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TG ESTUDOS DISCIPLINARES Vll nota 10

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TRABALHO EM GRUPO – TG 
Curso de Matemáti 
 
 
 
 
 
 
 
 
 _Lafaiete Chaves___ RA__1231522 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLO 
MORRO DO CHAPÉU-BA 
 
2017 
 
 
 
 
LAFAIETE CHAVES 
 
 
 
 
 
 
 Aplicação das Derivadas 
 
 
 
 
 
 
Trabalho em grupo apresentado à 
Universidade Paulista – UNIP, do 
curso de Matemática, com um dos 
requisitos para a obtenção de nota 
na disciplina Estudos Disciplinar Vll. 
 
 Prof: Paulo H. Coelho 
 
 
 POLO 
 MORRO DO CHAPÉU-BA 
 
 2017 
 
 
 SUMÁRIO 
 
1. Introdução....................................................................................................04 
1.1. Função Crescente e Função Decrescente................................................04 
1.2. Máximos e Mínimos...................................................................................07 
2. Exemplos da aplicação de derivadas...........................................................08 
2.1.Construção de uma piscina ........................................................................08 
2.2 .Construção de um cercado retangular.......................................................09 
2.3.Horta de formato retangular.........................................................................10 
2.4. Reservatório de água..................................................................................11 
2.5. Exemplo No cinema e o preço de um pacote de pipoca.............................13 
2.6. Taxa de variação do crescimento de um tumor..........................................13 
2.7. Taxa de variação na pressão sanguínea....................................................14 
2.8. Exemplo na taxa de variação do crescimento de uma população de 
animais em perigo de esticão............................................................................15 
3. Considerações finais......................................................................................16 
4. Bibliografia.....................................................................................................17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O conhecimento do processo de derivação é importante em virtude das 
inúmeras áreas de aplicações em diferentes ramos da ciência. Para tanto seu 
estudo foi desenvolvido ao longo de 2500 anos, com o auxílio de diversos 
matemáticos. As idéias foram se aperfeiçoando e o que era apenas o estudo 
da reta tangente, se transformou em uma magnífica e poderosa ferramenta 
para resolução de problemas. A definição de derivada como é conhecida hoje, 
deve-se a Cauchy que a apresentou por volta de 1823, como razão de variação 
infinitesimal, embora Newton e Leibniz, já no século XVII tenham utilizado os 
fundamentos desse conceito como método para relacionar problemas de 
quadraturas e tangentes. 
 
A derivada é utilizada para o estudo de taxas nas quais variem as grandezas 
físicas. De modo geral, ela nos permite aplicar os seus conhecimentos a 
qualquer quantidade ou grandeza, desde que ela seja representada por uma 
função. 
O estudo da derivada apresenta diversas aplicações práticas, ela é 
constantemente aplicada em muitos problemas que envolvem o dia-a-dia do 
ser humano, possibilitando até mesmo resolver situações que envolvam taxas 
de variação. 
 
As aplicações da derivada são variadas, onde ela está sempre relacionada a 
uma taxa de variação. Entendemos a derivada como o coeficiente angular da 
reta tangente, porém ela pode ser usada para indicar a taxa que o gráfico 
apresenta em uma curva que deve subir ou descer. Entre as numerosas 
aplicações da derivada podemos citar problemas relacionados à: tempo, 
temperatura, volume, custo, pressão, consumo de gasolina, ou seja, qualquer 
quantidade que possa ser representada por uma função. 
 
Esses problemas podem ser reduzidos a determinar maior ou menor valor de 
uma função em algum intervalo onde esse valor ocorre. Por exemplo, se o 
tempo for a questão principal de um problema, pode-se estar interessado em 
descobrir a maneira mais rápida de desempenhar uma tarefa (menor valor da 
função), ou caso o custo seja a preocupação principal, pode-se também querer 
saber o menor custo para desempenhar certa tarefa (maior valor da função). 
Outra aplicação muito utilizada da derivada é com relação a taxas de variação 
ou taxas relacionadas onde é possível relacionar variáveis como, por exemplo, 
 
é possível relacionar a variação de uma variável em relação ao tempo e essa 
variável pode está relacionada a um volume a uma distancia a uma velocidade 
entre outros, possibilitando assim a relação entre estas variáveis. 
1.1 Função Crescente e Função Decrescente 
 
Seja ƒ uma função definida em todo eixo real, num semi-eixo ou em um 
intervalo limitado. Diz-se que ƒ é crescente se ela varia no mesmo sentido que a 
variável independente, isto é, se ƒ(x) cresce à medida que x cresce, e decresce à 
medida que x decresce. 
 
 
Figura 1- Função Crescente 
 
 
 
 
Figura 2- Função Decrescente 
 
 
Na Fig.3, a curva y = ƒ(x) está subindo de A para C, de D para F e de H para I. 
É, claro que a função é crescente nos intervalos a < x < c, d < x < f, e h < x < i. 
Analogamente, a curva está descendo de C para D e de F para H, e a função é 
decrescente nos intervalos c < x < d e f < x < h. 
 
 
Figura 3 - Função Crescente e Decrescente 
 
 
 
 
 
Considerando a função ƒ(x) = x2 – 4x. Temos ƒ’(x) = 2x - 4 
 
 Sinal de ƒ’: 
 
 
 
 
 
Quando a derivada é positiva função é crescente concavidade para cima 
Quando a derivada é negativa função é decrescente concavidade para cima 
 
 
2 
+ - 
 
 
 Comportamento de ƒ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Máximos e Mínimos 
 
Diz-se que x = c é o ponto máximo de uma função ƒ se existe um intervalo 
aberto (a,b) contendo x = c e todo contido no domínio da função, tal que, restrita a 
esse intervalo, ƒ tem máximo em x = c. Define-se mínimo local de maneira análoga. 
Exemplo: 
ƒ(x) = x3 – 5 x2 + 4x + 3 
 3 2 
 
Temos que 
ƒ’ (x) = x2 – 5 – 4. 
 
Impondo que ƒ’ (x) = 0, teremos: 
 x2 – 5 – 4 = 0, cuja solução é x = 1 ou x = 4 
Por outro lado, ƒ’’ (x) = 2x – 5. Assim: 
ƒ’’ (1) = - 3 < 0 x = 1 é ponto máximo; 
ƒ’’ (4) = 3 > 0 x = 4 é ponto mínimo; 
 
 
 
2 + - 
 
2 EXEMPLOS DA APLICAÇÃO DE DERIVADAS 
 
No cotidiano, a derivada pode auxiliar na resoluçãode inúmeros problemas, 
como pode ser visto nos exemplos a seguir: 
 
2.1 Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 
32 m3 de água. Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o 
consumo de material utilizado no seu revestimento interno. 
 
SOLUÇÃO: 
 
As dimensões são a, a e y e seu volume é de 32 m3, tem-se: 
 
 
A área total de revestimento da piscina de base quadrangular é A = 4 x a x y + 
a2, pois se sabe que a área total de um prisma de base quadrangular fechado é 
A = 4 x a x y + 2 x a2, todavia a piscina não é fechada confirmando a primeira 
expressão. Substituindo o valor de y: 
 
 
 
Logo, as dimensões para que se tenha mínimo gasto de material são 
respectivamente, 4m, 4m e 2m. 
 
2.2 Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles 
franceses. Quais dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui 
apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima? Conforme 
figura abaixo. 
 
 
 
 
Figura 4 - Representação inicial do cercado 
SOLUÇÃO: 
 
A variável a ser maximizada é a área do cercado. Aqui, A = x∙y, onde x é o 
comprimento do cercado e y a largura. Mas existem 1500m de grade, e o perímetro do 
x 
x 
y y 
 
cercado é dado por 2p= 2∙x + 2∙y, daí, 2∙x + 2∙y = 1500. Resolvendo esta equação y = 
750 - x, que será substituída na equação A = x∙y para obter: 
 
A= x∙(750 - x) = 750∙x - x2 
 
Assim A= F(x), onde F(x) = 750∙x – x2. Visto que as dimensões x e y do 
cercado não podem ser negativas, pois x ≥ 0 e 750 – x ≥ 0 , isto é, 0 ≤ x ≤ 750. Na 
realidade, procura-se o valor de x que é o máximo de F(x) = 750∙x – x2 no intervalo [0, 
750]. Aqui, ƒ’(x) = 750 – 2∙x, logo x = 375 dá o único ponto crítico no intervalo aberto 
(0, 750). Logo, ƒ (x) atinge um valor máximo quando x = 375m e y = 750 – x = 750 – 
375 = 375 m. Logo, as dimensões são 375 m por 375 m e cuja área é máxima é de 
140.625 m2. 
 
2.3 Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular 
em seu quintal. Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais 
deverão ser as medidas dos lados do retângulo, para que o máximo de espaço 
seja aproveitado? 
 
SOLUÇÃO: 
 
Como ainda não é conhecida a largura da horta, foi adotado x para representar 
essa largura, e para manter os 20m de tela, foi posto para o comprimento 10 – x, de tal 
forma que ao calcular o perímetro do retângulo será mantido os 20m de tela. 
Circunstância ilustrada pela Figura 5. 
 
 
 
 
Figura 5 - Representação inicial da aérea da horta 
Como o perímetro é de 20m, as dimensões do retângulo são de 10 – x e x. 
Calculando a área do retângulo, obtêm-se: 
10 - x 
x x 
10 - x 
 
A(x) = x∙(10 – x) 
A(x) = 10x – x2 
A área será máxima, quando a tangente tiver inclinação zero. 
A’(x) = 10 – 2x 
Igualando- se a derivada a zero, 10 – 2∙x = 0, logo x = 5. 
Para que seja possível ter o maior aproveitamento da área com os 20m de tela, 
a dona de casa deverá fazer sua horta com as dimensões de 5m x 5m, onde obterá 
uma área útil de 25m2. 
 
2.4 Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito 
com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um 
retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que 
permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume 
de 36 m3 
 
SOLUÇÃO: 
 
Indicando-se a largura por x, o comprimento por 3.x e a altura por y, obterse-á 
a Figura 6: 
 
 
 
 
 
Figura 6 - Representação do reservatório de água 
 
O volume desta caixa é dado por V = 3 ∙ x ∙ x ∙ y = 3 ∙ x2 ∙ y e então, por 
V = 3x2 ∙ y, V = 36 m3 
 
3x 
y 
x 
 
3x2 ∙ y = 36 y = 36 ou seja y = 12 a 
 3x2 x2 
 
A área total da caixa é A = (3 ∙ x ∙ x + 2 ∙ x ∙ y x + x + 2 ∙ 3 ∙ x ∙ y), logo a área é 
dada por: 
A = 3 ∙ x2 + 8 ∙ x ∙ y 
 
Substituindo y na área, 
 
Para encontrar o valor máximo ou mínimo é preciso derivar a área e igualar à 
zero, assim: 
 
 
Para calcular a altura é só substituir a medida x em y = 12 / x2 , y = 12 / 3√16, 
logo, y = 4,76 metros. Logo, as dimensões que permitem a máxima economia de 
material para um tanque de volume 36 m3, são aproximadamente: comprimento, 
largura e altura, respectivamente, 7,56 m, 2,52 m e 4,76 m. 
 
 
 
2.5 No cinema, o preço de um pacote de pipoca é de R$ 4,50. O pipoqueiro pode 
vender 500 pacotes de pipocas com o custo de R$1,40 por pacote. Para cada 
centavo que o pipoqueiro baixar no preço do pacote, a quantidade vendida pode 
aumentar de 50 unidades (pacotes). Que preço de venda maximizará o lucro? 
 
SOLUÇÃO: 
 
Inicialmente, observe que o lucro é de R$ 3,10 por pacote. Se x denotar o 
número de centavos que o pipoqueiro baixa no preço de cada pacote; o lucro na 
venda de cada pacote de pipoca será então de 310 − x centavos, e a quantidade 
vendida será 500 + 50x. O lucro total é, portanto, o lucro por unidade (pacote) vezes a 
quantidade vendida, ou seja: 
L = L(x) = (310 − x) ∙ (500 + 50x) = 155000 + 15500x – 500x – 50x2 
L = 155000 + 15000x – 50x2 
 
Agora, deve-se maximizar a função L(x). Como L é uma função polinomial, 
acontece quando iguala sua derivada à zero (uma vez que a derivada sempre existe) e 
resolvendo a equação resultante. Sendo: 
L’(x) = 15000 – 100x 
15000 – 100x = 0 
x = 150 
Como a derivada segunda de L é igual a L”′(x) = − 100 , portanto negativa para 
qualquer valor de x , segue que x = 150 é um ponto de máximo. Assim, o preço de 
venda que dará o maior lucro é de R$ 3,00. 
 
2.6 Uma médica diz ao seu paciente que tem um tumor no corpo e suponha que seja 
de forma esférica. Ela pergunta para ele: Se quando o raio do teu tumor for 0,5 
cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de 
aumento do volume do tumor naquele instante? 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
No tempo t o tumor tem raio r = 0,5 cm, 𝑟 = 0,5 𝑐𝑚, +
𝑑𝑟
𝑑𝑡 !
= 0,001 𝑐𝑚 e volume 
𝑉 = 𝜋𝑟3, então: 
𝑑𝑣
𝑑𝑡!
= 4. 𝜋𝑟2
dr
𝑑𝑡!
 
 
2.7 Suponha que a diminuição na pressão sanguínea de uma pessoa dependa de 
uma determinada droga que ela deverá tomar. Assim, se 𝑥 mg da droga forem 
tomados, a queda da pressão sanguínea será uma função de 𝑥 . Seja ƒ(𝑥) esta 
função e 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥2(𝑘 − 𝑥) onde 𝑥 𝑒 𝑘 é uma constante positiva. Determine o 
valor de 𝑥 que cause o maior decréscimo na pressão sanguínea. 
 
SOLUÇÃO: 
 
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑘. 𝑥2 −
1
2
𝑘. 𝑥3 
𝑓′ 𝑥 = 𝑘. 𝑥 −
3
2
𝑥2 
𝑘. 𝑥 −
3
2
𝑥2 = 0 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 =
3
2
𝑘 
Logo o valor de x para que se tenha o maior decréscimo da pressão é é 
3
2
k 
 
 
2.8 Centenas de animais pertencendo a uma espécie em perigo estão colocadas 
numa reserva de proteção. Depois de t anos a população p desses animais na 
reserva é dada por 𝑝 = 100 . 
𝑡2+ 5.t+25 
𝑡2+ 25
. Após quantos anos a população é 
máxima? 
 
SOLUÇÃO: 
 
Derivando-se a expressão da população dessa espécie em relação ao tempo 
em anos e em seguida igualando a zero tem-se o tempo em que a população é 
máxima, assim: 
 
 
Logo, no período de 5 anos a população dessa espécie em perigo será 
máxima. 
 
 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
A História da Matemática é um recurso didático no processo de 
atribuiçãode significados aos conceitos matemáticos. Visto que a recuperação 
do processo histórico de construção do conhecimento matemático facilita o 
ensino aprendizagem do aluno. A história da criação da Derivada mostra as 
dificuldades que os matemáticos daquelas épocas passaram, ao tentar resolver 
problemas de tangências e quadratura do círculo. Não obstante, seu estudo foi 
desenvolvido ao longo de 2500 anos com o auxílio de diversos matemáticos 
onde dois matemáticos foram os maiores influenciadores na criação da 
derivada, Newton e Leibniz. 
A Diferenciação está presente não apenas no ensino da matemática 
como no estudo da inclinação de retas, mas no ensino da física, onde pode ser 
determinada a velocidade e aceleração de um objeto, por exemplo, na 
economia empresarial, em atividades como a maximização da capacidade de 
embalagens e minimização de custos. Como taxa de variação ela mostra sua 
importância em diversos ramos das ciências tais como física, biologia, química, 
economia, entre outros. 
 A finalidade deste trabalho foi de mostrar e fazer uma síntese das 
derivadas desde os aspectos históricos, das definições e das aplicações desta 
no cotidiano. quais antes estavam dispersos. 
Entretanto, deve-se ressaltar que as aplicações de derivadas não se 
delimitam apenas a essas que foram mostradas aqui. Na verdade, a derivada 
constitui uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções.
 
 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
ÁVILA, G. S. S. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro – RJ: Livros Técnicos e 
Científicos Editora, 1998 
 
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. W. Cálculo - Funções de uma e 
várias variáveis. 2 ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2010. 
THOMAS, S.; George B.Cálculo. Vol. 1. 10 ed. São Paulo: Addison Wesley. 
2002.

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