2017821 94952 PRIC MODULO+1 SERIE+DE+FOURIER (3)

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PRCOM-PRINCIPIOS DE COMUNICAÇOES
Unidade 1: Série de Fourier
1 – INTRODUÇÃO
Acontece que em muitas vezes (que são a grande maioria dos casos em Telec), não são suficientes os dados de uma forma de onda, sendo necessário saber algo sobre as componentes de freqüência do sinal estudado, qual a potência consumida por cada uma delas e etc, e esses complementos são obtidos através da decomposição da função em senos e cossenos, que facilitam o estudo(SERIE DE FOURIER).
2 – Série de Fourier 
Calculo do valor Médio
a) Calculo de ao/2 : 
 
Aproveitando a definição de valor médio como a relação entre a área apresentada pela função em um período e o valor do período, podemos ainda escrever:
Calculo de an e bn
Cálculo de an:
 
Cálculo de bn:
A apresentação da Série Trigonométrica de Fourier admite, ainda simplificações, a saber:
a) Se a função f (t) for PAR, ou seja: f(t) = f(-t)
Então todos os termos bn serão nulos e a decomposição da função só terá SENOS.
b) Se a função f(t) for IMPAR, ou seja: f(t) = - f(-t)
Então todos os termos an serão nulos e a decomposição da função só terá COSENOS 
c)Se a área sob o eixo dos X for igual a área sobre o eixo dos X, teremos AM igual a zero (AM=0).
Exemplo numérico 
Seja a seguinte função f(t). 
Determine a função trigonométrica de FOURIER.
Calculo do Período: T0 = 4 ms
Calculo da frequência: f0 =1/T0 = 250Hz
Calculo de w0=2x/T0=/2(krad/s)
Calculo do AM=a0/2=A/T0 :
	Área sobre o eixo: A=A1+A2=20
	A1=10x(1-0)=10
	A2=10x(4-3)=10
	AM=a0/2=A/T0=20/4=5(mV) 
Simplificações:
Podemos observar no gráfico, que f(t) é uma função par, já que qualquer que seja o valor de “t” a função f(t) será igual f(‑t).
Desta forma, os termos b, serão nulos.
bn = 0
Cálculo de an: 
 0
0
0
f(t) =5m+(20m/)cos(ot) –(20m/3)cos(3ot)+
 +(4m/)cos(5ot) – (20m/ 7)cos(7ot) + (20m/9)cos(9ot) – …
Para n=1
Para n=2
Para n=3
Para n=4
Para n=5
Para n=6
Obs.: Para analise de sinais em telecomunicações a função trigonométrica de FOURIER deve constar teoricamente no mínimo até o terceiro coeficiente de Fourier (terceiro harmônico) diferente de zero, ou seja:
f(t) =5m+(20m/)cos(ot) –(20m/3)cos(3ot)
 +(4m/)cos(5ot)
Desta forma para o exemplo necessitamos uma largura de faixa do meio, para uma boa comunicação igual:
BW≥ 5xfo
BW≥ 5x250
BW≥ 1250Hz
BwMIN TEORICO=1250Hz BwMIN PRATICO=1250Hz+BG
3 – Análise Espectrográfica 
3.1- Espectro de Amplitudes
f(t) =5m+(20m/)cos(ot) –(20m/3)cos(3ot) +(4m/)cos(5ot) –(20m/ 7)cos(7ot) +… 
=5m+(6,37m)cos(ot) –(2,12m)cos(3ot) +(1,27m)cos(5ot) –(0,9m)cos(7ot) +…
3.2 – Espectro de Potências
Para o valor médio:
P0=Vo2/R
Pn=Vn2/2.R
Supondo R=1Ω, teremos:
P0=52/1=25mw
P1=6,372/2=20,26mw
P3=2,212/2=2,25mw
P5=1,272/2=0,81mw
3.3 – Espectro de Fase
f(t) =5m+(6,37m)cos(ot) –(2,12m)cos(3ot)+ +(1,27m)cos(5ot) –(20m/ 7)cos(7ot) +…
Tomando como referencia cosseno, teremos.
Caso na função for cos(ot), em relação a referencia que é cos, teremos defasagem igual a zero.
Caso na função for – cos(ot), em relação a referencia que é cos, teremos defasagem igual a  ou – .
Caso na função for sen(ot), em relação a referencia que é cos, teremos defasagem igual a –/2.
Caso na função for – sen(ot), em relação a referencia que é cos, teremos defasagem igual a /2.
f(t) =5m+(6,37m)cos(ot) –(2,12m)cos(3ot)+ +(1,27m)cos(5ot) –(20m/ 7)cos(7ot) +…
Tomando como referencia cosseno, teremos.
Primeiro Termo: (6,37m)cos(ot), para referencia teremos defasagem igual a zero.
Segundo Termo: –(2,12m)cos(3ot), para referencia teremos defasagem igual a .
Terceiro Termo: +(1,27m)cos(5ot) , para referencia teremos defasagem igual a zero.
Quarto Termo: –(20m/ 7)cos(7ot) , para referencia teremos defasagem igual a .
1 - Desenvolver em série Trigonométrica de Fourier a função da figura .
2 - Dada a função v(t) da figura 1.14, determinar seu desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier, bem como os espectros de amplitudes, fases e potências.
3 - Dada a expressão:
i(t) = 2 + 3 cos (10t ) ‑ 2 cos (20t) + 0,5 sen(30t) (mA)
Determinar os espectros de amplitudes, fases e potências para a função i(t).
4 - É sabido que o espectro de fase de tensão e(t) é nulo (para qualquer frequência a fase é zero). Somando‑se a essa informação o espectro de potências:
Determinar o espectro de amplitude e o desenvolvimento em série de e(t). 
5– Determinar a expressão de i(t). São dados: 
6a Exercício: Seja os espectros abaixo, espectros de um determinado sinal, e que a RL=10Ω, determinar:
a)A expressão de Fourier do sinal. 
b)O espectro de potencia deste sinal.
Figura 1