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Introdução à Análise de
Clusters
JOA˜O A. BRANCO
Instituto Superior Te´cnico
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 0/114
Sumário
1. Introdução
2. Medidas de proximidade
3. Métodos gráficos
4. Métodos hierárquicos
5. Métodos não hierárquicos
6. Aplicações
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 1/114
1. Introdução
1.1 Classificação
O que é?
Classificação é o verdadeiro ou ideal arranjo em conjunto
daqueles que são iguais, e a separação daqueles que são
diferentes, sendo que a finalidade deste arranjo é primeira-
mente:
(i) formar e conservar o conhecimento,
(ii) analisar a estrutura do fenómeno,
(iii) relacionar entre si os aspectos do fenómeno em
questão.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 2/114
1. Introdução (cont.)
The science of classification, which deals
with the problems of how classifications
emerge, function and interact, is still un-
born. What we have in hand currently is
clustering, the discipline aimed at revealing
classifications in observed real-world data.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 3/114
1. Introdução (cont.)
1.2 Análise de clusters (AC)
O que é?
objectos −→ grupos (clusters)
H H M M M H H M H M• • • • • • • • • •
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 4/114
1. Introdução (cont.)
Exemplos de clusters
(a) (b)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 5/114
1. Introdução (cont.)
Exemplos de clusters
(c) (d)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 6/114
1. Introdução (cont.)
Exemplos de clusters
(e) (f)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 7/114
1. Introdução (cont.)
Objectivos da AC
Exploração dos dados
Redução de dados
Geração de hipóteses
Predição
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 8/114
1. Introdução (cont.)
Outras designações para AC
Aprendizagem não supervisionada
Taxonomia numérica
Classificação automática
Classificação
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 9/114
1. Introdução (cont.)
Aplicações
Áreas tradicionais:
Biologia, Arqueologia, Sismologia,
Medicina, Psiquiatria
Novos desafios:
Análise de mercados, Dados de
microarrays, Data mining, Classificação de
documentos
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 10/114
1. Introdução (cont.)
1.3 Dados
Dois tipos de informação (formato das matrizes
iniciais)
Matriz de dados
Dist. Campo
Planeta
ao Sol
Diâm. Massa Dens. Grav. Trans. Rot. Satél. Anéis Superf.
Magnét.
Mercúrio 0.387 0.383 0.0553 0.984 0.378 0.241 58.8 0 Não Sólida Sim
Vénus 0.723 0.949 0.815 0.951 0.907 0.615 -244 0 Não Sólida Não
Terra 1 1 1 1 1 1 1 1 Não Sólida Sim
Marte 1.52 0.533 0.107 0.713 0.377 1.88 1.03 2 Não Sólida Não
Júpiter 5.20 11.21 317.8 0.240 2.36 11.9 0.415 61 Sim Líquida Sim
Saturno 9.58 9.45 95.2 0.125 0.916 29.4 0.445 31 Sim Líquida Sim
Urano 19.20 4.01 14.5 0.230 0.889 83.7 -0.720 26 Sim Mista Sim
Neptuno 30.05 3.88 17.1 0.297 1.12 163.7 0.673 13 Sim Líquida Sim
Plutão 39.24 0.187 0.0021 0.317 0.059 248.0 6.41 1 Não Sólida -
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 11/114
1. Introdução (cont.)
Matriz de dissemelhanças
obtida a partir da matriz de dados
Mercúrio Vénus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno
Vénus 0.950
Terra 1.128 0.210
Marte 0.314 0.846 1.048
Júpiter 317.930 317.152 316.965 317.873
Saturno 95.580 94.770 94.582 95.512 222.607
Urano 14.912 14.040 13.853 14.815 303.385 80.883
Neptuno 17.413 16.558 16.371 17.324 300.789 78.299 2.604
Plutão 0.697 1.265 1.457 0.536 317.989 95.648 14.994 17.492
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 12/114
1. Introdução (cont.)
observada directamente
Cenário
1 Sofrimento pela morte da mãe
2 Saboreando coca-cola
3 Uma surpresa agradável
4 Amor maternal – bebé nos braços
5 Cansaço físico
6 Apercebe-se que há qualquer coisa errada com o avião
7 Acesso de cólera ao ver bater num cão
8 Embaraço – vontade de se esconder
9 Inesperadamente encontra um antigo namorado
10 Mudança súbita de humor
11 Dor intensa
12 Apercebe-se que o avião vai cair
13 Ligeiro descanso
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 13/114
1. Introdução (cont.)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 4.05
3 8.25 2.54
4 5.57 2.69 2.11
5 1.15 2.67 8.98 3.78
6 2.97 3.88 9.27 6.05 2.34
7 4.34 8.53 11.87 9.78 7.12 1.36
8 4.90 1.31 2.56 4.21 5.90 5.18 8.47
9 6.25 1.88 0.74 0.45 4.77 5.45 10.20 2.63
10 1.55 4.84 9.25 4.92 2.22 4.17 5.44 5.45 7.10
11 1.68 5.81 7.92 5.42 4.34 4.72 4.31 3.79 6.58 1.98
12 6.57 7.43 8.30 8.93 8.16 4.66 1.57 6.49 9.77 4.93 4.83
13 3.93 4.51 8.47 3.48 1.60 4.89 9.18 6.05 6.55 4.12 3.51 12.65
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 14/114
1. Introdução (cont.)
1.4 Fases de uma AC
1. Selecção de objectos
2. Selecção de variáveis
3. Transformação de
variáveis
4. Construção da medida
de dissemelhança/semelhança
5. Escolha do método a
aplicar aos dados
6. Discussão e apresentação
dos resultados
Número de clusters
Validação/descrição/interpretação
?
Gráfico Hierárquico Partição Outro
? ?
Matriz de
dados
Matriz de
dissemelhanças
-
�
�
�
�
�
��	
@
@
@
@
@
@@R
Objectos
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 15/114
1. Introdução (cont.)
Perguntas que se colocam no decorrer da análise
(i) Como seleccionar os objectos?
(ii) Que variáveis devem ser incluídas?
(iii) Que medida de dissemelhança deve ser usa-
da?
(iv) Qual a forma mais clara de apresentar os re-
sultados e como proceder de forma convin-
cente à sua validação?
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 16/114
2. Medidas de
proximidade
2.1 Introdução
Proximidade


Semelhança
Dissemelhança
Dissemelhança:
1. dij ≥ 0, ∀i,j
2. dii = 0, ∀i
3. dij = dji, ∀i,j (simétrica)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 17/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
4. dij ≤ dik + dkj, ∀i,j,k (triangular)
5. dij = 0 sse i = j
6. dij ≤ max (dik, djk) , ∀i,j,k (ultramétrica)
Semelhança:
1. sij ≥ 0, ∀i,j
2. sij = sji, ∀i,j
3. sij é tanto maior quanto maior for a
semelhança entre os objectos.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 18/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Exemplo – Matriz de semelhanças (observação directa)
Frequências absolutas do número de estudantes que escolheu
cada par de universidades:
U1 U2 U3 U4 U5 U6
U1
U2 13
U3 22 0
U4 10 61 18
U5 150 25 120 7
U6 15 12 5 19 23
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 19/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Relação entre sij e dij:
sij -
função decrescente dij = k − sij
sij =
k
k+dij
fffunção decrescente dij
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 20/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
2.1 Medidas de proximidade entre objectos
Variáveis quantitativas
Dissemelhanças derivadas da distância euclidiana
Dados: X = [xij], i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , p
dij =
[
p∑
k=1
(xik − xjk)2
] 1
2
=
[
(xi − xj)′ (xi − xj)
] 1
2
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 21/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Exemplo (idade e altura de três pessoas):
Nome Idade Altura (cm)
Pedro 18 165
António 19 198
José 20 181
d12 = [(18− 19)2 + (165− 198)2]1/2 (cm)
d12 = [(18− 19)2 + (1.65− 1.98)2]1/2 (m)
Altura (cm) Altura (m)
d12 33.015 1.053
d13 16.125 2.006
d23 17.029 1.014
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 22/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Distância euclidiana ponderada
dij =
[
(xi − xj)′A (xi − xj)
] 1
2
A = I, distância euclidiana
A = 1
p
I, distância euclidiana média
A = D−1 =
[
diag(s21, s
2
2, . . . , s
2
p)
]
−1
, distância euclidiana
estandardizada
A = S−1, distância de Mahalanobis
A = R−1 =
[
diag(r21, r
2
2, . . . , r
2
p)
]
−1
,
com rk = maxi,j |xik − xjk|
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 23/1142. Medidas de
proximidade (cont.)
Exemplo (Densidade e gravidade dos planetas):
Planeta Dens. Grav.
Mercúrio 0.984 0.378
Vénus 0.951 0.907
Terra 1 1
Marte 0.713 0.377
Júpiter 0.240 2.36
Saturno 0.125 0.916
Urano 0.230 0.889
Neptuno 0.297 1.12
Plutão 0.317 0.059
Distância da Terra a Marte
A = I: 0.686
A = 12I: 0.485
A = D−1: 1.231
A = S−1: 1.470
A = R−1: 0.425
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 24/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Dissemelhanças usando métricas de Minkowski
dij =
[
p∑
k=1
|xik − xjk|r
]1
r
, r ≥ 1
r = 1−→ L1 (city-block/taxicab/Manhattan)
r = 2−→ L2 (distância euclidiana)
r →∞
−→ L∞ = limr→∞ dij = supk=1,...,p |xik − xjk| (supremo)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 25/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Posição relativa de pontos à distância unitária de um outro
ponto O, segundo as métricas L1, L2 e L∞:
-
6
O
1 1
1
1
ff
ff
ff
L∞
L1
L2
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 26/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Interpretação geométrica das métricas L1, L2 e L∞:
-
6
O
y
x
q
q
P2
P1
-
6
O
y
x
q
q
P2
P1�
�
�
-
6
O
y
x
q
q
P2
P1
Métrica L1 Métrica L2 Métrica L∞
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 27/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Outras dissemelhanças
Métrica de Camberra: dij =
p∑
k=1
|xik − xjk|
xik + xjk
com dij = 0 se xik = xjk = 0
Métrica de Gower: dij =
p∑
k=1
|xik − xjk|
rk
Coeficiente de correlação:
rij =
∑p
k=1 (xik − x¯i·) (xjk − x¯j·)[∑p
k=1 (xik − x¯i·)2
∑p
k=1 (xjk − x¯j·)2
] 1
2
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 28/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Variáveis qualitativas
nominais (com 2 e mais níveis)
ordinais
• Variáveis binárias (Exemplo – Duas universidades observadas em
10 características):
Variáveis
Univ. X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13
i 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0
j 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 29/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
No. de pares (1, 1), (1, 0), (0, 1) e (0, 0) para v. binárias:
objecto j
1 0
1 a b a+ b
objecto i
0 c d c+ d
a+ c b+ d p = a+ b+ c+ d
a distância euclidiana média (para o exemplo) é
dij =
[
1
13
13∑
i=1
(xik − xjk)2
] 1
2
=
(
b+ c
a+ b+ c+ d
) 1
2
= 0.680.
dij - dissemelhança; sij = (a+ d)/p - semelhança
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 30/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Três coeficientes de semelhança (de uma longa lista)
Jacard:
sij =
a
a+ b+ c
(= 0.45)
Sorenson:
sij =
2a
2a+ b+ c
(= 0.62)
Concordância simples:
sij =
a+ d
a+ b+ c+ d
(= 0.54)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 31/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
• Variáveis nominais com mais de 2 níveis (Exemplo):
Variáveis nominais
cor do cabelo altura aparência
Níveis P C L R B M A C R M
Variáveis
binárias

 simnão
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Homens

 AB
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
Homem A: cabelo preto, altura média, aparência razoável
Homem B: cabelo louro, alto, aparência razoável
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 32/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
homem B
1 0
1 1 2
homem A
0 2 5
Jacard: sAB =
1
1 + 2 + 2
= 0.2
Sorenson: sAB =
2
2 + 3 + 2
= 0.33
Concordaˆncia simples: sAB =
1 + 5
10
= 0.6
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 33/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Outros métodos:
sAB =
c
p
sAB =
p∑
k=1
lk I (yk(A), yk(B))
p∑
k=1
lk
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 34/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Variáveis ordinais
Bassab et al. (1990): ordenam-se os níveis da
variável (1, 2, . . . , l)
dAB =
|r − s|
l
sAB = 1− |r − s|
l
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 35/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Variáveis de tipos diferentes
Estratégia de Romesburg
Realizar análises separadas
Reduzir todas as variáveis a variáveis binárias
Construir um coeficiente de semelhança combinado
sij = ω1s
q
ij + ω2s
n
ij + ω3s
o
ij
sij =
p∑
k=1
ωijksijk
p∑
k=1
ωijk
(Gower)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 36/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
2.3 Medidas de proximidade entre variáveis
Variáveis quantitativas
sij =
∑n
k=1 xkixkj(∑n
k=1 x
2
ki
∑n
k=1 x
2
kj
) 1
2
= cosα
rij =
∑n
k=1 (xki − x¯·i) (xkj − x¯·j)[∑n
k=1 (xki − x¯·i)2
∑n
k=1 (xkj − x¯·j)2
] 1
2
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 37/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Variáveis qualitativas
Variáveis binárias
j
1 0
1 a b a+ b
i
0 c d c+ d
a+ c b+ d a+ b+ c+ d
sij =
a√
(a+ b)(a+ c)
= cosα rij =
ad− bc
[(a+ b)(c+ d)(a+ c)(b+ d)]
1
2
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 38/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Variáveis nominais (mais de 2 níveis)
h
1 2 · · · s
1
2
g
.
.
. nij (fij) ni· (fi·)
r
n·j (f·j) n (1)
χ2 = n
r∑
i=1
s∑
j=1
(fij − fi·f·j)2
fi·f·j
φ2 =
χ2
n
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 39/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Variáveis ordinais
rs = 1−
6
n∑
k=1
d2k
n(n2 − 1)
dk é a diferença entre as ordens (ranks) dos valores que o
objecto k assume nas duas variáveis i e j.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 40/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
2.3 Considerações de ordem prática
Selecção de objectos
Selecção de variáveis
Estandardização
Escolha da medida de proximidade
Dados omissos
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 41/114
2. Medidas de
proximidade (cont.)
Estandardização: sim ou não?
Dados não estandardizados Dados estandardizados
5 10 15 20 25 30
5
1
0
1
5
2
0
2
5
3
0
x1
x
2
−2 −1 0 1 2
−
2
−
1
0
1
2
x1 (estand.)
x
2
 
(
e
s
t
a
n
d
.
)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 42/114
3. Métodos gráficos
3.1 Introdução
Objectivo: vizualizar os clusters a partir da representação
gráfica dos objectos ou das variáveis.
Sete objectos e três clusters
A1
A2
A3
A4
A5A6
A7
Sem estrutura aparente de grupos
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 43/114
3. Métodos gráficos
(cont.)
Limitações
Usa espaços de dimensão ≤ 3
Difícil para muitos objectos
Método subjectivo
Interessam métodos analíticos e automáticos
para qualquer número de objectos e dimen-
sões.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 44/114
3. Métodos gráficos
(cont.)
3.2 Representação gráfica directa
1 varia´vel
Histograma
Outros gráficos (barras, caule e folhas, circulares,
etc.)
2 varia´veis
Diagrama de dispersão
3 ou mais varia´veis
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 45/114
Energia Proteínas Lípidos Cálcio Ferro
(kcal) (g) (g) (mg) (mg)
Azeite 900 0 100 0.1 0.05
Manteiga 770 0 85 13 0.2
Pescada 85 19 1 25 0.9
Vaca 208 18 15 12 1.5
Frango 158 20 8.5 18 1.8
Leite 57 3 3 126 0.1
Iogurte 59 3.2 3.2 125 0.2
Q. flamengo 316 26 23.2 800 0.8
Q. serra 392 26 32 800 1.2
Arroz 350 7.5 0.5 10 0.5
Pão 258 7 0.6 24 1.6
Feijão 290 20 1.2 170 6.5
Açúcar 400 0 0 15 1
Massas 365 10 0.5 20 1
Alface 22 1.8 0.2 70 1.5
Cebola 22 0.9 0.2 31 0.5
Espinafres 22 2.6 0.9 104 3.6
Cenoura 22 0.6 0 104 3.6
Batata 90 2.5 0 9 0.2
Couve 30 2.9 0.5 234 1.8
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 46/114
3. Métodos gráficos
(cont.)
Análise gráfica:
5 histogramas
10 diagramas de dispersão
Introduc¸a˜o a` Ana´lisede Clusters – p. 47/114
Energia
0 5 10 15 20 25 0 200 400 600 800
0
2
0
0
6
0
0
0
5
1
0
1
5
2
0
2
5
Proteinas
Lipidos
0
2
0
4
0
6
0
8
0
0
2
0
0
4
0
0
6
0
0
8
0
0
Calcio
0 200 400 600 800 0 20 40 60 80 100 0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
Ferro
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 48/114
3 maneiras engenhosas
Caras de Chernoff: objecto — cara
azeite manteiga pescada vaca frango
leite iogurte q.flamengo q.serra arroz
pao feijao acucar massas alface
cebola espinafres cenoura batata couve
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 49/114
Estrelas: objecto — círculo (estrela)
azeite manteiga pescada vaca frango
leite iogurte q.flamengo q.serra arroz
pao feijao acucar massas alface
cebola espinafres cenoura batata couve
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 50/114
Curvas de Andrews: objecto — função harmónica
fr(t) =
xr1√
2
+xr2 sen t+xr3 cos t+xr4 sen (2t)+xr5 cos(2t)+· · ·
−pi < t < pi
−3 −2 −1 0 1 2 3
−
3
−
2
−
1
0
1
2
3
 
 
1
2
8
912
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 51/114
3. Métodos gráficos
(cont.)
Outras ideias
grifos, caixas, bolhas, perfis, contornos
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 52/114
3. Métodos gráficos
(cont.)
3.3 Representação gráfica indirecta
Métodos da AM−→ redução do número de dimensões
do espaço de trabalho inicial
Interessam espaços de baixa dimensão (em geral 2) onde os
objectos podem ser visualizados
Componentes principais
Matriz de correlações dos alimentos:
CP1 – contraste: Energia + Lípidos versus restantes
CP2 – média (ponderada) das 5 variáveis observadas
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 53/114
3. Métodos gráficos
(cont.)
−600 −400 −200 0
0
2
0
0
4
0
0
6
0
0
CP1
C
P
2
1 2
34 5
67
89
10 11
12
1314 15
16
1718
19
20
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 54/114
Multidimensional scaling (MDS)
matriz de dissemelhanças das expressões da face
−6 −4 −2 0 2 4 6
−
4
−
2
0
2
4
Dim 1
D
i
m
 
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 55/114
3. Métodos gráficos
(cont.)
Análise factorial
matriz de correlações de oito características físicas
Variável 1 2 3 4 5 6 7 8
1. Altura 1.000
2. Envergadura 0.846 1.000
3. Antebraço 0.805 0.881 1.000
4. Tíbia 0.859 0.826 0.801 1.000
5. Peso 0.473 0.376 0.380 0.436 1.000
6. Anca 0.398 0.326 0.319 0.329 0.762 1.000
7. Peito-c 0.301 0.277 0.237 0.327 0.730 0.583 1.000
8. Peito-d 0.382 0.415 0.345 0.365 0.629 0.577 0.539 1.000
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 56/114
3. Métodos gráficos
(cont.)
Estimativas dos loadings correspondentes à análise facto-
rial de oito características físicas:
Factores
Variáveis 1 2
1 0.856 −0.324
2 0.848 −0.410
3 0.809 −0.409
4 0.831 −0.342
5 0.746 0.563
6 0.632 0.496
7 0.570 0.513
8 0.608 0.353
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 57/114
3. Métodos gráficos
(cont.)
6
-
F2
F1
.2 .4 .6 .8 1.0
.2
.4
.6
.8
1.0
-.2
-.4
r
rr
r
r
r
r
r
1
23
4
56
7
8
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 58/114
4. Métodos hierárquicos
(MH)
4.1 Introdução
MH – dois grupos ou são disjuntos ou um deles está contido
no outro
Dois procedimentos para MH:
aglomerativos
n objectos (grupos singulares)−→ 1 grupo final
divisivos
1 grupo (c/ n objectos)−→ grupos singulares
Resultado: estrutura hierárquica representada por um grá-
fico em 2 dimensões (dendrograma)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 59/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
d
i
s
t
â
n
c
i
a
s
e
n
t
r
e
g
r
u
p
o
s
Raiz
Ramos
Objectos
Grupos
s
r
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A A A B B C C C C
0.5
1.0
2.0
3.0
4.5
6.0
8.0
12.0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d∗ - nível mínimo a que
os objectos se ligam
para formar novo cluster
d∗67 = d67 = 1,
d∗68 = 2, d
∗
65 = 8
d∗ satisfaz a desigual-
dade ultramétrica,
d∗ij ≤ max(d∗ik, d∗kj), ∀i,j,k
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 60/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
4.2 Procedimentos aglomerativos
(são os mais populares)
Algoritmo:
Passo 1: n objectos (grupos singulares). Distância entre
grupos ≡ D = [dij ].
Passo 2: Identificar menor elemento de D, o par correspon-
dente, A e B, e a distância dAB.
Passo 3: Unir A e B à distância dAB. Actualizar D. (Qual a
distância de (AB) aos restantes grupos?)
Passo 4: Repetir 2 e 3 n−1 vezes até obter um único grupo.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 61/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Três métodos muito comuns:
1
2
3 4
5
6
7
(1) Ligação simples
dAB
A B
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 62/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Três métodos muito comuns:
1
2
3 4
5
6
7
(2) Ligação completa
dAB
A B
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 63/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Três métodos muito comuns:
1
2
3 4
5
6
7
(3) Ligação média
dAB =
1
12
[(d15 + d16 + d17) + (d25 + d26 + d27)+
+(d35 + d36 + d37) + (d45 + d46 + d47)]
A B
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 64/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Ligação simples
dAB = min {dij : i ∈ A, j ∈ B}
Ligação completa
dAB = max {dij : i ∈ A, j ∈ B}
Ligação média
dAB =
nA∑
i=1
nB∑
j=1
dij
nAnB
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 65/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Ligação simples (ilustração):
Dados artificiais (5 objectos hipotéticos)
D = [dij ] =
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5


0
7 0
4 2 0
8 5 8 0
3 10 9 1© 0


Novo cluster: (45)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 66/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
d(45)1 = min (d41, d51) = min (8, 3) = 3
d(45)2 = min (d42, d52) = min (5, 10) = 5
d(45)3 = min (d43, d53) = min (8, 9) = 8
D1 =
1 2 3 (45)
1
2
3
(45)


0
7 0
4 2© 0
3 5 8 0


Novo cluster: (23)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 67/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
d(23)1 = min (d21, d31) = min (7, 4) = 4
d(23)(45) = min
(
d2(45), d3(45)
)
= min (5, 8) = 5
D2 =
1 (23) (45)
1
(23)
(45)


0
4 0
3© 5 0

 Novo cluster: (145)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 68/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
d(145)(23) = min
(
d1(23), d(45)(23)
)
= min(4, 5) = 4
D3 =
(23) (145)
(23)
(145)

 0
4© 0


Novo e último cluster: (12345)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 69/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Resultado – Dendrograma (mostra a sequência de passos
e os níveis de fusão):
12 3 4 5
0
1
2
3
4
D
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 70/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Propriedades da ligação simples:
Simples e geral (detecta grupos de forma muito
variada)
Dois objectos chegam para determinar a distância
entre grupos
Detecta outliers
Não é capaz de isolar grupos cuja separação não seja
nítida (efeito de cadeia)Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 71/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Propriedades da ligação simples (cont.):
Não robusto (adição de dados pode alterar
completamente o resultado)
É capaz de isolar grupos de forma não elíptica
Indiferente a empates (comportamento robusto)
Invariante em relação a transformações monótonas das
distâncias
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 72/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
A função agnes (package cluster do R) produz ainda
Gráfico em bandeira (fornece a mesma informação do
dendrograma)
D
Coeficiente aglomerativo = 0.55
0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
3
2
5
4
1
Para os 5 objectos
(método da ligação
simples)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 73/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Coeficiente aglomerativo, AC (medida da magnitude da
estrutura existente)
AC = 1, máximo da estrutura
AC = 0, não há estrutura
AC aumenta com a presença de outliers (mas o
gráfico mostra os outliers)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 74/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Outros métodos hierárquicos:
Centróide (distância entre 2 grupos = distância entre
os seus centróides)
dAB = d(x¯A, x¯B)
com
x¯A =
∑
i∈A xi
nA
e x¯B =
∑
i∈B xi
nB
Mediana (semelhante ao centróide mas x¯ = (x¯A+x¯B)/2
para evitar que o grupo maior engula o menor, ficando
este sem identidade)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 75/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Ward
Critério: incremento da soma dos quadrados que
ocorre quando se unem dois clusters,
SSWC − (SSWA + SSWB), com C = A ∪ B e
SSWH =
∑
i∈H
p∑
j=1
(xijH − x¯jH)2 , H = A,B,C
Em cada passo formar todos os pares de clusters
Juntar os dois clusters a que corresponde o menor
incremento
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 76/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Resultado dos 6 métodos sobre os 5 objectos hipotéticos
Ligação simples Ligação completa
2 3 1 4 5
1
.
0
1
.
5
2
.
0
2
.
5
3
.
0
3
.
5
4
.
0
D
4 5 1 2 3
0
2
4
6
8
1
0
D
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 77/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Resultado dos 6 métodos sobre os 5 objectos hipotéticos
Ligação média Centróide
4 5 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
D
4 5 1 2 3
1
2
3
4
5
D
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 78/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Resultado dos 6 métodos sobre os 5 objectos hipotéticos
Mediana Ward
4 5 1 2 3
1
2
3
4
5
D
4 5 1 2 3
0
2
4
6
8
1
0
1
2
D
Todos os métodos revelam três grupos
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 79/114
O processo manual é geralmente impraticável e
por isso não há AC sem computador
vaca porco carneiro aves outra
Áustria 18 56 1 18 1
Bélg.+Lux. 20 46 2 18 4
Dinamarca 22 63 1 21 1
Finlândia 12 32 0 15 3
França 25 37 4 26 6
Alemanha 10 54 1 19 2
Grécia 19 32 13 20 1
Holanda 19 43 1 22 0
Irlanda 17 39 5 31 2
Itália 23 38 2 18 5
Portugal 15 44 3 32 3
Espanha 13 66 6 27 3
Suécia 21 35 1 13 3
Reino Unido 19 25 6 29 0
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 80/114
D
e
nd
rog
ra
m
a
p
a
ra
p
aíse
s
d
a
U
E
(m
étod
o
d
a
lig
açã
o
sim
ple
s)
A u s t r i a
B e l + L u x
D i n a m a r c a
F i n l a n d i a
F r a n c a
A l e m a n h a
G r e c i a
H o l a n d a
I r l a n d a
I t a l i a
P o r t u g a l
E s p a n h a
S u e c i a
R e i n o U n i d o
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4
D
Introd
u
c¸a˜
o
a`
A
n
a´lise
d
e
C
lu
ste
rs
–
p
.81/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Fórmula de recorrência de Lance-Williams:
dC(AB) = αAdCA + αBdCB + βdAB + γ |dCA − dCB|
Vantagem computacional (a matriz de dissemelhanças
é actualizada em cada passo sem ser necessário man-
ter a informação inicial)
Dá acesso a muitos métodos e soluções o que é uma
desvantagem em termos de decisão e escolha
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 82/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
Particularizando os valores dos parâmetros obtêm-se os
métodos anteriores:
Método αA αB β γ
Ligação simples 12 12 0 −12
Ligação completa 12 12 0 12
Ligação média nA
nA+nB
nB
nA+nB
0 0
Centróide nA
nA+nB
nB
nA+nB
− nAnB
(nA+nB)2
0
Mediana 12
1
2 −14 0
Ward nC+nA
nC+nA+nB
nC+nB
nC+nA+nB
− nC
nC+nA+nB
0
Lance-Williams 1−β2
1−β
2 < 1 0
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 83/114
4. Métodos hierárquicos
(cont.)
4.3 Procedimentos divisivos ou de desagregação
Movem-se da raiz para os ramos do dendrograma
(contrário ao procedimento aglomerativo).
Exigentes em termos computacionais (2k−1 − 1
dissemelhanças em cada passo).
Podem ter vantagens sobre os aglomerativos (se
computacionalmente viáveis). Podem fornecer
grandes grupos logo nos primeiros passos.
Função diana do package cluster do R.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 84/114
5. Métodos não
hierárquicos
Hierárquicos
Usam matriz de dados ou dissemelhanças
Se um objecto entra num cluster não mais o abandona
Desconhece-se o número de clusters à partida
serve para objectos e variáveis
Os métodos não hierárquicos seguem outros princípios
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 85/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
5.1 Métodos de partição
Operam sobre matriz de dados
Aplicam-se apenas a objectos
Os grupos devem satisfazer os critérios de coesão
interna e isolamento externo
O número de grupos é fixado à partida
Um objecto pode viajar por vários clusters
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 86/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Não convém analisar todas as partições.
Número de partições de n objectos em k grupos
P (n, k) =
[
kn −
k−1∑
i=1
k!
(k − i)!P (n, i)
]/
k!
Muito elevado!!!
Modo de proceder:
Examinar algumas partições e seleccionar a melhor, opti-
mizando algum critério de formação de clusters.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 87/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Procedimento geral
1. Seleccionar uma partição inicial
2. Considerar todas as deslocações de objectos dos
seus grupos para os outros grupos e registar a
alteração no valor do critério
3. Decidir pela deslocação que deu o maior valor da
melhoria
4. Repetir 2 e 3 até verificar que a deslocação de qualquer
objecto não produz melhoria.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 88/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Partição inicial, Como escolher?
Com base em conhecimentos anteriores
Usar o resultado da aplicação de outro método
Escolher os centróides dos potenciais grupos
Deslocação dos objectos
Há várias possibilidades (um de cada vez é o mais cor-
rente)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 89/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Critério de formação de clusters
A equação T =W +B fornece várias possibilidades
(i) Minimizar traço deW. É equivalente a minimizar
trW =
k∑
i=1
ni∑
j=1
(xij − x¯i)′ (xij − x¯i) =
k∑
i=1
ni∑
j=1
d2ij,i
(ii) Maximizar determinante deW
(iii) Maximizar traço de BW−1
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 90/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Algoritmo das k-médias
1. Seleccionar a partição inicial
2. Deslocar cada objecto para o grupo que tem o
centróide mais próximo
3. Recalcular os centróides dos novos grupos
4. Repetir 2 e 3 até não haver mais deslocações.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 91/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Aplicação a dados artificiais
Variáveis
Objectos x1 x2
A 2 8
B 5 1
C 4 12
D 15 4
E 16 5
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters– p. 92/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
1. Partição inicial (arbitrária) AB e CDE
2. Centróides d2
Clusters x¯1 x¯2 A B C D E
AB 3.5 4.5 14.5 14.5 56.5 132.75 156.5
CDE 11.67 7 94.51 80.49 83.83 20.09 22.75
3. Centróides d2
Clusters x¯1 x¯2 A B C D E
ABC 3.67 7 3.79 37.77 25.11 137.77 156.03
DE 15.5 4.5 194.5 122.5 188.75 0.5 0.5
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 93/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
k-médias é não robusto!
Algoritmo dos k-medóides
O representante do grupo é um objecto do próprio grupo
(o objecto mais central – medóide)
O passo 2 é agora: deslocar cada objecto para o
grupo que tem o medóide mais próximo
Função pam (package cluster do R)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 94/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Representantes dos dois clusters para k-médias e
k-medóides (dados artificais anteriores):
Centróides Medóides
Clusters x¯1 x¯2 x1 x2
ABC 3.67 7 2 8
DE 15.5 4.5 15 4
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 95/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
5.1 Outros métodos
Métodos baseados em modelos (Banfield and Raftery,
1993)
Hipótese:
x tem f.d.p. fi(x;θθθi) se provém do grupo i, i = 1, . . . , k e
f(x;p, θθθ) =
k∑
i=1
pifi(x;θθθi) ,
k∑
i=1
pi = 1
Estimar os parâmetros em cada modelo equivale a identi-
ficar o respectivo grupo.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 96/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Pesquisa de densidades
objectos −→ pontos no espaço euclidiano
Procurar regiões de alta densidade de pontos separados
por regiões de baixa densidade.
Métodos difusos (fuzzy)
Generalização da ideia de partição
Na partição cada objecto pertence a um e um só
cluster. Mas isto nem sempre é claro.
Na prática há por vezes dúvidas em decidir qual o grupo
a que um objecto pertence
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 97/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Métodos difusos (cont.)
objecto −→ vector (componentes = grau de
pertença do objecto a cada grupo)
grupo −→ vector (componentes = grau de
pertença de cada objecto ao grupo)
Ajustamento de mistura de densidades é caso fuzzy,
com componentes = pi
Informa melhor sobre os dados (do que hierarquias e
partições)
É exigente em termos de algoritmo e cálculo e dá re-
sultados de difícil interpretação
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 98/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Métodos de sobreposição
Há situações em que um objecto pertence a
mais do que um grupo. Exemplo: um professor pode
ensinar em várias universidades.
Duas abordagens: ADCLUS (additive clustering) e
Pirâmides (Diday, 1986).
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 99/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
SOM (self organizing maps)
Devido a Kohonen (1982, 1990). Usado no contexto da
aprendizagem automática
A dados multidimensionais associa nós de uma rede
de baixa densidade
Nós e observações associadas formam clusters.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 100/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
AC com restrições
Usada em dados espaciais/temporais: geografia, pro-
cessamento de imagens, marketing, arqueologia, geologia,
análise de documentos multimédia, etc.
São impostas restrições no conjunto de soluções pos-
síveis
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 101/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
5.3 Considerações de ordem prática
Que método? Que algoritmo?
A escolha depende dos objectivos da investigação.
Sugestões:
Operar com vários métodos
– Comparar resultados
– Escolher a solução mais consistente e de
interpretação mais simples
Produzir uma solução hierárquica para ser usada como
partição inicial dos métodos de partição.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 102/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Quantos clusters?
Hierárquicos – decisão final
Partição – decisão inicial
Análise gráfica ajuda a decidir
Hierárquicos: nível de fusão contra número de clusters
Não hierárquicos: valor do critério contra número de
clusters, ou usar o índice
R2k =
trBk
trT
= 1− trWk
trT
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 103/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Validação
AC conduz sempre a uma solução.
A solução corresponde a uma estrutura real ou é imposta
nos dados?
1. Existe de facto uma estrutura?
2. A solução é válida?
Critérios→
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 104/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Critérios externos
A estrutura é útil, consistente com diferentes amostras,
tem boa capacidade preditiva?
Critérios internos
A estrutura é consistente com os dados? (Há muitos
testes) Nos métodos hierárquicos usa-se o coeficiente
de correlação cofenético.
Critérios relativos
Confronta diferentes soluções para os mesmos objec-
tos, procurando associações entre elas.
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 105/114
5. Métodos não
hierárquicos (cont.)
Apresentação dos resultados de uma AC
Não basta um diagrama final. É importante indicar:
que teoria está subjacente ao estudo
qual o enquadramento
como foram seleccionados os objectos e as variáveis
quais as medidas de proximidade usadas
que métodos e algoritmos foram utilizados
que software foi usado
como foi decidido o número de clusters
os argumentos usados para suportar a validade da es-
trutura produzida
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 106/114
6. Aplicações
Revisitar dados anteriores
Comparar resultados de vários métodos
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 107/114
Dendrograma para os planetas do sistema solar com base nas
variáveis diâmetro, massa, densidade e gravidade (dados es-
tandardizados, método da ligação média)
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Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 108/114
Dendrograma para os dados dos cenários faciais (método da li-
gação média) Confirma a análise gráfica
12 3 4 56 78 9
1
0
1
1
1
2
1
3
0
2
4
6
D
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 109/114
Dendrograma para os dados dos alimentos (método da ligação
média) Sol. estand. mais próxima da sol. gráfica
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(dados não estandardizados)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 110/114
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.111/114Dendrograma para os 7 objectos artificiais (método da ligação
completa) Problema da estandardização
1 2 3 456 7
0
5
1
0
1
5
D
(dados não estandardizados)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 112/114
Dendrograma para os 7 objectos artificiais (método da ligação
completa)
1 23 4 56 7
0
1
2
3
D
(dados estandardizados)
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 113/114
Dendrograma para as variáveis correspondentes às característi-
cas físicas de raparigas (método da ligação média)
Confirma a análise gráfica
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0
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6
D
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Clusters – p. 114/114
	Sumário
	Large 1. Introdução
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 1. Introdução (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 2. Medidas de proximidade (cont.)
	Large 3. Métodos gráficos
	Large 3. Métodos gráficos (cont.)
	Large 3. Métodos gráficos (cont.)
	 
	Large 3. Métodos gráficos (cont.)
	 
	 
	 
	 
	Large 3. Métodos gráficos (cont.)
	Large 3. Métodos gráficos (cont.)
	Large 3. Métodos gráficos (cont.)
	 
	Large 3. Métodos gráficos (cont.)
	Large 3. Métodos gráficos (cont.)
	Large 3. Métodos gráficos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (MH)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	 
	 
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 4. Métodos hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 5. Métodos não hierárquicos (cont.)
	Large 6. Aplicações