se p < m,
enta˜o (D1X)
m = 0, sem que DmX seja nulo. Portanto as iterac¸o˜es de D
1
X na˜o
sa˜o suficientes para determinar todos os operadores DmX . Afim de esclarecer
a situac¸a˜o temos o seguinte resultado:
TEOREMA 2.2. Seja K um corpo de caracter´ıstica p > 0 e seja m ∈ Z.
Considere a expansa˜o p-a´dica de m, isto e´, m =
∑s
i=0mip
i, com 0 ≤ mi < p.
Tem-se que
DmX =
1
m0! · · ·ms! (D
ps
X )
ms ◦ · · · ◦ (D1X)m0 .
2.3. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 55
Demonstrac¸a˜o: Se 0 ≤ 1 < p e r ∈ Z, temos que (DprX )l = l! Dlp
r
X . Isto
segue do Teorema 1 (4), induc¸a˜o sobre l e a congrueˆncia
(
ips
ps
)
≡ i mod p
(cf. I-6, Problema 1.16). Agora usando argumentos semelhantes temos que
Dmip
i
X ◦Dm0+m1p+···+mi−1p
i−1
X =
=
(
m0 + · · ·mipi
m0 + · · ·+mi−1pi−1
)
D
m0+···+mi−1pi−1
X = D
m0+···+mipi
X .
Da´ı segue que
(Dp
s
X )
ms ◦ · · · ◦ (D1X)m0 = m0! · · ·ms! Dmsp
s+···+m0
X = m0! · · ·ms!DmX ,
o que prova o resultado.
O Teorema 2 em particular nos mostra que os operadores DmX sa˜o gerados
por composic¸o˜es dos operadores D1X , D
p
X , D
p2
X , . . . , D
ps
X , . . .
No ca´lculo diferencial em caracter´ıstica p e´ fundamental compararmos os
desenvolvimentos p-a´dicos de dois inteiros. Sejam
m = m0 +m1p
1 + · · ·+msps, 0 ≤ mi < p, i = 0, 1, . . . , s
e n = n0 + n1p
1 + · · ·+ nsps, 0 ≤ ni < p, i = 0, 1, . . . , s
Dizemos que n e´ p-adicamente maior ou igual do que m , escrevendo,
n≥pm, se, e somente se, ni ≥ mi, ∀ i = 0, 1, . . . , s.
Da congrueˆncia fundamental (I-6, Problema 1.16) sabemos que(
n
m
)
≡
(
n0
m0
)
· · ·
(
ns
ms
)
mod p,
e, portanto, (
n
m
)
6= 0 mod p ⇔ n≥pm.
Os operadores DmX foram introduzidos por H. Hasse em 1936, sendo fun-
damentais no desenvolvimento da Geometria Alge´brica em caracter´ıstica po-
sitiva. Estes operadores, nesta mesma de´cada, foram extensivamente usa-
dos por F. K. Schmidt na sua teoria de pontos de Weierstrass para curvas
alge´bricas definidas sobre corpos de caracter´ıstica positiva e por isto sa˜o usu-
alemnte chamados de operadores diferenciais de Hasse-Schmidt. Fato curioso
56 CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O E MULTIPLICIDADE
e´ que estes operadores tenham sido independentemente redescobertos entre
1948 e 1950 por J. Dieudonne´ que os chamou de semi-derivac¸o˜es.
PROBLEMAS 2.3.
1. Sejam m,n ∈ Z+. Mostre que DmXXn 6= 0 ⇔ n≥pm.
2. Sejam f(X) ∈ K[X] com car(K) = p > 0 e m,n ∈ Z+. Mostre que se
m≥pn e DnXf(X) = 0 enta˜o DmXf(X) = 0.
3. Seja car(K) = p e seja s ∈ Z+, determine
Ker (Dp
s
X ) = {f(X) ∈ K[X] | Dp
s
X f(X) = 0}.
4. Seja f(X) ∈ K[T ] com car(K) = p > 0 e seja q uma poteˆncia de p.
Mostre que
DnXf(X
q) =
 (D
j
Tf(T )(X
q)), se n = jq
0, se n 6= 0 mod q
onde (DjTf(T ))(X
q) e´ o polinoˆmio que se obte´m substuindo T por Xq
no polinoˆmio DjTf(T ).
Cap´ıtulo 3
POLINOˆMIOS COM
COEFICIENTES NUM DFUDecidir se um polinoˆmio e´ irredut´ıvel ou na˜o em Q[X] e´ bem mais com-
plicado do que decidir se e´ ou na˜o irredut´ıvel em C[X] ou em R[X]. Mostra-
remos ainda neste cap´ıtulo que existem polinoˆmios irredut´ıveis de todos os
graus em Q[X]. Um primeiro passo no sentido de estudar a irredutibilidade
de um polinoˆmio em Q[X] sera´ de tentar determinar as suas ra´ızes em Q.
Como esta teoria se desenvolve naturalmente em situac¸a˜o mais geral, e´ neste
contexto que nos colocamos.
Em todo este cap´ıtulo D sera´ um D.F.U. e K o seu corpo de frac¸o˜es.
3.1 Ra´ızes em K de polinoˆmios em D[X ]
TEOREMA 3.1. Sejam D um D.F.U. e K o seu corpo de frac¸o˜es. Sejam
ainda p(X) = a0 + a1X + · · ·anXn ∈ D[X] e r, s ∈ D primos entre si com
s 6= 0. Se r
s
e´ uma raiz de p(X), enta˜o r | a0 e s | an.
Demonstrac¸a˜o: Sendo r
s
raiz de p(X), tem-se que
a0 + a1
r
s
+ · · ·+ an−1 r
n−1
sn−1
+ an
rn
sn
= 0.
Multiplicando ambos os membros desta igualdade por sn segue que
sna0 + s
n−1ra1 + · · · srn−1an−1 + rnan = 0.
57
58 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU
Esta u´ltima igualdade pode ser reescrita nas duas formas seguintes:
s(sn−1a0 + s
n−2ra1 + · · ·+ rn−1an−1) = −rnan (3.1)
e
r(rn−1an + srn−2an−1 + · · ·+ sn−1a1) = −sna0 (3.2)
Como r e s sa˜o primos entre si, o mesmo ocorre com r e sn e para sn e rn.
Como de (5) e (6) temos que s | rnan e r | sna0, segue que s | an e r | a0
(veja I-4, Problema 3.2 (i)).
COROLA´RIO 3.1. Se p(X) ∈ D[X] e´ moˆnico, enta˜o toda raiz de p(X)
em K, encontra-se em D e divide a0 = p(0).
Exemplo 1 : Determinaremos todas as ra´ızes racionais do polinoˆmio se-
guinte: p(X) = 4X3 + 11X2 + 45X − 12 ∈ Z[X].
De acordo com o Teorema 1 toda raiz racional r
s
de p(X) com r, s ∈ Z[X]
e primos entre si e´ tal que r | 12 e s | 4. Portanto as possibilidades sa˜o
as seguintes: r = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 e supondo sem perda de
generalidade s > 0, s = 1, 2, 4. Em princ´ıpio ter´ıamos 36 valores poss´ıveis
para r
s
a serem testados. Eliminando as repetic¸o˜es, ficamos reduzidos a 20
possibilidades:
r
s
∈
{
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, ±1
2
, ±3
2
, ±1
4
, ±3
4
}
.
Apo´s algumas tentativas, podendo ser numerosas, chega-se a` conclusa˜o que
p(X) possui uma u´nica raiz racional que e´ 1
4
.
O Exemplo acima nos sugere que pode ser muito trabalhoso determinar
as ra´ızes racionais de um polinoˆmio. Existem va´rios crite´rios para excluir
valores que na˜o sa˜o ra´ızes.
O me´todo que descreveremos a seguir e´ particularmente simples e bas-
tante eficiente.
3.1. RAI´ZES EM K DE POLINOˆMIOS EM D[X] 59
Seja p(X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn ∈ D[X]. Pondo X = Yan obte´m-se,
p
(
Y
an
)
= a0 + a1
Y
an
+ · · ·+ an Y nann =
= 1
an−1n
(a0a
n−1
n + a1 · an−2n Y + · · ·+ Y n) =
= 1
an−1n
q(Y ).
As ra´ızes em K (logo em D) do polinoˆmio moˆnico q(Y ) ∈ D[Y ], quando
divididas por an nos fornecem as ra´ızes em K de p(X). Podemos enta˜o nos
limitar aos polinoˆmios moˆnicos com coeficientes em D.
Sejam q(Y ) ∈ D[X], α ∈ D uma raiz de q(Y ) e c ∈ D um elemento
qualquer. Como q(Y ) = (Y − α) · t(Y ) com t(Y ) ∈ D[Y ], temos que
q(c) = (c− α) · t(c), e portanto (c− α) | q(c).
Esta observac¸a˜o nos fornece o seguinte me´todo de exclusa˜o:
Para achar as ra´ızes em K de um polinoˆmio p(X) ∈ D[X], basta achar
as ra´ızes em D do polinoˆmio moˆnico q(Y ) ∈ D[Y ] e divid´ı-las por an. Pelo
corola´rio do Teorema 1, os candidatos a ra´ızes em K (e portanto em D) de
q(Y ) sa˜o o divisores do coeficiente do seu termo independente a0a
n−1
n .
Escolhe-se um candidato c a raiz em D de q(Y ) e calcula-se q(c) usando o
me´todo pra´tico de divisa˜o de q(Y ) por Y −c. Dois casos podem se apresentar:
1. Um sucesso, isto e´, q(c) = 0. Tem-se enta˜o uma raiz c de q(Y ) e a
procura das outras ra´ızes de q(Y ) se reduz a` procura das ra´ızes do
polinoˆmio moˆnico.
2. Um insucesso, isto e´, q(c) 6= 0. Deve-se excluir c dentre os candidatos a
ra´ızes de q(Y ). Pela observac¸a˜o feita acima, devem ser exclu´ıdos dentre
os candidatos a raiz em D os elementos α tais que c − α na˜o divide
q(c). Isto transforma o fracasso em algo extremamente u´til.
Daremos a seguir um exemplo da aplicac¸a˜o deste me´todo.
Exemplo 2 : Seja p(X) = X4−X3−13X2+16X−48. Procuremos as ra´ızes
racionais deste polinoˆmio. Como o polinoˆmio ja´ e´ moˆnico na˜o necessitamos
efetuar nenhuma transformac¸a˜o nele. As ra´ızes racionais de p(X) devem ser
procuradas entre os inteiros que dividem −48 que sa˜o:
60 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU
±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±3, ±6, ±12, ±24, ±48.
Calculemos p(1) e p(−1):
1 −1 −13 16 −48
1 1 0 −13 3 −45 = p(1)
−1 1 −2 −11 27 −75 = p(−1)
±1 devem ser exclu´ıdos pois na˜o sa˜o ra´ızes. Se α fosse raiz, dever´ıamos
ter (1 − α) | p(1) e (−1 − α) | p(1). Isto nos permite excluir os seguintes
valores:
±8, ±16, ±3, ±6, ±12, ±24, ±48.
Resta somente testar os seguintes candidatos: ±2, ±4. Calculemos os
valores p(2) e p(−2):
1 −1 −13 16 −48
2 1 2 −11 −6 −60 = p(2)
−2 1 −3 −7 30 −108 = p(−2)
±2 devem ser exclu´ıdos pois na˜o sa˜o ra´ızes. Se α fosse raiz, dever´ıamos
ter (2 − α) | p(2) e (−2 − α) | p(2). Isto na˜o nos permite excluir nenhum
outro candidato. Resta enta˜o verificar se ±4 sa˜o ra´ızes de p(X). De fato,
1 −1 −13 16 −48
4 1 3 −1 12 0
−4 1 −1 3 0
Portanto 4 e −4 sa˜o ra´ızes de p(X). Temos que
p(X) = (X − 4)(X + 4)(X2 −X + 3).
Isto nos permite achar todas as ra´ızes de p(X) que sa˜o
4, −4, 1
2
+
√
11
2
i e
1
2
−
√
11
2
i.
3.1. RAI´ZES EM K DE POLINOˆMIOS EM D[X] 61
Exemplo 3 : Sejam an ∈ N tais que a na˜o e´ poteˆncia n-e´sima de um
nu´mero natural. Vamos mostrar que n
√
a na˜o e´ um nu´mero racional. De
fato, pondo b = n
√
a, temos que b e´ raiz do polinoˆmio Xn−a. Se b fosse raci-
onal, pelo Corola´rio do Teorema 1, b seria inteiro e portanto a seria poteˆncia
n-e´sima do nu´mero natural b, o que e´ uma contradic¸a˜o.
Exemplo 4 : Seja p(X) = X5 + 4X4 + 2X3 − 13X2 − 19X − 5. Vamos
determinar, se existirem, as ra´ızes em Z[i]. Pelo Teorema 1, tais ra´ızes sa˜o
divisores de 5 em Z[i], que sa˜o ±1, ±(1 ± 2i) e ±(1 ± 2i). Dentre estes
elementos basta verificar se sa˜o ra´ızes os nu´meros ±1, 1+2i, −1−2i, −2+ i
e 2 − i pois os outros sa˜o conjugados destes (lembre-se que p(α) = 0 se, e
somente se p(α¯) = 0). Testando estes valores, verifica-se que:
p(±1) 6= 0, p(1 + 2i) 6= 0, p(−1− 2i) 6= 0, p(−2 + i) = 0 e p(2− i) = 0.
Logo as ra´ızes de p(X) em Z[i] sa˜o −2 + i e −2− i.
PROBLEMAS 3.1.
1. Ache as ra´ızes racionais dos seguintes polinoˆmios:
a) X4 −X3 −X2 + 19X − 42 b) X3 − 9X2 + 22X − 24
c) 2X3 −X2 + 1 d) 10X3 + 19X2 − 30X + 9
e) 6X5 +X4 − 14X3 + 4X2 + 5X − 2
2. Determine se e´ redut´ıvel ou na˜o em Q[X] cada polinoˆmio abaixo:
a) 2X2 − 3X + 1 b) X2 − 2
c) X2 +X + 1 d) 4X3 + 3X2 + 3X − 1
e) X3 + 5X2 + 4X + 1 f) X3 + 6X2 + 8X − 1
3. (a) Mostre que α =
√
2 +
√
3 e´ raiz do polinoˆmio X4 − 10X2 + 1 e
prove que α e´ irracional.
(b) Mostre que
√
5 +
√
7 e´ irracional.
(c) Mostre que 3
√
2−√3 e´ irracional.
4. (a) Mostre que cos20◦ satisfaz a equac¸a˜o 8X3 − 6X − 1 = 0.
(Sugesta˜o: Veja I-9, Problema 3.5).
62 CAPI´TULO 3. POLINOˆMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU
(b) Prove que cos20◦ e´ irracional.
5. Determine os inteiros t para os quais a equac¸a˜o
X4 − 3X3 + tX2 − 4X + t− 1 = 0
tenha uma raiz racional.
6. (a) Seja p(X) ∈ Z[X], a, b ∈ Z e m ∈ N. Mostre que se a ≡ b mod m
enta˜o p(a) ≡ p(b) mod m.
(b) Seja {r1, r2, . . . , rm} um sistema completo de res´ıduos mo´dulo m.
Mostre que, se p(X) tem uma raiz em Z, enta˜o pelo menos um
dos seguintes nu´meros e´ divis´ıvel por m: p(r1), p(r2), . . . , p(rm).
(c) Prove que se p(X) ∈ Z[X] e se p(0) e p(1) sa˜o ı´mpares, enta˜o p(X)
na˜o tem ra´ızes inteiras.
(d)

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