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CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL
Limites e continuidade
Profa. Dra. Cláudia Aline A. S. Mesquita
Profa. Dra. Grasiele Cristiane Jorge
Profa. Dra. Vanessa Gonçalves Paschoa Ferraz
(Material em fase de construção e aprimoramento)
ICT - UNIFESP - São josé dos Campos
Limites e continuidade
0.1 Noção intuitiva de limite e continuidade
Considere as seguintes funções
g(x) = x+ 1, h(x) =
x2 − 1
x− 1 ,
u(x) =

x2 − 1
x− 1 , se x 6= 1
3, se x = 1
e v(x) =
 x+ 1, se x < 1x, se x ≥ 1
Vamos analisar o comportamento destas no ponto x = 1 e em suas proximidades.
Preencha a tabela abaixo com o valor das funções nos pontos dados:
1
1. Mostre que g, h, u e v são iguais para todo x ∈ R com x < 1.
2. O que ocorre com estas funções quando x = 1? e quando x > 1?
3. Faça um esboço do gráfico das funções g, h, u e v, destacando o comportamento
destas no ponto x = 1.
Para estudar o comportamento das funções nas proximidades de um determinado
ponto p do domínio, usaremos dois conjuntos: um de valores reais maiores que p (valores
à direita de p), e outro de valores reais menores que p (valores à esquerda de p). Quando
nos aproximarmos de p com valores maiores que p, diremos que "x tende a p pela
direita" e usaremos a seguinte notação
x→ p+,
Da mesma maneira, quando nos aproximarmos de p com valores menores que p diremos
que "x tende a p pela esquerda" e usaremos a seguinte notação
x→ p−.
2
Limites laterais
Observe o gráfico e os valores obtidos na tabela para a função g. Note que, quando x
se aproxima de 1 pela direita, o valor de g(x) se aproxima de 2. Quando isto ocorre
dizemos que "o limite da função f quando x tende a 1 pela direita é igual a 2",
e denotamos da seguinte forma
lim
x→1+
g(x) = 2.
Analogamente, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, o valor de g(x) se aproxima de
2. Quando isto ocorre dizemos que "o limite da função g quando x tende a 1 pela
esquerda é igual a 2", e denotamos da seguinte forma
lim
x→1−
g(x) = 2.
De maneira mais geral temos as seguintes descrições informais de limites laterais (ire-
mos ainda definir de maneira rigorosa estes conceitos)
'
&
$
%
Definição: Seja f uma função com valores reais. Escrevemos
lim
x→p+
f(x) = L
e dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p pela direita é igual a L, se
os valores de f(x) tornam-se arbitrariamente próximos de L quando x se aproxima
suficientemente de p pela direita.
Da mesma forma, escrevemos
lim
x→p−
f(x) =M
e dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p pela esquerda é igual a
M , se os valores de f(x) tornam-se arbitrariamente próximos de M quando x se
aproxima suficientemente de p pela esquerda
3
• Quais os limites laterais das funções h, u e v quando x se aproxima do ponto 1 pela
esquerda ou pela direita?
Limite
Note que, para a função g temos que
lim
x→1+
g(x) = lim
x→1−
g(x) = 2.
Quando isto ocorre, dizemos que "o limite de g(x) quando x tende a 1 é igual a 2",
e denotamos da seguinte forma
lim
x→1
g(x) = 2.
Essa discussão nos leva a uma descrição (informal) de limite.
'
&
$
%
Definição: Seja f uma função com valores reais. Escrevemos
lim
x→p
f(x) = L
e dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p é igual a L, se os valores
de f(x) tornam-se arbitrariamente próximos de L quando x se aproxima suficiente-
mente de p pela direita ou pela esquerda. Isto é, quando tivermos a igualdade
lim
x→p+
f(x) = lim
x→p−
f(x) = L.
Observação 1: Quando os limites laterais de uma função f em um ponto p são
diferentes, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a p não existe.
• Qual o limite das funções h, u e v quando x tende a 1?
4
• Qual o limite de v quando x tende a 0?
Continuidade
Um conceito que está intimamente ligado a ideia de limite, é o de continuidade. Intuiti-
vamente, podemos dizer que
Uma função f é contínua em um ponto p de seu domínio se o gráfico desta
não apresenta salto em p.
Comparando os gráficos, podemos ver que o gráfico de g não apresenta "salto"no ponto
x = 1. Diferente das funções h, u e v, que por sua vez apresentam "salto"em x = 1. Dessa
maneira, podemos concluir que, no ponto x = 1, a função g é contínua, porém, as funções
h, u e v não.
Observação 2: Se f está definida próximo de um ponto p mas não é contínua neste
ponto, dizemos que f é descontínua em p, ou ainda que f tem uma descontinuidade
em p
É razoável esperar que se f estiver definida em p e for contínua em p, então
lim
x→p
f(x) = f(p).
De fato, vemos que no ponto x = 1 temos que
lim
x→1
g(x) = g(1),
o mesmo não ocorre para as funções h, u e v:
lim
x→1
h(x) = 2 6= h(1), pois h não está definida em x = 1,
lim
x→1
u(x) = 2 6= u(1) = 3,
5
lim
x→1
v(x) não existe.
Assim, podemos descrever continuidade usando a seguinte afirmação que provaremos
mais tarde:
'
&
$
%
Definição: Uma função f é contínua em um ponto p se e somente se
lim
x→p
f(x) = f(p)
Exercícios
• Utilizando a ideia intuitiva de limite e continuidade, calcule:
a) lim
x→1
(x+ 2)
b) lim
x→0
(x2 + 3)
c) lim
x→0
x2 + x
x
d) lim
x→1/2
4x2 − 1
2x− 1
e) lim
x→0
sinx
Limites infinitos
Considere a seguinte função
f(x) =
1
x2
.
Sabemos que f não está bem definida em x = 0. Estamos interessados em analisar o
comportamento desta função nas proximidades deste ponto. Para isso, preencha a tabela
6
de valores numéricos para f :
e esboce o gráfico de f(x) =
1
x2
.
Note que, à medida que x se aproxima de 0, os valores de 1/x2 crescem indefinida-
mente. Isto se dá, pois, neste caso, x2 também se aproxima de 0, e portanto 1/x2 fica
arbitrariamente grande e não se aproxima de nenhum valor, isto é, lim
x→0
1
x2
não existe.
Para indicar este comportamento da função f , usamos a seguinte notação:
lim
x→0
1
x2
= +∞.
Em geral, temos'
&
$
%
Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de p, exceto possi-
velmente em p. Então,
lim
x→p
f(x) = +∞
indica que os valores de f(x) ficam arbitrariamente grandes (tão grande quanto
quisermos) tomando x suficientemente próximo de p, mas não igual a p.
7
Observação 1: Note que, podíamos ter uma função g tal que −g(x) fica arbitrari-
amente grande, quando tomamos x suficientemente próximo de p, mas não igual a p. Por
exemplo, a função
g(x) = − 1
x2
tem esse comportamento, visto que −g(x) = f(x). Neste caso, denotamos da seguinte
forma
lim
x→p
g(x) = −∞
Observação 2: Usar a notação acima NÃO significa considerar∞ como um número,
muito menos significa que o limite exista. Isto é simplesmente uma maneira de expressar,
de uma forma particular, a não existência do limite.
Observando o gráfico da função f podemos notar que esta chega muito perto do eixo
y (ou da reta x = 0), mas não o toca. Neste caso, dizemos que a reta x = 0 é uma
assíntota vertical de f .
Mais geralmente, temos
'
&
$
%
Definição: Se pelo menos uma das condições abaixo forem satisfeitas
lim
x→p
f(x)∞ lim
x→p+
f(x) =∞ lim
x→p−
f(x) =∞
lim
x→p
f(x) = −∞ lim
x→p+
f(x) = −∞ lim
x→p−
f(x) = −∞
, então, a reta x = p será chamada assíntota vertical da curva y = f(x).
Comportamento oscilante
Considere a seguinte função
f(x) = sen
1
x
.
8
Queremos estudar o comportamento desta função quando x se aproxima de 0. Preencha
a tabela de valores para f .
e esboce o gráfico de f(x) = sen
1
x
.
Note que, a medida que x se aproxima de 0, os valores de 1/x crescem indefinidamente,
porém, os valores de sen
1
x
oscilam entre 1 e −1. De fato, não importa quão próximo
estejamos de 0, sempre é possível escolher valores x1 e x2, mais próximos ainda, tal que
sen
1
x1
= 1 esen
1
x2
= −1. Assim, o limite não existe.
Em resumo, até aqui temos três tipos de comportamentos associados à não-existência
de um limite.'
&
$
%
1. f(x) possui limites laterais distintos quando x tende a p;
2. f(x) aumenta ou diminui ilimitadamente quando x tende a p;
3. f(x) oscila entre dois valores fixos quando x tende a p.
9
• Seja f(x) = 1/x. Esboce o gráfico de f, identifique os limites laterais nos pontos de
indeterminação e as assíntotas verticais.
• Encontre as assíntotas verticais e confirme sua resposta fazendo o gráfico das funções
abaixo
a) f(x) = tgx
b) g(x) = lnx
c) h(x) =
x
x2 − x− 2
• Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é
m =
m0√
1− v2/c2 ,
em quem0 é a massa da partícula no repouso e c a velocidade da luz. O que acontece
se v → c?
• Considere a função maior inteiro, que é denotada por [x] e definida da seguinte
maneira: associa a cada número real x, o maior inteiro que é menor ou igual a x.
Por exemplo, [4, 8] = 4, [4] = 4, [pi] = 3, e [
√
2] = 1.
� Esboce o gráfico desta função
� mostre que lim
x→1
[x] não existe
� Existe algum p ∈ R para o qual lim
x→p
[x] existe? justifique.
10
Cálculo de limites usando suas leis
Muitas vezes conhecer o limite de algumas funções simples ou usuais, é muito para poder-
mos calcular o limite de certas funções mais elaboradas. Isto é possível usando algumas
propriedades dos limites, chamadas Leis de limites'
&
$
%
Leis do limite: Considere c uma constante e suponha que os seguintes limites
existam
lim
x→p
f(x) e lim
x→p
g(x).
Então,
• lim
x→p
[f(x) + g(x)] = lim
x→p
f(x) + lim
x→p
g(x)
• lim
x→p
[f(x) + g(x)] = lim
x→p
f(x) + lim
x→p
g(x)
• lim
x→p
[cf(x)] = c lim
x→p
f(x)
• lim
x→p
[f(x)g(x)] = lim
x→p
f(x). lim
x→p
g(x)
• lim
x→p
[
f(x)
g(x)
] =
lim
x→p
f(x)
lim
x→p
g(x)
se lim
x→p
g(x) 6= 0
Não é difícil acreditar que tais propriedades são verdadeiras usando a ideia intuitiva
de limite. Mais para frente, provaremos algumas dessas propriedades usando a definição
precisa de limite.
• Usando as leis acima, o que podemos concluir sobre lim
x→p
[f(x)]n?
• Calcule os seguintes limites
a) lim
x→p
c
b) lim
x→p
x
• Agora, usando as propriedades e os limites da questão anterior, calcule lim
x→p
xn.
11
Podemos também verificar um limite para as raízes da forma a seguir.#
"
 
!
lim
x→p
n
√
x = n
√
p, onde n é um inteiro positivo (se n for par, supomos p > 0).
Mais geralmente, temos a seguinte lei, que é demonstrada como uma consequência do
resultado anterior.'
&
$
%
lim
x→p
n
√
f(x) = n
√
lim
x→p
f(x), onde n é um inteiro positivo
(se n for par, supomos lim
x→a
f(x) > 0).
O teorema abaixo expande nossas ferramentas para o cálculo de limites, visto que
mostra como analisar o limite em uma função composta.'
&
$
%
Sejam f e g funções tais que lim
x→p
g(x) = L e lim
x→L
f(x) = f(L), então
lim
x→p
f(g(x)) = f(lim
x→p
g(x)) = f(L).
• Calcule os seguintes limites justificando cada passagem
a) lim
x→5
(2x2 − 3x+ 4)
b) lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x
Observação: Note que as funções acima são do tipo algébricas (isto é, podem ser
construídas usando-se operações algébricas entre polinômios). Logo, desde que estas são
contínuas em seu domínio, também poderíamos ter calculado os limites acima, substi-
tuindo diretamente 5 em x.
• Encontre os seguintes limites:
a) lim
x→0
|x|
12
b) lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
c) lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
d) lim
x→7
√
x− 2− 3
x− 7
e) lim
x→−4
x2 + 5x+ 4
x2 + 3x− 4
• lim
x→0
|x|
x
existe? Justifique
Abaixo enunciaremos um teorema que nos garante uma propriedade adicional de limite.'
&
$
%
Teorema do confronto: Se g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p
(exceto possivelmente em p) e
lim
x→p
g(x) = lim
x→p
h(x) = L,
então lim
x→p
f(x) = L.
A utilidade do teorema do confronto (ou teorema de sanduíche) pode ser observada
no cálculo do seguinte limite:
lim
x→0
x2sen
1
x
De fato, desde que
−1 ≤ sen 1
x
≤ 1,
Multiplicando a desigualdade por x2 obtemos
−x2 ≤ x2sen 1
x
≤ x2.
Como lim
x→0
−x2 = 0 e lim
x→0
x2 = 0, então, pelo teorema do confronto,
lim
x→0
x2sen
1
x
= 0
13
• Use o Teorema do confronto para mostrar que lim
x→0
x2 cos 20pix = 0.
• Se 1 ≤ f(x) ≤ tg(pix
4
) para todo x, encontre lim
x→1
f(x).
A Definição formal de limite
Examinando a descrição informal de um limite, vemos que os significados exatos não
foram ainda dados à duas sentenças:
"f(x) torna-se arbitrariamente próximos de L"
e
"x se aproxima suficientemente de p".
Para motivar a definição precisa de limite, vamos considerar a seguinte função
g(x) =
 2x− 1, sex 6= 36 sex = 3
Para obter mais detalhes sobre o limite da função g(x) quando x se aproxima de 3,
por exemplo, podemos nos perguntar: Quão próximo de 3 deverá estar x para que f(x)
difira de 5 por menos que 0, 1?
Assim, nosso problema é achar um número, que denotaremos por δ, tal que
|f(x)− 5| < 0, 1 se |x− 3| < δ com x 6= 3.
• Mostre que |f(x)− 5| = 2|x− 3|.
• Usando o item anterior mostre que se δ é igual a 0, 05.
14
• Responda a pergunta feita no início da seção: Quão próximo de 3 deverá estar x
para que f(x) difira de 5 por menos que 0,1?
15
Para que o número 5 seja precisamente o limite de f(x), quando x tende a 3, devemos
ser capazes de tornar a diferença |f(x) − 5| menor que qualquer número positivo. Se
chamarmos ε a um número positivo qualquer, vemos pelas conclusões anteriores que,
0 < |x− 3| < ε
2
implica que |f(x)− 5| = 2|x− 3| < ε.
Esta é uma maneira precisa de dizer que f(x) está próximo de 5 quando x está suficien-
temente próximo de 3.
Segue abaixo uma definição precisa de limite:'
&
$
%
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo p
(exceto possivelmente em p) e seja L um número real. Dizemos que o o limite de
f(x) quando x tende a p é L, e escrevemos
lim
x→p
f(x) = L,
se para todo número ε > 0 existe um número correspondente δ > 0 tal que
|f(x)− L| < ε se 0 < |x− p| < δ.
O gráfico nos dá uma ideia de qual a relação entre ε e δ:
Os limites laterais também podem ser definidos precisamente da seguinte forma
16
'
&
$
%
Definição (limite esquerdo): Escrevemos
lim
x→p−
f(x) = L,
se para todo número ε > 0 existe um número correspondente δ > 0 tal que
|f(x)− L| < ε se p− δ < x < p.
'
&
$
%
Definição (limite direito): Escrevemos
lim
x→p+
f(x) = L,
se para todo número ε > 0 existe um número correspondente δ > 0 tal que
|f(x)− L| < ε se p < x < p+ δ.
E também podemos definir de maneira precisa o significado da notação abaixo.'
&
$
%
Escrevemos
lim
x→p
f(x) = +∞,
se para todo número M > 0 existe um número correspondente δ > 0 tal que
|f(x)| > M se |x− p| < δ.
Da mesma forma, escrevemos
lim
x→p
f(x) = −∞,
se para todo número M > 0 existe um número correspondente δ > 0 tal que
|f(x)| < −M se |x− p| < δ.
• Encontre os limites abaixo, e prove sua afirmação usando a definição.
a) lim
x→2
(x2 − 4x+ 5)
b) lim
x→−5
(4− 3x
5
)
17
c) lim
x→9−
4
√
9− x
d) lim
x→3
x2
• Seja f a função constante f(x) = c. Prove que lim
x→p
f(x) = c para qualquer ponto
p ∈ R, usando a definição.
• Mostre que lim
x→0
1
x2
= 0 usando a definição.
0.1.1 Limites fundamentais
Limite fundamental trigonométrico
Por uma analise geométrica do comportamento da função sen x, sabemos que existe
um r > 0 tal que
0 < sen x < x < tg x,
para 0 < x < r. Dividindo-se a desigualdadepor sen x obtemos
1 <
x
sen x
<
1
cosx
.
Portanto, para 0 < x < r,
cosx <
sen x
x
< 1.
Por outro lado, se −r < x < 0 então 0 < −x < r e
cos(−x) < sen (−x)−x < 1.
Como cos(−x) = cos x e sen (−x)−x =
sen x
x
, então para −r < x < 0 vale
cosx <
sen x
x
< 1.
Assim, para todo x, como 0 < |x| < r,
cosx <
sen x
x
< 1.
Desde que lim
x→0
cosx = 1, pelo teorema do confronto,ff
�
�
�
lim
x→0
sen x
x
= 1
18
Limite fundamental exponencial
Uma das maneiras de definir o número de Euler e, é como o seguinte limite:ff
�
�
�
lim
x→0
(1+x)1/x = e
Por enquanto, assuma que o limite seja verdadeiro (demonstraremos este fato em outro
momento do curso). A função f(x) = (1+x)1/x é muito comum no estudo da matemática
financeira, quando tratamos de juros compostos e títulos de capitalização.
• Mostre que usando o limite acima, obtemos o seguinte resultado mais geral:
lim
x→0
(1 + kx)1/x = ek
• Usando o limite fundamental e as propriedades de limite, mostre que
lim
x→0
ax − 1
x
= ln a
Exercícios:
1. Calcule os limites abaixo
a) lim
x→0
1− cosx
x2
b) lim
x→0
sen 5x
x
19
c) lim
x→0
tg x
x
d) lim
x→0
tg 3x
sen 4x
e) lim
x→0
x− tg x
x+ tg x
f) lim
x→0
1− cosx
x
g) lim
x→0
x+ sen x
x2 − sen x
2. Calcule os seguintes limites usando o limite fundamental exponencial
a) lim
x→0
(1− x)1/x
b) lim
x→0
(
e3x − 1
x
)1/x
c) lim
x→0
2x − 25x
x
c) lim
x→0
(
1− x
1 + x
)1/x
3. Seja f(x) = e2x. Calcule o seguinte limite
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
20
Limites no infinito; Assíntotas horizontais
Agora, estudaremos o comportamento de uma função quando x cresce ou decresce indefi-
nidamente, isto é, quando x tende a +∞, ou x tende a −∞, ou ainda, quando |x| tende
a +∞ . Considere a função
f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
.
O gráfico de f é dado na figura abaixo:
Note que quanto maior o x, mais próximos de 1 ficam os valores de f(x). Podemos
expressar isto escrevendo
lim
x→∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1.
Da mesma maneira, quando x decresce indefinidamente (isto é, cresce em valor absoluto,
mas é negativo), os valores da função f também ficam próximos de 1.
Em geral, usamos a seguinte notação'
&
$
%
lim
x→∞
f(x) = L
para significar que os valores de f(x) podem ficar tão próximos quanto quisermos
de L tomando x suficientemente grande.
E
lim
x→−∞
f(x) = L
para significar que os valores de f(x) podem ficar tão próximos quanto quisermos
de L tomando x suficientemente grande em valor absoluto, mas negativo.
Uma definição que agora pode ser introduzida é a de assíntota horizontal�
ffi
fi
fl
A reta y = L é chamada assíntota horizontal do gráfico de f se
lim
x→−∞
f(x) = L ou lim
x→∞
f(x) = L.
21
Observação: Todas as propriedades de limite que vimos também são válidas se x→ a
for substituído por x → +∞ ou x → −∞ (por exemplo, o limite da soma é a soma dos
limites, o limite do produto é o produto dos limites e Teorema do confronto).
• Dado o gráfico da função f abaixo:
Encontre os limites infinitos, limites no infinito e assíntotas para a função f .
• Considere a função f(x) = 1
x
. Esboce o gráfico e analise os limites no infinito e os
limites infinitos desta função.
Observação: Um resultado muito útil no cálculo do limite de algumas funções é o
seguinte'
&
$
%
Se r > 0 for um número racional, então
lim
x→∞
1
xr
= 0.
Se r > 0 for um número racional tal que xr seja definida para todo x, então
lim
x→−∞
1
xr
= 0.
22
Limites infinitos no infinito
Considere a função f(x) = x2, e seu gráfico
Note que quando x cresce em valor absoluto, o valor de f(x) cresce indefinidamente.
Podemos expressar isto da seguinte forma
lim
x→∞
x2 =∞,
e também,
lim
x→−∞
x2 =∞.
De maneira mais geral, temos as seguintes notações:
23
'
&
$
%
lim
x→+∞
f(x) = +∞
para significar que os valores de f(x) podem ficar tão grandes quanto quisermos, se
tomarmos x suficientemente grande;
lim
x→+∞
f(x) = −∞
para significar que os valores de f(x) podem ficar tão grandes em valor absoluto,
mas negativo, quanto quisermos, se tomarmos x suficientemente grande;
lim
x→−∞
f(x) = +∞
para significar que os valores de f(x) podem ficar tão grandes em valor quanto
quisermos, se tomarmos x suficientemente grande em valor absoluto, mas negativos;
lim
x→−∞
f(x) = −∞
para significar que os valores de f(x) podem ficar tão grandes em valor absoluto,
mas negativo, quanto quisermos se tomarmos x suficientemente grande em valor
absoluto, mas negativos.
• Encontre
a) lim
x→+∞
x5 + x4 + 1
2x5 + x+ 1
b) lim
x→∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1
c) lim
x→−∞
√
2x2 − 1
3x− 5
• Esboce o gráfico de y = (x − 2)4(x + 1)3(x − 1) achando seus interceptos e seus
limites quando x→∞ e x→ −∞.
24