PF 2012-2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica II — 2012/2 PROVA FINAL: 22/02/2013
Versa˜o: A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8× 0, 7 = 5, 6 pontos)
1. A figura abaixo representa uma fonte sonora que se desloca
pela trajeto´ria representada pela linha cheia, com velocidade
escalar constante, emitindo um som de frequeˆncia constante
no referencial da fonte. Um observador localizado no ponto
P escutara´ o som de forma mais aguda quando a fonte passar
pelo ponto:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
2. Por que um copo de vidro a`s vezes quebra quando se despeja
rapidamente a´gua fervendo no mesmo?
(a) A a´gua quente dilata, empurrando o copo para fora.
(b) A a´gua quente resfria quando toca o copo, encolhendo
e puxando o copo para dentro.
(c) O copo fica quente e dilata, causando a quebra de suas
mole´culas.
(d) A regia˜o interna do copo dilata mais rapidamente do
que a regia˜o externa, causando a quebra do mesmo.
(e) Nenhuma das respostas anteriores.
3. Um plataforma de massa M esta´ presa a duas molas ideais
sem massa de constantes ela´sticas k1 e k2 e pode deslizar so-
bre uma superf´ıcie horizontal sem atrito, como indicado na
figura.
Um bloco de massa m e´ colocado sobre a plataforma. Sendo
µe o coeficiente de atrito esta´tico entre as superf´ıcies do bloco
e da plataforma, pode-se afirmar que a amplitude ma´xima de
oscilac¸a˜o do sistema para que o bloco na˜o deslize e´
(a) µemg/(k1 + k2)
(b) µeMg/(k1 + k2)
(c) µe(m+M)g/(k1 + k2)
(d) µemg(k1 + k2)/k1k2
(e) µe(m+M)g(k1 + k2)/k1k2
4. Um oscilador harmoˆnico simples se constitui de uma massa
m0 presa a` uma mola ideal de constante ela´stica k. O sistema
vibra com frequeˆncia angular ω0 e amplitude A0. O sistema
e´ modificado e agora tem uma massa m = 2m0 e e´ colocado
para oscilar com amplitude A =
√
3A0. Em func¸a˜o de E0, a
energia total no primeiro caso, e sua frequeˆncia angular ω0,
qual alternativa melhor expressa estas grandezas no segundo
caso?
(a) ω = 1√
2
ω0 e E = 3E0
(b) ω =
√
2ω0 e E = 3E0
(c) ω = 1√
2
ω0 e E = E0
(d) ω =
√
2ω0 e E =
√
3E0
(e) ω = 2ω0 e E = 3E0
5. Considere um recipiente com uma mistura de treˆs gases ideais
inertes. Sejam Cv1, Cv2 e Cv3 as capacidades te´rmicas mola-
res a volume constante de cada um dos gases e suponha que
no recipiente haja n1, n2 e n3 moles de cada um dos gases,
respectivamente. Podemos afirmar, enta˜o, que a capacidade
te´rmica efetiva de toda a mistura e´:
(a) Cv1/n1 + Cv2/n2 + Cv3/n3
(b) (Cv1 + Cv2 + Cv3)/3
(c) (n1Cv1 + n2Cv2 + n3Cv3)/(n1 + n2 + n3)
(d) (Cv1Cv2 + Cv1Cv3 + Cv2Cv3)/(Cv1 + Cv2 + Cv3)
(e) n1n2n3(Cv1 + Cv2 + Cv3)/(n1 + n2 + n3)
6. Uma ma´quina real opera entre dois reservato´rios te´rmicos com
75% da eficieˆncia de uma ma´quina te´rmica de Carnot ope-
rando entre os mesmos dois reservato´rios. Esta ma´quina real
tem uma poteˆncia de sa´ıda de 100W e descarrega calor no re-
servato´rio de baixa temperatura, que esta´ a 27oC, a uma taxa
de 300 J/s. A temperatura do outro reservato´rio e´:
(a) 450oC
(b) 927oC
(c) 77oC
(d) 177oC
(e) 127oC
7. Considere um l´ıquido homogeˆneo que tem massa espec´ıfica ρ0 a`
temperatura T0. Seja β e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o volume´trica
do l´ıquido. Pode-se afirmar que a variac¸a˜o ∆ρ≪ ρ0 na massa
espec´ıfica do mesmo para uma variac¸a˜o ∆T da temperatura
e´:
(a) ρ0β∆T
(b) −ρ0β∆T
(c) ρ0β∆T/2
(d) ρ0(β∆T )
2
(e) −ρ0β∆T/2
8. Uma mola ideal sem massa de constante ela´stica k esta´ presa
a um bloco de massam que pode deslizar sobre uma superf´ıcie
horizontal sem atrito. No instante t = 0 o bloco e´ liberado a
partir do repouso da posic¸a˜o x(0) = A. Pode-se afirmar que o
per´ıodo do movimento e´
(a) independente das condic¸o˜es iniciais do problema
(b) func¸a˜o da energia mecaˆnica do oscilador
(c) inversamente proporcional a constante ela´stica k
(d) proporcional a amplitude de oscilac¸a˜o A
(e) proporcional a massa m do bloco
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2, 4 + 2, 0 = 4, 4 pontos)
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS
1. [2,4 pontos] Um recipiente de paredes r´ıgidas e adiba´ticas e com capacidade te´rmica desprez´ıvel conte´m n moles de um sal de
capacidade te´rmica molar a volume constante dada por CV (T ) = kT
3, onde k e´ uma constante e T a temperatura. Inicialmente,
o sal esta´ em equil´ıbrio te´rmico a` temperatura T0. Troca-se, enta˜o, uma das paredes adiaba´ticas do recipiente por uma diate´rmica
e coloca-se o sistema em contato te´rmico com um reservato´rio a temperatura 3T0. Observa-se que apo´s algum tempo o sal e o
reservato´rio atingem o equil´ıbrio te´rmico. Calcule, neste processo e apenas em termos dos dados do problema,
(a) O calor total Q fornecido pelo reservato´rio ao sal.
(b) As variac¸o˜es de entropia ∆SR do reservato´rio e ∆SS do sal.
(c) A variac¸a˜o da entropia ∆SU do universo.
2. [2,0 pontos] Considere um sistema formado por um reservato´rio de a´gua com a´rea A1 e altura H . O reservato´rio esta´ conectado na
parte inferior com uma tubulac¸a˜o cuja sec¸a˜o transversal tem a´rea A2 ≪ A1. A uma distaˆncia z da base do reservato´rio, a tubulac¸a˜o
faz uma curva de 90 graus mantendo a sec¸a˜o transversal com a mesma a´rea A2 e ficando paralela ao solo. Em seguida, a tubulac¸a˜o
se conecta com uma outra de a´rea A3 < A2, cuja extremidade esta´ aberta permitindo que a a´gua saia com velocidade v3 para o
meio externo. Considere que a velocidade com que a superf´ıcie do l´ıquido no reservato´rio desce seja muito menor do que as outras
envolvidas no processo. Suponha conhecidas a densidade da a´gua ρ, a acelerac¸a˜o da gravidade g e a pressa˜o atmosfe´rica p0.
(a) Determine a velocidade v2
no trecho horizontal de
a´rea A2 em termos de A3,
A2, g, H e z.
(b) Determine a pressa˜o no
trecho horizontal da cana-
lizac¸a˜o de a´rea A2.
FIM
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8× 0, 7 = 5, 6 pontos)
1. (a)
2. (d)
3. (c)
4. (a)
5. (c)
6. (d)
7. (b)
8. (a)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2, 4 + 2, 0 = 4, 4 pontos)
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS
1. Resoluc¸a˜o:
(a) (1,0 ponto) Como as paredes do recipiente sa˜o r´ıgidas, o processo e´ realizado a volume constante. Ale´m disso, apo´s ser
estabelecido o equil´ıbrio te´rmico entre o sal e o reservato´rio ambos se encontrara˜o a temperatura 3T0. Assim, o calor total Q
fornecido pelo reservato´rio ao sal no processo em considerac¸a˜o e´ dado por:
Q = n
∫ f
i
CV (T )dT = nk
∫
3T0
T0
T 3dT =
nk
4
T 4
∣∣∣3T0
T0
= 20nkT 4
0
> 0 .
(b) (1,2 ponto) Trata-se de um processo irrevers´ıvel, uma vez que ha´ trocas de calor com diferenc¸as finitas de temperatura entre
o sistema e o reservato´rio. Devemos, enta˜o, imaginar um processo revers´ıvel com os mesmos estados inicial e final.
Reservato´rio (0,4 ponto) - No caso do reservato´rio, podemos imaginar um processo isote´rmico resers´ıvel no qual calor Q e´
retirado do reservato´rio. Assim,
∆SR =
∫ f
i
d′Q
T
=
1
3T0
∫ f
i
d′Q = − Q
3T0
,
onde utilizamos que o calor total trocado pelo reservato´rio e´ menos o calor total fornecido pelo mesmo ao sal. Utilizando o
resultado do item (a), obtemos,
∆SR = −
20nkT 4
0
3T0
= −20
3
nkT 30 < 0 .
Sal (0,8 ponto) - Neste caso, podemos imaginar um processo isoco´rico revers´ıvel no qual calor d′Q = nCV (T )dT e´ fornecido
para o sal em processos infinitesimais. Portanto,
∆SS =
∫ f
i
d′Q
T
= nk
∫ 3T0
T0
T 2dT =
nk
3
T 3
∣∣∣3T0
T0
=
26
3
nkT 30 > 0 .
(c) (0,2 ponto) A variac¸a˜o da entropia do universo neste processo e´ dada pela soma das varic¸o˜es de entropia do reservato´rio e do
sal. Utilizando os resultados dos itens anteriores, temos
∆SU = ∆SR +∆SS = −
20
3
nkT 30+
26
3
nkT 30 = 2nkT
3
0 > 0 .
�
2. Resoluc¸a˜o:
a)[1,0pt]
Aplicando a equac¸a˜o de Bernoulli entre o topo do reservato´rio e a extremidade da canalizac¸a˜o de a´rea A3 temos
p0 + ρ g (H + z) = p0 +
1
2
ρ v23 , (1)
isso implica que
ρ g (H + z) =
1
2
ρ v2
3
⇒ v3 =
√
2 g (H + z) . (2)
Por outro lado, a equac¸a˜o da continuidade (vaza˜o) nos diz que
v2 A2 = v3 A3 ⇒ v2 = v3
A3
A2
. (3)
Substitu´ındo o resultado da Eq. (2) na Eq. (3) temos
v2 =
√
2 g (H + z)
A3
A2
. (4)
b)[1,0pt]
Utilizamos novamente a equac¸a˜o de Bernoulli, pore´m agora entre a canalizac¸a˜o de a´rea A2 e a canalizac¸a˜o de a´rea A3
p2 +
1
2
ρ v2
2
= p0 +
1
2
ρ v2
3
, (5)
p2 + ρ g (H + z)
( A3
A2
)2
= p0 + ρ g (H + z) ,
isso implica que
p2 = p0 + ρ g (H + z)
[
1−
( A3
A2
)2]
.
Note que
[
1−
(
A3
A2
)2]
> 0, pois A3 < A2 , ou seja, a pressa˜o na canalizac¸a˜o de a´rea A2 e´ maior que a presa˜o atmosfe´rica. �
Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica II — 2012/2 PROVA FINAL: 22/02/2013
Versa˜o: B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8× 0, 7 = 5, 6 pontos)
1. Considere um recipiente com uma mistura de treˆs gases ideais
inertes. Sejam Cv1, Cv2 e Cv3 as capacidades te´rmicas mola-
res a volume constante de cada um dos gases e suponha que
no recipiente haja n1, n2 e n3 moles de cada um dos gases,
respectivamente. Podemos afirmar, enta˜o, que a capacidade
te´rmica efetiva de toda a mistura e´:
(a) Cv1/n1 + Cv2/n2 + Cv3/n3
(b) (Cv1 + Cv2 + Cv3)/3
(c) (n1Cv1 + n2Cv2 + n3Cv3)/(n1 + n2 + n3)
(d) (Cv1Cv2 + Cv1Cv3 + Cv2Cv3)/(Cv1 + Cv2 + Cv3)
(e) n1n2n3(Cv1 + Cv2 + Cv3)/(n1 + n2 + n3)
2. Considere um l´ıquido homogeˆneo que tem massa espec´ıfica ρ0 a`
temperatura T0. Seja β e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o volume´trica
do l´ıquido. Pode-se afirmar que a variac¸a˜o ∆ρ≪ ρ0 na massa
espec´ıfica do mesmo para uma variac¸a˜o ∆T da temperatura
e´:
(a) ρ0β∆T
(b) −ρ0β∆T
(c) ρ0β∆T/2
(d) ρ0(β∆T )
2
(e) −ρ0β∆T/2
3. A figura abaixo representa uma fonte sonora que se desloca
pela trajeto´ria representada pela linha cheia, com velocidade
escalar constante, emitindo um som de frequeˆncia constante
no referencial da fonte. Um observador localizado no ponto
P escutara´ o som de forma mais aguda quando a fonte passar
pelo ponto:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
4. Por que um copo de vidro a`s vezes quebra quando se despeja
rapidamente a´gua fervendo no mesmo?
(a) A a´gua quente dilata, empurrando o copo para fora.
(b) A a´gua quente resfria quando toca o copo, encolhendo
e puxando o copo para dentro.
(c) O copo fica quente e dilata, causando a quebra de suas
mole´culas.
(d) A regia˜o interna do copo dilata mais rapidamente do
que a regia˜o externa, causando a quebra do mesmo.
(e) Nenhuma das respostas anteriores.
5. Uma ma´quina real opera entre dois reservato´rios te´rmicos com
75% da eficieˆncia de uma ma´quina te´rmica de Carnot ope-
rando entre os mesmos dois reservato´rios. Esta ma´quina real
tem uma poteˆncia de sa´ıda de 100W e descarrega calor no re-
servato´rio de baixa temperatura, que esta´ a 27oC, a uma taxa
de 300 J/s. A temperatura do outro reservato´rio e´:
(a) 450oC
(b) 927oC
(c) 77oC
(d) 177oC
(e) 127oC
6. Uma mola ideal sem massa de constante ela´stica k esta´ presa
a um bloco de massam que pode deslizar sobre uma superf´ıcie
horizontal sem atrito. No instante t = 0 o bloco e´ liberado a
partir do repouso da posic¸a˜o x(0) = A. Pode-se afirmar que o
per´ıodo do movimento e´
(a) independente das condic¸o˜es iniciais do problema
(b) func¸a˜o da energia mecaˆnica do oscilador
(c) inversamente proporcional a constante ela´stica k
(d) proporcional a amplitude de oscilac¸a˜o A
(e) proporcional a massa m do bloco
7. Um plataforma de massa M esta´ presa a duas molas ideais
sem massa de constantes ela´sticas k1 e k2 e pode deslizar so-
bre uma superf´ıcie horizontal sem atrito, como indicado na
figura.
Um bloco de massa m e´ colocado sobre a plataforma. Sendo
µe o coeficiente de atrito esta´tico entre as superf´ıcies do bloco
e da plataforma, pode-se afirmar que a amplitude ma´xima de
oscilac¸a˜o do sistema para que o bloco na˜o deslize e´
(a) µemg/(k1 + k2)
(b) µeMg/(k1 + k2)
(c) µe(m+M)g/(k1 + k2)
(d) µemg(k1 + k2)/k1k2
(e) µe(m+M)g(k1 + k2)/k1k2
8. Um oscilador harmoˆnico simples se constitui de uma massa
m0 presa a` uma mola ideal de constante ela´stica k. O sistema
vibra com frequeˆncia angular ω0 e amplitude A0. O sistema
e´ modificado e agora tem uma massa m = 2m0 e e´ colocado
para oscilar com amplitude A =
√
3A0. Em func¸a˜o de E0, a
energia total no primeiro caso, e sua frequeˆncia angular ω0,
qual alternativa melhor expressa estas grandezas no segundo
caso?
(a) ω = 1√
2
ω0 e E = 3E0
(b) ω =
√
2ω0 e E = 3E0
(c) ω = 1√
2
ω0 e E = E0
(d) ω =
√
2ω0 e E =
√
3E0
(e) ω = 2ω0 e E = 3E0
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2, 4 + 2, 0 = 4, 4 pontos)
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS
1. [2,4 pontos] Um recipiente de paredes r´ıgidas e adiba´ticas e com capacidade te´rmica desprez´ıvel conte´m n moles de um sal de
capacidade te´rmica molar a volume constante dada por CV (T ) = kT
3, onde k e´ uma constante e T a temperatura. Inicialmente,
o sal esta´ em equil´ıbrio te´rmico a` temperatura T0. Troca-se, enta˜o, uma das paredes adiaba´ticas do recipiente por uma diate´rmica
e coloca-se o sistema em contato te´rmico com um reservato´rio a temperatura 3T0. Observa-se que apo´s algum tempo o sal e o
reservato´rio atingem o equil´ıbrio te´rmico. Calcule, neste processo e apenas em termos dos dados do problema,
(a) O calor total Q fornecido pelo reservato´rio ao sal.
(b) As variac¸o˜es de entropia ∆SR do reservato´rio e ∆SS do sal.
(c) A variac¸a˜o da entropia ∆SU do universo.
2. [2,0 pontos] Considere um sistema formado por um reservato´rio de a´gua com a´rea A1 e altura H . O reservato´rio esta´ conectado na
parte inferior com uma tubulac¸a˜o cuja sec¸a˜o transversal tem a´rea A2 ≪ A1. A uma distaˆncia z da base do reservato´rio, a tubulac¸a˜o
faz uma curva de 90 graus mantendo a sec¸a˜o transversal com a mesma a´rea A2 e ficando paralela ao solo. Em seguida, a tubulac¸a˜o
se conecta com uma outra de a´rea A3 < A2, cuja extremidade esta´ aberta permitindo que a a´gua saia com velocidade v3 para o
meio externo. Considere que a velocidade com que a superf´ıcie do l´ıquido no reservato´rio desce seja muito menor do que as outras
envolvidas no processo. Suponha conhecidas a densidade da a´gua ρ, a acelerac¸a˜o da gravidade g e a pressa˜o atmosfe´rica p0.
(a) Determine a velocidade v2
no trecho horizontal de
a´rea A2 em termos de A3,
A2, g, H e z.
(b) Determine a pressa˜o no
trecho horizontal da cana-
lizac¸a˜o de a´rea A2.
FIM
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8× 0, 7 = 5, 6 pontos)
1. (c)
2. (b)
3. (a)
4. (d)
5. (d)
6. (a)
7. (c)
8. (a)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2, 4 + 2, 0 = 4, 4 pontos)
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS
1. Resoluc¸a˜o:
(a) (1,0 ponto) Como as paredes do recipiente sa˜o r´ıgidas, o processo e´ realizado a volume constante. Ale´m disso, apo´s ser
estabelecido o equil´ıbrio te´rmico entre o sal e o reservato´rio ambos se encontrara˜o a temperatura 3T0. Assim, o calor total Q
fornecido pelo reservato´rio ao sal no processo em considerac¸a˜o e´ dado por:
Q = n
∫ f
i
CV (T )dT = nk
∫
3T0
T0
T 3dT =
nk
4
T 4
∣∣∣3T0
T0
= 20nkT 4
0
> 0 .
(b) (1,2 ponto) Trata-se de um processo irrevers´ıvel, uma vez que ha´ trocas de calor com diferenc¸as finitas de temperatura entre
o sistema e o reservato´rio. Devemos, enta˜o, imaginar um processo revers´ıvelcom os mesmos estados inicial e final.
Reservato´rio (0,4 ponto) - No caso do reservato´rio, podemos imaginar um processo isote´rmico resers´ıvel no qual calor Q e´
retirado do reservato´rio. Assim,
∆SR =
∫ f
i
d′Q
T
=
1
3T0
∫ f
i
d′Q = − Q
3T0
,
onde utilizamos que o calor total trocado pelo reservato´rio e´ menos o calor total fornecido pelo mesmo ao sal. Utilizando o
resultado do item (a), obtemos,
∆SR = −
20nkT 4
0
3T0
= −20
3
nkT 30 < 0 .
Sal (0,8 ponto) - Neste caso, podemos imaginar um processo isoco´rico revers´ıvel no qual calor d′Q = nCV (T )dT e´ fornecido
para o sal em processos infinitesimais. Portanto,
∆SS =
∫ f
i
d′Q
T
= nk
∫ 3T0
T0
T 2dT =
nk
3
T 3
∣∣∣3T0
T0
=
26
3
nkT 30 > 0 .
(c) (0,2 ponto) A variac¸a˜o da entropia do universo neste processo e´ dada pela soma das varic¸o˜es de entropia do reservato´rio e do
sal. Utilizando os resultados dos itens anteriores, temos
∆SU = ∆SR +∆SS = −
20
3
nkT 30 +
26
3
nkT 30 = 2nkT
3
0 > 0 .
�
2. Resoluc¸a˜o:
a)[1,0pt]
Aplicando a equac¸a˜o de Bernoulli entre o topo do reservato´rio e a extremidade da canalizac¸a˜o de a´rea A3 temos
p0 + ρ g (H + z) = p0 +
1
2
ρ v23 , (1)
isso implica que
ρ g (H + z) =
1
2
ρ v2
3
⇒ v3 =
√
2 g (H + z) . (2)
Por outro lado, a equac¸a˜o da continuidade (vaza˜o) nos diz que
v2 A2 = v3 A3 ⇒ v2 = v3
A3
A2
. (3)
Substitu´ındo o resultado da Eq. (2) na Eq. (3) temos
v2 =
√
2 g (H + z)
A3
A2
. (4)
b)[1,0pt]
Utilizamos novamente a equac¸a˜o de Bernoulli, pore´m agora entre a canalizac¸a˜o de a´rea A2 e a canalizac¸a˜o de a´rea A3
p2 +
1
2
ρ v2
2
= p0 +
1
2
ρ v2
3
, (5)
p2 + ρ g (H + z)
( A3
A2
)2
= p0 + ρ g (H + z) ,
isso implica que
p2 = p0 + ρ g (H + z)
[
1−
( A3
A2
)2]
.
Note que
[
1−
(
A3
A2
)2]
> 0, pois A3 < A2 , ou seja, a pressa˜o na canalizac¸a˜o de a´rea A2 e´ maior que a presa˜o atmosfe´rica. �
Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica II — 2012/2 PROVA FINAL: 22/02/2013
Versa˜o: C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8× 0, 7 = 5, 6 pontos)
1. Considere um recipiente com uma mistura de treˆs gases ideais
inertes. Sejam Cv1, Cv2 e Cv3 as capacidades te´rmicas mola-
res a volume constante de cada um dos gases e suponha que
no recipiente haja n1, n2 e n3 moles de cada um dos gases,
respectivamente. Podemos afirmar, enta˜o, que a capacidade
te´rmica efetiva de toda a mistura e´:
(a) Cv1/n1 + Cv2/n2 + Cv3/n3
(b) (Cv1 + Cv2 + Cv3)/3
(c) (n1Cv1 + n2Cv2 + n3Cv3)/(n1 + n2 + n3)
(d) (Cv1Cv2 + Cv1Cv3 + Cv2Cv3)/(Cv1 + Cv2 + Cv3)
(e) n1n2n3(Cv1 + Cv2 + Cv3)/(n1 + n2 + n3)
2. Por que um copo de vidro a`s vezes quebra quando se despeja
rapidamente a´gua fervendo no mesmo?
(a) A a´gua quente dilata, empurrando o copo para fora.
(b) A a´gua quente resfria quando toca o copo, encolhendo
e puxando o copo para dentro.
(c) O copo fica quente e dilata, causando a quebra de suas
mole´culas.
(d) A regia˜o interna do copo dilata mais rapidamente do
que a regia˜o externa, causando a quebra do mesmo.
(e) Nenhuma das respostas anteriores.
3. Um plataforma de massa M esta´ presa a duas molas ideais
sem massa de constantes ela´sticas k1 e k2 e pode deslizar so-
bre uma superf´ıcie horizontal sem atrito, como indicado na
figura.
Um bloco de massa m e´ colocado sobre a plataforma. Sendo
µe o coeficiente de atrito esta´tico entre as superf´ıcies do bloco
e da plataforma, pode-se afirmar que a amplitude ma´xima de
oscilac¸a˜o do sistema para que o bloco na˜o deslize e´
(a) µemg/(k1 + k2)
(b) µeMg/(k1 + k2)
(c) µe(m+M)g/(k1 + k2)
(d) µemg(k1 + k2)/k1k2
(e) µe(m+M)g(k1 + k2)/k1k2
4. Uma ma´quina real opera entre dois reservato´rios te´rmicos com
75% da eficieˆncia de uma ma´quina te´rmica de Carnot ope-
rando entre os mesmos dois reservato´rios. Esta ma´quina real
tem uma poteˆncia de sa´ıda de 100W e descarrega calor no re-
servato´rio de baixa temperatura, que esta´ a 27oC, a uma taxa
de 300 J/s. A temperatura do outro reservato´rio e´:
(a) 450oC
(b) 927oC
(c) 77oC
(d) 177oC
(e) 127oC
5. Um oscilador harmoˆnico simples se constitui de uma massa
m0 presa a` uma mola ideal de constante ela´stica k. O sistema
vibra com frequeˆncia angular ω0 e amplitude A0. O sistema
e´ modificado e agora tem uma massa m = 2m0 e e´ colocado
para oscilar com amplitude A =
√
3A0. Em func¸a˜o de E0, a
energia total no primeiro caso, e sua frequeˆncia angular ω0,
qual alternativa melhor expressa estas grandezas no segundo
caso?
(a) ω = 1√
2
ω0 e E = 3E0
(b) ω =
√
2ω0 e E = 3E0
(c) ω = 1√
2
ω0 e E = E0
(d) ω =
√
2ω0 e E =
√
3E0
(e) ω = 2ω0 e E = 3E0
6. Uma mola ideal sem massa de constante ela´stica k esta´ presa
a um bloco de massam que pode deslizar sobre uma superf´ıcie
horizontal sem atrito. No instante t = 0 o bloco e´ liberado a
partir do repouso da posic¸a˜o x(0) = A. Pode-se afirmar que o
per´ıodo do movimento e´
(a) independente das condic¸o˜es iniciais do problema
(b) func¸a˜o da energia mecaˆnica do oscilador
(c) inversamente proporcional a constante ela´stica k
(d) proporcional a amplitude de oscilac¸a˜o A
(e) proporcional a massa m do bloco
7. A figura abaixo representa uma fonte sonora que se desloca
pela trajeto´ria representada pela linha cheia, com velocidade
escalar constante, emitindo um som de frequeˆncia constante
no referencial da fonte. Um observador localizado no ponto
P escutara´ o som de forma mais aguda quando a fonte passar
pelo ponto:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
8. Considere um l´ıquido homogeˆneo que tem massa espec´ıfica ρ0 a`
temperatura T0. Seja β e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o volume´trica
do l´ıquido. Pode-se afirmar que a variac¸a˜o ∆ρ≪ ρ0 na massa
espec´ıfica do mesmo para uma variac¸a˜o ∆T da temperatura
e´:
(a) ρ0β∆T
(b) −ρ0β∆T
(c) ρ0β∆T/2
(d) ρ0(β∆T )
2
(e) −ρ0β∆T/2
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2, 4 + 2, 0 = 4, 4 pontos)
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS
1. [2,4 pontos] Um recipiente de paredes r´ıgidas e adiba´ticas e com capacidade te´rmica desprez´ıvel conte´m n moles de um sal de
capacidade te´rmica molar a volume constante dada por CV (T ) = kT
3, onde k e´ uma constante e T a temperatura. Inicialmente,
o sal esta´ em equil´ıbrio te´rmico a` temperatura T0. Troca-se, enta˜o, uma das paredes adiaba´ticas do recipiente por uma diate´rmica
e coloca-se o sistema em contato te´rmico com um reservato´rio a temperatura 3T0. Observa-se que apo´s algum tempo o sal e o
reservato´rio atingem o equil´ıbrio te´rmico. Calcule, neste processo e apenas em termos dos dados do problema,
(a) O calor total Q fornecido pelo reservato´rio ao sal.
(b) As variac¸o˜es de entropia ∆SR do reservato´rio e ∆SS do sal.
(c) A variac¸a˜o da entropia ∆SU do universo.
2. [2,0 pontos] Considere um sistema formado por um reservato´rio de a´gua com a´rea A1 e altura H . O reservato´rio esta´ conectado na
parte inferior com uma tubulac¸a˜o cuja sec¸a˜o transversal tem a´rea A2 ≪ A1. A uma distaˆncia z da base do reservato´rio, a tubulac¸a˜o
faz uma curva de 90 graus mantendo a sec¸a˜o transversal com a mesma a´rea A2 e ficando paralela ao solo. Em seguida, a tubulac¸a˜o
se conecta com uma outra de a´rea A3 < A2, cuja extremidade esta´ aberta permitindo que a a´gua saia com velocidade v3 para o
meio externo. Considere que a velocidade com que a superf´ıcie do l´ıquido no reservato´rio desce seja muito menor do que as outras
envolvidas no processo. Suponha conhecidas a densidade da a´gua ρ, a acelerac¸a˜o da gravidade g e a pressa˜o atmosfe´rica p0.
(a) Determine a velocidade v2
no trecho horizontal de
a´rea A2 em termos de A3,
A2, g, H e z.
(b) Determine a pressa˜o notrecho horizontal da cana-
lizac¸a˜o de a´rea A2.
FIM
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8× 0, 7 = 5, 6 pontos)
1. (c)
2. (d)
3. (c)
4. (d)
5. (a)
6. (a)
7. (a)
8. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2, 4 + 2, 0 = 4, 4 pontos)
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS
1. Resoluc¸a˜o:
(a) (1,0 ponto) Como as paredes do recipiente sa˜o r´ıgidas, o processo e´ realizado a volume constante. Ale´m disso, apo´s ser
estabelecido o equil´ıbrio te´rmico entre o sal e o reservato´rio ambos se encontrara˜o a temperatura 3T0. Assim, o calor total Q
fornecido pelo reservato´rio ao sal no processo em considerac¸a˜o e´ dado por:
Q = n
∫ f
i
CV (T )dT = nk
∫
3T0
T0
T 3dT =
nk
4
T 4
∣∣∣3T0
T0
= 20nkT 4
0
> 0 .
(b) (1,2 ponto) Trata-se de um processo irrevers´ıvel, uma vez que ha´ trocas de calor com diferenc¸as finitas de temperatura entre
o sistema e o reservato´rio. Devemos, enta˜o, imaginar um processo revers´ıvel com os mesmos estados inicial e final.
Reservato´rio (0,4 ponto) - No caso do reservato´rio, podemos imaginar um processo isote´rmico resers´ıvel no qual calor Q e´
retirado do reservato´rio. Assim,
∆SR =
∫ f
i
d′Q
T
=
1
3T0
∫ f
i
d′Q = − Q
3T0
,
onde utilizamos que o calor total trocado pelo reservato´rio e´ menos o calor total fornecido pelo mesmo ao sal. Utilizando o
resultado do item (a), obtemos,
∆SR = −
20nkT 4
0
3T0
= −20
3
nkT 30 < 0 .
Sal (0,8 ponto) - Neste caso, podemos imaginar um processo isoco´rico revers´ıvel no qual calor d′Q = nCV (T )dT e´ fornecido
para o sal em processos infinitesimais. Portanto,
∆SS =
∫ f
i
d′Q
T
= nk
∫ 3T0
T0
T 2dT =
nk
3
T 3
∣∣∣3T0
T0
=
26
3
nkT 30 > 0 .
(c) (0,2 ponto) A variac¸a˜o da entropia do universo neste processo e´ dada pela soma das varic¸o˜es de entropia do reservato´rio e do
sal. Utilizando os resultados dos itens anteriores, temos
∆SU = ∆SR +∆SS = −
20
3
nkT 30 +
26
3
nkT 30 = 2nkT
3
0 > 0 .
�
2. Resoluc¸a˜o:
a)[1,0pt]
Aplicando a equac¸a˜o de Bernoulli entre o topo do reservato´rio e a extremidade da canalizac¸a˜o de a´rea A3 temos
p0 + ρ g (H + z) = p0 +
1
2
ρ v23 , (1)
isso implica que
ρ g (H + z) =
1
2
ρ v2
3
⇒ v3 =
√
2 g (H + z) . (2)
Por outro lado, a equac¸a˜o da continuidade (vaza˜o) nos diz que
v2 A2 = v3 A3 ⇒ v2 = v3
A3
A2
. (3)
Substitu´ındo o resultado da Eq. (2) na Eq. (3) temos
v2 =
√
2 g (H + z)
A3
A2
. (4)
b)[1,0pt]
Utilizamos novamente a equac¸a˜o de Bernoulli, pore´m agora entre a canalizac¸a˜o de a´rea A2 e a canalizac¸a˜o de a´rea A3
p2 +
1
2
ρ v2
2
= p0 +
1
2
ρ v2
3
, (5)
p2 + ρ g (H + z)
( A3
A2
)2
= p0 + ρ g (H + z) ,
isso implica que
p2 = p0 + ρ g (H + z)
[
1−
( A3
A2
)2]
.
Note que
[
1−
(
A3
A2
)2]
> 0, pois A3 < A2 , ou seja, a pressa˜o na canalizac¸a˜o de a´rea A2 e´ maior que a presa˜o atmosfe´rica. �
Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica II — 2012/2 PROVA FINAL: 22/02/2013
Versa˜o: D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8× 0, 7 = 5, 6 pontos)
1. Uma mola ideal sem massa de constante ela´stica k esta´ presa
a um bloco de massam que pode deslizar sobre uma superf´ıcie
horizontal sem atrito. No instante t = 0 o bloco e´ liberado a
partir do repouso da posic¸a˜o x(0) = A. Pode-se afirmar que o
per´ıodo do movimento e´
(a) independente das condic¸o˜es iniciais do problema
(b) func¸a˜o da energia mecaˆnica do oscilador
(c) inversamente proporcional a constante ela´stica k
(d) proporcional a amplitude de oscilac¸a˜o A
(e) proporcional a massa m do bloco
2. Um plataforma de massa M esta´ presa a duas molas ideais
sem massa de constantes ela´sticas k1 e k2 e pode deslizar so-
bre uma superf´ıcie horizontal sem atrito, como indicado na
figura.
Um bloco de massa m e´ colocado sobre a plataforma. Sendo
µe o coeficiente de atrito esta´tico entre as superf´ıcies do bloco
e da plataforma, pode-se afirmar que a amplitude ma´xima de
oscilac¸a˜o do sistema para que o bloco na˜o deslize e´
(a) µemg/(k1 + k2)
(b) µeMg/(k1 + k2)
(c) µe(m+M)g/(k1 + k2)
(d) µemg(k1 + k2)/k1k2
(e) µe(m+M)g(k1 + k2)/k1k2
3. A figura abaixo representa uma fonte sonora que se desloca
pela trajeto´ria representada pela linha cheia, com velocidade
escalar constante, emitindo um som de frequeˆncia constante
no referencial da fonte. Um observador localizado no ponto
P escutara´ o som de forma mais aguda quando a fonte passar
pelo ponto:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
4. Considere um l´ıquido homogeˆneo que tem massa espec´ıfica ρ0 a`
temperatura T0. Seja β e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o volume´trica
do l´ıquido. Pode-se afirmar que a variac¸a˜o ∆ρ≪ ρ0 na massa
espec´ıfica do mesmo para uma variac¸a˜o ∆T da temperatura
e´:
(a) ρ0β∆T
(b) −ρ0β∆T
(c) ρ0β∆T/2
(d) ρ0(β∆T )
2
(e) −ρ0β∆T/2
5. Um oscilador harmoˆnico simples se constitui de uma massa
m0 presa a` uma mola ideal de constante ela´stica k. O sistema
vibra com frequeˆncia angular ω0 e amplitude A0. O sistema
e´ modificado e agora tem uma massa m = 2m0 e e´ colocado
para oscilar com amplitude A =
√
3A0. Em func¸a˜o de E0, a
energia total no primeiro caso, e sua frequeˆncia angular ω0,
qual alternativa melhor expressa estas grandezas no segundo
caso?
(a) ω = 1√
2
ω0 e E = 3E0
(b) ω =
√
2ω0 e E = 3E0
(c) ω = 1√
2
ω0 e E = E0
(d) ω =
√
2ω0 e E =
√
3E0
(e) ω = 2ω0 e E = 3E0
6. Considere um recipiente com uma mistura de treˆs gases ideais
inertes. Sejam Cv1, Cv2 e Cv3 as capacidades te´rmicas mola-
res a volume constante de cada um dos gases e suponha que
no recipiente haja n1, n2 e n3 moles de cada um dos gases,
respectivamente. Podemos afirmar, enta˜o, que a capacidade
te´rmica efetiva de toda a mistura e´:
(a) Cv1/n1 + Cv2/n2 + Cv3/n3
(b) (Cv1 + Cv2 + Cv3)/3
(c) (n1Cv1 + n2Cv2 + n3Cv3)/(n1 + n2 + n3)
(d) (Cv1Cv2 + Cv1Cv3 + Cv2Cv3)/(Cv1 + Cv2 + Cv3)
(e) n1n2n3(Cv1 + Cv2 + Cv3)/(n1 + n2 + n3)
7. Por que um copo de vidro a`s vezes quebra quando se despeja
rapidamente a´gua fervendo no mesmo?
(a) A a´gua quente dilata, empurrando o copo para fora.
(b) A a´gua quente resfria quando toca o copo, encolhendo
e puxando o copo para dentro.
(c) O copo fica quente e dilata, causando a quebra de suas
mole´culas.
(d) A regia˜o interna do copo dilata mais rapidamente do
que a regia˜o externa, causando a quebra do mesmo.
(e) Nenhuma das respostas anteriores.
8. Uma ma´quina real opera entre dois reservato´rios te´rmicos com
75% da eficieˆncia de uma ma´quina te´rmica de Carnot ope-
rando entre os mesmos dois reservato´rios. Esta ma´quina real
tem uma poteˆncia de sa´ıda de 100W e descarrega calor no re-
servato´rio de baixa temperatura, que esta´ a 27oC, a uma taxa
de 300 J/s. A temperatura do outro reservato´rio e´:
(a) 450oC
(b) 927oC
(c) 77oC
(d) 177oC
(e) 127oC
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2, 4 + 2, 0 = 4, 4 pontos)
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS
1. [2,4 pontos] Um recipiente de paredes r´ıgidas e adiba´ticas e com capacidade te´rmica desprez´ıvel conte´m n moles de um sal de
capacidade te´rmica molar a volume constante dada por CV (T ) = kT
3, onde k e´ uma constante e T a temperatura. Inicialmente,
o sal esta´ em equil´ıbrio te´rmico a` temperatura T0. Troca-se, enta˜o, uma das paredes adiaba´ticas do recipiente por uma diate´rmica
e coloca-se o sistema em contato te´rmico com um reservato´rio a temperatura 3T0. Observa-se que apo´s algum tempo o sal e o
reservato´rio atingem o equil´ıbrio te´rmico. Calcule, neste processo e apenas em termos dos dados do problema,
(a) O calor total Q fornecido pelo reservato´rio ao sal.
(b) As variac¸o˜esde entropia ∆SR do reservato´rio e ∆SS do sal.
(c) A variac¸a˜o da entropia ∆SU do universo.
2. [2,0 pontos] Considere um sistema formado por um reservato´rio de a´gua com a´rea A1 e altura H . O reservato´rio esta´ conectado na
parte inferior com uma tubulac¸a˜o cuja sec¸a˜o transversal tem a´rea A2 ≪ A1. A uma distaˆncia z da base do reservato´rio, a tubulac¸a˜o
faz uma curva de 90 graus mantendo a sec¸a˜o transversal com a mesma a´rea A2 e ficando paralela ao solo. Em seguida, a tubulac¸a˜o
se conecta com uma outra de a´rea A3 < A2, cuja extremidade esta´ aberta permitindo que a a´gua saia com velocidade v3 para o
meio externo. Considere que a velocidade com que a superf´ıcie do l´ıquido no reservato´rio desce seja muito menor do que as outras
envolvidas no processo. Suponha conhecidas a densidade da a´gua ρ, a acelerac¸a˜o da gravidade g e a pressa˜o atmosfe´rica p0.
(a) Determine a velocidade v2
no trecho horizontal de
a´rea A2 em termos de A3,
A2, g, H e z.
(b) Determine a pressa˜o no
trecho horizontal da cana-
lizac¸a˜o de a´rea A2.
FIM
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8× 0, 7 = 5, 6 pontos)
1. (a)
2. (c)
3. (a)
4. (b)
5. (a)
6. (c)
7. (d)
8. (d)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2, 4 + 2, 0 = 4, 4 pontos)
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS
1. Resoluc¸a˜o:
(a) (1,0 ponto) Como as paredes do recipiente sa˜o r´ıgidas, o processo e´ realizado a volume constante. Ale´m disso, apo´s ser
estabelecido o equil´ıbrio te´rmico entre o sal e o reservato´rio ambos se encontrara˜o a temperatura 3T0. Assim, o calor total Q
fornecido pelo reservato´rio ao sal no processo em considerac¸a˜o e´ dado por:
Q = n
∫ f
i
CV (T )dT = nk
∫
3T0
T0
T 3dT =
nk
4
T 4
∣∣∣3T0
T0
= 20nkT 4
0
> 0 .
(b) (1,2 ponto) Trata-se de um processo irrevers´ıvel, uma vez que ha´ trocas de calor com diferenc¸as finitas de temperatura entre
o sistema e o reservato´rio. Devemos, enta˜o, imaginar um processo revers´ıvel com os mesmos estados inicial e final.
Reservato´rio (0,4 ponto) - No caso do reservato´rio, podemos imaginar um processo isote´rmico resers´ıvel no qual calor Q e´
retirado do reservato´rio. Assim,
∆SR =
∫ f
i
d′Q
T
=
1
3T0
∫ f
i
d′Q = − Q
3T0
,
onde utilizamos que o calor total trocado pelo reservato´rio e´ menos o calor total fornecido pelo mesmo ao sal. Utilizando o
resultado do item (a), obtemos,
∆SR = −
20nkT 4
0
3T0
= −20
3
nkT 30 < 0 .
Sal (0,8 ponto) - Neste caso, podemos imaginar um processo isoco´rico revers´ıvel no qual calor d′Q = nCV (T )dT e´ fornecido
para o sal em processos infinitesimais. Portanto,
∆SS =
∫ f
i
d′Q
T
= nk
∫ 3T0
T0
T 2dT =
nk
3
T 3
∣∣∣3T0
T0
=
26
3
nkT 30 > 0 .
(c) (0,2 ponto) A variac¸a˜o da entropia do universo neste processo e´ dada pela soma das varic¸o˜es de entropia do reservato´rio e do
sal. Utilizando os resultados dos itens anteriores, temos
∆SU = ∆SR +∆SS = −
20
3
nkT 30 +
26
3
nkT 30 = 2nkT
3
0 > 0 .
�
2. Resoluc¸a˜o:
a)[1,0pt]
Aplicando a equac¸a˜o de Bernoulli entre o topo do reservato´rio e a extremidade da canalizac¸a˜o de a´rea A3 temos
p0 + ρ g (H + z) = p0 +
1
2
ρ v23 , (1)
isso implica que
ρ g (H + z) =
1
2
ρ v2
3
⇒ v3 =
√
2 g (H + z) . (2)
Por outro lado, a equac¸a˜o da continuidade (vaza˜o) nos diz que
v2 A2 = v3 A3 ⇒ v2 = v3
A3
A2
. (3)
Substitu´ındo o resultado da Eq. (2) na Eq. (3) temos
v2 =
√
2 g (H + z)
A3
A2
. (4)
b)[1,0pt]
Utilizamos novamente a equac¸a˜o de Bernoulli, pore´m agora entre a canalizac¸a˜o de a´rea A2 e a canalizac¸a˜o de a´rea A3
p2 +
1
2
ρ v2
2
= p0 +
1
2
ρ v2
3
, (5)
p2 + ρ g (H + z)
( A3
A2
)2
= p0 + ρ g (H + z) ,
isso implica que
p2 = p0 + ρ g (H + z)
[
1−
( A3
A2
)2]
.
Note que
[
1−
(
A3
A2
)2]
> 0, pois A3 < A2 , ou seja, a pressa˜o na canalizac¸a˜o de a´rea A2 e´ maior que a presa˜o atmosfe´rica. �
Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica II — 2012/2 PROVA FINAL: 22/02/2013
Versa˜o: E
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8× 0, 7 = 5, 6 pontos)
1. A figura abaixo representa uma fonte sonora que se desloca
pela trajeto´ria representada pela linha cheia, com velocidade
escalar constante, emitindo um som de frequeˆncia constante
no referencial da fonte. Um observador localizado no ponto
P escutara´ o som de forma mais aguda quando a fonte passar
pelo ponto:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
2. Considere um recipiente com uma mistura de treˆs gases ideais
inertes. Sejam Cv1, Cv2 e Cv3 as capacidades te´rmicas mola-
res a volume constante de cada um dos gases e suponha que
no recipiente haja n1, n2 e n3 moles de cada um dos gases,
respectivamente. Podemos afirmar, enta˜o, que a capacidade
te´rmica efetiva de toda a mistura e´:
(a) Cv1/n1 + Cv2/n2 + Cv3/n3
(b) (Cv1 + Cv2 + Cv3)/3
(c) (n1Cv1 + n2Cv2 + n3Cv3)/(n1 + n2 + n3)
(d) (Cv1Cv2 + Cv1Cv3 + Cv2Cv3)/(Cv1 + Cv2 + Cv3)
(e) n1n2n3(Cv1 + Cv2 + Cv3)/(n1 + n2 + n3)
3. Por que um copo de vidro a`s vezes quebra quando se despeja
rapidamente a´gua fervendo no mesmo?
(a) A a´gua quente dilata, empurrando o copo para fora.
(b) A a´gua quente resfria quando toca o copo, encolhendo
e puxando o copo para dentro.
(c) O copo fica quente e dilata, causando a quebra de suas
mole´culas.
(d) A regia˜o interna do copo dilata mais rapidamente do
que a regia˜o externa, causando a quebra do mesmo.
(e) Nenhuma das respostas anteriores.
4. Uma ma´quina real opera entre dois reservato´rios te´rmicos com
75% da eficieˆncia de uma ma´quina te´rmica de Carnot ope-
rando entre os mesmos dois reservato´rios. Esta ma´quina real
tem uma poteˆncia de sa´ıda de 100W e descarrega calor no re-
servato´rio de baixa temperatura, que esta´ a 27oC, a uma taxa
de 300 J/s. A temperatura do outro reservato´rio e´:
(a) 450oC
(b) 927oC
(c) 77oC
(d) 177oC
(e) 127oC
5. Um plataforma de massa M esta´ presa a duas molas ideais
sem massa de constantes ela´sticas k1 e k2 e pode deslizar so-
bre uma superf´ıcie horizontal sem atrito, como indicado na
figura.
Um bloco de massa m e´ colocado sobre a plataforma. Sendo
µe o coeficiente de atrito esta´tico entre as superf´ıcies do bloco
e da plataforma, pode-se afirmar que a amplitude ma´xima de
oscilac¸a˜o do sistema para que o bloco na˜o deslize e´
(a) µemg/(k1 + k2)
(b) µeMg/(k1 + k2)
(c) µe(m+M)g/(k1 + k2)
(d) µemg(k1 + k2)/k1k2
(e) µe(m+M)g(k1 + k2)/k1k2
6. Uma mola ideal sem massa de constante ela´stica k esta´ presa
a um bloco de massam que pode deslizar sobre uma superf´ıcie
horizontal sem atrito. No instante t = 0 o bloco e´ liberado a
partir do repouso da posic¸a˜o x(0) = A. Pode-se afirmar que o
per´ıodo do movimento e´
(a) independente das condic¸o˜es iniciais do problema
(b) func¸a˜o da energia mecaˆnica do oscilador
(c) inversamente proporcional a constante ela´stica k
(d) proporcional a amplitude de oscilac¸a˜o A
(e) proporcional a massa m do bloco
7. Um oscilador harmoˆnico simples se constitui de uma massa
m0 presa a` uma mola ideal de constante ela´stica k. O sistema
vibra com frequeˆncia angular ω0 e amplitude A0. O sistema
e´ modificado e agora tem uma massa m = 2m0 e e´ colocado
para oscilar com amplitude A =
√
3A0. Em func¸a˜o de E0, a
energia total no primeiro caso, e sua frequeˆncia angular ω0,
qual alternativa melhor expressa estas grandezas no segundo
caso?
(a) ω = 1√
2
ω0 e E = 3E0
(b) ω =
√
2ω0 e E = 3E0
(c) ω = 1√
2
ω0 e E = E0
(d) ω =
√
2ω0 e E =
√
3E0
(e) ω = 2ω0 e E = 3E0
8. Considere um l´ıquido homogeˆneo que tem massa espec´ıfica ρ0 a`
temperatura T0. Seja β e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o volume´trica
do l´ıquido.Pode-se afirmar que a variac¸a˜o ∆ρ≪ ρ0 na massa
espec´ıfica do mesmo para uma variac¸a˜o ∆T da temperatura
e´:
(a) ρ0β∆T
(b) −ρ0β∆T
(c) ρ0β∆T/2
(d) ρ0(β∆T )
2
(e) −ρ0β∆T/2
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2, 4 + 2, 0 = 4, 4 pontos)
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS
1. [2,4 pontos] Um recipiente de paredes r´ıgidas e adiba´ticas e com capacidade te´rmica desprez´ıvel conte´m n moles de um sal de
capacidade te´rmica molar a volume constante dada por CV (T ) = kT
3, onde k e´ uma constante e T a temperatura. Inicialmente,
o sal esta´ em equil´ıbrio te´rmico a` temperatura T0. Troca-se, enta˜o, uma das paredes adiaba´ticas do recipiente por uma diate´rmica
e coloca-se o sistema em contato te´rmico com um reservato´rio a temperatura 3T0. Observa-se que apo´s algum tempo o sal e o
reservato´rio atingem o equil´ıbrio te´rmico. Calcule, neste processo e apenas em termos dos dados do problema,
(a) O calor total Q fornecido pelo reservato´rio ao sal.
(b) As variac¸o˜es de entropia ∆SR do reservato´rio e ∆SS do sal.
(c) A variac¸a˜o da entropia ∆SU do universo.
2. [2,0 pontos] Considere um sistema formado por um reservato´rio de a´gua com a´rea A1 e altura H . O reservato´rio esta´ conectado na
parte inferior com uma tubulac¸a˜o cuja sec¸a˜o transversal tem a´rea A2 ≪ A1. A uma distaˆncia z da base do reservato´rio, a tubulac¸a˜o
faz uma curva de 90 graus mantendo a sec¸a˜o transversal com a mesma a´rea A2 e ficando paralela ao solo. Em seguida, a tubulac¸a˜o
se conecta com uma outra de a´rea A3 < A2, cuja extremidade esta´ aberta permitindo que a a´gua saia com velocidade v3 para o
meio externo. Considere que a velocidade com que a superf´ıcie do l´ıquido no reservato´rio desce seja muito menor do que as outras
envolvidas no processo. Suponha conhecidas a densidade da a´gua ρ, a acelerac¸a˜o da gravidade g e a pressa˜o atmosfe´rica p0.
(a) Determine a velocidade v2
no trecho horizontal de
a´rea A2 em termos de A3,
A2, g, H e z.
(b) Determine a pressa˜o no
trecho horizontal da cana-
lizac¸a˜o de a´rea A2.
FIM
Gabarito para Versa˜o E
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8× 0, 7 = 5, 6 pontos)
1. (a)
2. (c)
3. (d)
4. (d)
5. (c)
6. (a)
7. (a)
8. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas ( 2, 4 + 2, 0 = 4, 4 pontos)
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS
1. Resoluc¸a˜o:
(a) (1,0 ponto) Como as paredes do recipiente sa˜o r´ıgidas, o processo e´ realizado a volume constante. Ale´m disso, apo´s ser
estabelecido o equil´ıbrio te´rmico entre o sal e o reservato´rio ambos se encontrara˜o a temperatura 3T0. Assim, o calor total Q
fornecido pelo reservato´rio ao sal no processo em considerac¸a˜o e´ dado por:
Q = n
∫ f
i
CV (T )dT = nk
∫
3T0
T0
T 3dT =
nk
4
T 4
∣∣∣3T0
T0
= 20nkT 4
0
> 0 .
(b) (1,2 ponto) Trata-se de um processo irrevers´ıvel, uma vez que ha´ trocas de calor com diferenc¸as finitas de temperatura entre
o sistema e o reservato´rio. Devemos, enta˜o, imaginar um processo revers´ıvel com os mesmos estados inicial e final.
Reservato´rio (0,4 ponto) - No caso do reservato´rio, podemos imaginar um processo isote´rmico resers´ıvel no qual calor Q e´
retirado do reservato´rio. Assim,
∆SR =
∫ f
i
d′Q
T
=
1
3T0
∫ f
i
d′Q = − Q
3T0
,
onde utilizamos que o calor total trocado pelo reservato´rio e´ menos o calor total fornecido pelo mesmo ao sal. Utilizando o
resultado do item (a), obtemos,
∆SR = −
20nkT 4
0
3T0
= −20
3
nkT 30 < 0 .
Sal (0,8 ponto) - Neste caso, podemos imaginar um processo isoco´rico revers´ıvel no qual calor d′Q = nCV (T )dT e´ fornecido
para o sal em processos infinitesimais. Portanto,
∆SS =
∫ f
i
d′Q
T
= nk
∫ 3T0
T0
T 2dT =
nk
3
T 3
∣∣∣3T0
T0
=
26
3
nkT 30 > 0 .
(c) (0,2 ponto) A variac¸a˜o da entropia do universo neste processo e´ dada pela soma das varic¸o˜es de entropia do reservato´rio e do
sal. Utilizando os resultados dos itens anteriores, temos
∆SU = ∆SR +∆SS = −
20
3
nkT 30 +
26
3
nkT 30 = 2nkT
3
0 > 0 .
�
2. Resoluc¸a˜o:
a)[1,0pt]
Aplicando a equac¸a˜o de Bernoulli entre o topo do reservato´rio e a extremidade da canalizac¸a˜o de a´rea A3 temos
p0 + ρ g (H + z) = p0 +
1
2
ρ v23 , (1)
isso implica que
ρ g (H + z) =
1
2
ρ v2
3
⇒ v3 =
√
2 g (H + z) . (2)
Por outro lado, a equac¸a˜o da continuidade (vaza˜o) nos diz que
v2 A2 = v3 A3 ⇒ v2 = v3
A3
A2
. (3)
Substitu´ındo o resultado da Eq. (2) na Eq. (3) temos
v2 =
√
2 g (H + z)
A3
A2
. (4)
b)[1,0pt]
Utilizamos novamente a equac¸a˜o de Bernoulli, pore´m agora entre a canalizac¸a˜o de a´rea A2 e a canalizac¸a˜o de a´rea A3
p2 +
1
2
ρ v2
2
= p0 +
1
2
ρ v2
3
, (5)
p2 + ρ g (H + z)
( A3
A2
)2
= p0 + ρ g (H + z) ,
isso implica que
p2 = p0 + ρ g (H + z)
[
1−
( A3
A2
)2]
.
Note que
[
1−
(
A3
A2
)2]
> 0, pois A3 < A2 , ou seja, a pressa˜o na canalizac¸a˜o de a´rea A2 e´ maior que a presa˜o atmosfe´rica. �