Modelagem de Sistemas Eletrônicos Exercícios (com resolução)

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Modelagem Matemática 
 
 
 
MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
 
 Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos 
consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores, 
capacitores e indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre 
tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas. 
 
Tabela 1 – Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitoers, 
resistores e indutores. 
 
Nota: ν( t ) = V (volts), i( t ) = A (ampères), q( t ) = Q (coulombs), C = F (farads), R = Ω (ohms), G =(mhos), L = H (henries)
Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga
Impedância
Z(s) = V(s)/I(s)
Admitância
Y(s) = I(s)/V(s)
 
 
 As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que 
estabelecem: 
• A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é 
igual a zero. 
• A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero. 
 
 A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do 
circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se 
soluciona a Função de Transferência. 
 
Exemplo: 
 
Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão 
de entrada, V(s), da figura 1. 
 
 
Figura 1 - Circuito RLC. 
Transformadas de Laplace 
 
 
 
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Resolução: 
 
 Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o circuito. 
Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a 
equação íntegro-diferencial. 
 
0
1( )
( ) ( ) ( )
tdi tL Ri t i d v t
dt C
τ τ+ + =∫ 
 
 Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação 
( ) ( ) /i t dq t dt= resulta: 
 
2
2
1( ) ( )
( ) ( )
d q t dq tL R q t v t
dt Cdt
+ + = 
 
 A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela 1: 
 
( ) ( )Cq t Cv t= 
 
 Substituindo: 
 
2
2
( ) ( )
( ) ( )C C C
d v t dv t
LC RC v t v t
dtdt
+ + = 
 
 Aplicando Laplace: 
 ( )2 1 ( ) ( )CLCs RCs V s V s+ + = 
 
Calculando a função de transferência, ( ) / ( )cV s V s : 
 
2
1
1
( )
( )
cV s LC
RV s s s
L LC
=
+ +
 
 
 
Transformadas de Laplace 
 
 
 
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 SISTEMAS MECÂNICOS EM TRANSLAÇÃO 
 
 
Os sistemas mecânicos obdecem à lei fundamental onde o somatório de 
todas as forças é igual a zero. Isto é conhecido como lei de Newton e pode ser dito 
da seguinte forma: a soma das forças aplicadas deve ser igual à soma das forças de 
reação. 
Iniciaremos arbitrando um sentido positivo para o movimento, por exemplo, 
para direita. Usando o sentido escolhido como positivo para o movimento, 
desenhamos em primeiro lugar um diagrama de corpo livre, posicionando sobre o 
corpo todas as forças que agem sobre ele no sentido do movimento ou no sentido 
oposto. Em seguida, utilizamos a lei de Newton para construir a equação diferencial 
do movimento somando as forças e igualando a soma a zero. Finalmente, supondo 
as condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de Laplace à equação 
diferencial, sepramos as variáveis e chegamos à função de transferência. A Tabela 2 
apresenta os elementos mecânicos comuns em sistemas de translação como suas 
relações. 
 
Tabela 2 – Relações força-velocidade, força-deslocamento, e impedância de translação de 
molas, amortecedores e massas. 
 
 
 
Componente 
Força- 
velocidade
Força- 
deslocamento 
Impedância 
Zm(s)=F(s)/X(s) 
Mola 
Amortecedor viscoso 
Massa 
 
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste texto: f ( t ) = N 
(newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m 
(newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro). 
Transformadas de Laplace 
 
 
 
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Exemplo 
 
Obter a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo: 
 
 
 
Resolução: 
 
Desenhando o diagrama de corpo livre para o sistema proposto e arbitrando o 
sentido do movimento para direta, obtemos: 
 
 
 
Utilizando a Lei de Newton escrevemos a equação diferencial do movimento. 
 
2
2
( ) ( )
( ) ( )v
d x t dx tM f Kx t f t
dtdt
+ + = 
 
Aplicando Laplace, 
 
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v
v
Ms X s f sX s KX s F s
Ms f s K X s F s
+ + =
+ + = . 
 
Resolvendo para obter a função de transferência, 
 
2
1( )
( )
( ) v
X sG s
F s Ms f s k
= = + + 
 
 
Transformadas de Laplace 
 
 
 
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Em sistemas mecânicos, o número necessário de equações de movimento é 
igual ao número de movimentos linearmente independentes. A independência linear 
implica que um onto de movimento em um sistema em movimento pode continuar a 
se mover mesmo se todos os outros pontos forem mantidos parados. A expressão 
linearmente independente também é conhecida por graus de liberdade. Desta forma 
podemos sugerir uma pequana equação. 
 
[Soma de Impedâncias]X(s) = [Soma de forças aplicadas] 
 
Quando utilizando a lei de Newton, somando as forças de cada corpo e 
fazemos a soma igual a zero, o resultado é um sistema de equações simultâneas do 
movimento. Estas equações podem ser resolvidas em função da variável de saída de 
interesse a partir da qual se calcula a função de transferência. 
 
Exemplo: 
 
Obter a função de transferência, X2(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo. 
 
 
 
Usando o conceito apresentado anteriormente podemos solucionar o 
exercício por inspeção, escrevendo as equações de movimento do sistema, sem 
desenhar o diagrama de corpo livre. 
 
1 2
1
1 2
1
Soma das
Soma das
impedâncias Soma das
impedâncias
conectadas ao forças aplicadas
entre
movimento em x
x e x
em x
( ) ( )X s X s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
e 
 
Transformadas de Laplace 
 
 
 
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1 2
1 2 2
2
Soma das
impedânciasSoma das Soma das
impedâncias conectadas ao forças aplicadas
movimentoentre x e x em x
em x
( ) ( )X s X s
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
SISTEMAS MECÂNICO EM ROTAÇÃO 
 
As equações caracterizando os sistemas que apresentam movimento de 
rotação são semelhantes às dos sitemas com translação. Escrever as equações de 
conjugado é equivalente a escrever as equações de força, com os termos de 
deslocamento, velocidade e aceleração considerada agora como grandezas 
angulares. O torque substitui a força e deslocamento angular substitui deslocamento. 
O termo associado à Massa é substituído por inércia. 
O conceito de graus de liberdade também continua válido nos sitemas em 
rotação. O número de pontos de movimento que podem ser submetidos a 
deslocamentos angulares, enquanto se mantêm parados todos os demais, é igual ao 
número de equações de movimento ncessário para descrever o sistema. 
Os elementos relacionados ao movimento mecânico em rotação são 
apresentados na Tabela 3. 
 
Tabela 3 – Relações torque-velocidade angular, torque-deslocamento angular, e impedância 
de rotação de molas, amortecedores viscosos e inércia. 
Mola 
Amortecedor 
viscoso
Componente
Torque -
velocidade
angular
Torque -
deslocamento
angular
Impedância
Zm(s) = T(s) / θ(s)
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: T ( t ) = 
N.m (newton.metro), Θ( t ) = rad (radianos), ω( t ) = rad/s (radianos /segundo),K =N.m /rad 
(newton.metro / radiano), D ν = N.m.s/ rad (newton.metro.segundo/ radiano), J =kg.m2
(quilograma.metro2 = newton.metro.segundo2 / radiano).
Inércia
 
Transformadas de Laplace 
 
 
 
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Exemplo 
 
Obter a função de transferência, 2( )
( )
s
T s
θ , para o sistema em rotação mostrado 
na figura abaixo. O eixo elástico é suspenso por meio de mancais em cada uma das 
extremidades e é submetido à torção. Um torque é aplicado à esquerda e o 
deslocamento angular é medido à direita. 
 
 
 
Resolução: 
 
Embora a torção ocorra ao longo do eixo, aproximamos o sistema admitindo 
que a torção atua como uma mola concentrada em um ponto particular do eixo, com 
uma inércia, J1, à esquerda, e uma inércia J2 à direita. Usando o princípio da 
superposição notamos que o sistema apresenta dois graus de liberdade. Desta forma 
podemos solucionar o problema por inspeção, onde: 
 
1 2
1 2 1
1
1
1 2
Soma das Impedâncias
Soma das Impedâncias Soma dos torques
conectas ao movimento
entre e aplicados em 
em 
Soma das I
Soma das Impedâncias
entre e 
( ) ( )
( )
s s
s
θ θθ θ θθ
θθ θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2
2
mpedâncias
Soma dos torques
conectas ao movimento
aplicados em 
em 
( )sθ θθ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Ou ainda utilizando o diagrama de corpo livre para cada um dos torques. 
 
Transformadas de Laplace 
 
 
 
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Sentido Sentido Sentido
 
 
 
Sentido Sentido Sentido
 
 
E assim obtemos as equações do movimento: 
 
2
1 1 1 2
2
1 2 2 2 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
J s D s K s K s T s
K s J s D s K s
θ θ
θ θ
+ + − =
− + + + = 
 
A partir das quais se obtém a função de transferência pedida: 
 
2
2
1 1
2
2 2
( )
( )
(
( )
s K
T s
J s D s K K
K J s D s K
θ = Δ
+ + −Δ = − + +