Prova cálculo 1

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Trabalho P2
Curso: Engenharia
Professor: Fernando Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exerc´ıcio 1 Um esta´dio de futebol tem a forma circular e sua cobertura e´ a superf´ıcie obtida pelo
giro, em torno do eixo OX, de
y = f(x) =
√
1800− 12x, 75 ≤ x ≤ 150.
O material com o qual e´ feita essa cobertura custa R$2.500, 00 cada metro quadrado. Qual foi o
custo total com esse material? Despreze os eventuais desperd´ıcios no corte.
R$3.947.235, 22
Exerc´ıcio 2 Calcule o limite, pela Regra de L’Hoˆpital:
a) lim
x→0
sen x− x
x3
; b) lim
x→1
x− 1
ln x− sen (pix) ;
c) lim
t→+∞
et + t2
et − t ; d) limx→+∞x
2e−x.
a)− 1/6
b)1/(1 + pi)
c)1
d)zero
Exerc´ıcio 3 Considere a func¸a˜o f(x) =
x2
8
− ln x:
a)determine o domı´nio;
b)esboce o gra´fico utilizando o Winplot (ou outro programa gra´fico), calculando f ′(x) e f ′′(x), encon-
trando a raiz da derivada e observando os sinais. Calcule tambe´m os limites lim
x→0
f(x) e lim
x→+∞
f(x);
c)calcule o comprimento do arco sobre o gra´fico entre x = e2 e x = e3.
a)]0,+∞[
b)gra´fico lim
x→0
f(x)= lim
x→+∞
f(x)=+∞
c)
e6 − e4
8
+ 1
Exerc´ıcio 4 Dada a func¸a˜o f(x) =
x3
6
+
1
2x
, 1 ≤ x ≤ 2:
a) determine o comprimento da curva;
b) calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pelo giro desta curva em torno do eixo OX.
x
y
z
a)65/48
b)57/56
Exerc´ıcio 5 Um silo de forma esfe´rica, com raio R e inicialmente cheio, despeja gra˜os no cha˜o
em um monte na forma de cone circular reto, em que o raio r e´ sempre igual a altura.
Se a vaza˜o e´ constante k dm3/s:
a) mostre que a taxa de variac¸a˜o da altura no silo e´ decrescente ate´ a metade dele e depois crescente;
b) mostre que a taxa de variac¸a˜o do volume do cone tambe´m e´ constante (sime´trica da do volume
de gra˜os no silo);
c) mostre que a taxa de variac¸a˜o do raio do cone e´
dr
dt
=
k
pir2
dm/s;
d) determine a func¸a˜o h(t), altura do cone, em um instante qualquer;
e) se k = 4pi e R = 30 dm, em quanto tempo este processo, vazamento dos gra˜os, termina?
x
z
a)Obtenha
dV
dt
= pi
(
2RH
dH
dt
−H2dH
dt
)
e conclua da´ı.
b)Use V + v = constante (volume de gra˜os), onde V e´ o volume do silo e v volume do cone.
c)O volume do cone e´ v =
pi.r2.h
3
d)h(t) =
3
√
3kt
pi
e)27000 segundos.
Exerc´ıcio 6 Derivac¸a˜o logar´ıtmica e´ aplicar logaritmo em y = f(x) e derivar. Por exemplo,
y = xx, x > 0⇒ ln y = ln (xx) = x.ln x
y′
y
= 1.ln x+ x.
1
x
⇒ y′ = y(1 + ln x)⇒ y′ = xx(1 + ln x).
Considere y = (x2+3x+2)x e, utilizando o Winplot (ou outro programa gra´fico), fac¸a os gra´ficos
de y e y′ juntos, calcule esta u´ltima func¸a˜o por derivac¸a˜o logar´ıtmica. Justifique porqueˆ na˜o aparece
gra´fico de y para −2 ≤ x ≤ −1. Determine a equac¸a˜o da reta rtg, tangente ao gra´fico de y no ponto
de intersec¸a˜o com o eixo coordenado vertical. Calcule o aˆngulo de inclinac¸a˜o de rtg, neste ponto.
Observando y′, apresente a justificativa para o fato da func¸a˜o y ser crescente para x > 0.
Exerc´ıcio 7 Uma mina produz mensalmente 600 toneladas de certo mine´rio. Estima-se que o
processo extrativo dure 25 anos (300 meses) a partir de hoje e que o prec¸o por tonelada do mine´rio,
daqui a t meses, seja f(t) = −0.01t2 + 12t+ 400 reais. Qual e´ a receita gerada pela mina ao longo
dos 300 meses?
Aproximadamente R$342.000.000, 00. Utilize lim
|P |→0
n∑
i=1
f(ci).∆i =
∫ b
a
f(x) dx.
Exerc´ıcio 8 Calcule o volume do so´lido gerado pelo giro de f(x) = sen x, x ∈ [0, pi] em torno de
y = c, c ∈ [0, 1] constante.
a)Determine c que minimiza o volume do so´lido. Qual e´ o volume mı´nimo?
b) Que valor de c ∈ [0, 1] maximiza este volume?
a)2/pi
b)zero
Cabo suspenso entre dois postes.
Na figura temos a representac¸a˜o de um cabo suspenso ligando os pontos A e B no mesmo n´ıvel.
A
C
B
D
T
H
θ
T.cos
T.sen
c
θ
θ
Para que o ponto D esteja em equil´ıbrio, as forc¸as horizontal e vertical teˆm que se compensarem,
ou seja, a tensa˜o horizontal H = T.cos θ e a vertical peso do cabo w.c = T.sen θ, onde c =∫ x
0
√
(f ′(t))2 + 1 dt e´ o comprimento do cabo desde o ponto C ate´ D e w e´ o peso de cada metro.
Se o cabo tem a forma da func¸a˜o y = f(x),
w.c
H
=
T.sen θ
T.cos θ
= tg θ =
dy
dx
⇒
dy
dx
=
w
H
.c⇒ d
2y
dx2
=
w
H
.
dc
dx
⇒ d
2y
dx2
=
w
H
.
√
(y′)2 + 1 (questa˜o anterior).
Com a =
H
w
, temos
d2y
dx2
=
1
a
.
√
(y′)2 + 1.
Exerc´ıcio 9 Mostre enta˜o que essa equac¸a˜o e´ satisfeita por y = f(x) =
a(ex/a + e−x/a)
2
. A curva
gra´fico desta func¸a˜o e´ chamada Catena´ria.
Pela semelhanc¸a com as func¸o˜es trigonome´tricas, define-se as func¸o˜es hiperbo´licas:
cosseno hiperbo´lico: f(x) =
ex + e−x
2
= cosh x;
seno hiperbo´lico: f(x) =
ex − e−x
2
= senh x.
Note que:
i) [cosh x]′ = senh x; ii) [senh x]′ = cosh x; iii) cosh2 x− senh2 x = 1.
Somente sob efeito da gravidade o cabo tem a forma do gra´fico da func¸a˜o
y = f(x) = a.cosh (x/a)
em um sistema de coordenadas onde o ponto C esta´ associado ao par ordenado (0, a).
Exerc´ıcio 10 Calcule o comprimento c do arco y = f(x) = a.cosh (x/a), 0 ≤ x ≤ x0. E observe
que o valor de a pode ser obtido de
c = a.senh (x0/a)⇔ senh (x0/a) = c/a.
Se u = x0/a, enta˜o senh u = c/a = c/x0.u e assim a pode ser determinado pela soluc¸a˜o do
sistema {
y = senh u
y = c/x0.u
.
c = a.senh (x0/a)
Exerc´ıcio 11 Na disciplina Ca´lculo Nume´rico apredemos que uma soluc¸a˜o do sistema acima pode
ser obtida da seguinte forma:
i) Defina g(u) = senh u− c/x0.u
ii) Defina ϕ(u) = u− g(u)
g′(u)
iii) Crie uma sequencia de nu´meros fazendo u0 = 1, u1 = ϕ(u0), u2 = ϕ(u1), e assim sucessiva-
mente, ate´ que os nu´meros coincidam em u0 que e´ enta˜o a soluc¸a˜o do sistema.
Qual e´ a func¸a˜o para o caso de um cabo de 32 metros, pesando 2 kg por metro, esticado no
mesmo n´ıvel entre dois postes que esta˜o a 30 metros de distaˆncia? Neste caso, x0 = 15 e c = 16.
u0 ≈ 0.6263 e de u = x0/a temos 0.6263 = 15/a⇒ a ≈ 23.9502. Logo a func¸a˜o e´
f(x) = 23.9502.cosh (x/23.9502).
Exerc´ıcio 12 A tensa˜o T em cada ponto do cabo e´ tal que H = T.cos θ, como a = H/w temos
aw = T.cos θ e T = aw/cos θ = aw.sec θ.
Da´ı, T = aw.
√
1 + tg2 θ = aw.
√
1 + (dy/dx)2. Sabemos que y = a.cosh (x/a), logo dy/dx =
a.senh (x/a).(1/a) = senh x e assim
T = aw.
√
1 + (dy/dx)2 = aw.
√
1 + senh2 x = aw.cosh x = w.y.
A tensa˜o e´ ma´xima quando y for ma´ximo ja´ que w e´ fixo.
Se um cabo, que pesa 1 kg por metro, e os postes, um distante do outro 60 metros, suportam
uma tensa˜o ma´xima T = 60, qual deve ser seu comprimento?
Neste caso, x0 ma´ximo e´ 30 metros. Enta˜o 60 = 1.y0 = a.cosh (30/a) e fazendo u = 30/a devemos
encontrar u soluc¸a˜o de {
y = cosh u
y = 60/a = 2u
.
Resolva g(u) = cosh u− 2u = 0 como na questa˜o anterior.
u = 0.5894, a = 50.9003 e c = 31.7673. Da´ı o comprimento mı´nimo do cabo deve ser 2c = 63.5346
metros.
Comprimento, volume de revoluc¸a˜o e a´rea.
1.C =
∫ b
a
√
(f ′(x))2 + 1 dx
2.V = pi.
∫ b
a
(R(x))2 dx, onde R(x) e´ o raio de rotaca˜o;
3.A = 2pi
∫ b
a
f(x).
√
(f ′(x))2 + 1 dx