Derivada III

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Anotac¸o˜es sobre Derivadas
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Derivadas 4
1.1 Derivada de func¸o˜es pares e ı´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Derivadas trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Dsen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 D[cos(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 D[tg(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 D[tgn+1(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 D[cotg(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.6 D[cotgn+1(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.7 D[sec(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.8 D[secn(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.9 D[cossec(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.10 D[cossecn(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Derivada das trigonome´tricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 D[arcsen(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 D[arccos(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 D[arccossec(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 D[arcsec(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5 Darctg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.6 D[arccotg(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.7 arcos(
1
z
) = arcsec(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Derivadas hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 D[cosh(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 D[senh(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2
SUMA´RIO 3
1.4.3 D[tgh(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.4 D[cotgh(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.5 D[sech(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Derivadas hiperbo´licas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 D[arcsenh(x)] =
1√
1 + x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 D[arccosh(x)] =
1√
x2 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 D[arccotgh(x)] =
1
1− x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.4 D[arctgh(x)] =
1
1− x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Derivada da exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Regras ba´sicas de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Derivada de func¸o˜es elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.1 Dksen(ax), Dkcos(ax). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.2 Derivada de f(x)g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.3 Derivada de ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.4 Derivada de xx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Derivada do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10 Derivada logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11 Derivada de poteˆncia de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . 22
Cap´ıtulo 1
Derivadas
1.1 Derivada de func¸o˜es pares e ı´mpares
Propriedade 1. Se f(0) = 0 e f ′(x) e´ par enta˜o f e´ ı´mpar.
Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que f(−x) = −f(x) . Seja g(x) = f(−x) + f(x),
vale que g(0) = 0 e
g′(x) = −f ′(−x) + f(x) = −f ′(x) + f ′(x) = 0.
Logo g e´ constante, valendo enta˜o g(x) = 0∀x.
Corola´rio 1. Se f(0) 6= 0 enta˜o podemos tomar h(x) = f(x)− f(0) que sera´ ı´mpar, pois
vale h(0) = f(0)− f(0) e h′(x) = f ′(x) e´ par, enta˜o vale
h(−x) = −h(x)
f(−x)− f(0) = −f(x) + f(0)
implicando que
f(−x) = 2f(0)− f(x).
Enta˜o se f ′(x) e´ par vale
f(−x) = 2f(0)− f(x).
4
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 5
Propriedade 2. Se f(−c) = −f(c) para alguma constante c e f ′(x) e´ par enta˜o f e´
ı´mpar.
Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que f(−x) = −f(x) . Seja g(x) = f(−x) + f(x),
vale que g(c) = 0 e
g′(x) = −f ′(−x) + f(x) = −f ′(x) + f ′(x) = 0.
Logo g e´ constante, valendo enta˜o g(x) = 0∀x.
1.2 Derivadas trigonome´tricas
1.2.1 Dsen(x)
Propriedade 3. Vale D(sen(x)) = cos(x).
Demonstrac¸a˜o. Temos
sen(x+ h)− sen(x)
h
=
sen(h).cos(x) + sen(x).cos(h)− sen(x)
h
=
=
sen(h)
h
cos(x) + sen(x)
(cos(h)− 1)
h
da´ı usamos os limites lim
h→0
sen(h)
h
= 1 e lim
h→0
(cos(h)− 1)
h
= 0 donde segue
lim
h→0
sen(x+ h)− sen(x)
h
= lim
h→0
sen(h)
h
cos(x) + sen(x) lim
h→0
(cos(h)− 1)
h
= cos(x).
Corola´rio 2. A func¸a˜o seno e´ cont´ınua para todo x ∈ R, pois e´ deriva´vel.
1.2.2 D[cos(x)]
Propriedade 4. D(cos(x)) = −sen(x).
Demonstrac¸a˜o. Vale
cos(x+h)−cos(x) = cos(x).cos(h)−sen(x).sen(h)−cos(x) = −sen(x)sen(h)+cos(x)(cos(h)−1)
da´ı usamos os mesmos limites que usamos no caso da derivada de seno, lim
h→0
sen(h)
h
= 1
e lim
h→0
(cos(h)− 1)
h
= 0, de onde segue
lim
h→0
cos(x+ h)− cos(x)
h
= − lim
h→0
sen(x)
sen(h)
h
+ lim
h→0
cos(x)
(cos(h)− 1)
h
= −sen(x).
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 6
Corola´rio 3. A func¸a˜o cosseno e´ cont´ınua em toda reta, pois e´ deriva´vel em todo x ∈ R.
1.2.3 D[tg(x)]
Demonstrac¸a˜o. Vale a identidade
[tg(x)]′ = sec2(x).
Demonstrac¸a˜o. Usamos a regra do quociente [tg(x)]′ = [
sen(x)
cos(x)
]′ =
cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)
=
1
cos2(x)
= sec2(x).
1.2.4 D[tgn+1(x)]
Propriedade 5. Vale [tgn+1(x)]′ = (n+ 1)sec2(x)tgn(x).
Demonstrac¸a˜o. Por derivada de func¸a˜o composta
[tgn+1(x)]′ = (n+ 1)tgn(x).sec2(x).
1.2.5 D[cotg(x)]
Propriedade 6.
[cotg(x)]′ = −cossec2(x).
Demonstrac¸a˜o.
[cotg(x)]′ = [
cos(x)
sen(x)
]′ =
−(sen2(x) + cos2(x))
sen2(x)
= −cossec2(x).
1.2.6 D[cotgn+1(x)]
Corola´rio 4. Pela regra da cadeia
[cotgn+1(x)]′ = −(n+ 1)cossec2(x).cotgn(x).
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 7
1.2.7 D[sec(x)]
Propriedade 7.
D[sec(x)] = tg(x).sec(x)
Demonstrac¸a˜o. Pela regra do quociente
D[sec(x)] = D[
1
cos(x)
] =
sen(x)
cos2(x)
= tg(x).sec(x).
1.2.8 D[secn(x)]
Propriedade 8.
D[secn(x)] = ntg(x)secn(x).
Demonstrac¸a˜o. Pela regra da cadeia
D[secn(x)] = ntg(x)sec(x)secn−1(x) = ntg(x)secn(x).
1.2.9 D[cossec(x)]
Propriedade 9.
D[cossec(x)] = −cotg(x)cossec(x).
Demonstrac¸a˜o. Pela regra do quociente
D[cossec(x)] = D[
1
sen(x)
] =
−cos(x)
sen2(x)
= −cotg(x).cossec(x).
1.2.10 D[cossecn(x)]
Propriedade 10.
D[cossecn(x)] = −ncotg(x).cossecn(x).
Demonstrac¸a˜o. Pela regra da cadeia
D[cossecn(x)] = −n.cotg(x).cossec(x).cossecn−1(x) = −ncotg(x).cossecn(x).
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 8
1.3 Derivada das trigonome´tricas inversas
1.3.1 D[arcsen(x)]
Propriedade 11. D[arcsen(x)] =
1√
1− x2 .
Demonstrac¸a˜o. Tomando arcsen(x) = y enta˜o sen(y) = x, derivando y′cos(y) = 1
e da´ı y′ =
1
cos(y)
como cos2(y) = 1− sen2(y) segue que cos(y) =
√
1− sen2(y) e
y′ =
1√
1− x2 .
Propriedade 12. A func¸a˜o de lei arcsen(x) e´ ı´mpar.
Demonstrac¸a˜o. Seja f(x) = arcsen(−x)+arcsen(x), vale f(0) = 0, derivando segue
que
f ′(x) =
−1√
1− x2 +
1√
1− x2 = 0
logo f(x) = 0 valendo arcsen(−x) = −arcsen(x).
1.3.2 D[arccos(x)]
Propriedade 13. Vale D[arccos(x)] =
−1√
1− x2 .
Demonstrac¸a˜o.Tomando y = arccos(x) tem-se cos(y) = x e da´ı −y′sen(y) = 1 logo
y′ = − 1
sen(y)
como sen(y) =
√
1− cos2(x) tem-se sen(y) =
√
1− x2 enta˜o
y′ = − 1√
1− x2 .
Propriedade 14. Vale
arccos(x) =
pi
2
− arcsen(x).
Demonstrac¸a˜o. Valem as identidades D[arccos(x)] =
−1√
1− x2 e D[arcsen(x)] =
1√
1− x2 , logo
D[arccos(x) + arcsen(x)] = 0
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 9
isso implica que a func¸a˜o e´ constante, tomando um valor, digamos x = 0, segue
arccos(0) + arcsen(0) = c = arcos(0) =
pi
2
de onde segue que
arccos(x) =
pi
2
− arcsen(x).
1.3.3 D[arccossec(x)]
Propriedade 15.
D[arccossec(x)] =
−1
|x|√x2 − 1 .
Demonstrac¸a˜o. y = arccossec(x) enta˜o cossec(y) = x, derivando ambos membros
tem-se −y′cotg(y).cossec(y) = 1 usando a relac¸a˜o cotg2(x) + 1 = cossec2(x) segue que
y′ =
−1
|x|√x2 − 1 .
Propriedade 16. Vale a identidade
arccossec(z) = arcsen(
1
z
).
Demonstrac¸a˜o. Tomando a func¸a˜o de lei f(z) = arccossec(z)− arcsen(1
z
), temos
f(1) = arccossec(1)− arcsen(1) = pi
2
− pi
2
= 0.
Derivamos a func¸a˜o
f ′(z) =
−1
z
√
z2 − 1 +
z
z2
√
z2 − 1 = 0
logo arccossec(z)− arcsen(1
z
) = c = arccossec(1)− arcsen(1) = 0 implicando
arccossec(z) = arcsen(
1
z
).
1.3.4 D[arcsec(x)]
Propriedade 17.
D[arcsec(x)] =
1
|x|√x2 − 1 .
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 10
Demonstrac¸a˜o. Tomando arcsec(x) = y tem-se sec(y) = x, derivando em relac¸a˜o a`
x, segue y′tg(y)sec(y) = 1, usando a relac¸a˜o tg2(x) + 1 = sec2(x) segue que
y′ =
1
|x|√x2 − 1 .
Propriedade 18. Vale que
arccossec(x) =
pi
2
− arcsec(x).
Demonstrac¸a˜o. Pela relac¸a˜o entre as derivadas temos
D[arccossec(x) + arcsec(x)] = 0
logo arccossec(x) + arcsec(x) = c, tomando x = 1 segue
arccossec(1) + arcsec(1) = arccossec(1) =
pi
2
= c.
1.3.5 Darctg(x)
Propriedade 19. Vale D[arctg(x] =
1
x2 + 1
.
Demonstrac¸a˜o. Se arctg(x) = y enta˜o tg(y) = x, derivando ambos lados tem-se
y′sec2(y) = 1 logo y′ =
1
sec2(y)
. Da identidade sec2(y) = tg2(y)+1 enta˜o sec2(y) = x2+1
de onde segue
y′ =
1
x2 + 1
.
1.3.6 D[arccotg(x)]
Propriedade 20.
D[arccotg(x)] =
−1
x2 + 1
.
Demonstrac¸a˜o. Tomando arccotg(x) = y tem-se cotg(y) = x, derivando em relac¸a˜o
a` x, segue −y′cossec2(x) = 1, usando a relac¸a˜o cotg2(x) + 1 = cossec2(x) segue que
y′ =
−1
x2 + 1
.
Propriedade 21. Vale a relac¸a˜o
arccotg(x) =
pi
2
− arctg(x).
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 11
Demonstrac¸a˜o. Vale D[arccotg(x)] =
−1
x2 + 1
e D[arctg(x] =
1
x2 + 1
, somando am-
bas temos
D[arccotg(x) + arctg(x)] = 0
enta˜o
arccotg(x) + arctg(x) = c
tomando x = 0 segue
arccotg(0) = c =
pi
2
logo
arctg(x) =
pi
2
− arctg(x).
1.3.7 arcos(
1
z
) = arcsec(z)
Propriedade 22. Vale que arcos(
1
z
) = arcsec(z).
Demonstrac¸a˜o. Considere a func¸a˜o de lei f(z) = arcos(
1
z
)− arcsec(z), vale f(1) =
arcos(1)− arcsec(1) = 0. Vamos derivar a func¸a˜o agora
f ′(z) =
−1
z2
(−z)√
z2 − 1 −
1
z
√
z2 − 1 =
1
z
√
z2 − 1 −
1
z
√
z2 − 1 = 0
logo f(z) = c = f(1) = 0 implicando que
arcos(
1
z
) = arcsec(z).
1.4 Derivadas hiperbo´licas
1.4.1 D[cosh(x)]
Propriedade 23. Dcosh(x) = senh(x).
Demonstrac¸a˜o.
D[cosh(x)] = D[
ex + e−x
2
] =
ex − e−x
2
= senh(x).
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 12
1.4.2 D[senh(x)]
Propriedade 24. Dsenh(x) = cosh(x).
Demonstrac¸a˜o.
D[senh(x)] = D[
ex − e−x
2
] =
ex + e−x
2
= cosh(x).
1.4.3 D[tgh(x)]
D[tgh(x)] = D[
senh(x)
cosh(x)
] =
cosh2(x)− senh2(x)
cosh2(x)
= sech2(x).
1.4.4 D[cotgh(x)]
D[cotgh(x)] = D[
cosh(x)
senh(x)
] =
senh2(x)− cosh2(x)
senh2(x)
= −cossech2(x).
1.4.5 D[sech(x)]
D[sech(x)] = D
1
cosh(x)
=
−senh(x)
cosh2(x)
= −tgh(x)sech(x).
1.5 Derivadas hiperbo´licas inversas
1.5.1 D[arcsenh(x)] =
1√
1 + x2
Propriedade 25. Vale
D[arcsenh(x)] =
1√
1 + x2
.
Demonstrac¸a˜o. Seja y = arcsenh(x) enta˜o senh(y) = x derivando temos y′.cosh(y) =
1 logo y′ =
1
cosh(y)
pela relac¸a˜o cosh2(y)− senh2(y) = 1 temos cosh(y) =
√
1 + x2 logo
vale
(arcsenh(x))′ =
1√
1 + x2
.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 13
1.5.2 D[arccosh(x)] =
1√
x2 − 1
Propriedade 26. Vale
D[arccosh(x)] =
1√
x2 − 1 .
Demonstrac¸a˜o. Seja y = arccosh(x) enta˜o cosh(y) = x derivando temos y′.senh(y) =
1 logo y′ =
1
senh(y)
pela relac¸a˜o cosh2(y)− senh2(y) = 1 temos senh(y) =
√
x2 − 1 logo
vale
(arccosh(x))′ =
1√
x2 − 1 .
1.5.3 D[arccotgh(x)] =
1
1− x2
Propriedade 27. Se arccotgh(x) = y enta˜o cotgh(y) = (x), derivando segue−y′cossech2(y) =
1 enta˜o
y′ =
−1
cossech2(y)
=
1
1− x2 .
1.5.4 D[arctgh(x)] =
1
1− x2
Propriedade 28. Se arctgh(x) = y enta˜o tgh(y) = (x), derivando segue y′sech2(y) = 1
enta˜o
y′ =
1
sech2(y)
=
1
1− x2 .
1.6 Derivada da exponencial
Exemplo 1. Calcular a derivada de ax.
lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
ax(ah − 1)
h
= ax lim
h→0
(ah − 1)
h
= ax ln(a)
caso a = e, vale ex ln(e) = ex.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 14
1.7 Regras ba´sicas de derivac¸a˜o
D
f(x)
g(x)
=
f ′(x).g(x)− g′(x).f(x)
(g(x))2
.
Regra de Leibniz para derivada do produto
Dn[f(x).g(x)] =
n∑
k=0
[
(
n
k
)
][Dn−kf(x)].[Dkg(x)]
Exemplo 2. Seja a func¸a˜o f(x) = e−xsenx vamos calcular Dnf(x) pela regra de Leibniz
Dne−xsenx =
n∑
k=0
[
(
n
k
)
][Dn−ke−x].[Dksenx]
em geral vale Dkeax = akeax, no caso Dn−ke−x = (−1)n−ke−x e Dksenx = sen(x + kpi
2
)
da´ı
Dne−xsenx =
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)n−ke−x.sen(x+ kpi
2
)
tomando x = 0 segue
Dne−xsenx|x=0 =
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)n−k.sen(kpi
2
) =
podemos mostrar que sen(
kpi
2
) =
ik+1
2
((−1)k − 1) substituindo na soma
=
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)n−k i
k+1
2
(−1)k−
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)n−k i
k+1
2
=
i
2
(
(−1)n
n∑
k=0
(
n
k
)
ik−
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)n−kik
)
=
=
i
2
(
(−1)n(1 + i)n − (−1 + i)n
)
=
i
2
(
(−1− i)n − (−1 + i)n
)
=
usando que −1− i =
√
2(cos
5pi
4
+ isen
5pi
4
) e −1+ i =
√
2(cos
3pi
4
+ isen
3pi
4
) da´ı aplicando
de moivre
=
i
√
2
n
2
(
cos
5npi
4
+ isen
5npi
4
− cos3npi
4
− isen3npi
4
)
=
=
√
2
n
2
(
icos
5npi
4
− sen5npi
4
− icos3npi
4
+ sen
3npi
4
)
=
como o resultado e´ um nu´mero real pra todo n, segue que cos
5npi
4
= cos
3npi
4
para todo n
=
√
2
n
2
(
− sen5npi
4
+ sen
3npi
4
)
=
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 15
agora como sen
5pin
4
= sen(−3pin
4
+ 2pin) = sen(
−3pin
4
) = −sen(3pin
4
) a expressa˜o fica
como
=
√
2
n
(
sen
3npi
4
)
logo
Dne−xsenx|x=0 =
√
2
n
(
sen
3npi
4
)
.
Agora , por exemplo, tomando n = 2001
D2001e−xsenx|x=0 =
√
2
2001
(
sen
3.2001pi
4
)
=
√
2
2001 1√
2
=
√
2
2000
= 21000
pois sen
3.2001pi
4
= sen(
3.2000pi
4
+
3pi
4
) = sen
3pi
4
=
1√
2
.
Exemplo 3.
Dneaxeibx = Dnex(a+bi) = (a+ bi)neaxeibx =
sendo a+ bi = reiθ, vale (a+ bi)n = rneinθ
= eaxeibxrneinθ = eaxei(bx+nθ)rn = eaxrn(cos(bx+ nθ) + isen(bx+ nθ))
pore´m
Dneaxeibx = Dneax(cos(bx) + isen(bx)) = Dneaxcos(bx) + iDneaxsen(bx)
igualando parte real e complexa segue
Dneaxcos(bx) = eaxrncos(bx+ nθ)
Dneaxsen(bx) = eaxrn.sen(bx+ nθ).
1.8 Derivada de func¸o˜es elementares
Dlnx =
1
x
Dsenx = cosx
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 16
Dcosx = −senx
Dtgx = sec2x
Dsecx = secx.tgx
Dcotgx = −cossec2x
Dcossecx = −cossecx.cotgx
Propriedade 29.
Dk(ax+b)c = ak(c)(k,1)(ax+ b)c−k
vale para a, b, c reais e k natural.
Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre k, k = 0
D0(ax+ b)c = (ax+ b)c = a0(c)(0,1)(ax+ b)c−0
tomando como hipo´tese para k
Dk(ax+ b)c = ak(c)(k,1)(ax+ b)c−k
vamos provar para k + 1
Dk+1(ax+ b)c = ak+1(c)(k+1,1)(ax+ b)c−k−1
aplicando a derivada na hipo´tese temos
Dk+1(ax+b)c = ak(c)(k,1)D(ax+b)c−k = ak(c)(k,1)a(c−k)(ax+b)c−k−1 = ak+1c(k+1,1)(ax+b)c−k−1
Corola´rio 5. Em
Dk(ax+ b)c = ak(c)(k,1)(ax+ b)c−k
se a = 1 e b = 0 temos
Dk(x)c = (c)(k,1)(x)c−k
Corola´rio 6. D−k(ax+ b)c = a−k(c)(−k,1)(ax+ b)c+k pois temos
DkD−k(ax+ b)c = a−k(c)(−k,1)Dk(ax+ b)c+k = a−k(c)(−k,1)ak(c+ k)(k,1)(ax+ b)c
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 17
mas temos (c)(−k,1)(c+ k)(k,1) = 1 logo
DkD−k(ax+ b)c = (ax+ b)c
e como temos Dk(ax+ b)c = ak(c)(k,1)(ax+ b)c−k aplicando D−k
D−kDk(ax+b)c = ak(c)(k,1)D−k(ax+b)c−k = ak(c)(k,1)a−k(c−k)(−k,1)(ax+b)c = (ax+b)c.
D−k(ax+ b)c = a−k(c)(−k,1)(ax+ b)c+k
Enta˜o temos que a mesma fo´rmula vale para k inteiro positivo e negativo.
Exemplo 4. Calcule a k-e´sima derivada de
f(x) =
(b+ ax)n+1
a(n+ 1)
.
Dk
(b+ ax)n+1
a(n+ 1)
=
ak(n+ 1)(k,1)(b+ ax)n+1−k
a(n+ 1)
= ak−1(n)(k−1,1)(b+ ax)n+1−k
logo temos tambe´m
D−k
(b+ ax)n+1
a(n+ 1)
= a−k−1(n)(−k−1,1)(b+ ax)n+k+1 = a−(k+1)(n)(−(k+1),1)(b+ ax)n+k+1
1.8.1 Dksen(ax), Dkcos(ax).
Vale
Dksen(ax) = aksen(ax+
kpi
2
).
Dkcos(ax) = akcos(ax+
kpi
2
).
Provamos por induc¸a˜o sobre n = k. Para n = 0 vale a igualdade. Supondo a validade
para n vamos provar para n+ 1
Dn+1sen(ax) = an+1cos(ax+
npi
2
) = an+1sen(ax+
(n+ 1)pi
2
).
Tomando
Dksen(ax) = aksen(ax+
kpi
2
)
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 18
e derivando em ambos lados segue que
aDkcos(ax) = aakcos(ax+
kpi
2
)
Dkcos(ax) = akcos(ax+
kpi
2
).
Exemplo 5. Podemos escrever uma se´rie de Taylor como
f(x) =
∞∑
k=0
[Dkf(x0)]
(x− x0)k
k!
no caso do seno, temos Dkf(x0) = sen(x0 +
kpi
2
),
f(x) =
∞∑
k=0
sen(x0 +
kpi
2
)
(x− x0)k
k!
se fosse x0 =
pi
4
ter´ıamos
f(x) =
∞∑
k=0
sen(
pi
4
+
kpi
2
)
(x− pi
4
)k
k!
Exemplo 6. Calcule a de´cima derivada de cos(3x). Vale
D10cos(3x) = 310cos(3x+ 5pi) = −310cos(3x).
1.8.2 Derivada de f(x)g(x)
Df(x)g(x) = Deg(x) ln f(x) = (g′(x) ln f(x) +
g(x)f ′(x)
f(x)
)f(x)g(x).
em especial se f(x) = a, f ′(x) = 0 e da´ı tem-se
Dag(x) = ag(x)g′(x) ln(a).
1.8.3 Derivada de ax
Se a > 0 escrevemos ax = eln a
x
= ex ln a, aplicando a derivada tem-se Dax = Dex ln a =
ln aex ln a = ln a.ax, enta˜o
Dax = ln a.ax.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 19
1.8.4 Derivada de xx
Exemplo 7. Calcular a derivada de xx.
Escrevemos xx = ex lnx, da´ı derivamos
Dxx = Dex lnx = (ln x+ 1)xx
Dxx = (ln x+ 1)xx.
Exemplo 8 (IME-1963). Derive a func¸a˜o y = ex
x
.
Usamos o exemplo anterior y′ = (xx)′ex
x
= (ln x+ 1)xxex
x
.
y′ = (ln x+ 1)xxex
x
.
1.9 Derivada do produto
Sabemos que vale a regra da derivada do produto (f.g)′ = f ′.g+f.g′, vamos generalizar
o resultado para o produto de n func¸o˜es.
Propriedade 30.
D(
n∏
k=1
fk(x)) =
n∑
s=1
n∏
k=1
Dδ(s,k) [fk(x)]
lembrando que δ(s,k) e´ o delta de kronecker, que vale 1 se k = s e 0 se k 6= s e vale
D0f(x) = f(x) e D1f(x) = Df(x) a derivada.
Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n, para n = 0
D(
0∏
k=1
fk(x)) =
0∑
s=1
0∏
k=1
Dδ(s,k) [fk(x)]
O produto e´ vazio sendo 1 e D(1) = 0, no lado direito a soma e´ vazia sendo 0. Vale
tambe´m para n = 1, pois
D(
1∏
k=1
fk(x)) = D(f1(x)) =
1∑
s=1
1∏
k=1
Dδ(s,k) [fk(x)] = D
δ(1,1) [f1(x)].
Supondo para n
D(
n∏
k=1
fk(x)) =
n∑
s=1
n∏
k=1
Dδ(s,k) [fk(x)]
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 20
vamos provar para n+ 1
D(
n+1∏
k=1
fk(x)) =
n+1∑
s=1
n+1∏
k=1
Dδ(s,k) [fk(x)].
D[f(n+1)(x)
n∏
k=1
fk(x)] = D[fn+1(x)]
n∏
k=1
fk(x) + f(n+1)(x)D[
n∏
k=1
fk(x)] =
= D[fn+1(x)]
n∏
k=1
fk(x) + f(n+1)(x)
n∑
s=1
n∏
k=1
Dδ(s,k) [fk(x)] =
=
n+1∏
k=1
Dδ(n+1,k) [fk(x)] +
n∑
s=1
n+1∏
k=1
Dδ(s,k) [fk(x)] =
n+1∑
s=1
n+1∏
k=1
Dδ(s,k) [fk(x)] .
Propriedade 31. Seja f(x) =
n∏
k=1
[gk(x)]
ak enta˜o
Df(x) = f(x)
n∑
s=1
as
g′s(x)
gs(x)
.
Demonstrac¸a˜o. Usando a expressa˜o para derivada do produto tem-se
Df(x) =
n∑
s=1
(
s−1∏
k=1
[gk(x)]
ak).(asg
′
s(x)[gs(x)]
as−1).(
n∏
k=1+s
[gk(x)]
ak) =
=
n∑
s=1
(
s−1∏
k=1
[gk(x)]
ak).(asg
′
s(x)
[gs(x)]
as
gs(x)
).(
n∏
k=1+s
[gk(x)]
ak) =
=
n∑
s=1
(
s−1∏
k=1
[gk(x)]
ak)[gs(x)]
as .(
n∏
k=1+s
[gk(x)]
ak)︸ ︷︷ ︸
f(x)
(
asg
′
s(x)
gs(x)
) =
= f(x)
n∑
s=1
asg
′
s(x)
gs(x)
.
Corola´rio 7. Sendo f(x) =
n∏
k=1
(x− xk) temos
D[
n∏
k=1
(x− xk)] =
n∑
s=1
n∏
k=1
Dδ(s,k)(x− xk) =
n∑
s=1
s−1∏
k=1
(x− xk)
n∏
k=s+1
(x− xk).
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 21
Logo
f ′(x)
f(x)
=
n∑
s=1
s−1∏
k=1
(x− xk)
n∏
k=s+1
(x− xk)
s∏
k=1
(x− xk)(x− xs)
n∏
k=s+1
(x− xk)
=
n∑
s=1
1
x− xs .
Sendo f(x) =
n∑
k=0
xk enta˜o f(1) = n + 1 , f ′(x) =
n∑
k=0
kxk−1 e da´ı f ′(1) =
n∑
k=0
k =
(n+ 1)(n)
2
enta˜o
f ′(1)
f(1)
=
n
2
=
n∑
s=1
1
1− xs
1.10 Derivada logar´ıtmica
A derivada logar´ıtmica, consiste em tomar o logaritmo de uma expressa˜o e depois
deriva´-la, ela facilita muito obtenc¸a˜o de fo´rmulas de derivada do produto de func¸o˜es.
Propriedade 32. Seja
f(x) =
n∏
k=1
pk(x)
gk(x)
enta˜o
f ′(x) = f(x)
n∑
k=1
(
p′k(x)
pk(x)
− g
′
k(x)
gk(x)
)
Demonstrac¸a˜o. Tomando o logaritmo em ambos lados, tem-se
ln f(x) = ln
n∏
k=1
pk(x)
gk(x)
=
n∑
k=1
(
ln pk(x)− ln gk(x)
)
derivando tem-se
f ′(x)
f(x)
=
n∑
k=1
(
p′k(x)
pk(x)
− g
′
k(x)
gk(x)
)
logo
f ′(x) = f(x)
n∑
k=1
(
p′k(x)
pk(x)
− g
′
k(x)
gk(x)
)
.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 22
1.11 Derivada de poteˆncia de func¸o˜es trigonome´tricas
Exemplo 9. Outra maneira
(eix + e−ix)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
ekixeix(−n+k) =
n∑
k=0
(
n
k
)
ekixeix(−n+k) =
n∑
k=0
(
n
k
)
eix(2k−n)
pore´m eix + e−ix = 2cos(x), de onde segue
2n.cosn(x) =
n∑
k=0
(
n
k
)
eix(2k−n)
como o resultado deve ser real a soma na parte complexa deve ser nula, enta˜o vale
n∑
k=0
(
n
k
)
sen(x(2k − n)) = 0.
e
cosn(x) =
1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
cos((n− 2k)x).
Corola´rio 8. Podemos integrar e derivar facilmente cosn(x)
Dcosn(x) =
1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
D[cos((n− 2k)x)] = − 1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
(n− 2k)[sen((n− 2k)x)]
Dncosn(x) =
1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
(n− 2k)[sen((2k − n)x)]
aplicando a integral segue
ˆ
cosn(x)dx =
1
2n
n∑
k=0
(
n
k
) ˆ
[cos((n−2k)x)]dx = 1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
[
1
(n− 2k)sen((n−2k)x)]dx
ˆ
cosn(x)dx =
1
2n
n∑
k=0
(
n
k
)
[
1
(n− 2k)sen((n− 2k)x)]dx.
Exemplo 10. Sabemos que
eix − e−ix = 2isen(x)
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 23
, elevamos a poteˆncia n
(eix − e−ix)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
eixkeix(−n+k)(−1)n+k = (2i)nsenn(x)
(2i)nsenn(x) =
n∑
k=0
(
n
k
)
eix(−n+2k)(−1)n+k
separamos o caso par do ı´mpar, para 2n temos
(4n)(−1)nsen2n(x) =
2n∑
k=0
(
2n
k
)
eix(−2n+2k)(−1)2n+k =
2n∑
k=0
(
2n
k
)
eix(−2n+2k)(−1)k =
nesse caso a parte complexa deve ser nula e a soma deve ser o valor da parte real
da´ı
sen2n(x) =
1
4n
2n∑
k=0
(
2n
k
)
cos[(2n− 2k)(x)](−1)n+k
e
2n∑
k=0
(
2n
k
)
sen[(2n− 2k)(x)](−1)k = 0.
Tomandoagora o caso n ı´mpar, tem-se
(2)2n+1(−1)n.isen2n+1(x) =
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
eix(−2n−1+2k)(−1)k+1
agora a parte real deve ser nula e a parte complexa fornece a soma
sen2n+1(x) =
1
(2)2n+1
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
sen[(2n+ 1− 2k)x](−1)k+n
e
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
cos[(2n+ 1− 2k)x](−1)k = 0.
Enta˜o valem as expresso˜es
sen2n+1(x) =
1
(2)2n+1
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
sen[(2n+ 1− 2k)x](−1)k+n
sen2n(x) =
1
4n
2n∑
k=0
(
2n
k
)
cos[(2n− 2k)(x)](−1)n+k.
CAPI´TULO 1. DERIVADAS 24
Corola´rio 9. Podemos derivar e integrar as expresso˜es chegando em
ˆ
sen2n(x)dx =
1
4n
2n∑
k=0
(
2n
k
)
1
(2n− 2k)sen[(2n− 2k)(x)](−1)
n+k
Dsen2n(x) =
1
4n
2n∑
k=0
(
2n
k
)
(2n− 2k)sen[(2k − 2n)(x)](−1)n+k
Dsen2n+1(x) =
1
(2)2n+1
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
(2n+ 1− k)cos[(2n+ 1− 2k)x](−1)k+n
ˆ
sen2n+1(x)dx = − 1
(2)2n+1
2n+1∑
k=0
(
2n+ 1
k
)
1
(2n+ 1− 2k)cos[(2n+ 1− 2k)x](−1)
k+n