TEORIA DAS ESTRUTURAS

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I 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
 
TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS 
 
 
TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURA CONTÍNUA ISOSTÁTICA 
 
 
 
 
 
ISABEL ALVIM TELES
A
50 kN/m
10 kN
C D
B
60 kN
2.0 m
T = +25 °C
T = -10 °C
0.30
0.40
5mm
0.30
0.50
0.30
0.40
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 1/8 TTV – Estrutura continua isostática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
Considere a estrutura de betão (E=30 GPa; α=1,2x10-5 /°C) constituída por dois pilares e uma viga com 
secções rectangulares conforme representado na figura. 
Para além do carregamento, a estrutura está submetida à seguinte variação de temperatura: -10 °C 
no exterior e +25°C no interior. 
O apoio A sofreu um assentamento de 5 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso. 
a) Determine o deslocamento do apoio A; 
b) Determine a rotação do pilar no apoio B; 
c) Determine que força horizontal deverá ser aplicada em D para que o apoio A não sofra qualquer 
deslocamento horizontal. 
RESOLUÇÃO 
• Cálculo das reacções – sistema real 
 
 
0 M 
0 Fy 
0 Fx 
 
B





=
=
=
∑
∑
∑
 
 
 
0 V 51,5602,5550310 
0 550 V V 
0 60 10 H 
 
A
BA
B






=+×−××−×
=×−+
=−+
 
 
 
 kN 137 V 
 kN 113 V 
 kN 50 H 
 
A
B
B






↑=
↑=
→=
 
 
5.0 m
A
50 kN/m
1.5 m
1.5 m
10 kN
C D
B
60 kN
2.0 m
T = +25 °C
T = -10 °C
0.30
0.40
5mm
0.30
0.50
0.30
0.40
5 m
A
50 kN/m
1.5 m
1.5 m
10 kN
C D
B
60 kN
2 m
VA HB
VB
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 2/8 TTV – Estrutura continua isostática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Diagramas de Esforços – sistema real 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esforço axial N (kN) Momento flector M (kNm) 
 
 Barra CD – expressão do momento flector: 25137 M(z) 2ZZ ×−×= 
 
Alínea a) - Deslocamento do apoio A 
O deslocamento vertical do apoio A corresponde ao seu assentamento, ou seja: mm 5 vA =δ 
 
Passemos ao cálculo do deslocamento horizontal do apoio A. 
 
• Deslocamento horizontal de A – sistema virtual 
 
 
 
0 M 
0 Fy 
0 Fx 
 






=
=
=
∑
∑
∑
 
 
 
 kN 0,2 V 
 kN 0,2 V 
 kN 1 H 
 
A
B
B






↓=
↑=
←=
 
5 m
A
50 kN/m
1.5 m
1.5 m
10 kN
C D
B
60 kN
2 m
137 kN
113 kN
50 kN
5 m
A
3 m
C D
B
2 m
-1
3
7
-1
1
3
-10
5 m
A
C D
B
2 m
1.5 m
1.5 m
-7
5
-6
0
60
E
Z
⇴
 
1 kN
3 m
0,2kN
1kN
5 m
A
C D
B
2 m
0,2kN
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 3/8 TTV – Estrutura continua isostática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
• Diagramas de Esforços – sistema virtual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esforço axial N (kN) Momento flector M (kNm) 
 
Barra CD – expressão do momento flector: 0,2 2 (z)M Z×+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS (desprezando a contribuição do esforço transverso): 
( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+ dz.h
 T T
 . M dz.T . . N dz
 E
MM dz
A E
NN apoio assent. R δ x 1 
sup inf 
m
h
A Σ I
 
 
 
[ ] [ ] 6-
66
D
C
D
B
C
A
1014,722 510)(1)( 
104,5
1 3113)(0,2)( 2)137(0,2 
103,6
1 
 dz
A E
NN dz
A E
NN dz
A E
NN dz
A E
NN
×=×−×−
×
+×−×−+×−×
×
=
=
×+×+×=× ∫∫∫∫
 
 
 
-3-3-3
VigaPilares
1021,6712 108,15561 103,5156 dz
 E
MM dz
 E
MM dz
 E
MM ×−=×−×−=


 ×+


 ×
=
×
∫∫∫ III 
 
3-
4
4
Pilares
103,5156 225)(56,25 
104,8
1 
 )60(32)75(3)60(5,1)75(1,5(2
6
1,5
 
3
,5175)(1,5
 
104,8
1 dz
 E
MM
×−=−
×
=
=



−××+−×+−×+−××+
×−×
×
=


 ×∫ I
 
PILARES 
Barras AC e BD 
(bxh) = 0,30x0,40 m2 
266
mkPa 103,6 40,0 30,0 1030 A E ××=×××= 
44
3
6
mkPa 104,8 
12
0,400,30
1030 E ××=
×
××=I 
VIGA 
Barra CD 
(bxh) = 0,30x0,5 m2 
266
mkPa 104,5 50,0 30,0 1030 A E ××=×××= 
44
3
6
mkPa 109,375 
12
0,500,30
1030 E ××=
×
××=I 
5 m
A
3 m
C D
B
2 m
0
,2 -1
5 m
A
C D
B
2 m
1.5 m
1.5 m
-3
3
E
Z
-0
,2
1
,5
-2
-2
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 4/8 TTV – Estrutura continua isostática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
3-
5
0
234
4
6
0
23
4
6
0
2
4
Viga
108,15561 Z
2
274 Z
3
22,6
 Z
4
5 
109,375
1 
 dz Z)274Z22,6 Z5( 
109,375
1 
 dz )Z25Z137(Z)0,2 (2 
109,375
1 dz
 E
MM 
×−=



−+
×
=
=×−×+×
×
=
=×−×××+
×
=


 ×
∫
∫∫ I
 
 
C7,5 
2
25 10 T
 
m
o
=
+−
= 
4-5-
-5
mm
1068,4 )32,0512(0,25,7101,2 
 dz . N5,7101,2 dz . N .T . dz .T . . N
×−=×−×−××××=
=×××=α=α ∫∫∫
 
 
 
Barra AC 
(h=0,40 m) 
87,5 
40,0
 10)( 25
 
h
 T T
 
C 10 T 
C 25 T 
sup inf 
sup 
inf 
=
−−
=
−
⇒




−=
=
o
o
 
Barra CD 
(h=0,50 m) 
70 
50,0
 10)( 25
 
h
 T T
 
C10 T 
C25 T 
sup inf 
 
sup 
 
inf 
=
−−
=
−
⇒




−=
=
o
o
 
Barra BD 
(h=0,40 m) 
87,5 
40,0
 2510)( 
 
h
 T T
 
C25 T 
C10 T 
sup inf 
 
sup 
 
inf 
−=
−−
=
−
⇒




=
−=
o
o
 
 
 
[ ] [ ] [ ]
 10 17,325 10 )725,45,101,2( 
2
33101,05 5
2
)3(2
100,84 
2
22101,05 
 dz M )5,87(10 1,2 dz M 7010 1,2 dz M 5,8710 1,2 dz.
h
 T T
 . M 
3-3-
3-3-3-
D 
B 
-5D 
C 
-5C 
A 
-5sup inf 
×−=×−−−=
=
×××−×
−+−
××+×−××=
=×−××+×××+×××=
−
α ∫∫∫∫
 
 
 
( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+ dz.h
 T T
 . M dz.T . . N dz
 E
MM dz
A E
NN apoio assent. R δ x 1
sup inf 
m
h
A Σ I
 
 
-3-4-3-6h
A 10 17,325 1068,4 1021,6712 1014,722 0,005 0,2 δ ×−×−×−×=×+ 
 
 mm 4,40 mc 04,4 m104,04 δ
-2h
A −=−=×−= 
 
 mm 5 δ
v
A = 
 
 mc 40,7 50,44( )(δ)(δ δ
222v
A
2h
AA =+=+= 
⇴ 
⇴
 
δvA
δhA
δA
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 5/8 TTV – Estrutura continua isostática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Alínea b) - Rotação do apoio B 
 
• Rotação de B – sistema virtual 
 
 
 
0 M 
0 Fy 
0 Fx 
 






=
=
=
∑
∑
∑
 
 
 
 kN 0,2 V 
 kN 0,2 V 
0 H 
 
A
B 
B 






↓=
↑=
=
 
 
 
• Diagramas de Esforços – sistema virtual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esforço axial N (kN) Momento flector M (kNm) 
 
Barra CD – expressão do momento flector: 0,2 (z)M Z×−= 
 
 
TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS (desprezando a contribuição do esforço transverso): 
( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+θ dz.h
 T T
 . M dz.T . . N dz
 E
MM dz
A E
NN apoio assent. R x 1 
sup inf 
mB Σ I
 
 
 
[ ] 6-
6
D
C
D
B
C
A
103,611 0 3113)(0,2)( 2)137(0,2 
103,6
1 
 dz
A E
NN dz
A E
NN dz
A E
NN dz
A E
NN
×=+×−×−+×−×
×
=
=
×+×+×=× ∫∫∫∫
 
 
 
5 m
A
C D
B
2 m
0,2kN 1 kNm
3 m
0,2kN
5 m
A
3 m
C D
B
2 m
0
,2
5 m
A
C D
B
2 m
-1
Z
-0
,2 1 3 m
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 6/8 TTV – Estrutura continua isostática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
3-3-3-
VigaPilares
10,712354 10,43111 103,28125 dz
 E
MM dz
 E
MM dz
 E
MM ×−=×−×−=


 ×+


 ×
=
× ∫∫∫ III 
 
3-
44
Pilares
10,281253 
104,8
157,5
 11,5
2
6075 
2
5,175)(1
 
104,8
1 dz
 E
MM ×−=
×
−
=


 ××−−+
×−×
×
=


 ×∫ I 
 
3-
5
0
23
4
6
0
2
4
6
0
2
4
Viga
10,43111 Z
2
4,27
Z
3
5 
109,375
1 
 dz Z)4,27Z5( 
109,375
1 
 dz )Z25Z137(Z)0,2 ( 
109,375
1 dz
 E
MM 
×−=



−
×
=
=×−×
×
=
=×−×××−
×
=


 ×
∫
∫∫ I
 
 
C 7,5 
2
25 10 Tm
o
=
+−
= 
5-5-
-5
mm
108,1 )32,02(0,25,7101,2 
 dz . N5,7101,2 dz . N .T . dz .T . . N
×−=×−××××=
=×××=α=α ∫∫∫
 
 
 
Barra AC 
(h=0,40 m) 
87,5 
40,0
 10)( 25
 
h
 T T
 
C 10 T 
C 25 T 
sup inf 
sup 
inf 
=
−−
=
−
⇒




−=
=
o
o
 
Barra CD 
(h=0,50 m) 
70 
50,0
 10)( 25
 
h
 T T
 
C10 T 
C25 T 
sup inf 
 
sup 
 
inf 
=
−−
=
−
⇒




−=
=
o
o
 
Barra BD 
(h=0,40 m) 
87,5 
40,0
 2510)( 
 
h
 T T
 
C25 T 
C10 T 
sup inf 
 
sup 
 
inf 
−=
−−
=
−
⇒




=
−=
o
o
 
 
 
[ ] [ ] [ ]
 10 ,255 )31(101,05 
2
51100,84 0 
 dz M )5,87(10 1,2 dz M 7010 1,2 dz M 5,8710 1,2 dz.
h
 T T
 . M 
3-3-3-
D 
B 
5-D 
C 
5-C 
A 
5-sup inf 
×−=×××−×−××+=
=×−××+×××+×××=
−
α ∫∫∫∫
 
 
( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+θ dz.h
 T T
 . M dz.T . . N dz
 E
MM dz
A E
NN apoio assent. R x 1
sup inf 
mB Σ I
 
 
-3-5-3-6
B 10 5,25 108,1 10,712354 103,611 0,005 0,2 ×−×−×−×=×+θ 
 
o
629,0 rad 101,098 
-2
B −=×−=θ 
 
� 
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 7/8 TTV – Estrutura continua isostática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
Alínea c) 
Na alínea a) foi determinado o deslocamento horizontal 
do apoio A: mm 40,4 m104,04 δ -2hA =×= 
Pretende-se calcular a força horizontal a actuar em D 
que anule esse deslocamento. Ou seja, quando na 
estrutura actua uma força horizontal F, o deslocamento 
do ponto A deverá ser: m m 40,4 δhA = 
 
 Sistema real Sistema virtual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Diagramas de Esforços – sistema real 
 
 
 
 
 
 Esforço axial N (kN) Momento flector M (kNm) 
 
• Diagramas de Esforços – sistema virtual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esforço axial N (kN) Momento flector M (kNm) 
⇴ 
A
C D
B
F
40,4mm
5 m
A
3 m
C D
B
2 m
0
,2
5 m
A
C D
B
2 m
-1
Z
-0
,2 1 3 m
5 m
A
3 m
C D
B
2 m
0,
6
F
5 m
A
C D
B
2 m
Z
3 m
-0
,6
F
-3 F
3
F
5 m
A
C D
B
2 m
3 m
F
0,6F
0,6F
F
40,4mm
5 m
A
C D
B
2 m
0,2kN
1 kN
3 m
0,2kN
1kN
⇴ 
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 8/8 TTV – Estrutura continua isostática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS (desprezando a contribuição do esforço transverso): 
( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+δ dz.h
 T T
 . M dz.T . . N dz
 E
MM dz
A E
NN apoio assent. R x 1 
sup inf 
mA Σ I
 
 
 
[ ] 6-
6
D
C
D
B
C
A
10
6
F 0 3F) 6,0(0,2)( 2F 6,00,2 
103,6
1 
 dz
A E
NN dz
A E
NN dz
A E
NN dz
A E
NN
×=+×−×−+××
×
=
=
×+×+×=× ∫∫∫∫
 
 
 
4-4-4-
VigaPilares
10 F ,00834 01
9,375
F 20 10 F 875,1 dz
 E
MM dz
 E
MM dz
 E
MM ×=×+×=


 ×+


 ×
=
× ∫∫∫ III 
 
4-
44
Pilares
10 F 875,1 
101,6
F 3 
3
3F 33 
104,8
1 dz
 E
MM ×=
×
=
×××
×
=


 ×∫ I 
 
4-
4
Viga
10
9,375
F 20 3)22(
6
53F 
109,375
1 dz
 E
MM ×=×−−××+×
×
=


 ×∫ I 
 
 
 
( ) ∫∫∫∫ −α+α+×+×=×+ dz.h
 T T
 . M dz.T . . N dz
 E
MM dz
A E
NN apoio assent. R δ x 1
sup inf 
m
h
A Σ I
 
 
-4-6-3
10 F ,00834 10
6
F 1040,41 ×+×=×× 
 
→= kN 100,75 F