Logica Matematica Aula 09

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Lógica Matemática
Denise Candal
Aula 9
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Sentença Aberta
Chama-se sentença aberta em A uma expressão p(x) tal que p(a) é falsa (F) ou verdadeira (V) para todo aA , isto é, p(x) é uma sentença aberta em A se e, somente se, p(x) torna-se uma proposição (V ou F) todas as vezes que se substitui a variável x por qualquer elemento a do conjunto A.
Exemplos: x + 1 > 5
 x +2 =10
 x é multiplo de 4
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Conjunto Universo
O conjunto A recebe o nome de conjunto-universo (universo ou dominio). 
 
© Rastan | Dreamstime.com
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Conjunto Verdade
Chamamos de conjunto verdade de uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o conjunto de todos os elementos tais que p(a) é uma proposição verdadeira.
Exemplo: 
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Quantificador Universal
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A (A) e o seu conjunto verdade.
Quando todos os elementos de A satisfazem a p(x), podemos dizer que para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira, ou ainda, qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira.
 
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A sentença aberta p(x) não tem valor lógico, a menos que se atribua valor a x. 
No entanto, a sentença aberta p(x) com o símbolo , antes dela, torna-se uma proposição, tendo portanto um valor lógico (V ou F).
O símbolo  , referido a variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição (V ou F). 
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Quantificador Universal 
Ao operador lógico  damos o nome de quantificador universal. 
 
© Dave Bredeson | Dreamstime.com
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Quantificador Existencial
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A, (A) e o seu conjunto verdade.
 
Quando Vp não é vazio, então um elemento, pelo menos, do conjunto A satisfaz a sentença aberta p(x), e podemos afirmar:
 
“Existe pelo menos um xA tal que p(x) é verdadeira”
“Para algum xA, p(x) é verdadeira”
“Existe xA tal que p(x)”
“Para algum xA, p(x)”
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Quantificador Existencial
Simbolicamente:
“Existe pelo menos um xA tal que p(x) é verdadeira”
“Para algum xA, p(x) é verdadeira”
“Existe xA tal que p(x)”
“Para algum xA, p(x)”
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A sentença aberta p(x) não tem valor lógico, a menos que se atribua valor a x. No entanto, a sentença aberta p(x) com o símbolo , antes dela, torna-se uma proposição, tendo portanto um valor lógico (V ou F).
O símbolo, referido a variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição (V ou F). 
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Quantificador Existencial
Ao operador lógico  damos o nome de quantificador existencial. 
© Franz Pfluegl | Dreamstime.com
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A={3,5,7} e p(x)= x é primo
A={3,4,5} e p(x)= x é par
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Quantificador de Existência 
e Unicidade
Existe um e um só tal que p(x).
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Negação de Quantificador
Negação de proposição com quantificador universal: 
 
Negação de proposição com quantificador existencial: 
 
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Escreva a frase abaixo utilizando linguagem lógica com quantificadores. A seguir negue a proposição formada e retorne a linguagem corrente.
Toda pessoa fala francês.
http://upload.wikimedia.org/
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Escreva a frase abaixo utilizando linguagem lógica com quantificadores. A seguir negue a proposição formada e retorne a linguagem corrente.
Toda pessoa fala francês. x (p(x)) 
~(x (p(x))) Ficamos com x(~p(x))
Existe uma pessoa que não fala francês. 
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Escreva a frase abaixo utilizando linguagem lógica com quantificadores. A seguir negue a proposição formada e retorne a linguagem corrente.
Existe um planeta que 
é habitável.
© Haywiremedia | Dreamstime.com
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Escreva a frase abaixo utilizando linguagem lógica com quantificadores. A seguir negue a proposição formada e retorne a linguagem corrente.
Existe um planeta que é 
habitável. x (p(x)) 
~( x (p(x))) 
Ficamos com x(~p(x))
Todo planeta não é
habitável. 
© Haywiremedia | Dreamstime.com
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Negativa com dois quantificadores
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Negativa com dois quantificadores
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Conjuntos Numéricos
Lógica Matemática
Denise Candal
Atividade 9
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Negando o “e”
Todas as pessoas da turma são bonitas e inteligentes.
 
© Mauricio Jordan De Souza Coelho
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Negando o “e”
Todas as pessoas da turma são bonitas e inteligentes.
 
~( x (pq)  (x(~(pq))  ( x(~p~q))
© Mauricio Jordan De Souza Coelho
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Negando o “e”
Todas as pessoas da turma são bonitas e inteligentes.
 
~( x (pq)  (x(~(pq))  ( x(~p~q))
Existe pelo menos uma pessoa da turma que não é bonita ou não é inteligente.
© Mauricio Jordan De Souza Coelho
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Negando o “se..então”
Todas as pessoas, se são pobres, então são infelizes.
http://www.clipartbest.com/
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Negando o “se..então”
Todas as pessoas, se são pobres, então são infelizes.
~( x (p→q)  (x(~(p→q))  ( x(p~q))
http://www.clipartbest.com/
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Negando o “se..então”
Todas as pessoas, se são pobres, então são infelizes.
~( x (p→q)  (x(~(p→q))  ( x(p~q))
Existe pelo menos uma pessoa que é pobre e é feliz. 
http://www.clipartbest.com/
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