Probabilidade e Regressão

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Probabilidade 
e 
Regressão 
 
 
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Autores: 
Ademir J Petenate, , EDTI Projetos 
Marcelo M Petenate, EDTI Projetos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Publicado por EDTI Melhoria de Processos® 
Campinas, São Paulo 
Impresso no Brasil 
0
Sumário 
Probabilidade...........................................................................2 
Modelos Probabilísticos..........................................................35 
Inferencia................................................................................91 
Regressão.............................................................................105 
1
Probabilidade
Incerteza e intuição
A intuição humana é mal adaptada a situações que envolvem 
incerteza.
Pesquisas recentes mostram que em situações que envolvem o 
acaso nossos processos cerebrais costumam ser gravemente 
deficientes.
Os processos aleatórios são fundamentais na natureza, e 
onipresentes em nossa vida cotidiana; aind assim, a maioria das 
pessoas não os compreende nem pensa muito a respeito.
Leonard Mlodinow
2
Jogo das cores
É mostrado a um grupo de pessoas uma série de lâmpadas de 
duas cores (vermelho e verde). As cores aparecem em 
sequencia com diferentes probabilidades. 
Depois de observar o a sequencia por um tempo a pessoa deve 
tentar prever a próxima cor.
O jogo tem duas estratégias básicas. Uma delas é arriscar na cor 
percebida como a que ocorre com mais frequência. A outra é 
ajustar a nossa percepção conforme padrões que identificamos.
Qual estratégia é melhor?
Concha
Kahneman – Premio Nobel de Economia de 2002
3
Exercício
Linda tem 31 anos de idade, solteira, franca e muito brilhante. 
Ela graduou-se em Filosofia. Como estudante, esteve 
profundamente preocupada com os assuntos de discriminação e 
justiça social e também participou de manifestações anti-
nucleares. 
Por favor, ordene as três seguintes alternativas na ordem de 
mais provável (1) para menos provável (3).
A. Linda participa do movimento feminista
B. Linda é bancária e participa do movimento feminista
C. Linda é bancária
Exercício
Aproximadamente 80 bebês por semana nasceram na Santa Casa de Santos 
em 1993. Durante o mesmo ano, cerca de 20 bebes por semana nasceram na 
Maternidade em São Vicente. Enquanto cerca de 50% de todos os bebes 
nascidos em qualquer semana considerada eram meninos, a porcentagem 
exata varia de semana para semana, algumas vezes mais, outras menos. 
Dos dois hospitais, qual você acha que registrou mais semanas na qual o 
número total de meninos nascidos foi maior que 70%?
 Santa Casa de Santos
 Maternidade em São Vicente
 Mais ou menos a mesma quantia 
4
Exercício
O que é maior, o número de palavras de seis letras na língua inglesa que tem 
o n como quinta letra ou o número de palavras de seis letras que terminam 
em ing?
Exercício
Suponha que uma companhia aérea tenha um lugar restante no voo e ainda 
restem dois passageiros por chegar. Suponha que a partir da experiência a 
companhia saiba que existe uma chance de 2/3 de que um passageiro que 
reservou um voo se apresente para viajar. 
Qual é a probabilidade que ela tenha que lidar com um cliente insatisfeito?
Qual é a probabilidade que o voo seja realizado com um lugar vago?
5
Um pouco de História
A teoria da probabilidade tal como a conhecemos hoje, foi em grande parte 
desenvolvida por cientistas como Girolamo Cardamo (1501-1576), Galileu 
Galilei (1564-1642), Blaise Pascal (1623-1662), Pierre de Fermat (1601-
1665), Jackob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), entre 
outros.
O desenvolvimento da teoria da probabilidade é muitas vezes associado 
com os jogos de azar em famosos cassinos europeus, como o que está em 
Monte Carlo. 
Muitos livros sobre probabilidade e estatística contam a história de 
Chevalier de Mère, um jogador francês, que contou com a ajuda de Pascal 
em um esforço para obter as probabilidades de ganhar em certos jogos de 
azar, desenvolvendo assim esse campo do conhecimento.
Um pouco de História
Os gregos da Antiguidade se destacam por terem inventado a maneira como 
a matemática é levada a cabo: por meio de axiomas, provas, teoremas etc.
Por que motivo eles não criaram uma teoria para demonstrar que se 
jogamos dois dados seria pouco sábio apostar uma grande quantia na 
possibilidade de que ambos caiam com o número 6?
• O futuro se desvelava conforme a vontade dos Deuses
• Insistência na verdade absoluta, provada pela lógica e sustentada pelos 
axiomas
• Desconhecimento da aritmética; ausência de um sistema de 
representação numérica fácil de trabalhar. Imagine tentar subtrair 
ΛΤΩ de ΨΠ. A notação base 10 só começa a ser usada no século VII d.C.
• Ausência do zero (só surgiu no século IX d.C.)
• O sinal de igual só foi inventado no início do século XVI
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Conceitos básicos
� O que significa Probabilidade?
� É uma medida de incerteza. 
� A probabilidade de um evento é uma medida numérica da 
chance de ocorrência do evento
� Probabilidade é medida por um número que varia entre 0 e 1 
(0 é a probabilidade de um evento impossível e 1 a 
probabilidade de um evento certo
Experimento aleatório
Um experimento aleatório é um processo que tem como 
resultado um de um conjunto possível de resultados. O resultado 
é uma observação ou medição documentada.
Exemplos
• Pagar a conta no prazo: {Sim, Não}
• Tempo para completar uma ligação: {t: t>0}
• Número de cartões de crédito que um cliente possui: {0, 1, 2...}
7
Evento e espaço amostral
� Cada resultado possível de um experimento aleatório é um 
evento simples
� O espaço amostral é a coleção de todos os eventos simples
� Um espaço amostral pode ser finito, finito enumerável ou infinito 
não enumerável
� Um evento é um subconjunto do espaço amostral (um 
conjunto com um ou mais eventos simples)
� O evento vazio é o conjunto com nenhum evento simples 
(conjunto vazio)
� A probabilidade de um evento é a soma das probabilidades 
dos eventos simples que formam o evento
� A probabilidade do evento vazio é zero
Tipos de Probabilidade
� Probabilidade clássica: eventos igualmente prováveis
� S= {S1, S2, ..., Sn} é o espaço amostral
� �� = 1�
onde � simboliza a probabilidade e �� é o resultado de um 
experimento aleatório com � resultados possíveis, � =
1,… , �.
� Seja um evento 
 formado por � eventos igualmente 
prováveis:
� 
 =�1�
���
= ��
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Tipos de Probabilidade
� Probabilidade clássica: eventos não necessariamente 
igualmente prováveis
� S= {S1, S2, ..., Sn} conjunto de eventos possíveis
� � �� = ��
� onde �� é a probabilidade de ocorrência de �� , � =1,… , � e calculável a partir de suposições.
� Exemplo: Uma moeda com duas faces (Cara e Coroa) não 
equilibrada.
� S={Cara, Coroa}
� P(Cara)=P1, P(Coroa)=P2; P1≠P2
Probabilidade clássica: cálculo
� Tipicamente envolve problemas de contagem
� Pode ser muito simples
� Exemplo: dado honesto
� Resultados possíveis 1, 2, 3, 4, 5, 6, , tal que
� ��������� = � = 16
para � = 1, … , 6
� Evento 
 = resultados	pares
� 
 = � 2,4,6 = 16 +
1
6 +
1
6 =
1
2
9
Probabilidade clássica: cálculo
Pode ser bastante complexo: Exemplo: Poker fechado , 52 
cartas (sem curinga)
Sequencia real: 5 cartas seguidas domesmo naipe do 10 ao Ás.
P (Sequencia real) = ?
Sequência de cor: 5 cartas seguidas do 
mesmo naipe.
P (Sequencia de cor) = ?
Cuidado!
� Qual é a probabilidade que o primeiro bebê que vai 
nascer em 2014 na cidade de São Paulo seja do sexo 
masculino? 
10
Probabilidade frequentista
� Seja +�, … , +, o conjunto de resultados possíveis de 
um experimento realizado � vezes e que cada resultado 
ocorre �� vezes. Então
� +� = ���
e
���� =��� = 1
Probabilidade subjetiva
� Chance de ocorrência de um evento atribuída por um 
indivíduo com base em sua experiência, conhecimento do 
assunto, grau de convicção ou simplesmente expressão de 
desejo
� Suponha que você reúna amigos para assistir a um jogo 
de futebol entre os times A e B pergunte a cada um 
deles qual a chance do time A ganhar. Provavelmente 
cada um fará uma afirmação diferente. Estamos nesse 
caso atribuindo probabilidade de forma subjetiva.
11
Lei de Bendford
A Lei de Bendford (descoberta pelo astrônomo Simon 
Newcomb observando páginas de livros de logaritimos)sugere 
que a porcentagem de ocorrência dos dígitos 1 a 9 na 
primeira posição em números de diversas fontes segue um 
padrão. Esse padrão é exibido na tabela abaixo.
Qual é o tipo de probabilidade?
Como esse resultado poderia ser utilizado em ambiente de 
negócios?
Prim
dígito
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Freq
Relat
0.301 0.176 0.125 0.097 0.079 0.067 0.058 0.051 0.046
União e intersecção de eventos
� A união de dois eventos A e B é o evento formado por 
todos os resultados que estão em A ou B
� Notação A∪B
� A intersecção de dois eventos A e B é o evento formado 
por todos os resultados que estão em A e B
� Notação A∩B
� O evento complementar de um evento A é formado 
pelos resultados que não estão em A
� Notação A´
� Dois eventos A e B tal que a intersecção deles é vazia são 
mutuamente excludentes ou disjuntos
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União e intersecção de eventos
A∪B
A∩B
A´
A
Axiomas de probabilidade
Qualquer que seja o tipo de probabilidade (clássica, 
frequentista, subjetiva), o mesmo conjunto de regras é 
válido para manipular e analisar probabilidades.
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Axiomas de probabilidade
1. P (S) = 1, S o espaço amostral
2. Qualquer que seja o evento - 0 ≤ � - ≤ 1
0 ≤ � - ≤ 1
3. Se A 1 e A 2 são dois eventos que disjuntos -� ∩ -2 = ∅ , então
�(-1 ∪ -2) = �(-1) + �( -2)
� Generalizando, se A1, A2, ... , Ak são eventos mutuamente disjuntos, então
�(-1 ∪ -2 ∪ … ∪ -7 ) = �(-1) + �(-2) + … + �( -7)
4. Se A1 e A2 são dois eventos quaisquer, então
�(-1 ∪ -2) = �(-1) + �( -2) − �(-1 ∩ -2)
Notação
� Denotaremos eventos por letras maiúsculas -, 9, …
� Seja - um evento
� Ex1: -: evento dos números pares no jogo de dados
- = 2, 4, 6
� Ex2: -: evento onde o tempo para responder a uma solicitação 
de crédito é maior que 9 dias úteis
- = �: � > 9
14
Probabilidade condicional e independência
� Exemplo: um grupo de bancários foi classificado de acordo 
com o peso corporal e hipertensão
� A: pessoa com hipertensão →	� - = 0.20
� B: pessoa com peso acima do normal → �(9) = 0.25
condição em relação ao peso
acima normal abaixo total
hipertenso
sim 0.10 0.08 0.02 0.20
não 0.15 0.45 0.20 0.80
total 0.25 0.53 0.20 1.00
Probabilidade condicional e independência
� Qual a chance de um pessoa que tem peso acima do 
normal ser hipertensa? Denotamos essa probabilidade 
por �(-/9)
� -/9 = 0.10.25 = 0.4
� Qual a chance da pessoa ser hipertensa e ter peso acima 
do normal
� - ∩ 9 = � -9 = 0.1
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Probabilidade condicional e independência
� Probabilidade condicional
� -/9 = � -9� 9
desde que �(9) > 0.
� Ou
� -/9 � 9 = �(-9)
que chamamos de lei da multiplicação das probabilidades
Probabilidade condicional e independência
� Dois eventos são independentes se
� -/9 = � -
� Condições equivalentes
� 9/- = � 9 ou �(-9) = �(9)�(-)
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Regras de produto para eventos 
independentes
As regras para a união e a interseção de dois eventos 
independentes são extensíveis para sequências de mais de dois 
eventos. 
Estudos enumerativos envolvem, em geral, amostragem 
aleatória de alguma população. 
Quando retiramos uma amostra aleatória de uma grande 
população, ou quando retiramos uma amostra com reposição de 
uma população de qualquer tamanho, os itens da amostra são 
independentes uns dos outros. 
Regras de produto para eventos 
independentes
Por exemplo, suponha que temos uma urna contendo 10 bolas, 
sendo 7 vermelhas e 3 azuis. Uma bola é sorteada, observa-se 
que é vermelha e devolve-se a bola na urna.
Qual é a probabilidade de que a segunda bola que escolhemos 
aleatoriamente será vermelho? 
A resposta ainda é 3/10 porque o processo não tem memória 
nesse caso.
Amostragem com a reposição assegura a independência dos 
elementos. 
O mesmo é válido para a amostragem aleatória sem restituição 
se a população é relativamente grande em comparação com o 
tamanho da amostra.
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Regra da probabilidade total
� - = � - ∩ 9 + � - ∩ 9´ = �-/9)�(9) + �(-/9´)�(9´)
Para quaisquer dois eventos A e B
Generalizando, se A é um evento qualquer e B1, B2, ..., Bk uma 
partição do espaço amostral S, então
� - = � �(- ∩ 9�) = � �-/9�)�(9�)
Exemplo
Suponha que a probabilidade é 0.10 de que um chip que seja sujeito a altos 
níveis de contaminação durante a fabricação cause falha no produto e é 0.005 
caso não esteja sujeito a altos níveis de contaminação. 
Em um lote produzido 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de 
contaminação. 
Qual é a probabilidade que um produto usando um chip desse lote venha a 
falhar?
Seja F o evento que o produto falhe e A o evento que o chip foi exposto a altos 
níveis de contaminação
P(F/A)=0.10, P(F/A´ )=0.005
P(A)=0.20, P(A´ )=0.80
P(F)=P(F∩A)+P(F ∩A´)=P(F/A)P(A)+P(F/A´)P(A´)
=0.10*0.20+0.005*0.80=0.024
18
Probabilidade condicional e independência
� Exemplo: um grupo de bancário foi classificado de acordo 
com o peso corporal e hipertensão
� Ter peso acima do normal é independente de ser 
hipertenso?
condição em relação ao peso
acima normal abaixo total
hipertenso
sim 0.10 0.08 0.02 0.20
não 0.15 0.45 0.20 0.80
total 0.25 0.53 0.20 1.00
Teorema de Bayes
As fórmulas de probabilidade condicional eram conhecidas no 
século XVIII. Elas dependiam de que o evento condicionante 
tivesse ocorrido antes do evento que estivesse sendo 
examinado.
No final do século XVIII o reverendo Thomas Bayes descobriu 
algo inusitado. Era possível calcular a “probabilidade do antes 
condicionada ao depois”.
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Exercicíos
Uma empresa de consultoria está negociando contratos de serviço com 
duas grandes multinacionais. Os executivos da companhia estimam que a 
probabilidade fechar o contrato com a empresa A, o evento A, é de 0,45. 
Os executivos também sentem que se se fecharem com a empresa A a
probabilidade de entrarem em acordo com a empresa B é de 0.9. Qual a 
chance da companhia obter os dois serviços?
Formados em Direito devem passar por um exame de da OAB para 
poderem exercer a profissão. Suponha que a porcentagem de aprovados 
na primeira vez que prestam o exame é 72%. Os reprovados na primeira 
vez podem fazer um segundo exame. A proporção de aprovados na 
segunda tentativa é 88%. Qual é a probabilidade de que um graduado seja 
aprovado?
Exercício
Um analista de investimentos coleta dados sobre ações: informações sobre o pagamento ou 
não de dividendos e o crescimento ou não do preço dessas ações para um dado período. Os 
dados estão na tabela a seguir.
a. Se uma ação for selecionada ao acaso dentre as 246 da lista do analista, qual é a 
probabilidade de que o preço tenha subido?
b. Se uma ação for selecionada ao acaso, qual é a probabilidade de que ela pagou 
dividendos?c. Se uma ação for selecionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de que o preço 
subiu e pagou dividendos?
d. Qual é a probabilidade de que uma ação selecionada aleatoriamente não tenha pago 
dividendos nem tenha subido o preço?
e. Dado que o preço de uma ação subiu, qual a probabilidade de que ela também tenha 
pago dividendos?
f. Se for conhecido que uma ação não pagou dividendos, qual a probabilidade de seu 
preço ter subido?
g. Qual a probabilidade de uma ação selecionada aleatoriamente ter sido um bom negócio, 
ou seja, ter subido de preço e/ou pago dividendos?
Preço subiu Preço não subiu Total
Dividendo pago 34 78 112
Dividendo não pago 85 49 134
Total 119 127 246
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Exercício
Em um artigo sobre o crescimento do investimento, a revista Money informou que as ações de 
companhias farmacêuticas mostram tendências excelentes de longo prazo e oferecem aos 
investidores potencial incomparável de ganhos altos e constantes. O Health Care Financing
Administration fundamenta essa conclusão por meio de sua previsão de que os gastos anuais 
com prescrição de medicamentos atingirão 366 bilhões de dólares em 2010, acima dos US $ 117 
bilhões de dólares em 2000. Muitos indivíduos com 65 anos ou mais dependem fortemente de 
medicamentos prescritos. Para esse grupo, 82% tomam medicamentos regularmente, 55% 
tomam pelos menos 3 medicamentos e 40% consomem cinco ou mais remédios. Em contraste, 
49% das pessoas com menos de 65 anos de idade tomam remédios regularmente, com 37% 
tomando pelo menos 3 drogas 28% com cinco ou mais drogas (Money, Setembro de 2001). O 
censo dos EUA mostrou que dos 281.421.906 de pessoas nos Estados Unidos, 34.991.753 tem 
pelo menos 65 anos (EUA Census Bureau, Censo 2000).
a. Calcule a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso nos Estados Unidos tenha 65 
anos ou mais.
b. Calcule a probabilidade de que uma pessoa toma medicamentos regularmente.
c. Calcule a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso tenha 65 anos ou mais e 
toma cinco ou mais drogas.
d. Dado que uma pessoa usa cinco ou mais prescrições, calcular a probabilidade de que a 
pessoa tem 65 anos ou mais.
Teorema de Bayes
No exemplo do semicondutor, F é o evento posterior e A e o 
evento anterior e sabemos P(F/A)
Mas podemos estar interessados em saber o seguinte: se o 
chip no produto falhar, qual é a probabilidade que tenha sido 
exposto a altos níveis de contaminação, ou seja P(A/F)?
Observe que sabemos P(F/A), P(F/A´), P(A) e P(A´). Com isso 
podemos calcular P(F). Mas queremos calcular P(A/F)
O Teorema de Bayes permite realizar esse cálculo
21
Teorema de Bayes
Sejam A e B dois eventos
� -/9 = � 9/- �(-)�(9) 	����	� 9 > 0
P(A) é a probabilidade à priori e P(A/B) é a probabilidade à 
posteriori
Extensão do Teorema de Bayes
Se E1, E2, ..., Ek forem eventos mutuamente excludentes e 
exaustivos e B um evento qualquer então 
� 
�/9 = ? @/AB ?(AB)? @/AC ? AC D? @/AE ? AE D⋯D? @/AG ?(AG) 	����	� 9 > 0
Teorema de Bayes
No exemplo do semicondutor, F é o evento posterior e A e o 
evento anterior e sabemos P(F/A)
Aplicando o Teorema de Bayes temos
� -/H = � H/- �(-)�(H) =
0.10 ∗ 0.20
0.024 = 0.83
22
Exercício
Um banco estava interessado em rever sua política em relação ao produto “cartão de 
crédito” com a intenção de cancelar os cartões de alguns clientes. No passado, 
aproximadamente 5% dos portadores de cartões ficaram inadimplentes e o banco não 
pode cobrar o saldo devedor. Assim, a administração estabeleceu probabilidade à 
priori para a inadimplência de qualquer cliente igual a 0,05. O banco também 
descobriu que a probabilidade de não pagamento em um determinado mês é de 0,20 
para os clientes adimplentes. Claro que, para um cliente inadimplente, a probabilidade 
de não pagamento em um mês é 1.
a. Dado que um cliente deixou de pagar pelo menos um mês, compute a 
probabilidade à posteriori de que um cliente vire inadimplente.
b. O banco gostaria de cancelar o cartão caso a probabilidade de que um cliente vire 
inadimplente seja maior do que 0.2. O banco deveria cancelar o cartão caso o 
cliente deixe de realizar o pagamento de um mês? Por quê?
Exercício
Em cirurgias de transplante de coração há risco de que o corpo rejeite o coração 
transplantado. Um novo teste foi desenvolvido para detectar os primeiros sinais de que 
o corpo possa rejeitar o coração transplantado. No entanto, o teste não é perfeito. 
Quando o teste é realizado em alguém cujo coração será rejeitado, cerca de dois em 
cada dez testes serão negativos (falso negativo). Quando o teste é realizado em uma 
pessoa cujo coração não será rejeitado, 10% irá mostrar um resultado positivo (falso 
positivo). Os médicos sabem que em cerca de 50% dos transplantes de coração o corpo 
tenta rejeitar o órgão transplantado.
a. Suponha que o teste foi realizado em uma pessoa submetida ao transplante e o teste 
foi positivo (indicando sinais de alerta precoce de rejeição). Qual é a probabilidade 
de que o corpo está propenso a rejeitar o coração?
b. Suponha que o teste foi realizado e o resultado é negativo (indicando que não há 
sinais de rejeição). Qual é a probabilidade de que o corpo está propenso a rejeitar o 
coração?
23
Distribuições de probabilidade
Variáveis aleatórias
� Uma variável aleatória (v.a.) é uma função que atribui um 
número real a cada resultado do espaço amostral de um 
experimento aleatório
� Variável aleatória discreta
� Assume valores em um conjunto finito ou infinito enumerável
� Variável aleatória contínua
� Assume valores em um intervalo finito ou infinito de números 
reais
� Notação: em geral a v.a. é denotada por uma letra 
maiúscula do final do alfabeto (X, Y, Z, …);
24
Exemplo
Um banco classifica seus clientes como “rentável”, “neutro”, “não 
rentável”. Na base de clientes, a proporção é a seguinte:
Classificação Porcentagem
R 50%
N 40%
NR 10%
Seja X a v.a. definida como: 1 se cliente é R; 0 se cliente é N e -1 
se cliente é NR.
Distribuição de X: X Prob
-1 0.1
0 0.4
1 0.5
Distribuição de probabilidade discreta
� Exemplo: em um censo é coletado o número de filhos do 
casal
� Para uma família escolhida ao acaso, qual a probabilidade 
que ela tenha 2 filhos?
Nº de Filhos %.
0 10%
1 30%
2 35%
3 20%
4 5%
25
Distribuição de probabilidade discreta
Para uma variável aleatória discreta X com valores
x1, x2, ..., xn a distribuição de probabilidade é dada por
K(L�) = �(M = L�)
A distribuição de probabilidade satisfaz
� K L� = 1
Distribuição de probabilidade discreta
� Seja M o número de filhos do casal;
� M = {0, 1, 2, 3, 4}
� �(M = L�) = {0.1, 0.3, 0.35, 0.20, 0.05}, para L� =
{0, 1, 2, 3, 4}
� M	é uma v.a. discreta
� ∑� M = � = 1
26
Distribuição de probabilidade discreta
� Distribuição de probabilidade da variável aleatória M
X 0 1 2 3 4 Soma
P(X=xi) 0.10 0.30 0.35 0.20 0.05 1
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
P(
X)
0 1 2 3 4
X
Distribuição: Número de filhos
27
Média e variância populacional
Média ou valor esperado
Seja M v.a. discreta com distribuição
{L� , �(L�); 	� = 1,2,… �}, onde 
�(L�) = �(M = L�)
então, 
E X = Té���(M) = 	∑(V����	 × 	���X�X�������), 
ou
 M = Y =�L�� L�
Z
���
28
Exercício
Calcule o valor esperado da variável aleatória M que 
representa o número de filhos do exemplo anterior
X 0 1 2 3 4 Soma
P(X) 0.10 0.30 0.35 0.20 0.05 1
Exercício
Calcule o valor esperado da variável aleatória M que 
representa os resultados de um dados honesto
X 0 1 2 3 4 5 6 Soma
P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
29
Exercício
Seja M uma v.a. discreta que representa o número de 
carros vendidos por dia em uma revendedora, cuja 
distribuição de probabilidades é dadapor 
Calcule 
(M)
Distribuição do número de carros vendidos por dia
x 0 1 2 3 4 5 Total
P(x) 0.10 0.10 0.20 0.30 0.20 0.10 1.00
Interpretação do valor esperado
� Suponha que você invista no mercado de ações e M	seja a 
variável aleatória que representa o resultado desse 
investimento;
� M = {−27, 120};
Ganho (g) 120,00 -27,00 Total
P(g) 0.20 0.80 1.00
gP(g) 24,00 -21,60 2.40
30
Exercício
Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de 
todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos 
por hora, sendo 55 km/h a velocidade máxima permitida. Um levantamento 
estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de 
veículos de acordo com sua velocidade aproximada.
A velocidade média dos veículos
que trafegam nessa avenida é de:
(a) 35 km/h
(b) 44 km/h
(c) 55 km/h
(d) 76 km/h
(e) 85 km/h
Exercício
Uma empresa de seguros vende uma apólice para 1500 proprietários de um modelo 
de bicicleta mountain bike que protege contra roubo por dois anos. O custo de 
reposição dessa bicicleta é $300.00. Suponha que a probabilidade de um indivíduo 
ser roubado durante o período de proteção é 0.15. Assuma que a probabilidade de 
mais de um roubo por indivíduo é zero e que os eventos são independentes.
a. Qual é o preço de venda da apólice para que haja um equilíbrio para a 
empresa(ganho zero, perda zero)?
b. Se a probabilidade de roubo for 0.10, qual é o ganho esperado por apólice dado o 
valor de venda determinado em (a)?
31
Aplicação do valor esperado em processos 
decisórios
Uma fábrica de móveis deve decidir se realiza uma ampliação da capacidade 
instalada agora ou se aguarda mais um ano. 
Uma análise econômica diz que se ela expande agora e as condições 
econômicas permanecerem boas, ela realizará um lucro de R$328.000,00 no 
próximo ano; caso haja uma recessão, ela terá um prejuízo de R$80.000,00. 
Se ela adia a expansão para o próximo ano, ela terá um lucro de 
R$160.000,00 se as condições permanecerem boas e terá um lucro de 
R$16.000,00 se houver recessão. 
Se as chances de que ocorra uma recessão é de 2/3, qual é a decisão que 
maximiza seu lucro?
Propriedades da média
� Seja � e X duas constantes e M e \ duas variáveis 
aleatórias. Então:
A. 
(�) = �
B. 
(XM) = X
(M)
C. 
(� + M) = �	 + 	
(M)
D. 
(�M + X\) = �
(M) + X
(\)
32
Variância
Fornece uma medida de dispersão (variação) dos valores em 
torno da média 
a�� M = b2 = � L� − Y 2� L�
c��V������ã� M = b = a�� M
Pode-se mostrar que
a�� M = 
 M2 − 
 M 2
onde 
 M2 = ∑ L�2� L�
Propriedades da variância
� Seja a e b duas constantes e M e \ duas variáveis 
aleatórias. Então:
A. a�� M ≥ 0
B. a��(�) = 0
C. a��(� + M) = a��(M)
D. a��(XM) = X2a��(M)
E. a�� � + XM = X2a�� M
F. a�� M ± \ = a�� M + a�� \ ,
	��	M	�	\	�ã�	�����í���i������	�������������
33
Exercício
Um sistema de envasamento consiste em encher um vidro com líquido. 
Os vidros utilizados tem peso médio de 20g e desvio padrão 0.5g. 
A quantidade de líquido em peso que é colocada no litro pode ser regulada, 
sendo o valor nominal igual a 185g. 
O desvio padrão do sistema de envasamento é 2g. 
Qual é o peso médio e o desvio padrão do vidro cheio?
34
Modelos probabilísticos
Introdução
Modelos são utilizados em todos os campos da 
ciência.
Devem simplificar a realidade ao mesmo tempo que 
representam suas principais características.
“Todos os modelos estão incorretos, mas alguns são 
úteis” (George Box)
35
Distribuição Discreta Uniforme
O modelo mais simples de distribuição discreta é o 
uniforme
f(x) = 1/n
sendo
n= número de valores que a variável aleatória pode 
assumir
Ensaios de Bernoulli
a) Em cada ensaio podem ocorrer somente dois 
resultados possíveis (Sucesso (S) e Fracasso 
(F)).
b) Para cada ensaio, a probabilidade de que 
ocorra um Sucesso, denotada por �(�), é a 
mesma, e é denotada por p, ou seja, �(�) = �. A 
probabilidade de um Fracasso, �(H), é dada 
por 1 − �, ou seja, �(H) = 1 − �. A quantidade 
1 − � é denotada por j. Temos então � + j = 1.
c) Cada ensaio é independente.
Considere � repetições sucessivas de um ensaio (ou 
teste) com apenas dois resultados possíveis que 
respeite as seguintes regras:
36
Ensaios de Bernoulli
Se associarmos ao evento S o valor e 0 ao valor F a distribuição 
de probabilidade de X é
Além disso:
a) 
(M) = 	0 ∗ (1 − �) 	+ 	1 ∗ �	 = 	�
b) a�� M = 	
 M2 −	 
 M 2	
= 	 02	 ∗ 1 − � + 12	 ∗ � + 	�2	
= 	�(1 − �)
X P(X)
0 1-p
1 p
Experimento Binomial
Um experimento Binomial obedece as seguintes 
propriedades
1. O experimento consiste de um sequencia de n 
ensaios idênticos
2. Dois resultados são possíveis em cada ensaio: 
Sucesso e Fracasso (Ensaio de Bernoulli)
3. p=P(S) não muda de ensaio para ensaio
4. Os ensaios são independentes
37
Distribuição Binomial
Considere um experimento Binomial
Seja X o número de Sucessos nos n ensaios
A variável M pode assumir os valores 0,1,2, . . , �.
Então, � M = � = �� �
 1 − � Z
onde 
�
� =
Z!
! Zm
 !, para � =
0,1,2, … , �
Denotamos M~9�� �, �
Triangulo de Pascal
Linha
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
38
Triangulo de Pascal
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2
x_2
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6
x_6
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x_10
0
5
10
15
20
x_20
Propriedades da B(n,p)
1. 
 M = Y = ��
2. a�� M = b2 = �� 1 − �
Se definirmos po= ∑ Xi
n
=Xp, então
1. 
 �̂ = 
 Mr = �
2. a��(�̂) = a�� Mr = s(�ms)	Z
39
Exercício
� Um gerente de conta especial faz vinte ligações por dia 
para clientes para oferecer um novo produto. 
� De experiência passada ele estima que a chance de 
vender o produto para um cliente é 0.10
� Se sua meta diária é realizar 4 vendas, qual é a 
probabilidade que ele atinja a meta em um determinado 
dia?
� Qual é o número médio de vendas que ele realiza por 
dia?
� Qual é o desvio padrão do número de vendas?
� Qual é o valor mais provável de venda?
Distribuição de Poisson
a) Independência: o número de vezes que S ocorre em 
qualquer intervalo de tempo é independente do número de 
ocorrências de S em qualquer outro intervalo de tempo 
disjunto.
b) Falta de agrupamento: a chance de duas ou mais 
ocorrências de S simultâneas pode ser assumida como 
sendo zero.
c) Razão: a número médio de ocorrências de S por unidade 
de tempo é uma constante, denotada por l, e ela não 
muda com o tempo.
Um evento S ocorre no tempo (ou espaço) obedecendo os 
seguintes postulados:
40
Distribuição de Poisson
Seja X o número de ocorrências de S por unidade de 
tempo. Se os postulado anteriores são válidos, então 
M~� t e
� M = L = �
utv
L! , 						L = 0,1,2, . . .
onde t é o parâmetro que indica o número médio de 
ocorrências de X em um intervalo de tempo unitário
Propriedades da Distribuição de Poisson
1. 
 M = t
2. a�� M = t2
41
Exercício
Durante a segunda guerra, Londres foi bombardeada por 
aviões alemães. Para verificar se os alemães estavam atirando 
bombas com informações sobre alvos o sul de Londres foi 
divido em 576 quadrados, cada um com ¼ de milha quadrada. 
O número de bombas que caiu em cada quadrado foi anotado e 
está na tabela seguinte. 
Pode-se concluir que os alemães estavam atirando bombas ao 
acaso?K (n de bombas) 0 1 2 3 4 ≥ 5
Nk (n de 
quadrados
229 211 93 35 7 1
Exercício� Faça um gráfico de barras do número de bombas por 
quadrado. Use a frequência relativa como altura da barra.
� Aplique a distribuição de Poisson para o número de 
número de bombas por quadrado.
� Calcule a frequência predita pela distribuição de Poisson
� Compare a frequência observada com a frequência 
esperada e discuta se a distribuição de Poisson é 
apropriada para essa situação
� Escolhida aleatoriamente uma região, determine a 
probabilidade dela ter sido atingida por exatamente duas 
vezes?
42
Exercício
� Ao enlatar leite em pó, é necessário acrescentar um 
dosador. A não inclusão do dosador é considerada uma 
falha. O número de falhas que ocorrem em um lote 
produzido tem distribuição de Poisson com número 
médio de falhas igual a 5. 
1. Qual é a probabilidade que em um lote:
a) Uma lata esteja sem o dosador?
b) Duas ou mais latas estejam sem o dosador?
2. Qual é o número mais provável de falhas que ocorrem 
em um lote?
Aproximação da Binomial pela Poisson
Quando � é grande e � é pequeno
9�� �, � ≈ � ��
� M = L = �L �v 1 − � v ≈
�mZs �� v
L!
43
Exercício
O número de clientes especiais , digamos, N, que solicitam atendimento por 
dia segue a distribuição de Poisson com parâmetro λ=2. As atuais instalações 
de atendimento especial podem atender a três clientes por dia. Se mais de 
três clientes solicitarem atendimento o quarto em diante não será atendido, o 
que pode impactar de forma negativa o negócio.
1. Em um dia, qual é a probabilidade de ter clientes não atendidos?
2. De quanto deverão ser aumentadas as instalações atuais para que todos 
os clientes possam ser atendidos em 90% dos dias?
3. Qual é o número médio de clientes que solicitam serviços por dia?
4. Qual é o número mais provável de clientes que solicitam serviços por 
dia?
5. Qual é o número médio de clientes atendidos por dia?
Exercício
Uma empresa de seguros vende uma apólice para 1500 proprietários de um 
modelo de bicicleta mountain bike que protege contra roubo por dois anos. 
O custo de reposição dessa bicicleta é $300.00. Suponha que a probabilidade 
de um indivíduo ser roubado durante o período de proteção for 0.15. 
Assuma que a probabilidade de mais de um roubo por indivíduo é zero e que 
os eventos são independentes.
1. Qual é o preço de venda da apólice para que haja um equilíbrio para a 
empresa(ganho zero, perda zero)?
2. Se a probabilidade de roubo for 0.10, qual é o ganho esperado por 
apólice dado o valor de venda determinado em (a)?
44
Exercício
Considere o exemplo do leite em pó enlatado com dosador 
discutido anteriormente. Considere que o lote é formado por 
10.000 latas e que o processo de enlatar é tal que a 
probabilidade que uma lata esteja sem dosador é 0.0005. 
Qual é a probabilidade que em um lote uma lata esteja sem o 
dosador utilizando o modelo binomial? E utilizando o modelo de 
Poisson?
Distribuição Hipergeométrica
Considere uma população com N indivíduos sendo que r 
indivíduos são Sucesso (S) e (N-r) são Fracasso (F).
Uma amostra aleatória sem reposição de tamanho n é retirada.
Seja X o número de indivíduos S na amostra
Os valores possíveis de X são: 0, 1, 2, ..., min{n,r}
A distribuição de X é dada por
�(M = L) 	=
�
L
x − �
� − Lx
�
	
45
Distribuições de variáveis aleatórias 
contínuas
Variável aleatória contínua
Em um Call Center o tempo de atendimento de um 
cliente é monitorado. Os valores possíveis são em 
princípio, infinitos dentro de um intervalo (a,b), a<b).
Nesse caso, não faz sentido perguntar qual é a 
probabilidade de que o tempo de atendimento seja 
igual a um valor to . Na realidade, essa probabilidade 
é igual a zero
O que se pode perguntar é qual é a probabilidade que 
o tempo de atendimento esteja dentro de um 
intervalo (x,y), ou seja, P(x<t<y)
46
A figura abaixo mostra o histograma de amostras de tamanho 
20, 100, 1000 e 10000 da mesma distribuição com uma função 
contínua f(x) aproximando o histograma.
Observe que quanto maior o tamanho da amostra, melhor a 
aproximação.
A porcentagem de valores abaixo de 9 é aproximada pela área 
sob a curva à esquerda de 9. Quanto maior o tamanho da 
amostra, melhor a aproximação 
%(t < 9) ≅ | K L �L}m~
Exemplo
Valores % de valores
(histograma)
Probabilidade
(distribuição)
(Y < 60) � \ < 60 = 0.185 P(Y < 60) = 0.167
(Y >70 � \ > 70 = 0.140 P (Y > 70) = 0.146
60 ≤ y ≤70 � 60 ≤ € ≤ 70 = 0.675 P(60 ≤ y ≤70) = 0.687
47
Função densidade de probabilidade
� Propriedades da fdp
1. K L ≥ 0, ∀	L
2. A área sob a curva definida por f(x) é igual a 1, ou seja,
‚ K L �L = 1
~
m~
3. �(� ≤ L ≤ X) = 	á���	��X	�	i��V�	�����	��	������	�	�	X, 
ou seja,
‚ K L �L
„
…
Função distribuição acumulada
� Se M é um v.a. contínua a função de distribuição 
acumulada (fda) é H(L) = �(M <= L).
� Propriedades
1. H(L) é uma função não decrescente de L
2. H −∞ = 0
3. H ∞ = 1
48
Média e variância de v.a. contínuas
� Uma variável aleatória contínua M, em geral, também tem 
uma média e uma variância com o mesmo significado e as 
mesmas interpretações discutidas anteriormente para o 
caso discreto, mas o seu cálculo envolve integrais e não 
serão objeto de nosso trabalho aqui. 
� Para as distribuições que estudaremos aqui, a média e a 
variância serão fornecidas em cada caso.
A distribuição Normal (Gaussiana)
Dentre as muitas distribuições contínuas usadas em 
estatística, a mais importante é a Distribuição Normal ou 
Gaussiana. 
Ela tem a forma de um sino e está associada com os nomes 
de Pierre Laplace e Carl Gauss. 
Seu estudo remonta ao século XVIII
49
A distribuição Normal (Gaussiana)
� Importância
� O “efeito central do limite”.
� A robustez ou insensibilidade dos procedimentos estatísticos 
mais comumente usados a desvios da suposição de distribuição 
normal.
O Efeito Central do Limite
� Seja ‡ o erro “total” de medição
� Sob certas condições, geralmente encontradas no mundo 
da experimentação, podemos escrever ‡ como a soma 
dos seus componentes
‡ = ��‡� + ⋯ + �Z‡Z
� Exemplo:
� ‡: ����	��	����çã�	��	������	��	���	������
� ‡�: ����	��	�������‰��
� ‡2: ����	����í��i�
� ‡Š: ����	��	�������	��	����çã�
� etc...
50
O Efeito Central do Limite
Se a porcentagem individual de contribuição é pequena e o 
número de componente é grande, a distribuição dos erros 
tende a ser normal
O Efeito Central do Limite - exemplo
Distribuição da média dos resultados de lançamento de n dados.
A distribuição de médias de amostras pode ser aproximada pela
Distribuição Normal
51
Teorema Central do Limite
n
X
X
n
1i
i∑
=
=
Resultado Importante:
Seja X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória de uma variável 
aleatória X com média µ, variância σ2 e distribuição F(x) e 
seja
a média da amostra
Então a distribuição de X-barra converge para a distribuição 
Normal com média µ e variância σ2/n, ou seja, 
) , N(X
2
n
σµ≈
Procedimentos robustos derivados da 
suposição de normalidade
� Muitas técnicas estatísticas são derivadas da suposição de 
normalidade das observações originais. 
� Em muitos casos, aproximação, em vez de normalidade 
exata, é tudo que se requer para que estes métodos 
sejam aplicáveis. 
� Considerando isto, eles são ditos robustos à não-
normalidade. 
� Desta forma, a menos que seja especificamente alertado, 
não se deve ter excessiva preocupação acerca de 
normalidade exata.
52
Distribuição Normal
Muitas características de qualidade contínuas tem distribuição razoavelmente 
simétrica e podem ser aproximadas por uma curva em forma de sino 
conhecida como Curva Normal, que corresponde à distribuição Normal ou 
Gaussiana;
D
e
n
s
it
y
2072052042032022012001991981971961950.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Normal 
Definição de uma Curva Normal
Toda Curva Normal é definida por dois números:
1) Média: medida do centro.
2) Desvio padrão: medida de dispersão.
53
Distribuição Normal
Utilizamos a notação M~x Y, b2
A fdp de X é dada por
K L = 12‹b2 �
m �2ŒE vm
E
−∞ ≤ L ≤ ∞, −∞ ≤ Y ≤ ∞, b2 > 0
Propriedades da Distribuição Normal
Para qualquer Distribuição Normal temos:
54
Cálculo de probabilidades com a curva 
normal
Quando X~x(0,1), chamamos distribuição normal padrão 
e as probabilidades encontram-se tabeladas
Softwares, como o Excel, também possuem fórmulas que 
realizam esse cálculo
55
Cálculo de probabilidades com a x Y, b2
Seja M~x Y, b2
Considere Ž = mŒ . Pode-se mostrar que Ž tem 
distribuição normal e
 Ž = 
 M − Yb =
1
b 
 M − Y = 0
a�� Ž = a�� M − Yb =
1
b2 a�� M =
b2
b2 = 1
Portanto, Ž~x 0,1
56
Cálculo de probabilidades com a x Y, b2
Se quisermos calcular �(M < X) fazemos
� M < X = � M − Yb <
X − Y
b = � Ž < ‘
onde ‘ = „mŒ
Procuramos na tabela x(0,1) o valor ‘
Exemplo
92%0.919240.000000.91024
4.6)P(Z1.4)P(Z1.4)Z4.6P(
0.0005
0.2508-0.2515Z
0.0005
0.2508-0.2485P0.2515)XP(0.2485
≅=−
−≤−≤=≤≤−
≤≤=≤≤ 





O diâmetro de uma peça pode ser aproximado pela distribuição Normal com 
média 0.2508 e desvio padrão 0.0005. A especificação para do diâmetro da 
peça é 0.2500±0.0015. Qual é a proporção de peças que são produzidas 
dentro da especificação?
57
Exercício
As notas atribuídas em um teste seguem uma distribuição 
normal com média 14 e desvio padrão 2 M~x 14,22 . 
Se as pessoas que tem nota menor ou igual a 11 são 
reprovadas, qual é a porcentagem de pessoas reprovadas?
Exercício
Uma máquina enlata leite evaporado. O peso líquido de 
cada lata tem distribuição normal com média 273,3 g e 
desvio padrão 3,9 g. 
Se o limite inferior de especificação é 264,3 g, qual é a 
porcentagem de latas que são produzidas fora de 
especificação?
58
Propriedade da distribuição Normal
O seguinte resultado é útil quando temos de 
trabalhar com a soma de duas ou mais variáveis 
aleatórias Normais.
Se Xi ~ N(μi,σi
2) , i=1,2,...,n são variáveis 
aleatórias independentes e a1, a2, ... an
constantes. Então
Σ aiXi ~ N(Σai μi , Σai
2 σi
2)
ou seja, a combinação de variáveis com 
distribuição Normal também tem distribuição 
Normal.
Propriedade da distribuição Normal
Se ai =1/n e se os Xi’s forem identicamente distribuídos, 
então
n
σ)XD.P.(
n
σ
n
nσ
σ
n
1
σa)XVar(
µ
n
nµ
µ
n
1
µa)XE(
XX
n
1X
n
1Xa
2
2
2n
1i
2
2
n
1i
22
i
n
1i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
=
====
====
===
∑∑
∑∑
∑∑∑
==
==
===
59
Exercício
O peso bruto de um produto é a soma do peso líquido 
mais o peso da embalagem. Suponha que a máquina que 
embala o produto é tal que o peso líquido colocado na 
embalagem tem distribuição Normal com média igual a 300 
g e desvio padrão igual a 2 gramas. O peso da embalagem 
tem distribuição Normal com média igual a 5 g e desvio 
padrão igual a 0.5 g.
Qual é a distribuição do peso bruto do produto?
Qual dos dois processos é mais preciso?
Aproximação da Binomial pela Normal
Se M é uma variável aleatória com distribuição 9��(�, �), 
temos que Y = �� e b2 = ��(1 − �). Então
Ž = M − ���� 1 − � ~x 0,1
Observações:
1. Esse resultado é uma aplicação do Teorema Central do 
Limite exposto anteriormente.
2. Essa aproximação é tão mais acurada quanto maior for 
o valor de n e quanto mais próximo de 0.5 estiver o 
valor de p.
60
Exercício
1. Se 20% das peças produzidas por uma máquina forem 
defeituosas, utilizando a aproximação da Binomial pela 
Normal, qual é a probabilidade que em uma amostra 
aleatória de 100 peças não mais que 15 serão 
defeituosas.
2. Compare com o valor que seria obtido se utilizássemos 
a distribuição Binomial
� M ≤ 15 = � 100� 0.2
 0.8 �‘‘m
 = 0.1285
�’
�‘
Distribuição exponencial
A distribuição exponencial é muito utilizada quando 
trabalhamos com tempo para ocorrência de um evento, por 
exemplo, tempo para atendimento de uma chamada)
K L = “�m”v, onde x ≥0
1086420
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
X
D
e
n
s
it
y
0.5
1
2
Alfa
Distribution Plot
Exponential
61
Distribuição exponencial
A função distribuição acumulada é dada por:
H L = � M ≤ L = 1 − �mv ”⁄
1086420
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
x
F(
x
)
Distribuição Exponencial: Função Distrib. Acum.
Distribuição exponencial
Propriedades:
Se M~
L� “ , então:
 M = �”
a�� M = �”E
62
Relação entre a Poisson e a Exponencial
Quando usamos a distribuição de Poisson para modelar, por 
exemplo, o número de ligações em um intervalo de tempo 
é possível mostrar que o tempo entre duas ligações 
sucessivas terá distribuição exponencial, ou seja, sob certas 
condições:
Seja 
M: o número de chamadas 
\: tempo entre essas chamadas
M~� t ⇔ \~
L� t
Exercício
Suponha que o tempo entre duas ligações seja modelada 
por uma distribuição exponencial de parâmetro 1 minuto. 
Qual a chance de não acontecerem mais do que 3 ligações 
em um minuto?
63
Propriedade de falta de memória
Para uma variável aleatória X com distribuição Exponencial
�(M < �� + �2|M > ��) = �(M > ��)
Ou seja, a informação de quanto tempo decorreu desde o 
último evento não afeta a probabilidade de que tenhamos 
que esperar um tempo maior que t para a ocorrência do 
próximo evento
A distribuição exponencial é a única distribuição contínua 
com essa propriedade
> ��
Exemplo
Seja X o tempo entre chegadas de um cliente em um banco 
e considere que X tem distribuição exponencial com 
parâmetro α=2 minutos.
A probabilidade de que chegue um cliente dentre 30 
segundos a partir do momento em que começamos a 
registrar as chegadas é
� M < 0.5 = 1 − �m‘.’ 2˜ = 0.22
Suponha agora que estamos esperando há 3 minutos e não 
chegou nenhum cliente nesse tempo. Qual é a probabilidade 
que chegue um cliente nos próximos 30 segundos?
64
Exercício
1. O tempo entre chegada de aeronaves em um aeroporto 
tem distribuição exponencial com parâmetro α = 1 
hora. Qual é a probabilidade de que cheguem mais de 
três aeronaves dentro de um período de uma hora?
2. Uma empresa aérea oferece de tempos em tempos 
quatro passagens com preço especial. Quando isso 
ocorre, o tempo entre ligações para comprar passagens 
tem distribuição exponencial com média de 30 minutos. 
Assuma que cada chamada compre um bilhete. Qual é a 
probabilidade que as quatro passagens sejam vendidas 
em menos de 3 horas desde o anuncio?
Lei dos grandes números
� Quando estamos nos preparando para estimar Y por 
meio de	Mr, pode ser de interesse estabelece um valor 
máximo para a diferença entre a estimativa e o 
parâmetro, para uma dada probabilidade.
� A Lei dos grandes números estabelece que para 
quaisquer ‡ > 0 e 0 ≤ ™ ≤ 1
� −‡ ≤ Mr − Y ≤ ‡ ≥ 1 − ™
se � é um inteiro tal que � > ŒEšE›
65
Exercício
� Suponha que o interesse seja pesquisar o tempo médio 
de atendimento de uma determinada central de 
atendimento e que b2 = 1. Qual o tamanho de amostra 
necessário para que tenhamos uma probabilidade de pelo 
menos 0.95 de que Mr esteja a uma distância máxima de 
0.5 de Y?
Lei dos grandes números
� Observação: a lei dos grandes números nos mostra que 
Mr ⟶ Y quando � ⟶ ∞
66
Exercício
� Uma empresa produz leite enlatado e que o processo é 
tal que 1% das latas tem peso inferior ao limite. 
1. Se uma amostra aleatória de 20 latas é retirada da produção, 
qual a probabilidade que
a) Nenhuma lataesteja com peso inferior ao limite
b) Não mais que uma lata esteja com peso inferior ao limite
2. Qual é o número médio esperado de latas com peso inferior 
ao limite?
3. Qual é o tamanho da amostra para que a amostra contenha 
em média 1 lata com peso inferior ao limite?
67
Transformação de Variáveis
Como saber se a Curva Normal é 
uma boa aproximação?
Uma forma: Olhe o Histograma
Distribuição Normal
tiempo
Fr
e
q
u
e
n
c
y
403530252015105
35
30
25
20
15
10
5
0
Mean 20.94
StDev 6.389
N 200
Histogram of tiempo
Normal 
Sim tiempo1
P
e
rc
e
n
t
15129630-3
30
25
20
15
10
5
0
Mean 1.672
StDev 2.030
N 1000
Histogram of tiempo1
Normal 
Não
68
35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
1
2
3
4
5
6
C1
Fr
eq
ue
nc
y
30 35 40 45 50 55 60 65
0
1
2
3
4
5
6
7
8
C2
Fr
eq
ue
nc
y
35 40 45 50 55 60 65
0
1
2
3
4
5
6
7
C3
Fr
eq
ue
nc
y
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0
1
2
3
4
5
6
C4
Fr
eq
ue
n
cy
35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C5
Fr
eq
ue
n
cy
30 35 40 45 50 55 60 65
0
1
2
3
4
5
6
7
C6
Fr
eq
ue
n
cy
35 40 45 50 55 60 65
0
1
2
3
4
5
6
7
C7
Fr
eq
ue
nc
y
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
1
2
3
4
5
6
C8
Fr
eq
ue
nc
y
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0
1
2
3
4
5
6
C9
Fr
eq
ue
nc
y
Qual delas pode ser aproximada por uma distribuição Normal?
Nove Histogramas de amostras de tamanho 25
35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
1
2
3
4
5
6
C1
Fr
eq
ue
nc
y
30 35 40 45 50 55 60 65
0
1
2
3
4
5
6
7
8
C2
Fr
eq
ue
nc
y
35 40 45 50 55 60 65
0
1
2
3
4
5
6
7
C3
Fr
eq
ue
nc
y
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0
1
2
3
4
5
6
C4
Fr
eq
ue
n
cy
35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C5
Fr
eq
ue
n
cy
30 35 40 45 50 55 60 65
0
1
2
3
4
5
6
7
C6
Fr
eq
ue
n
cy
35 40 45 50 55 60 65
0
1
2
3
4
5
6
7
C7
Fr
eq
ue
nc
y
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
1
2
3
4
5
6
C8
Fr
eq
ue
nc
y
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0
1
2
3
4
5
6
C9
Fr
eq
ue
nc
y
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
5
10
C11
Fr
eq
ue
n
cy
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
5
10
15
C12
Fr
eq
ue
n
cy
30 40 50 60 70
0
5
10
C13
Fr
eq
ue
n
cy
25 30 35 40 45 50 55 60 65
0
5
10
C14
Fr
eq
ue
nc
y
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C15
Fr
eq
ue
nc
y
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
5
10
C16
Fr
eq
ue
nc
y
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0
5
10
C17
Fr
eq
ue
n
cy
30 35 40 45 50 55 60 65 70
0
5
10
C18
Fr
eq
ue
n
cy
30 35 40 45 50 55 60 65 70
0
5
10
15
C19
Fr
eq
ue
n
cy
Qual delas pode ser aproximada por uma distribuição Normal?
Nove Histogramas de amostras de tamanho 50
69
20 30 40 50 60 70 80
0
10
20
C21
Fr
eq
ue
nc
y
20 30 40 50 60 70 80
0
10
20
C22
Fr
eq
ue
nc
y
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0
10
20
C23
Fr
eq
ue
nc
y
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
0
10
20
30
C24
Fr
eq
ue
n
cy
30 40 50 60 70 80 90
0
10
20
C25
Fr
eq
ue
n
cy
20 30 40 50 60 70 80
0
10
20
C26
Fr
eq
ue
n
cy
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
10
20
C27
Fr
eq
ue
nc
y
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
5
10
15
20
25
C28
Fr
eq
ue
nc
y
20 30 40 50 60 70 80
0
10
20
C29
Fr
eq
ue
nc
y
Nove Histogramas de amostras de tamanho 
100
Qual delas pode ser aproximada por uma distribuição Normal?
Como saber se a Curva Normal é uma boa 
aproximação?
Outra forma: Use o Gráfico Probabilístico Normal
Distribuição Normal
70
Use o Gráfico Probabilístico Normal para determinar se a distribuição dos 
dados da amostra pode ser aproximada por uma Distribuição Normal. Se a 
Distribuição Normal se ajusta aos dados, os pontos no gráfico seguirão 
aproximadamente uma linha reta.
O eixo Y do gráfico é transformado de acordo com a escala da distribuição 
Normal 
Gráfico Probabilístico Normal
O Gráfico Probabilístico Normal pode ser obtido facilmente com o 
recurso de um software de análise estatística
Abaixo, vemos o gráfico probabilístico normal para um conjunto de dados
X
P
e
rc
e
n
t
3210-1-2-3-4
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Probability Plot of X
Normal - 95% CI
Gráfico Probabilístico Normal
71
X Y 
-1.6245 0.1970 
0.4001 1.4920 
-1.6631 0.1895 
-0.0024 0.9976 
-1.9902 0.1367 
0.4476 1.5646 
-1.0564 0.3477 
1.6507 5.2104 
-0.6148 0.5408 
-0.3855 0.6801 
0.6744 1.9629 
-0.6713 0.5110 
1.2229 3.3969 
-0.4550 0.6344 
-0.4050 0.6670 
-1.0347 0.3553 
0.0776 1.0806 
-0.1372 0.8718 
-1.6101 0.1999 
-0.1330 0.8754 
0.0685 1.0709 
-1.0885 0.3367 
0.5012 1.6507 
0.2120 1.2362 
2.3542 10.5300 
0.9572 2.6044 
-0.4615 0.6303 
1.8076 6.0957 
0.7742 2.1689 
-0.6469 0.5237 
 
Considere as duas amostras seguintes. Qual pode ser 
aproximada pela distribuição Normal?
P
e
rc
e
n
t
1050-5
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
1050-5
X Y
Probability Plot of X, Y
Normal - 95% CI
X Y
24 34 44 54 64 74 84
 1
 5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
99
Data
Pe
rc
en
t
Normal Probability Plot for C1
ML Estimates
Mean:
StDev:
53.4797
9.60017
25 35 45 55 65 75
 1
 5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
99
Data
Pe
rc
en
t
Normal Probability Plot for C2
ML Estimates
Mean:
StDev:
49.1024
8.04855
25 35 45 55 65 75
 1
 5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
99
Data
Pe
rc
en
t
Normal Probability Plot for C3
ML Estimates
Mean:
StDev:
51.8801
8.35164
20 30 40 50 60 70 80
 1
 5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
99
Data
Pe
rc
en
t
Normal Probability Plot for C4
ML Estimates
Mean:
StDev:
48.8893
10.2680
25 35 45 55 65 75 85
 1
 5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
99
Data
Pe
rc
en
t
Normal Probability Plot for C5
ML Estimates
Mean:
StDev:
54.3933
9.50359
25 35 45 55 65 75
 1
 5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
99
Data
Pe
rc
en
t
Normal Probability Plot for C6
ML Estimates
Mean:
StDev:
48.9405
8.79949
25 35 45 55 65 75
 1
 5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
99
Data
Pe
rc
en
t
Normal Probability Plot for C7
ML Estimates
Mean:
StDev:
49.4396
8.98477
20 30 40 50 60 70 80
 1
 5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
99
Data
Pe
rc
en
t
Normal Probability Plot for C8
ML Estimates
Mean:
StDev:
47.1290
10.6092
20 30 40 50 60 70 80
 1
 5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
99
Data
Pe
rc
en
t
Normal Probability Plot for C9
ML Estimates
Mean:
StDev:
50.2510
10.4661
Gráficos Probabilísticos
para as nove amostras de tamanho25
72
Exemplo
� Arquivo: Decisao.MTW
� Informações: 
Uma empresa de crédito mediu, em 100 pedidos de 
empréstimo, o tempo para decidir sobre a concessão do 
empréstimo. O tempo foi medido em dias.
Instruções:
� 1. Faça um histograma do tempo. 
� 2. Faça o Gráfico Probabilístico Normal do tempo.
� 3. A variável tempo pode ser aproximada pela 
Distribuição Normal?
� 4. Analise os dados por estratos (decisão e zona) para 
verificar se a distribuição é diferente em cada estrato.
73
Distribuição Normal 
� Muitas técnicas de análise de dados dependem de que a 
variável sendo analisada possa ser bem aproximada por 
uma Distribuição Normal
� Gráfico de controle de individuais
� Índices de Capacidade (Cp, Cpk, Sigma)
� Etc.
Distribuição Normal 
� Quais as possíveis razões para que a distribuição de uma 
amostra de dados não possa ser aproximada por uma 
Distribuição Normal?
� Presença de observações discrepantes (causas especiais)
� Os dados da amostra provem de dois ou mais processos 
diferentes (turno, máquina, operador, etc.)
� Os dados seguem outra distribuição que não a Normal
� O que fazer?
74
Distribuição Normal 
� Se há causas especiais, analise-as e verifique se os dados 
devem permanecer na análise
� Se os dados provem de dois ou mais processo ( técnicas 
gráficas como o histograma ou o dot plot ajudam a 
apontar se esse é o caso - o histograma apresenta duas 
ou mais modas) procure por variáveis de estratificação 
que permitam separar os dados
� Se a distribuição é intrinsecamente não Normal, utilize 
técnicas de transformação de variáveis
Transformação de Dados
� Uma transformação é uma re-expressão dos dados em 
outra escala.
� Exemplo simples
� Transformar Dólares em Reais: 
� $1 = R$3.03
� Transformar minutos em segundos:
� 1 min = 60 segs
� Transformar Graus Centígrados em Graus Fahrenheit: 
� 9/5°C + 32 = °F 
75
Transformação de Dados
� Transformações Lineares 
� Transformações lineares tem a seguinte forma: 
� Y = aX + b; a e b constantes
� Se X segue a distribuição Normal, multiplicar ou adicionar 
constantes não afeta a forma da distribuição; afeta somente a 
escala
Transformação de Dados
� Transformações não lineares 
� Transformações não lineares podem mudar a forma da 
distribuição.
� Exemplo: Transformação Raiz Quadrada
Histograma of Y
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
0
10
20
Y
Fr
e
qu
e
n
cy
Histograma de SQRT(Y)
1 2 3 4 5
0
5
10
15
SQRT(Y)
Fr
eq
u
en
cy
YYT =
YT denota a 
variável 
transformada
76
Transformação de Dados
� Transformação Logaritmo: 
� A transformação logaritmo é usualmente apropriada para 
dados de tempo.
� Uma unidade na escala logarítmica é igual a um fator de 10 na 
escala original:
Escala original Escala Log
1000 3
100 2
10 1
1 0
0.1 -1
0.01 -2
0.001 -3
Transformação de Dados
� Transformações Lineares 
� Transformações lineares tem a seguinte forma: 
� Y = aX + b; a e b constantes
� Se X segue a distribuição Normal, multiplicar ou adicionar 
constantes não afeta a forma da distribuição; afeta somente a 
escala
77
Dados originais Dados Transformados -logaritmo
Exemplo
Transformação Log
� Dados: Decisao.MTW
� Relembre que a variável “Tempo” não é Normal
� Use a seguinte transformação: YT=log(Y).
� Dados originais
0 10 20 30 40 50 60
0
10
20
30
40
Time
Fr
e
qu
e
nc
y
-20 -10 0 10 20 30 40 50
 1
 5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
95
99
Data
Pe
rc
en
t
Normal Probability Plot for Time
ML Estimates
Mean:
StDev:
12.31
9.60801
78
Transformação Log
� Faça um histograma e o Gráfico Probabilístico Normal 
dos dados transformados (Log_Tempo)
log_tiempo
Fr
e
q
u
e
n
c
y
1.61.41.21.00.80.60.4
20
15
10
5
0
Histogram of log_tiempo
log_tiempo
P
e
rc
e
n
t
2.01.51.00.50.0
99.9
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
Mean
0.299
0.9855
StDev 0.2973
N 100
AD 0.432
P-Value
Probability Plot of log_tiempo
Normal - 95% CI
Conclusão: podemos dizer que Log_tempo
tem distribuição Normal
Transformação de Dados
� Como escolher qual transformação é adequada?
� Tentar uma transformação dentre um conjunto de 
possibilidades
� Usar a técnica de transformação Box-Cox
79
Transformações Usadas com Freqüência
Log(Y)
YY
Y
Raiz Quadrada
Logarítmica
YYT =
Log(Y)YT =
Distribuição original Transformação Distribuição da variável transformada
Transformações Usadas com Freqüência, 
cont.
Y
1
Y
Y
Inversa
Raiz Quadrada Inversa
Y
1YT =
Y
1YT =
Y
1
Distribuição original Transformação Distribuição da variável transformada
80
Outras Transformações
� Dados de classificação - Distribuição Binomial
� k = # of unidades defeituosas
� n = tamanho da amostra
� Use a transformação raiz quadrada do arcoseno de p
parcsinYT =
n
kp =
Outras Transformações, cont.
� Dados de contagem – Distribuição de Poisson
� Use raiz quadrada da contagem:
� Se o resultado da contagem é pequeno (c ≤ 10), use:
0.5c YT +=
cY T =
81
Método de Box-Cox 
� Método de Box-Cox 
� Uma transformação potência eleva os valores de Y a uma 
potência lambda (λ): YT = Yλ
� λ é tipicamente um valor entre –2 e 2
� O Método de Box-Cox sugere um valor de λ que melhor 
aproxima os dados transformados de uma distribuição Normal
Método de Box-Cox
� A transformação 
potencia inclui 
algumas que foram 
vistas anteriormente
� É trabalhoso fazer 
aplicar o método 
sem o apoio de um 
software
λλλλ Yλλλλ Nome 
-2 
2Y
1
 
Inversa ao 
quadrado 
-1 
Y
1
 
Inversa 
-0.5 
Y
1
 
Inversa raiz 
Quadrada 
0 Log(Y) Logarítmica 
0.5 Y
 
Raiz Quadrada 
1 Sem 
Transformação 
 
2 Y2 Quadrado 
 
82
Método Box-Cox
� Softwares (como o MINITAB) fazem a análise dos dados da 
amostra e sugerem um valor de lambida. 
� Escolha um lambida dentro da faixa de valores 
recomendada (barras vermelhas) 
� Se possível, escolha um valor que corresponde a um valor 
da tabela anterior
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
95% Confidence Interval
St
De
v
Lambda
Last Iteration Info
Lambda StDev
0.393
0.450
0.507
0.553
0.553
0.553
Low
Est
Up
Box-Cox Plot for Y
Selecionar uma Transformação com 
Box_Cox
� Dados: Decisao.MTW
Lambda
S
tD
e
v
210-1-2-3-4-5
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Lower CL Upper CL
Limit
Lambda
0.000000
(using 95.0% confidence)
Estimate -0.189558
Lower CL -0.497419
Upper CL 0.082957
Best Value
Box-Cox Plot of Tiempo
λ=0 é um valor dentro da faixa sugerida. 
Use a transformação logaritmo
83
Atividade: Escolher uma Transformação
� Um centro de atendimento ao consumidor mediu o tempo 
para responder e fechar uma reclamação de um cliente. Os 
dados dos últimos 100 clientes atendidos estão no arquivo 
de dados reclamacao.mtw 
� Analise os dados originais. Caso a Distribuição Normal não 
seja adequada, transforme os dados usando o Método 
Box-Cox
84
Método Científico
O ciclo de aprendizagem
“Seres humanos são distintos do resto dos 
animais pela sua extraordinária habilidade de 
aprender e inovar”
George E. P. Box
85
Como aprendemos?
O fundamento de toda ciência é, 
obviamente, a observação.
Oscar Kempthorne
Método Científico
� O conhecimento é construído com base em teorias
� Há três componentes importantes do conhecimento
� Os dados da experiência a partir do qual o processo de aquisição de 
conhecimentose inicia
� A predição em termos de dados que se espera obter se realizamos 
um experimento no futuro
� O grau de convicção na predição com base nos dados originais
� Nossas teorias precisam ser sistematicamente revisadas e 
ampliadas por meio das comparações entre predições e 
observações (aprendizagem indutiva e dedutiva)
� O aprendizado das pessoas sobre os processos é realizado de 
forma mais eficiente e eficaz pelo uso do Método Científico
86
Passos do Método Científico
� Observar um evento
� Formular uma teoria para a causa do evento
� Fazer predições com base na teoria
� Testar a teoria através de um experimento
� Analisar os resultados do experimento e concluir a 
respeito da teoria
� Relatar os resultados à comunidade científica (publicar o 
trabalho) ou aplicar o conhecimento obtido em alguma 
situação de interesse
Passos do Método Científico
Fonte: Statistics for Experimenters, Box, Hunter & Hunter
87
Passos do Método Científico
Fonte: Statistics for Experimenters, Box, Hunter & Hunter
Comparação
Plano de teste
Mundo
Observações 
(dados)
Teoria
Indução
Consequências
Dedução
Teste
Novos 
dados
Comparação 
com a Teoria
Teoria 
reforçada
Teoria 
modificada
Induçã
o
Dedução
1
2
3
45
6
7
8
Modelo de produção de conhecimento 
Indução e Dedução
88
Questões
Teorias 
Modelos mentais
Conhecimento
Intuição
Experiência
Predições
Consequências
Testes
(Planejamento 
para coletar e 
analisar Dados)
Análise
Reforço ou alteração das 
teorias e modelos 
mentais
Novos conhecimentos
Mais experiência
Produção de conhecimento específico
Método Científico
O ciclo PDSA
� O ciclo PDSA é uma adaptação do Método Científico
� Foi desenvolvido por Deming e colaboradores a partir de 
ideias iniciais de Shewhart
89
O Ciclo PDSA
Adaptado do livro “Modelo de Melhoria”
90
Estudo de uma população
Variável resposta contínua
Inferência
� Considere uma população ou um processo e uma variável 
de interesse medida em uma amostra
� Os dados da amostra podem ser usados para realizar 
inferências sobre a população ou o processo
� As características (parâmetros) de interesse são em geral
� A forma da distribuição da variável
� A média
� O desvio padrão
91
Inferência sobre a forma
� O objetivo é identificar se existe uma distribuição 
conhecida que pode ser usada para aproximar a 
distribuição dos valores, como por exemplo a 
Distribuição Normal, ou Log Normal, ou Weibull
� Isso pode ser feito ajustando-se o gráfico probabilístico 
de uma determinada distribuição aos dados. Caso o 
gráfico seja aproximadamente uma reta, a distribuição 
correspondente pode ser usada.
Exemplo
Chamada Tempo Chamada Tempo Chamada Tempo 
1 2.53 11 5.57 21 4.81 
2 5.52 12 4.60 22 4.82 
3 3.53 13 3.84 23 7.19 
4 3.26 14 5.37 24 2.39 
5 6.31 15 3.42 25 5.52 
6 4.04 16 4.51 26 5.01 
7 4.09 17 1.84 27 1.94 
8 1.22 18 6.89 28 4.60 
9 3.42 19 3.53 29 2.35 
10 5.01 20 6.75 30 2.07 
 
Uma empresa monitorou o tempo gasto para atender uma chamada 
de um cliente em um call center. Trinta atendimentos forma 
medidos. Os dados obtidos encontram-se na tabela abaixo.
92
Inferência sobre a forma: Ajuste da 
Distribuição Normal
tempo de atendimento
P
e
rc
e
n
t
1086420
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Mean 4.198
StDev 1.588
N 30
AD 0.222
P-Value 0.813
Probability Plot of tempo de atendimento
Normal - 95% CI
O gráfico Probabilístico Normal indica que a distribuição 
Normal é adequada para descrever a distribuição do 
tempo de atendimento
Análise: Gráfico de controle e histograma
Observation
In
d
iv
id
u
a
l 
V
a
lu
e
28252219161310741
10
8
6
4
2
0
_
X=4.20
UCL=9.65
LCL=-1.25
I Chart of tempo de atendimento
tempo de atendimento
P
e
rc
e
n
t
87654321
30
25
20
15
10
5
0
Mean 4.198
StDev 1.588
N 30
Histogram of tempo de atendimento
Normal 
Não há evidência de que 
o processo não esteja 
sob controle
O gráfico sugere que a 
distribuição Normal é 
adequada para descrever a 
distribuição do tempo de 
atendimento
93
Inferência sobre a média e o desvio padrão
� A inferência sobre a média e o desvio padrão da 
população pode ser feita de três formas:
� Estimação pontual
� Intervalo de confiança
� Teste de hipóteses
� Obs.: 
� Essas inferências só fazem sentido se os dados se ajustam a 
uma distribuição e se o processo está estável 
� É importante fazer inicialmente o gráfico de controle e em 
seguida o gráfico probabilístico)
Estimação pontual
� Representa-se os valores de uma amostra de tamanho n 
por x1, x2, ... , xn.
� A estimação pontual da média e do desvio padrão da 
população são dados pela média amostral e pelo desvio 
padrão respectivamente
1n
)x(x
s :Padrão Desvio
n
x
x :Média
2
i
i
−
−
=
=
∑
∑
94
Intervalo de confiança para a média
� A estimação pontual não fornece informação sobre a 
precisão da estimativa
� A precisão de uma estimativa pode ser medida através da 
margem de erro
� A margem de erro da estimativa pontual da média é dada 
por 
 *2M.E.
n
s
≅
Intervalo de confiança para a média
) 
n
s
*t x , 
n
s
*tx( 1)(n0.025,1)(n0.025, −− +−
 
n
s
*t*2 1)(n0.025, −
t0.025,(n-1) é o percentil 2.5% da distribuição t-Student 
com (n-1) graus de livberdade
Um intervalo de confiança de 95% para a média populacional é 
dado por
A amplitude do intervalo de confiança é dada por
95
Intervalo de confiança para o desvio padrão








2
0.975
2
0.025 χ
1)-(n
s , 
χ
1)-(n
s
X20.025,(n-1) e X20.025,(n-1) são os percentis 2.5% e 97.5% 
respectivamente da distribuição Qui-quadrado com 
(n-1) graus de livberdade
Um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão 
populacional é dado por
Exemplo
7654321
Median
Mean
5.004.754.504.254.003.753.50
1st Q uartile 3.0775
Median 4.3000
3rd Q uartile 5.4075
Maximum 7.1900
3.6055 4.7912
3.4452 4.9665
1.2644 2.1342
A -Squared 0.22
P-V alue 0.813
Mean 4.1983
StDev 1.5876
Variance 2.5205
Skewness 0.026119
Kurtosis -0.694410
N 30
Minimum 1.2200
Anderson-Darling Normality Test
95% C onfidence Interval for Mean
95% C onfidence Interv al for Median
95% C onfidence Interv al for S tDev
95% Confidence Intervals
Summary for tempo de atendimento
96
Teste de hipóteses
Voz do Processo
Exemplo 1: trajeto
� Você utiliza um determinado trajeto para o trabalho 
todos os dias.
� Você coleta os tempos de deslocamento dos últimos 2 
anos
97
Exemplo 1: trajeto
� Um colega lhe propõe um novo trajeto (supostamente 
mais rápido)
� Passo 1: formalização do teste
‘: Y ≥ 30				V�.			ž: Y < 30
Exemplo 1: trajeto
� No dia seguinte você utiliza o trajeto sugerido e gasta 29 
minutos
� Qual a sua decisão?
� Devemos coletar mais dados!
98
Exemplo 1: trajeto
� 9 observações são coletadas�Mr = 29
� ���i��ã� ≈ �Ÿ …Z¡�¢…¢£	¢£	¤…¥�…ç㦠=
�
Œ
� A precisão de Mr pode ser calculado como
b Mr = a�� Mr = a�� 1��M� =
b
�
� Quanto maior a amostra, maior a precisão!
Exemplo 1: trajeto
� Critério: §∗ = Mr − Y
� Precisamos corrigir o critério pela precisão
§ = Mr − Yb/ �
� Supondo b = 1
§ = 29 − 301/ 9 = −3
� Qual a sua decisão? § esta suficientemente afastado?
99
Exemplo 1: trajeto
� Como visto anteriormente, Mr~x 0,1/3 ⇒ §~x 0,1
� Calculamos �(§ < −3)	utilizando a tabela da x 0,1
� Quanto menor for �(§ < −3)	maior a evidência de ž e, 
portanto, rejeitamos ‘
-30
� − V���� = �(§ < −3) = 0.001
Exemplo 1: trajeto
� Dessa forma completamos os 4 passos:
1. Teste: ‘: Y = 30			V�. 			ž: Y < 30
2. Critério: § = rmŒ/ Z	
3. Distribuição de referência: §~x 0,1
4. Nível de significância: � § ≤ −3 = 0.001
100
Exemplo 1: trajeto
� Caso b tenha que ser estimado por
� = ∑ L� − Mr� − 1
� O critério fica
§ = Mr − Y�/ � ~�Zm�
obs: �Zm�= t de student com � − 1 graus de liberdade
Exemplo 1: trajeto
� Suponha que na realização dos 9 trajetos os tempos 
tenham sido:
30.1, 29.7, 27.3, 29.1, 28.3, 28.4, 31.0, 28.1, 29.0
� Nesse caso
Mr = 29				� = 1.132								� = Mr − Y�/ � = −2.65
� �© < −2.65 = 0.015
101
Exemplo 1: trajeto
� Observação:
Uma diferença que é estatisticamente significante pode não ser 
significante do ponto de vista prático!
Teste de hipóteses
No exemplo, suponha que o objetivo era que o tempo médio de 
atendimento fosse igual a 3.50 minutos. O objetivo estava sendo 
alcançado?
Comparação com um valor de referência ou 
valor nominal
Teste de Hipótese
Ho: µ0 = 3.50 H1: µ0 ≠ 3.50
n
s
µy
 t: testedo Critério 00
−
=
102
Teste de hipóteses
� Calculando o critério
� p-valor = 0.023 
� Há evidência para rejeitar H0
� OBS. O gráfico de controle deve ser feito antes do 
cálculo do p-valor. Caso haja causas especiais atuando no 
processo, não se deve calcular o p-valor 
2.41
30
1.5876
.5034.1983
n
s
µy
t 00 =
−
=
−
=
Exemplo
One-Sample T: tempo de atendimento 
Test of mu = 3.5 vs not = 3.5
Variable tempo de atendimento 
N Mean StDev SE Mean
30 4.19833 1.58760 0.28985
95% CI T p
(3.60551; 4.79115) 2.41 0.023
103
Passos para se testar hipóteses
� Formalização do teste, ou tradução do problema a ser 
resolvido na forma de um teste de hipóteses: formule as 
hipótese nula e alternativa (P)
� Construção de um critério para realizar o teste (P)
� Planeje a coleta de dados (P)
� Realize a coleta de dados (D)
� Calcule a estatística (critério) (S)
� Compare o critério com uma distribuição de referência e 
calcule a evidência contra a hipótese nula (p-valor – nível 
de significância) (S)
� Decida o que fazer (A)
Análise do p-valor
� Se o p-valor for menor que 1%, rejeita-se a hipótese nula
� Se o p-valor for maior que 10%, não rejeita-se a hipótese 
nula
� Se o p-valor estiver entre 1% e 10%, deve-se considerar 
outros fatores para se tomar uma decisão, como o risco, 
custo, etc. 
Obs. As recomendações acima são as usuais e são adequadas para a 
maior parte dos casos. Porém, a decisão de rejeitar ou não uma 
hipótese deve ser feita levando em consideração os riscos e custos 
associados com a decisão. Significância estatística não é a mesma coisa 
que importância
104
Análise de Regressão
O SIPOC
� O SIPOC é uma ferramenta usada para identificar os 
elementos relevantes de um processo
� Aplica-se a todo tipo de trabalho, seja ele repetitivo ou 
pouco freqüente
� Ajuda a ter uma visão macro do processo:
� Definindo seus limites (pontos de início e fim);
� Permitindo localizar pontos de coleta de dados.
105
O SIPOC
� As variáveis medidas no resultado (output) são denotas 
por Y
� As variáveis medidas no processo e nas entradas são 
denotas por X
� Em projetos de melhoria, pode ser necessário entender 
as relações entre os Y’s e os X´s
� Técnicas estatísticas são usadas para entender relações 
entre variáveis
Estudar Relações Entre Variáveis
O
Variáveis
de Input
Variáveis de
Processo
Variáveis de
Output
PI
X1,, X2 , ... , Xk Y
Y = f(X1,, X2 , ... , Xk)
S C
Sistema de Causas
106
Estudo de Relações Entre Variáveis
� Passo 1: Classifique as variáveis sob dois critérios:
� A variável é Y ou X?
� Y: Variáveis de saída do processo cujo comportamento você quer 
explicar. 
� Nomenclatura: variáveis resposta, variáveis dependentes
� X: 1) Variáveis de processo ou de entrada, candidatas a explicar o 
comportamento das variáveis resposta.
� Nomenclatura: 1) variáveis explicativas, variáveis independentes, fatores; 2) 
Variáveis de estratificação
� A variável é numérica ou categórica?
Estudar Relações Entre Variáveis
� Passo 2: Identifique a técnica a ser utilizada na tabela 
abaixo:
Y numérica Y categórica
X numérica
Gráfico de dispersão
Gráfico de dispersão 
estratificado
X categórica
Dot-plot estratificado
Gráfico de Tendência 
estratificado
Tabela de 
contingência
Gráfico de barras
107
Associação entre variáveis
Y: Numérica
X: Numérica
Gráfico de Dispersão
Job Tempo_prod N_Setups Job Tempo_prod N_Setups 
1 61 6 26 20 4 
2 129 14 27 75 10 
3 77 5 28 94 12 
4 115 8 29 95 7 
5 79 8 30 38 7 
6 95 10 31 50 6 
7 88 9 32 40 3 
8 67 8 33 73 10 
9 158 12 34 91 11 
10 67 5 35 38 4 
11 160 13 36 69 6 
12 37 7 37 58 7 
13 30 2 38 91 14 
14 86 9 39 36 7 
15 187 15 40 151 10 
16 72 8 41 103 9 
17 78 8 42 93 8 
18 132 14 43 112 11 
19 38 6 44 163 12 
20 34 5 45 78 9 
21 90 7 46 62 8 
22 93 11 47 58 8 
23 114 8 48 107 9 
24 65 5 49 112 7 
25 86 12 50 72 10 
 
Uma empresa coletou 
dados de Tempo para 
produzir um item e 
Número de set-ups de 
50 linhas de produção .
Os dados estão na 
tabela ao lado. Há 
alguma relação entre 
essas duas variáveis?
108
Gráfico de Dispersão
Análise de Gráficos de Dispersão
� Aspectos a serem 
observados em m 
Gráfico de Dispersão
� Direção
� Forma
� Força
109
Coeficiente de correlação linear
� Fórmula
� -1 ≤ r ≤ 1
� Obs: 
� O coeficiente r mede o grau de associação linear entre duas 
variáveis. Valor de r baixo (próximo de zero) não indica que as 
variáveis não estão relacionadas. Não interprete o valor de r 
sem o gráfico de dispersão
� A interpretação de r (se é alto) depende do contexto
( )( )
( ) ( )∑∑
∑
−−
−−
=
22 yyxx
yyxx
r
ii
ii
Estudo de Relações
O proprietário de uma casa está interessado no efeito do 
seu aparelho de ar condicionado na conta de luz. Para 
isso, ele anotou o número de horas que usou o seu 
aparelho de ar condicionado a cada dia, durante 21 dias. 
Também monitorou o medidor de consumo de eletricidade 
durante estes dias e mediu a quantidade de eletricidade 
usada em quilowatt-hora. Finalmente, anotou também o 
número de vezes que a secadora de roupas foi usada por 
dia. Os dados estão na tabela seguinte
110
Dia Kwh AC Dia Kwh AC 
1 35 1.5 12 65 8.0 
2 63 4.5 13 77 7.5 
3 66 5.0 14 75 8.0 
4 17 2.0 15 62 7.5 
5 94 8.5 16 85 12.0 
6 79 6.0 17 43 6.0 
7 93 13.5 18 57 2.5 
8 66 8.0 19 33 5.0 
9 94 12.5 20 65 7.5 
10 82 7.5 21 33 6.0 
11 78 6.5 
 
Dados do Estudo de Consumo de Energia 
Elétrica
AC
K
w
h
14121086420
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Scatterplot of Kwh vs AC
Correlação entre Kwh e AC : 0.765
Gráfico de Dispersão e Correlação
111
Questões não Respondidas pela Correlação
� Do valor de r pode-se concluir que quando o uso do ar 
condicionado aumenta, o número de quilowatt-hora 
consumido também aumenta. 
� Isso não é surpresa. Algumas questões mais importantes são:
� Quantos Kwh serão consumidos para cada hora de uso do ar ?
� Qual é a previsão de consumo total de quilowatt-hora em um dia 
com um número especificado de horas de uso do ar condicionado?
� Qual é a média estimada do consumo em quilowatt-hora para dias 
com um especificado número de horas de uso do ar condicionado?
� Qual é a margem de erro para o consumo em Kwh predito?
� Essas questões podem ser respondidas com a análise de 
regressão 
AC
K
w
h
14121086420
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Scatterplot of Kwh vs AC
Gráfico de dispersão