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TRABALHO EM GRUPO – TG Curso de Matemáti _Lafaiete Chaves___ RA__1231522 POLO MORRO DO CHAPÉU-BA 2017 LAFAIETE CHAVES Aplicação das Derivadas Trabalho em grupo apresentado à Universidade Paulista – UNIP, do curso de Matemática, com um dos requisitos para a obtenção de nota na disciplina Estudos Disciplinar Vll. Prof: Paulo H. Coelho POLO MORRO DO CHAPÉU-BA 2017 SUMÁRIO 1. Introdução....................................................................................................04 1.1. Função Crescente e Função Decrescente................................................04 1.2. Máximos e Mínimos...................................................................................07 2. Exemplos da aplicação de derivadas...........................................................08 2.1.Construção de uma piscina ........................................................................08 2.2 .Construção de um cercado retangular.......................................................09 2.3.Horta de formato retangular.........................................................................10 2.4. Reservatório de água..................................................................................11 2.5. Exemplo No cinema e o preço de um pacote de pipoca.............................13 2.6. Taxa de variação do crescimento de um tumor..........................................13 2.7. Taxa de variação na pressão sanguínea....................................................14 2.8. Exemplo na taxa de variação do crescimento de uma população de animais em perigo de esticão............................................................................15 3. Considerações finais......................................................................................16 4. Bibliografia.....................................................................................................17 1 INTRODUÇÃO O conhecimento do processo de derivação é importante em virtude das inúmeras áreas de aplicações em diferentes ramos da ciência. Para tanto seu estudo foi desenvolvido ao longo de 2500 anos, com o auxílio de diversos matemáticos. As idéias foram se aperfeiçoando e o que era apenas o estudo da reta tangente, se transformou em uma magnífica e poderosa ferramenta para resolução de problemas. A definição de derivada como é conhecida hoje, deve-se a Cauchy que a apresentou por volta de 1823, como razão de variação infinitesimal, embora Newton e Leibniz, já no século XVII tenham utilizado os fundamentos desse conceito como método para relacionar problemas de quadraturas e tangentes. A derivada é utilizada para o estudo de taxas nas quais variem as grandezas físicas. De modo geral, ela nos permite aplicar os seus conhecimentos a qualquer quantidade ou grandeza, desde que ela seja representada por uma função. O estudo da derivada apresenta diversas aplicações práticas, ela é constantemente aplicada em muitos problemas que envolvem o dia-a-dia do ser humano, possibilitando até mesmo resolver situações que envolvam taxas de variação. As aplicações da derivada são variadas, onde ela está sempre relacionada a uma taxa de variação. Entendemos a derivada como o coeficiente angular da reta tangente, porém ela pode ser usada para indicar a taxa que o gráfico apresenta em uma curva que deve subir ou descer. Entre as numerosas aplicações da derivada podemos citar problemas relacionados à: tempo, temperatura, volume, custo, pressão, consumo de gasolina, ou seja, qualquer quantidade que possa ser representada por uma função. Esses problemas podem ser reduzidos a determinar maior ou menor valor de uma função em algum intervalo onde esse valor ocorre. Por exemplo, se o tempo for a questão principal de um problema, pode-se estar interessado em descobrir a maneira mais rápida de desempenhar uma tarefa (menor valor da função), ou caso o custo seja a preocupação principal, pode-se também querer saber o menor custo para desempenhar certa tarefa (maior valor da função). Outra aplicação muito utilizada da derivada é com relação a taxas de variação ou taxas relacionadas onde é possível relacionar variáveis como, por exemplo, é possível relacionar a variação de uma variável em relação ao tempo e essa variável pode está relacionada a um volume a uma distancia a uma velocidade entre outros, possibilitando assim a relação entre estas variáveis. 1.1 Função Crescente e Função Decrescente Seja ƒ uma função definida em todo eixo real, num semi-eixo ou em um intervalo limitado. Diz-se que ƒ é crescente se ela varia no mesmo sentido que a variável independente, isto é, se ƒ(x) cresce à medida que x cresce, e decresce à medida que x decresce. Figura 1- Função Crescente Figura 2- Função Decrescente Na Fig.3, a curva y = ƒ(x) está subindo de A para C, de D para F e de H para I. É, claro que a função é crescente nos intervalos a < x < c, d < x < f, e h < x < i. Analogamente, a curva está descendo de C para D e de F para H, e a função é decrescente nos intervalos c < x < d e f < x < h. Figura 3 - Função Crescente e Decrescente Considerando a função ƒ(x) = x2 – 4x. Temos ƒ’(x) = 2x - 4 Sinal de ƒ’: Quando a derivada é positiva função é crescente concavidade para cima Quando a derivada é negativa função é decrescente concavidade para cima 2 + - Comportamento de ƒ: 1.2 Máximos e Mínimos Diz-se que x = c é o ponto máximo de uma função ƒ se existe um intervalo aberto (a,b) contendo x = c e todo contido no domínio da função, tal que, restrita a esse intervalo, ƒ tem máximo em x = c. Define-se mínimo local de maneira análoga. Exemplo: ƒ(x) = x3 – 5 x2 + 4x + 3 3 2 Temos que ƒ’ (x) = x2 – 5 – 4. Impondo que ƒ’ (x) = 0, teremos: x2 – 5 – 4 = 0, cuja solução é x = 1 ou x = 4 Por outro lado, ƒ’’ (x) = 2x – 5. Assim: ƒ’’ (1) = - 3 < 0 x = 1 é ponto máximo; ƒ’’ (4) = 3 > 0 x = 4 é ponto mínimo; 2 + - 2 EXEMPLOS DA APLICAÇÃO DE DERIVADAS No cotidiano, a derivada pode auxiliar na resoluçãode inúmeros problemas, como pode ser visto nos exemplos a seguir: 2.1 Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água. Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno. SOLUÇÃO: As dimensões são a, a e y e seu volume é de 32 m3, tem-se: A área total de revestimento da piscina de base quadrangular é A = 4 x a x y + a2, pois se sabe que a área total de um prisma de base quadrangular fechado é A = 4 x a x y + 2 x a2, todavia a piscina não é fechada confirmando a primeira expressão. Substituindo o valor de y: Logo, as dimensões para que se tenha mínimo gasto de material são respectivamente, 4m, 4m e 2m. 2.2 Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima? Conforme figura abaixo. Figura 4 - Representação inicial do cercado SOLUÇÃO: A variável a ser maximizada é a área do cercado. Aqui, A = x∙y, onde x é o comprimento do cercado e y a largura. Mas existem 1500m de grade, e o perímetro do x x y y cercado é dado por 2p= 2∙x + 2∙y, daí, 2∙x + 2∙y = 1500. Resolvendo esta equação y = 750 - x, que será substituída na equação A = x∙y para obter: A= x∙(750 - x) = 750∙x - x2 Assim A= F(x), onde F(x) = 750∙x – x2. Visto que as dimensões x e y do cercado não podem ser negativas, pois x ≥ 0 e 750 – x ≥ 0 , isto é, 0 ≤ x ≤ 750. Na realidade, procura-se o valor de x que é o máximo de F(x) = 750∙x – x2 no intervalo [0, 750]. Aqui, ƒ’(x) = 750 – 2∙x, logo x = 375 dá o único ponto crítico no intervalo aberto (0, 750). Logo, ƒ (x) atinge um valor máximo quando x = 375m e y = 750 – x = 750 – 375 = 375 m. Logo, as dimensões são 375 m por 375 m e cuja área é máxima é de 140.625 m2. 2.3 Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular em seu quintal. Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais deverão ser as medidas dos lados do retângulo, para que o máximo de espaço seja aproveitado? SOLUÇÃO: Como ainda não é conhecida a largura da horta, foi adotado x para representar essa largura, e para manter os 20m de tela, foi posto para o comprimento 10 – x, de tal forma que ao calcular o perímetro do retângulo será mantido os 20m de tela. Circunstância ilustrada pela Figura 5. Figura 5 - Representação inicial da aérea da horta Como o perímetro é de 20m, as dimensões do retângulo são de 10 – x e x. Calculando a área do retângulo, obtêm-se: 10 - x x x 10 - x A(x) = x∙(10 – x) A(x) = 10x – x2 A área será máxima, quando a tangente tiver inclinação zero. A’(x) = 10 – 2x Igualando- se a derivada a zero, 10 – 2∙x = 0, logo x = 5. Para que seja possível ter o maior aproveitamento da área com os 20m de tela, a dona de casa deverá fazer sua horta com as dimensões de 5m x 5m, onde obterá uma área útil de 25m2. 2.4 Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m3 SOLUÇÃO: Indicando-se a largura por x, o comprimento por 3.x e a altura por y, obterse-á a Figura 6: Figura 6 - Representação do reservatório de água O volume desta caixa é dado por V = 3 ∙ x ∙ x ∙ y = 3 ∙ x2 ∙ y e então, por V = 3x2 ∙ y, V = 36 m3 3x y x 3x2 ∙ y = 36 y = 36 ou seja y = 12 a 3x2 x2 A área total da caixa é A = (3 ∙ x ∙ x + 2 ∙ x ∙ y x + x + 2 ∙ 3 ∙ x ∙ y), logo a área é dada por: A = 3 ∙ x2 + 8 ∙ x ∙ y Substituindo y na área, Para encontrar o valor máximo ou mínimo é preciso derivar a área e igualar à zero, assim: Para calcular a altura é só substituir a medida x em y = 12 / x2 , y = 12 / 3√16, logo, y = 4,76 metros. Logo, as dimensões que permitem a máxima economia de material para um tanque de volume 36 m3, são aproximadamente: comprimento, largura e altura, respectivamente, 7,56 m, 2,52 m e 4,76 m. 2.5 No cinema, o preço de um pacote de pipoca é de R$ 4,50. O pipoqueiro pode vender 500 pacotes de pipocas com o custo de R$1,40 por pacote. Para cada centavo que o pipoqueiro baixar no preço do pacote, a quantidade vendida pode aumentar de 50 unidades (pacotes). Que preço de venda maximizará o lucro? SOLUÇÃO: Inicialmente, observe que o lucro é de R$ 3,10 por pacote. Se x denotar o número de centavos que o pipoqueiro baixa no preço de cada pacote; o lucro na venda de cada pacote de pipoca será então de 310 − x centavos, e a quantidade vendida será 500 + 50x. O lucro total é, portanto, o lucro por unidade (pacote) vezes a quantidade vendida, ou seja: L = L(x) = (310 − x) ∙ (500 + 50x) = 155000 + 15500x – 500x – 50x2 L = 155000 + 15000x – 50x2 Agora, deve-se maximizar a função L(x). Como L é uma função polinomial, acontece quando iguala sua derivada à zero (uma vez que a derivada sempre existe) e resolvendo a equação resultante. Sendo: L’(x) = 15000 – 100x 15000 – 100x = 0 x = 150 Como a derivada segunda de L é igual a L”′(x) = − 100 , portanto negativa para qualquer valor de x , segue que x = 150 é um ponto de máximo. Assim, o preço de venda que dará o maior lucro é de R$ 3,00. 2.6 Uma médica diz ao seu paciente que tem um tumor no corpo e suponha que seja de forma esférica. Ela pergunta para ele: Se quando o raio do teu tumor for 0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante? SOLUÇÃO: No tempo t o tumor tem raio r = 0,5 cm, 𝑟 = 0,5 𝑐𝑚, + 𝑑𝑟 𝑑𝑡 ! = 0,001 𝑐𝑚 e volume 𝑉 = 𝜋𝑟3, então: 𝑑𝑣 𝑑𝑡! = 4. 𝜋𝑟2 dr 𝑑𝑡! 2.7 Suponha que a diminuição na pressão sanguínea de uma pessoa dependa de uma determinada droga que ela deverá tomar. Assim, se 𝑥 mg da droga forem tomados, a queda da pressão sanguínea será uma função de 𝑥 . Seja ƒ(𝑥) esta função e 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥2(𝑘 − 𝑥) onde 𝑥 𝑒 𝑘 é uma constante positiva. Determine o valor de 𝑥 que cause o maior decréscimo na pressão sanguínea. SOLUÇÃO: 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑘. 𝑥2 − 1 2 𝑘. 𝑥3 𝑓′ 𝑥 = 𝑘. 𝑥 − 3 2 𝑥2 𝑘. 𝑥 − 3 2 𝑥2 = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 3 2 𝑘 Logo o valor de x para que se tenha o maior decréscimo da pressão é é 3 2 k 2.8 Centenas de animais pertencendo a uma espécie em perigo estão colocadas numa reserva de proteção. Depois de t anos a população p desses animais na reserva é dada por 𝑝 = 100 . 𝑡2+ 5.t+25 𝑡2+ 25 . Após quantos anos a população é máxima? SOLUÇÃO: Derivando-se a expressão da população dessa espécie em relação ao tempo em anos e em seguida igualando a zero tem-se o tempo em que a população é máxima, assim: Logo, no período de 5 anos a população dessa espécie em perigo será máxima. CONSIDERAÇÕES FINAIS A História da Matemática é um recurso didático no processo de atribuiçãode significados aos conceitos matemáticos. Visto que a recuperação do processo histórico de construção do conhecimento matemático facilita o ensino aprendizagem do aluno. A história da criação da Derivada mostra as dificuldades que os matemáticos daquelas épocas passaram, ao tentar resolver problemas de tangências e quadratura do círculo. Não obstante, seu estudo foi desenvolvido ao longo de 2500 anos com o auxílio de diversos matemáticos onde dois matemáticos foram os maiores influenciadores na criação da derivada, Newton e Leibniz. A Diferenciação está presente não apenas no ensino da matemática como no estudo da inclinação de retas, mas no ensino da física, onde pode ser determinada a velocidade e aceleração de um objeto, por exemplo, na economia empresarial, em atividades como a maximização da capacidade de embalagens e minimização de custos. Como taxa de variação ela mostra sua importância em diversos ramos das ciências tais como física, biologia, química, economia, entre outros. A finalidade deste trabalho foi de mostrar e fazer uma síntese das derivadas desde os aspectos históricos, das definições e das aplicações desta no cotidiano. quais antes estavam dispersos. Entretanto, deve-se ressaltar que as aplicações de derivadas não se delimitam apenas a essas que foram mostradas aqui. Na verdade, a derivada constitui uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ÁVILA, G. S. S. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro – RJ: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998 MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. W. Cálculo - Funções de uma e várias variáveis. 2 ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2010. THOMAS, S.; George B.Cálculo. Vol. 1. 10 ed. São Paulo: Addison Wesley. 2002.
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