Funções Potência e Polinomiais

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Conversa inicial 
Olá! Estamos começando mais uma aula de Pré-Cálculo. Nessa aula 
iremos falar sobre dois tipos interessantes de funções: funções 
potência e funções polinomiais. Vamos aprender o que são funções 
potência e funções polinomiais e também onde esses conhecimentos 
podem ser aplicados. 
Para começar, assista ao vídeo do professor Ricardo sobre os 
conteúdos da aula no material on-line! 
Contextualizando 
Um projeto de pesquisa desenvolvido na Universidade Federal do Rio 
Grande do Sul, no Laboratório de Aerodinâmica das Construções, se 
refere a uma gigantesca tela de formato circular utilizada para proteger 
uma imensa pilha de cavaco, matéria-prima utilizada na fabricação de 
celulose. O diâmetro dessa tela é de 120 metros e a altura 
corresponde a 28 metros. 
A partir do conhecimento do diâmetro dessa estrutura, poderemos 
utilizar os conhecimentos da nossa aula de hoje para calcularmos a 
área, em metros quadrados, circundada pela estrutura. Você verá 
como fazer esses cálculos quando falarmos da aplicação dos 
conceitos na prática, no final dessa aula. 
Pré-Cálculo - Aula 04
Prof.: Ricardo Zanardini
 
 
Funções potência 
As funções potência são funções que possuem a forma: 
  axkxf .
 
Onde, 
0k
, 
Ra
, 
0a
, É importante ressaltar que a é a potência e 
k é a constante de variação, também conhecida como constante de 
proporção. 
Para que possamos compreender melhor onde essas funções são 
utilizadas, veremos alguns exemplos práticos. 
A fórmula
rC ..2
que relaciona o comprimento de uma circunferência 
com o raio dessa circunferência é um exemplo de função potência. 
Nesse exemplo, a potência é igual a 1 e a constante de proporção é 
igual a 
2
. Mas onde essa fórmula que relaciona o comprimento de 
uma circunferência com o raio pode ser utilizada? Vamos assistir a um 
vídeo que mostra como são fabricados os aros de bicicleta: 
http://www.youtube.com/watch?v=-NLEnaeNsKY 
Agora que já sabemos como é o processo de fabricação de um aro de 
bicicleta, vamos pensar em um problema relacionado a isso: uma 
indústria produz aros de aço para bicicletas. 
Os aros são produzidos a partir de barras de aço que são enformadas 
e depois soldadas. Diversos tamanhos de aros são produzidos pela 
indústria. Determine qual é o comprimento necessário de uma barra 
de aço para a fabricação de um aro cujo raio mede 32,5 cm. 
Considere 
14,3
. 
Como o comprimento da barra é dado em função do raio, vamos 
utilizar a fórmula 
rC ..2
 para determinarmos o comprimento 
necessário: 
 
1,204
5,32x14,3x2
..2



C
C
rC 
 
Sendo assim, a barra deve ter 204,1 cm de comprimento. 
Um outro exemplo de função potência é a fórmula que fornece a área 
de um círculo em função do raio: 
2.rA 
com k = 

 e a = 2. 
Nesse caso, também podemos resolver problemas práticos 
associados a essa função potência. Em muitas apresentações, é 
comum a projeção de imagens no palco. Além das telas retangulares, 
algumas telas de projeção possuem um formato circular. 
Sendo assim, qual é a área de uma tela circular de projeção onde o 
raio da tela é igual a 5 metros? 
Para resolvermos esse problema, precisamos determinar a área da 
tela em função do raio. Para isso, vamos utilizar a fórmula da área de 
um círculo: 
2
2
2
m 5,78
25x14,3
5x14,3




A
A
A
rA 
 
A tela de projeção circular, nesse exemplo, tem 78,5 metros 
quadrados. Vamos agora assistir a um vídeo sobre o comprimento da 
circunferência e a área do círculo. 
https://www.youtube.com/watch?v=-
jl90c63TXs&list=UUWhuro_dMp3wVDloVCbapDQ 
Um outro exemplo de função potência é a fórmula da aceleração da 
gravidade: 
2
.
r
mG
A 
 
 
 
Para saber mais sobre a aceleração da gravidade, clique no link a 
seguir. 
http://www.infoescola.com/mecanica/aceleracao-da-gravidade/ 
A Lei de Boyle que relaciona a pressão com o volume também é um 
exemplo de função potência. 
V
k
P 
 
O texto a seguir fala sobre a Lei de Boyle. 
http://www.infoescola.com/termodinamica/lei-de-boyle-mariotte/ 
Vamos assistir agora ao vídeo do Prof. Ricardo sobre as funções 
potência! Acesse o material on-line! 
 
Análise de uma função potência 
Agora que já sabemos o que é uma função potência e onde essas 
funções podem ser utilizadas, vamos fazer a análise do 
comportamento de uma função potência. 
Vamos, inicialmente, considerar a função 
  3xxf 
 e o gráfico: 
 Expoente: 3 
 Constante de proporção: 1 
 Domínio: R 
 Imagem: R 
 Contínua 
 Crescente 
 
 Simétrica em relação à 
origem 
 Não é limitada 
 Não tem extremos 
 Não tem assíntotas 
 
Considerando agora a função 
  2xxf 
, temos: 
Gráfico: 
 Expoente: 2 
 Constante de 
proporção: 1 
 Domínio: R 
 Imagem: 
0y
 
 Contínua 
 Decrescente para x<0 
 Crescente para x>0 
 Simétrica em relação 
ao eixo y 
 Limitada inferiormente 
 Tem mínimo local em 
x=0 
 Não tem assíntotas 
 
 
 
Dentre as funções abaixo, analise se é função potência, e em caso 
afirmativo, trace o gráfico e identifique a potência, a constante de 
variação (ou de proporção), o domínio, a imagem, a continuidade, 
intervalos de crescimento e de decrescimento, simetria, se é limitada, 
extremos locais, assíntotas e comportamento nos extremos. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Resolução: 
a) 
Função Potência : Sim 
Potência: 1/2 
Constante de variação ou de proporção: 2 
Domínio: ou ou : 
Imagem: 
Continuidade: Sim, no domínio 
Intervalos de crescimento: em todo o domínio 
 
Intervalos de decrescimento: não há 
Simetria: não 
Limitada: inferiormente pelo eixo x 
Extremos locais: Mínimo em x = 0 
Assíntotas: não há. 
Comportamento nos extremos: 
 
b) 
Função Potência: Sim 
Potência: -3 
Constante de variação ou de proporção: 3 
Domínio: ou : 
Imagem: 
Continuidade: Não. Há descontinuidade infinita em x = 0. 
Intervalos de crescimento: não há. 
Intervalos de decrescimento: em todo o domínio 
Simetria: sim, em relação a origem (função ímpar) 
Limitada: não 
Extremos locais: Não 
Assíntotas: eixo vertical (eixo y) e eixo horizontal (eixo x) 
Comportamento nos extremos: 
 
 
; 
 
c) 
Potência: 4 
Constante de variação ou de proporção: -5 
Domínio: 
Imagem: 
Continuidade: Sim. 
Intervalos de crescimento: 
Intervalos de decrescimento: 
Simetria: sim, em relação ao eixo y (função par) 
Limitada: sim, superiormente pelo eixo x ( y = 0 ) 
Extremos locais: Sim. Um máximo em x = 0 
Assíntotas: não 
 
Comportamento nos extremos: 
 
 
d) Não é função potência, mas linear. 
 
e) Não é função potência, mas quadrática (segundo grau). 
 
Acessando o material on-line, você encontrará o vídeo do Prof. 
Ricardo sobre a análise de funções potência! 
 
Funções polinomiais 
Além das funções potência, as funções polinomiais também têm um 
importante papel na resolução de diversos problemas práticos. 
Vamos assistir a um vídeo sobre as funções polinomiais e também 
sobre a relação dessas funções com os fractais. 
https://www.youtube.com/watch?v=IpDDRGhxRXI&index=27&list=PLf4
asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
 
 
Antes de falarmos sobre as funções polinomiais, vamos saber mais 
sobre os fractais. O texto a seguir é interessante e nos mostra o que 
são fractais e como os fractais estão ligados com diversos fenômenos 
da natureza. 
http://www.mdig.com.br/index.php?itemid=30380 
Funções PolinomiaisUma função polinomial é escrita sob a forma 
  01
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxf
n
n
n
n 


 
Onde: 
Raaaaa nn  0121 ,,,...,,
. 
A condição é que 
0na
. 
As funções lineares e as funções quadráticas que vimos anteriormente 
são exemplos de funções polinomiais. No entanto, podemos ter 
funções com os mais diversos graus como sendo funções polinomiais. 
Antes de pensarmos em aplicações de funções polinomiais, vamos ver 
qual é o impacto de variações nos coeficientes de uma função 
polinomial. 
 
Para isso, utilizaremos o Winplot na construção dos gráficos de 
algumas funções polinomiais. Veremos como é possível 
representarmos mais do que uma função no mesmo sistema de eixos 
coordenados. 
 
Primeiro, vamos abrir o Winplot. 
 
 
 
Depois, vamos clicar no menu “Janela” e, em seguida, em “2-dim”. 
 
 
Agora vamos clicar no menu “Equação” e, em seguida, na opção “1. 
Explícita ...”. 
 
 
 
Vamos representar a função 
xxf
2
1
)( 
. Para isso, basta digitarmos 
“(1/2)x” no espaço destinado à função. 
 
 
 
 
Vamos aproveitar e abrir o inventário. Basta clicarmos em “Equação” e 
em seguida em “Inventário ...”. 
 
 
 
O inventário apresenta diversos recursos de edição tais como mostrar 
ou ocultar o gráfico de uma função (mostrar gráfico), permitir que a 
 
expressão relacionada a uma função apareça no plano cartesiano 
(mostrar equa) entre outras opções. 
 
Após o Winplot representar graficamente a função 
xxf
2
1
)( 
, vamos 
clicar novamente em “Equação” e, em seguida, “1. Explícita ...” para 
representarmos a função 
xxf )(
. 
 
Agora digitaremos “x” no espaço destinado à função. 
 
 
 
 
Observe que temos duas funções plotadas no mesmo sistema de 
eixos coordenados. A função em vermelho é a função 
xxf
2
1
)( 
 e a 
função em azul é a função 
xxf )(
. 
Note que se o coeficiente de x é maior, o crescimento da função 
também é maior. 
 
 
 
 
O mesmo pode ser feito com as funções 
xxf 2)( 
 e 
xxf 3)( 
. 
 
 
 
Graficamente é fácil perceber que o crescimento da função linear está 
diretamente relacionado com o coeficiente de x. 
Se mantivermos o coeficiente de x e alterarmos o termo independente, 
a inclinação da função linear é preservada. 
No entanto, há um deslocamento da função para cima ou para baixo, 
dependendo do valor do termo independente. 
O gráfico a seguir ilustra esse fato. 
 
 
 
 
 
No caso das funções quadráticas, o coeficiente de x2 também exerce 
alteração no crescimento da função. Quanto maior o coeficiente de x2, 
maior o crescimento da função e, consequentemente, mais estreita é a 
parábola. O gráfico a seguir ilustra isso. 
 
Alterações no termo independente deslocam a parábola para cima ou 
para baixo. 
 
Se somarmos ou subtrairmos uma constante na variável x há um 
deslocamento da parábola para a esquerda ou para a direita. Observe! 
 
 
 
No caso da função 
3)( xxf 
, variações no coeficiente da função 
implicam em variações no crescimento da função. 
 
Observe que o comportamento das funções polinomiais está 
diretamente relacionado aos seus coeficientes. 
Vamos assistir a um vídeo sobre funções polinomiais e polinômios. 
https://www.youtube.com/watch?v=f7ED1pDFlng&index=58&list=PLf4
asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
No material on-line, o prof. Ricardo irá conversar conosco sobre 
funções polinomiais. Não deixe de acessar! 
 
 
 
Raízes e Extremos 
Como vimos anteriormente, uma função quadrática possui até duas 
raízes que podem ser calculadas pela fórmula quadrática. No caso de 
uma função polinomial de grau n, essa função pode ter até n raízes. 
Em relação aos extremos, uma função polinomial pode ou não ter 
pontos de máximo ou de mínimo local. Muitas vezes métodos 
iterativos são utilizados para que possamos determinar as raízes ou os 
extremos de funções polinomiais. Isso ocorre por que não temos 
fórmulas específicas para calcularmos as raízes ou extremos de 
funções polinomiais de grau n onde n é maior do que 2. 
Como curiosidade, um método iterativo é um método que, a partir de 
uma solução inicial, são geradas novas aproximações dessa solução 
até que se obtenha uma solução satisfatória para um determinado 
problema. O cálculo numérico é um ramo da matemática especializado 
no estudo de métodos numéricos destinados à resolução de 
problemas matemáticos. 
Em alguns casos, é possível realizar fatorações ou simplificações para 
que possamos determinar as raízes de uma função polinomial de grau 
maior ou igual a 3. Uma outra possibilidade é utilizarmos o método de 
Briot-Ruffini para calcularmos raízes inteiras de uma função 
polinomial, caso existam. 
Antes de falarmos sobre o método de Briot-Ruffini, vamos ver alguns 
exemplos de funções polinomiais. 
A função y=x3-6x2+9x apresenta três raízes reais. Uma delas igual a 
zero e outras duas iguais a 3. Essa função apresenta ainda um ponto 
de máximo local e um ponto de mínimo local. 
 
 
A função y=3x4+4x3-5x2-5x+1 possui 4 raízes reais e distintas, além de 
dois pontos de mínimo local e um ponto de máximo local. 
 
A função y=x3-3x2-4x tem três raízes reais e distintas e dois extremos 
locais: um máximo local e um mínimo local. 
 
 
 
 
Vamos, como exemplo, calcular as raízes da função 
  xxxxf 43 23 
. 
Podemos colocar x em evidência, pois é um fator comum a todos os 
termos. Podemos também fatorar a expressão x2-3x-4, o que resulta 
em (x+1)(x+4). Logo, o cálculo das raízes pode ser feito como segue: 
 
   041
043
043
2
23



xxx
xxx
xxx
 
Nesse caso, para que o produto acima seja igual a zero, temos as 
seguintes condições: 








404
101
0
xx
xx
x
 
Sendo assim, as raízes são -1, 0 e 4. Os dois teoremas a seguir são 
úteis no que se refere ao cálculo de raízes de funções polinomiais. 
 
O Teorema do Valor Intermediário afirma que se a<b e f é contínua em 
[a, b], então f(c) está entre f(a) e f(b) para c entre a e b. 
Esse teorema útil para garantir a existência de pelo menos uma raiz 
entre os números a e b se f(a) e f(b) têm sinais opostos. 
 
O Teorema de D’Alembert também é importante na busca por raízes 
de funções polinomiais. 
O resto da divisão de um polinômio p(x) por x – a é p(a). 
Supondo que a divisão de p(x) por x – a resulta um quociente q(x) e 
um resto r, temos p(x) = (x – a) q(x) + r 
Fazendo x = a, temos: 
p(a) = (a – a)q(a) + r = 0. q(a) + r = r 
r = p(a) 
Se um polinômio é divisível por x-a, então esse polinômio se anula 
para x=a. 
Para encontrarmos, caso existam, as raízes inteiras de uma função 
polinomial, podemos utilizar o método de Briot-Ruffini. Esse método é 
destinado à divisão de um polinômio p(x) por um outro polinômio Q(x) 
da forma x-a ou x+a onde a é um número real. 
 
 
O exemplo a seguir será útil para explicarmos o funcionamento do 
método de Briot-Ruffini. 
Determine as raízes da função
  22 23  xxxxf
. 
Para começarmos a resolução, vamos encontrar os candidatos a 
raízes da função polinomial. Esses candidatos são os divisores do 
termo independente 2 divididos pelos divisores do coeficiente do termo 
de maior grau, nesse caso, 1. 
Logo, as possíveis raízes são: -1, 1, -2 e 2. 
O próximo passo é escrever em ordem os coeficientes da função no 
dispositivo a seguir. 
 1 -2 -1 2 
 
 
Na primeira coluna colocaremos, um de cada vez, os candidatos a 
raízes e, na últimacoluna, teremos o resto da divisão. 
 
 1 -2 -1 2 
Candidato 
a raiz 
 Resto 
da divisão 
 
Quando o resto da divisão for igual a zero, teremos uma raiz da 
função. 
Primeiro, vamos ver se -1 é uma raiz da função. Para isso, 
escreveremos -1 no local destinado ao candidato a raiz e abaixaremos 
o primeiro coeficiente que, nesse caso, é igual a 1. 
 
 
 1 -2 -1 2 
-1 1 
O próximo passo é multiplicarmos o número que foi abaixado pelo 
candidato a raiz. Essa multiplicação é igual a 1x(-1) que resulta em -1. 
Vamos agora somar esse resultado com o próximo coeficiente da 
função, no caso, -2. 
O resultado é -1+(-2)=-3. Esse número será escrito abaixo do 
respectivo coeficiente -2. 
 
 1 -2 -1 2 
-1 1 -3 
 
Esse processo deverá ser repetido até o último coeficiente. Vamos, 
então, multiplicar -3 por -1 e, em seguida, somar o resultado com -1. 
Fazendo isso, teremos (-3)x(-1)=3 e 3+(-1)=2. Portanto, o próximo 
número a ser colocado no dispositivo prático é o 2. 
 
 1 -2 -1 2 
-1 1 -3 2 
 
Vamos agora multiplicar esse número 2 por -1 e, em seguida, 
somarmos com o último coeficiente que é igual a 2: 2x(-1)=-2 e -
2+2=0. Portanto, o último número a ser escrito no dispositivo é o zero. 
 
 
 
 1 -2 -1 2 
-1 1 -3 2 0 
 
Como o resto da divisão foi igual a zero, podemos concluir que -1 é 
uma raiz da função 
  22 23  xxxxf
. Se o resultado não tivesse 
sido igual a zero, teríamos que repetir os mesmos procedimentos com 
os outros candidatos a raízes. Mas como já encontramos uma das 
raízes, agora nos resta determinar as outras duas. 
Os termos 1, -3 e 2 que foram sendo obtidos no decorrer do método 
de Briot-Ruffini são os coeficientes da função polinomial que é o 
resultado da divisão feita. Nesse caso, temos uma função de grau 
uma unidade menor do que o grau da função inicial. 
Como a função inicial era uma função cúbica, a função resultante é 
uma função quadrática. Sendo assim, para determinarmos as outras 
raízes podemos continuar com o método de Briot-Ruffini ou então 
podemos utilizar a fórmula quadrática para encontrarmos as outras 
duas raízes. 
Utilizando a fórmula quadrática, temos que encontrar as raízes da 
função y=x2-3x+2 onde a=1, b=-3 e c=2. 
Calculando as raízes, temos: 
1
89
)2).(1.(4)3(
..4
2
2



 cab
 
a
b
x
.2


 
 
1.2
1)3( 
x
 















1
2
2
2
13
2
2
4
2
13
2
13
222
111
xxx
xxx
x
 
Logo, as raízes são: -1, 1 e 2. 
Para saber mais sobre o método de Briot-Ruffini, clique no link a 
seguir. 
http://www.mundoeducacao.com/matematica/dispositivo-pratico-
briotruffini.htm 
1. Para as funções polinomiais dadas a seguir, determine o resto da 
divisão pelo monômio indicado: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
Resolução: 
a) Para determinar o resto da divisão de um polinômio por um 
monômio, faz-se a substituição na equação polinomial 
 do valor de teste. Neste caso o valor de 
teste é 1 (sempre com sinal contrário ao sinal da constante do 
 
 
monômio). Tem-se O valor do 
resto da divisão é 0 (zero) o que indica que 1 é uma raiz do polinômio. 
 
b) O valor a ser testado é -1, no polinômio: 
 
 
 
Resultando:
. 
O resto é 9, indicando que a divisão não é exata. 
 
c) Testando o valor 2 no polinômio 
tem-se : . O resto é 
21 indicando que a divisão não é exata e portanto x = 2 não é raiz do 
polinômio. 
 
d) Para o polinômio testanto o valor -2, 
vem: . 
Sendo o resto não nulo, a divisão do polinômio pelo monômio não é 
exata. 
 
e) Para o binômio testando o valor 2, vem 
 O resto da divisão é nulo, indicando que 
2 é uma raiz do polinômio. 
 
 
f) Para o binômio testando o valor 3, resulta: 
 indicando que 3 é raiz do binômio. 
 
2. Considere as funções polinomiais abaixo. Utilize o método de Briot-
Ruffini para realizar a fatoração e determinar as raízes. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
Resolução: 
a) Usando o método de Briot-Ruffini, deve-se escrever os 
coeficientes do polinômio (potências de x ordenadas, ou seja, da 
maior para a menor, até o termo constante) em uma linha de cálculo. 
Passar um traço para separar os valores de teste de raiz e resultados 
para coeficientes novos pela fatoração. Para o polinômio: 
 tem-se então: 
 1 -2 -5 6 
Dica: Se a soma dos coeficientes for igual a zero, uma das raízes é 
igual a 1. 
 
 
(Neste caso: 1+(-2)+(-5)+6 =0 , tendo uma raiz igual a 1) 
Deve-se escrever a raiz a ser testada no início da segunda linha, 
abaixo do traçado, fazendo: 
 1 -2 -5 6 
 1 
Para completar a linha deve-se baixar o valor do coeficiente principal 
(neste caso com valor 1) 
 1 -2 -5 6 
1 1 
Para preencher as demais posições da segunda linha, deve-se 
multiplicar o último valor conhecido dela (neste caso 1) pela raiz em 
teste (neste caso 1), e somar o resultado com o coeficiente da primeira 
linha a ser recalculado (neste caso o -2) resultado: 1x1+(-2) = -1. O 
valor obtido é inserido na segunda linha abaixo do coeficiente que está 
sendo recalculado. 
 1 -2 -5 6 
1 1 -1 
Repetindo o processo: (-1)x(1) + (-5) = -1 -5 = -6 
 1 -2 -5 6 
1 1 -1 -6 
Repetindo o processo (-6)x(1)+6 = 0 
 1 -2 -5 6 
1 1 -1 -6 0 
Quando a tabela está completa e na última posição surgir um zero (0), 
como ocorreu neste caso, indica que o valor testado é uma raiz do 
 
polinômio e pode-se reescrever o polinômio original na forma fatorada 
como sendo: 
 
Note que o primeiro fator envolve a raiz (x menos raiz), e o segundo 
fator tem os coeficientes determinados pelos valores numéricos que 
estão na segunda linha da tabela (em verde). Exclui-se o zero da 
direita (que somente indica que a divisão é exata) e a partir dele, da 
direita para a esquerda tem-se o coeficiente constante (-6), o 
coeficiente de x (que é -1) e o coeficiente de (que é 1). 
O valor inicial (à esquerda) na segunda linha é a raiz que foi obtida. 
De forma análoga pode-se fatorar o polinômio que obtivemos 
 O valor -6 (coeficiente constante) sugere ser múltiplo de 2 
ou 3 (sinais positivos e negativos devem ser considerados). 
Testando para x = 2 
 1 -1 -6 
 2 1 1 -4 
O último valor numérico da segunda linha não é zero (resultou -4) 
indicando que x = 2 não é raiz. 
Testando para x = -2 
 1 -1 -6 
 -2 1 -3 0 
 
O último valor da segunda linha é zero, logo o valor testado x = -2 é 
raiz da equação polinomial inicial. 
 
 
Podemos reescrever: 
 
E as raízes são 1, -2 e 3. 
 
b) Para o polinômio verifica-se 
que a soma dos coeficientes é igual a zero, logo uma raiz é 1. Usando 
Briot-Ruffini para determinar os coeficientes da fatoração 
 1 4 -1 -4 
11 5 4 0 
 
Reescrevendo 
Para o trinômio o coeficiente constante (4) sugere raízes 
-1, ou 2, ou -2, ou 4 ou -4. 
Testando x = -1 
 1 5 4 
-1 1 4 0 
 
O zero na última posição da segunda linha indica que a o valor testado 
é raiz, e pode-se escrever: 
 
Com as raízes 1, -1 e -4. 
 
c) Para o polinômio a soma dos 
coeficientes não é nula, logo x = 1 não é raiz. O coeficiente constante 
(-3) é múltiplo de 3, -3 e -1, que poderiam ser alguma raiz a ser 
determinada. 
Testando x = 3 
 1 -1 -5 -3 
3 1 2 1 0 
Pode-se reescrever: 
 
O coeficiente constante (1) somente é múltiplo de 1 e de -1, mas é 
sabido que x=1 não é raiz, restando x = -1. Testando vem: 
 1 2 1 
 
 
-1 1 1 0 
Reescrevendo tem-se: 
 
As raízes obtidas são : 3, -1 (raiz dupla). 
 
d) Para o trinômio observa-se que há 
termos com potências de x faltantes ( . Para empregar o método 
de Briot-Ruffini é necessário completar as potências faltantes, e então 
escreve-se: 
 
O valor x = 1 não é raiz pois a soma dos coeficientes não é nula. 
O valor +36 sugere multiplicidade envolvendo -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -
6, 9, -9, 12, -12, 18, e -18. 
 
Testando para x = -1 
 1 0 -13 0 36 
 -1 1 -1 -12 12 24 
 
Não é raiz. 
 
 
Testando para x = 2 
 1 0 -13 0 36 
 2 1 2 -9 -18 0 
 
O valor x = 2 é raiz, e resulta pela fatoração: 
 
 
 
O valor -18 sugere multiplicidade envolvendo -2, 3, -3, 6, -6, 18 e -18. 
Testando para x = -2 
 1 2 -9 -18 
-2 1 0 -9 0 
 
Resultando para fatoração: 
 
O valor -9 sugere multiplicidade de 3, -3, 9 e -9. 
Testando para x = 3 vem: 
 1 0 -9 
3 1 3 0 
 
A fatoração completa é : que resulta 
para as raízes os valores, 2, -2, 3 e -3. 
 
 
 
 
 
e) No polinômio nota-se 
que o coeficiente principal não é igual a 1, o que implica em ter raiz 
fracionária. Para a determinação desta raiz, deve-se pensar em uma 
fração onde o numerador é divisor do coeficiente constante (-12) 
(valores seriam 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 e -12) e o 
denominador é divisor do coeficiente principal (2) (valores seriam 1, -1, 
2 e -2). 
As combinações resultariam em e , pois os demais valores 
poderiam ser simplificados resultando inteiros. 
Testando x = ½ 
 2 5 -5 -20 -12 
½ 2 6 -2 -21 -45/2 
Não é raiz. 
Testando x = -½ 
 2 5 -5 -20 -12 
 2 4 -7 -33/2 -15/4 
Não é raiz. 
Testando x = 
 2 5 -5 -20 -12 
 2 8 7 -19/2 -105/4 
Não é raiz. 
 
Testando x = - 
 2 5 -5 -20 -12 
 2 2 -8 -8 0 
Uma das raízes é x = -3/2, que permite fatorar o polinômio como 
sendo: 
 
O segundo fator tem todos os coeficientes pares, então o valor 2 pode 
ser evidenciado, resultando 
 
Observando o coeficiente constante (-4) do último polinômio, sugere 
multiplicidade com 1, -1, 2, -2, 4 e -4. A possibilidade de raiz x =1 é 
excluída pois a soma dos coeficientes não é nula. 
Testando x = -1. 
 1 1 -4 -4 
-1 1 0 -4 0 
Obteve-se uma raiz, que leva a fatoração. 
 
Para o último polinômio, o coeficiente constante sugere raízes -2 e 2. 
Testando x = 2 
 
 
 1 0 -4 
2 1 2 0 
O valor testado é raiz e tem-se a fatoração completa: 
 
Com raízes -3/2, -1, 2 e -2. 
 
 
f) Para o polinômio 
considerando os divisores do coeficiente constante (9), tem-se 1, -1, 3, 
-3, 9 e -9 que serão os possíveis numeradores da raiz fracionária. 
Observando o coeficiente principal (3), tem divisores 1, -1, 3 e -3 que 
serão possíveis valores para o denominador da raiz fracionária. 
Combinando estes valores, as possíveis frações seriam 1/3 e -1/3. 
Testando x = 1/3 
 3 -1 -27 9 
 3 0 -27 0 
O valor testado é raiz, levando a forma fatorada 
 
 
O coeficiente constante do binômio sugere multiplicidade com 
3 e -3. 
Testando para x = 3, vem: 
 1 0 -9 
3 1 3 0 
Pode-se escrever a fatoração completa como 
 
Sendo as raízes 1/3, 3 e -3. 
 
g) Considerando o polinômio 
observa-se que todos os termos têm a variável x, que pode ser 
fatorada resultando em: 
 
 
 
 
Considerando o polinômio o coeficiente principal 
indica que há uma raiz fracionária onde o numerador poderá ser 1, -1, 
2, -2, 4 e -4 (divisores de 4 – coeficiente constante) e o numerador 
poderá ser 1, -1, 2 e -2 (divisores de 2 – coeficiente principal). 
Fazendo as combinações tem-se ½ e -½ como possibilidades: 
Testando x = ½ 
 2 -1 8 -4 
½ 2 0 8 0 
Pode-se escrever na forma fatorada: 
 
No último binômio os coeficientes são pares e o 2 pode ser fatorado, 
resultando: 
 
O binômio não pode ser fatorado, pois é uma expressão 
irredutível. É possível determinar as raízes imaginárias através de: 
 
 
 
As raízes do polinômio são: 0, ½ (reais), 2i e -2i.(imaginárias) 
 
 
3. Determine as raízes das funções polinomiais abaixo, e trace os 
gráficos correspondentes. 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
Resolução: 
a) Observando a expressão fatorada 
a função tem raízes determinadas por 
 
 
No fator como o expoente é par (2) o gráfico da função não 
irá cruzar o eixo das abcissas (apenas tocar) e no fator o 
expoente é ímpar (3), o gráfico irá cruzar o eixo das abcissas. 
As raízes são 2 (raiz dupla) e -1 (raiz tripla). 
 
 
 
 
b) Observando a expressão fatorada 
a função tem raízes determinadas por 
 
 
No fator como o expoente é ímpar (3) o gráfico da função irá 
cruzar o eixo das abcissas e no fator o expoente é ímpar (3), 
o gráfico irá cruzar o eixo das abcissas. 
As raízes são 3 ( raíz tripla) e -2 ( raiz tripla). 
 
 
c) Observando a expressão fatorada a 
função tem raízes determinadas por 
 
 
No fator como o expoente é par (2) o gráfico da função não 
irá cruzar o eixo das abcissas (apenas tocar) e no fator o 
expoente é ímpar (1), o gráfico irá cruzar o eixo das abcissas. 
As raízes são -2 (raíz dupla) e 1 (raiz simples). 
 
 
d) Observando a expressão fatorada 
a função tem raízes determinadas por 
 
 
Em ambos os fatores os expoentes são pares, e o gráfico da função 
não irá cruzar o eixo das abcissas (apenas tocar). 
 
 
As raízes são 1 (raíz dupla) e -2 (raiz dupla). 
 
Vamos aproveitar o momento e assistir ao vídeo do Prof. Ricardo 
sobre raízes e extremos de funçõespolinomiais! Para isso, acesse o 
material on-line! 
 
Aplicação das funções polinomiais 
Chegou o momento de falarmos sobre algumas aplicações 
relacionadas às funções polinomiais. 
A primeira aplicação está relacionada ao equilíbrio entre os custos e a 
receita de uma empresa. Nesse caso, tanto a função custo quanto a 
função receita são casos de funções polinomiais de grau 1. 
Sabendo que a receita de uma empresa é dada por R(x)=336x e os 
custos por C(x)=215x+12705 onde x é a quantidade comercializada de 
um certo produto, determine o ponto de equilíbrio. 
Para calcularmos o ponto de equilíbrio, basta igualarmos as funções. 
 
105
121
12705
12705121
12705215336
12705215336
)()(






x
x
x
xx
xx
xCxR
 
O próximo exemplo se refere à estimativa do custo de produção de 
uma empresa em relação à quantidade produzida. Nesse exemplo, a 
relação entre a produção e o custo total é dada por uma função 
polinomial de grau 3. 
Uma empresa estima que o custo de produção referente a x unidades 
produzidas por hora é dado pela função 
C(x)=0,02x3-1,8x2+59x+150 
Determine o custo referente à produção de 10 unidades por hora. 
C(10)=0,02(10)3-1,8(10)2+59(10)+150 
C(10)=0,02(1000)-1,8(100)+590+150 
C(10)=20-180+590+150 
C(10)=580 
Podemos utilizar o conceito de ponto de equilíbrio para tomarmos 
algumas decisões. Um trabalhador tem a possibilidade de escolher 
duas possibilidades oferecidas pelo seu plano de saúde empresarial. 
Ambas opções têm as mesmas coberturas, diferindo apenas no valor 
da mensalidade e no valor adicional cobrado por consultas marcadas. 
A opção A tem uma mensalidade de R$ 120,00 e o valor de cada 
consulta adicional é de R$ 40,00. A opção B tem uma mensalidade de 
R$ 200,00 e cada consulta marcada custa R$ 20,00. Com base em 
uma estimativa de consultas mensais que esse trabalhador tem o 
 
 
hábito de marcar, qual das duas opções é mais vantajosa 
financeiramente? 
Resolução: 
A função que representa o total a ser pago por mês se a escolha for o 
plano A é: 
y=40x+120 
A função que representa o total a ser pago por mês se a escolha for o 
plano B é: 
y=20x+200 
Em ambos os casos, y é o total a ser pago e x é o número de 
consultas marcadas mensalmente. 
Para encontrarmos o ponto de equilíbrio, ou seja, o número de 
consultas mensais que iguala o total a ser pago, independente do 
plano escolhido, precisamos igualar as funções: 
40x+120=20x+200 
Logo: 
40x+120=20x+200 
40x-20x=200-120 
20x=80 
x=80/20 
x=4 
Já sabemos que se esse trabalhador tem o hábito de marcar 4 
consultas por mês, tanto o plano A quanto o plano B terão o mesmo 
valor. Se o número de consultas mensais marcadas for menor do que 
 
2
2
2
m 11304
6003x14,3
06x14,3




A
A
A
rA 
4, o plano A é melhor pois como tem uma mensalidade menor, será 
financeiramente mais viável. 
Mas se o número de consultas for maior do que 4 por mês o plano B e 
melhor, pois tem um custo por consulta menor do que o plano A e, 
nesse caso, é mais viável para um número grande de consultas. 
Para entendermos melhor o que vimos até aqui, vamos assistir ao 
vídeo do Prof. Ricardo sobre aplicações de funções polinomiais em 
problemas reais. Para isso, acesse o material on-line! 
 
Na prática 
Um projeto de pesquisa desenvolvido na Universidade Federal do Rio 
Grande do Sul, no Laboratório de Aerodinâmica das Construções, se 
refere a uma gigantesca tela de formato circular utilizada para proteger 
uma imensa pilha de cavaco, matéria-prima utilizada na fabricação de 
celulose. Sabendo que o diâmetro dessa tela é de 120 metros, calcule 
a área circundada pela estrutura. 
Resolução 
Sabemos que a relação entre a área e o raio de um círculo é dada 
pela função potência 2rA  
Onde A é a área do círculo, r é a medida 
do raio e  é uma constante cujo valor 
aproximado é igual a 3,14. Como o 
diâmetro é de 120 metros, o raio é igual 
à metade do diâmetro, ou seja, igual a 
60 metros. Portanto: 
Logo, a área é de 11.304 metros quadrados. 
 
 
Síntese 
Chegamos ao final da aula! 
Aprendemos sobre funções potência e também sobre funções 
polinomiais. Agora já sabemos sobre diversas aplicações relacionadas 
a elas e também sobre raízes e ponto de equilíbrio. 
Para que possamos aprender mais, vamos ler os capítulos 9 e 10 da 
obra Pré-Cálculo dos autores Franklin D. Demana, Bert K. Waits, 
Gregory D. Foley e Daniel Kennedy, 2a edição, editora Pearson, 
disponível na Biblioteca Virtual. 
 
Até a próxima! 
 
Referências 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-
Cálculo. 2a Ed, São Paulo, Pearson, 2013.