Pecas comprimidas

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1 
 
Compressão Paralela às Fibras 
 
Critério de dimensionamento depende do índice de esbeltez (λ): 
youx
youx
youx i
L0
=λ
 
ix ou y é o raio de giração em relação aos eixos principais da seção 
transversal do elemento estrutural 
L0 o comprimento de flambagem do elemento em relação ao eixo x ou y 
 L0 = 2L, no caso de uma extremidade do elemento engastada e outra 
livre 
L0 = L, nos demais casos 
 
Estado Limite Último de Estabilidade para peças comprimidas: 
 
� Peças Curtas (λλλλ ≤≤≤≤ 40) 
� Peças Medianamente Esbeltas ou Semiesbeltas 
(40 < λλλλ ≤≤≤≤ 80) 
� Peças Esbeltas (80 < λλλλ ≤≤≤≤ 140) 
 
 
Peças Curtas (λλλλ ≤≤≤≤ 40) 
São os elementos cujo índice de esbeltez (λ) é igual ou inferior a 40. A 
condição de segurança da NBR 7190/97 é expressa por: 
d,c
W
d
d,c fA
N
00 ≤=σ
 
σc0,d é a tensão de compressão atuante com seu valor de cálculo, 
fc0,d é a resistência de cálculo de compressão paralela às fibras. 
2 
 
 
Peças Medianamente Esbeltas ou Semiesbeltas (40 < λλλλ ≤≤≤≤ 80) 
 
O estado limite último de estabilidade deve ser verificado no ponto mais 
comprimido da seção transversal pela condição: 
1
ff d,0c
Md
d,0c
Nd ≤+
σσ
 
W
d
d,N A
N
=σ
 é o valor de cálculo da tensão de compressão devida à força 
normal de compressão Nd e 
σMd = W
M d
 é o valor de cálculo da tensão de compressão devida ao 
momento fletor Md calculado pela excentricidade ed prescrita pela norma. 
 
 
 
O critério da NBR 7190/97 considera possíveis excentricidades na estrutura 
não previstas no projeto. A verificação deve ser feita isoladamente nos 
planos de rigidez mínima e de rigidez máxima do elemento estrutural. 
O critério para cálculo da excentricidade ed é: 






−
=
dE
E
 d NN
N
ee 1
 
e1 = ei + ea e1 é a excentricidade de primeira ordem 
com: 
3 
 
e
M
Ni
d
d
=
1
 ≥ h/30, sendo ei decorrente dos valores de cálculo. 
ei (excentricidade inicial de M1d e Nd na situação de projeto) ≥ h/30, sendo 
h a altura da seção transversal perpendicular ao plano de verificação. 
Exceção: ei mínima é dispensada no caso de barras de treliça, que podem 
ter ei = 0. 
e
a
 (excentricidade acidental) : 300
L
e 0a = ≥ h/30 
A carga crítica NE é expressa por 20
ef,c
E L
I E N 0
2pi
=
 
onde I é o momento de inércia da seção transversal da peça relativo ao 
plano de flexão em que se está verificando a condição de segurança, e 
Ec0,ef é o módulo de elasticidade efetivo, conforme definido por norma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Peças Esbeltas (80 < λλλλ ≤≤≤≤ 140) 
Segundo item 7.5.5 da NBR7190:1997, para peças comprimidas λ ≤ 140 
Estado limite último de estabilidade: 
1
ff d,0c
Md
d,0c
Nd ≤+
σσ
 
com 






−
=
dE
E
 ef,dd NN
N
e.NM 1
 
NE calculado da mesma forma que para as peças medianamente esbeltas 
excentricidade efetiva e1,ef = e1 + ec = ei + ea + ec 
onde: 
ei ≥ h/30, sendo ei excentricidade de 1
a
 ordem decorrente da situação de 
projeto; exceção: ei mínima é dispensada no caso de barras de treliça, que 
podem ter ei = 0. 
e
a 
=
 
excentricidade acidental 300
L
e 0a = ≥ h/30; 
e
c
 =
 
excentricidade suplementar de 1a ordem que representa a fluência da 
madeira. 
 
Cálculo das excentricidades: 
d
d,1d,1
d
d,1
i N
MM
N
M
e
qg +
==
 
M1g,d é o valor de cálculo do momento fletor devido às ações permanentes 
M1q,d é o valor de cálculo do momento fletor devido às ações variáveis 
5 
 
Excentricidade de fluência: 
( ){ }1exp −+= caigc eee
 com exp sendo a base do logaritmo 
natural ou neperiano, isto é, o número de Euler, que vale aproximadamente 
2,718281828459045... 
( )[ ]
( )[ ]




++−
++
=
qkNgkNEF
qkNgkNc
21
21
ψψ
ψψφ
 
com ψ ψ1 2 1+ ≤ ; 
onde Ngk e Nqk são os valores característicos da força normal devidos às 
cargas permanentes e variáveis, respectivamente; 
ψ1 e ψ2 são fatores de combinação em estado limite de utilização (vide 
Tab. 14) e eig é calculado por: 
gd
g
g N
M
e
d,1
i =
 
M1g,d é o valor de cálculo do momento fletor devido apenas às ações 
permanentes. 
O coeficiente de fluência (φ) é dado pela NBR 7190:1997, Tab. 17 apostila: 
Classes de Classes de umidade 
carregamento (1) e (2) (3) e (4) 
Permanente ou de longa duração 0,8 2,0 
Média duração 0,3 1,0 
Curta duração 0,1 0,5 
 
6 
 
EXEMPLO DE COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM 
 
Um pilar de madeira da espécie Angelim Pedra, seção 6 cm x 16 cm, está fixado na base a 2 
vigas de concreto, na meia altura a 1 peça de madeira de 6 cm x 12 cm e no topo a duas peças 6 cm x 
12 cm, conforme figura. Os comprimentos de flambagem nesta situação são. 
 
 Lo,x = 300 cm 
 Lo,y1 = 160 cm 
 Lo,y2 = 140 cm 
 Seção Transversal 
 
 
 
 
 
 
 
 
Detalhe da Ligação na base do pilar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 cm
6 cm
x
y
 1 2
 
cm
30
9 
cm
lf l
,x
30
 
cm
1 4
9 
cm lfl
,y
2
30
 
cm
14
8 
cm
lfl
,y
1
12
 
cm
12
 
cm
xy
P
 
dimensões em cm
25
16
15
chapa de aço para isolar
madeira do concreto
chapa de ancoragem na fundação
chapa de aço esp=6 mm
viga de concreto
parafusos diam= 16.0 mm
centro da ligação
 
9
 
7 
 
Exemplo de verificação de barra esbelta retangular: (exemplo 9.2.1 apostila pag. 75) 
Verificar se a barra do banzo da treliça construída em local de classe de umidade 1, L0 = 
169 cm, seção transversal 6 cm x 16 cm, é suficiente para resistir a uma solicitação de: 
 Carga permanente = -2.400 daN 
 Vento de pressão = -564 daN 
Considerar: Madeira: Dicotiledônea – classe C 60 
Propriedades geométricas: 
A = 96 cm2 
Ix = 2048 cm4 
Iy = 288 cm4 
 
λx = 36,6 < 40 � Peça curta 
 
λy = 97,7 < 40 e > 80 � 
Peça esbelta 
 
16
6
 
 
Combinação das ações: Permanente + Vento = Comb.última normal 






∑++=
=
=
∑ kQjoj
n
jKQQkgigi
m
i
d FFFF ,
2
,1,
1
ψγγ 
 
Não existe ação variável secundária 
Coeficientes: 
 γG = 1,4 (Ação permanente de grande variabilidade) 
 γQ = 1,4 (Ação variável – normal) 
Ação variável de curta duração: redução = 0,75 
daNFd 39525644,175,024004,1 =××+×= 
Propriedades da madeira: 
Cálculo de fc0,d: 
w
kc
dc
f
kf
γ
,0,
mod,0, = 
 
3mod,2mod,1mod,mod kkkk ⋅⋅= 
kmod,1 = Função da ação variável principal e classe de carregamento (Tab. 5) 
Vento: curta duração � kmod,1 = 0,90 
kmod,2 = Função da classe de umidade e tipo de material (Tab. 6) 
Classe de umidade 1; Madeira serrada � kmod,2 = 1,0 
8 
 
kmod,3 = Categoria da madeira (Tab.7) 
 Madeira de 2ª categoria � kmod,3 = 0,8 
72,08,00,19,0mod =××=k 
 
γW � Função do tipo de solicitação 
 Compressão (E.L.U.) � γWC = 1,4 
Madeira classe C 60 � fc0,k = 600 daN/cm2 (Tab. 3) 
2,0,,0, 3094,1
60072,0
cm
daNff dcdc =⇒= 
 
 
Módulo de elasticidade efetivo classe C 60 � Ec0,m = 0,72 . 24500 MPa (Tab. 3) 
2,0, 176400176402450072,0 cm
daNMPaEMPaE efcefco ==⇒⋅= 
 
 
Tensões normais atuantes na seção transversal: 
Devidas à força normal: 
22 4196
3952
cm
daN
cm
daN
A
F
Nd
d
Nd =⇒== σσ 
 
 
Verificação do estado limite último em relação ao eixo x: peça curta 
22, 3094196
3952
cm
daN
cm
daN
A
Fd
dco ≤===σ �OK, eixo x satisfaz o critério de 
estabilidade para peças comprimidas da NBR7190:1997.Verificação do estado limite último em relação ao eixo y: peça esbelta 






−
⋅=⇒=
dE
E
efdyd
y
yd
Myd NF
F
eNMx
I
M
,1σ
 
 
Tensões devidas ao momento fletor efeito das excentricidades que podem ocorrer na peça. 
O valor da excentricidade para eixo y é: 
caicef eeeeee ++=+= 1,1 
9 
 
ei = 0, como é uma barra de treliça, a NBR7190:1997 não exige que seja satisfeito o valor 
mínimo de ei ≥ h/30. 
ea = L0/300 = 0,56 cm ≥ h/30 = 6 cm /30 = 0,20 cm �Ok, superior ao valor mínimo. 
( )( )1eeee caigc −+= 
( )[ ]
( )[ ]qkgkE
qkgk
NNN
NN
c
⋅++−
⋅++
=
21
21
ψψ
ψψφ
 
 
Carga crítica de Euler: 2
0
,0
2
L
 IEN efcE
pi
= (Eq. 9.9), com Iy = 288 cm4 
22
22
cm 169
 daN/cm176400 y
E
I
N
pi
=
 � NE = 13654 daN (carga crítica de Euler) 
Coeficiente de fluência (φ) Tab. 17: carreg. curta duração, classe umidade 1 � φ = 0,1 
Fatores de combinação (vide Tab. 14) para pressão dinâmica do vento: ψ1=0,2 e ψ2 = 0 
 
( )[ ]
( )[ ] 0226,056402,0240013654
56402,024001,0
=
⋅++−
⋅++
=c
 
( )( ) cme1eeee caigc 013,0)1)(56,00( 0226,0 =−+=−+= 
cme ef 57,00113,056,00,1 =++= 
cmdaN
daNdaN
daN
cmdaN
NN
N
eNM
dE
E
 efdd .3170395213654
13654
.57,0.3952.
,1 =





−
=





−
=
 
24 0,333.288
.3170
cm
daN
cm
cm
cmdaN
W
M
y
d
Md ===σ 
Verificação da estabilidade: 
124,0
309
33
309
410,1
,0,0
<=+⇒≤+
dc
Md
dc
Nd
ff
σσ
 OK 
 
Como os dois eixos x e y satisfazem as exigências da NBR7190 para Estado Limite Último 
de estabilidade de peças comprimidas paralelamente às fibras, a barra é considerada 
segura. 
 
 
Verificação de estado limite de utilização para peças comprimidas: λ ≤ 140 
λx = 36,6 λ ≤ 140 � OK 
λy = 97,7 λ ≤ 140 � OK 
A barra satisfaz exigência de estado limite de utilização da NBR7190:1997.