Aula 2 e 3 mate

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Introdução
Nesta aula falaremos sobre a potenciação, radiciação, intervalos numéricos e fatoração.
Bons estudos!
Potenciação e radiciação de números fracionários
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo a seguir:
Potenciação de Radicais
Observando as potências, temos que:
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente, conforme o exemplo abaixo:
Divisão de Radicais
Segundo as propriedades dos radicais, temos que:
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais. Veja a seguir:
Lembre-se:
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetuar a operação. Observe:
Racionalização de denominadores
Observe que a fração equivalente  possui um denominador racional.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
Atenção
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.
Veja alguns exemplos dos principais casos de racionalização:
Potência com expoente racional
Observe as seguintes igualdades:
Igualmente, podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.
Resumindo, podemos transformar um radical com expoente fracionário. Veja a seguir:
Propriedade das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:
Veja um exemplo:
Intervalos
Os intervalos podem ser:
Existem ainda os intervalos infinitos:
Fatoração
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Vejamos a aplicação desse conceito com a decomposição do número 24 num produto:
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Saiba mais
A fatoração do número 24 corresponde à decomposição de 24 em um produto de fatores primos. Então, a fatoração de 24 = 23 x 3
A fatoração de um número natural, maior que 1, é a sua decomposição em um produto de fatores primos. A seguir, veja as regras para a fatoração.
Regra para a fatoração
Um dispositivo prático para fatorar um número é mostrado abaixo.
A figura mostra a fatoração do número 630.
Determinação dos divisores de um número
Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
1º
Decompomos o número em fatores primos;
2º
Traçamos uma linha e escrevemos o um no alto, porque ele é divisor de qualquer número;
3º
Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;
4º
Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
Portanto, os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Fatoração de expressões matemáticas
Uma expressão matemática está fatorada quando é escrita na forma de uma multiplicação.
Casos de fatoração
Simplificação
Podemos simplificar uma fração quando o numerador e o denominador estiverem fatorados e apresentarem pelo menos um fator comum. Veja alguns exemplos:
Atividades
1 – O conjunto K abaixo é representado por meio de uma propriedade característica dos seus elementos.
Dadas as opções:
Assinale a correta:
A
B
C
D
E
Questão 2: Qual o conjunto solução da inequação -7 < 3𝑥 −1< 2?
Dadas as opções:
Assinale a correta:
A
B
C
D
E
Aula 3
Introdução
Nesta aula, aprenderemos equações e inequações do 1º grau com e sem variáveis.
Equações de 1º grau (com uma variável)
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual".
Alguns exemplos de equações (sentenças abertas):
Atenção
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta);
x - 5 < 3 (Não é igualdade);
82 + 35 - 7 (não é sentença aberta, nem igualdade).
Equação geral do primeiro grau
A sentença que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e a que sucede, 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Raízes de uma equação
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados de raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:
Vamos fazer um exercício!
Verifique quais dos elementos do conjunto A são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade!
GABARITO
Para x = 0 na equação x - 5 = 0 temos: 0 - 5 = 0 => -5 = 0. (falso)
Para x = 1 na equação x - 5 = 0 temos: 1 - 5 = 0 => -4 = 0. (falso)
Para x = 2 na equação x - 5 = 0 temos: 2 - 5 = 0 => -3 = 0. (falso)
Para x = 3 na equação x - 5 = 0 temos: 3 - 5 = 0 => -2 = 0. (falso)
Para x = 4 na equação x - 5 = 0 temos: 4 - 5 = 0 => -1 = 0. (falso)
Para x = 5 na equação x - 5 = 0 temos: 5 - 5 = 0 => 0 = 0. (verdadeiro)
Para x = 6 na equação x - 5 = 0 temos: 6 - 5 = 0 => 1 = 0. (falso)
Verificamos que 5 é raiz da equação x – 5 = 0, logo V = {5}
GABARITO
Para x = -1 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (falso)
Para x = 0 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (falso)
Para x = 1 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (falso)
Para x = 2 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (falso)
A equação 2x – 5 = 1 não possui raiz em A; logo V = Ø.
Resolução de uma equação
Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo).
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø. Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a = 0 e b ≠ 0.
Saiba mais
Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.
Sistema linear de equações do 1º grau
Uma equação do 1º grau é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Poderá ter mais do que uma incógnita.
Um sistema de equações do 1º grau tem duas incógnitas, por exemplo:
Entendendo na prática!
Seja o sistema de duas equações:
2 x + 3 y = 24
3 x - 2 y = 23
Para resolver este sistema de equações, temos que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente ambas as equações.
Para isso, vamos utilizar o método de substituição. Veja a seguir.
Método de substituição
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na ideia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e aplicar o resultado à outra equação. Para entender o método, consideremos o sistema:
Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:
Substituímos entãoo valor de x na segunda equação 3x-2y=23:
Inequações
Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma desigualdade, diferente da equação que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. Portanto, inequação do 1º:
Entendendo na prática!
1 - Vamos resolver a inequação 4(x + 1) – 5 ≤ 2(x + 3): (a solução será representada por S).
2 – Vamos resolver as inequações simultâneas:
1 ≤ 2x + 3 < x + 5 (são duas inequações simultâneas)
Atenção
Ao dividirmos ambos os membros por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte.
Atividades
Resolva as equações:
1 – O valor de x na equação 2x + 10 = 0 é:
10
5
-5
-10
8
2 – Se x – y = 2 (x – y), sendo x dependente de y, então y = ?
2x
4x
x/2
x
3x
1
2
3
4
6