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CÁLCULO NUMÉRICO 
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br 
Aula 16 
Splines 05/2014 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 3/27 
SPLINES 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 4/27 
¨  Se f (x) está tabelada em (n + 1) pontos e a aproximarmos 
por um polinômio de grau n que a interpola sobre os pontos 
tabelados, o resultado pode ser desastroso. 
¨  Veja o exemplo a seguir, onde aproximou-se f (x) por um 
polinômio de grau 5. 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 5/27 
P5 (x) 
f (x) 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 6/27 
¨  Uma alternativa é interpolar f (x) em grupos de poucos 
pontos, obtendo-se polinômios de grau menor, e impor 
condições para que a função de aproximação seja contínua e 
tenha derivadas contínuas até uma certa ordem. 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 7/27 
Aproximação Linear por Partes 
¨  Vejamos o caso de aproximação por uma por 
partes: 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 8/27 
Aproximação linear por partes 
¨  Observe que a função S1 (x) é contínua, mas não é derivável 
em (x0, x4), uma vez que S1’ (x) não existe para x = xi , 
1 ≤ i ≤ 3. 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 9/27 
¨  Podemos optar também por, a cada três pontos (xi , xi+1 , xi+2) 
passar um e, neste caso, teremos 
também garantia só de continuidade da função que vai 
aproximar f (x). 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 10/27 
¨  No caso das funções , a opção feita é aproximar a 
função tabelada, em cada subintervalo [xi , xi+1], por um 
polinômio de grau p, com algumas imposições. 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 11/27 
Definição 
¨  Considere a função f (x), definida em [a, b] e tabela nos 
pontos: 
a = x0 < x1 < ... < xn = b 
¨  Uma função Sp (x) é denominada com nós 
nos pontos xi , i = 0, 1, ..., n , se satisfaz as seguintes 
condições: 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 12/27 
Definição 
¨  Em cada subintervalo [xi , xi+1], i = 0, 1, ..., (n – 1), Sp (x) é 
um polinômio de grau p: sk (x); 
¨  Sp (x) é contínua e tem derivada contínua até ordem (p – 1) 
em [a, b]. 
¨  Se além disso, Sp (x) também satisfaz a condição: 
¤  Sp (xi) = f (xi), i = 0, 1, ..., n , 
 
ENTÃO, SERÁ DENOMINADA 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 13/27 
Spline Linear Interpolante 
¨  A função de f (x), S1 (x), nos nós 
x0 , x1 , ... , xn pode ser escrita em cada subintervalo [xi-1 , xi], 
i = 1, 2, ..., n, como: 
si x( ) = f xi−1( )
xi − x
xi − xi−1
+ f xi( )
x − xi−1
xi − xi−1
, ∀ x ∈ xi−1, xi[ ]
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 14/27 
EXEMPLO 1 
¨  Achar a função spline linear que interpola a função tabelada: 
i 0 1 2 3 
xi 1 2 5 7 
f(xi) 1 2 3 2,5 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 15/27 
EXEMPLO 1 
¨  Assim: 
S1 x( ) =
x, se x ∈ xi−1, xi[ ]
1
3 x + 4( ), se x ∈ xi−1, xi[ ]
1
2 −0,5x +8,5( ), se x ∈ xi−1, xi[ ]
#
$
%
%
%
&
%
%
%
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 16/27 
Spline Cúbica Interpolante 
¨  Uma , S3 (x), é uma função polinomial por 
partes, contínua, onde cada parte, sk (x), é um 
 no intervalo [xk-1 , xk], k = 1, 2, ..., n. 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 17/27 
Definição de Spline Cúbica 
¨  Supondo que f (x) esteja tabelada nos pontos xi , i = 0, 1, 
2, ..., n, a função S3 (x) é chamada 
de f (x) nos nós xi , se existem n polinômios de 
grau 3, sk (x), k = 1, 2, ... , n, tais que: 
 i) S3 (x) = sk (x) para , k = 1, ..., n; 
 ii) S3 (xi) = f (xi), i = 0, 1, ..., n; 
 iii) sk (xk) = sk+1 (xk), k = 1, 2, ..., (n - 1); 
 iv) s’k (xk) = s’k+1 (xk), k = 1, 2, ..., (n - 1); 
 v) s”k (xk) = s”k+1 (xk), k = 1, 2, ..., (n – 1). 
¨  
x ∈ xk−1, xk[ ]
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 18/27 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 19/27 
¨  Para simplicidade de notação, escreveremos: 
¨  Assim, o cálculo de S3 (x) exige a determinação de 4 
coeficientes para cada k , num total de : 
a1, b1, c1, d1, a2, b2, ... , an, bn, cn, dn 
sk x( ) = ak x − xk( )
3
+ bk x − xk( )
2
+ ck x − xk( )+ dk, k =1,2,!,n
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 20/27 
¨  Impondo as condições para que S3 (x) seja spline interpolante 
de f em x0, ..., xn, teremos: 
¤  (n + 1) condições para que S3 (x) interpole f (x) nos nós; 
¤  (n – 1) condições para que S3 (x) esteja bem definida nos nós 
(continuidade de S3 (x) em [x0 , xn]); 
¤  (n – 1) condições para que S3’(x) seja contínua em [x0, xn]; e 
¤  (n – 1) condições para que S3” (x) seja contínua em [x0, xn]. 
¨  Totalizando: n + 1 + 3(n – 1) = . 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 21/27 
¨  Como precisamos determinar 4n coeficientes, precisamos de 
, para determinar todos os coeficientes: 
a1, b1, c1, d1, a2, b2, ... , an, bn, cn, dn 
 
¨  Essas condições podem ser impostas de acordo com 
informações físicas do problema. 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 22/27 
¨  Podemos supor: 
¤  S3”(x0) = g0 = 0 e S3”(xn) = gn = 0, que é chamada , 
que é equivalente a supor que os polinômios cúbicos nos 
intervalos extremos ou são 
; 
¤  g0 = g1, gn = gn-1, que é equivalente a supor que as cúbicas são 
aproximadamente , nos extremos; 
¤  Impor valores para as inclinações em cada extremo, o que 
fornecerá duas equações adicionais. 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 23/27 
¨  Para satisfazer as condições de (i) à (v) de uma spline 
interpolante de f em x0, ..., xn. 
¨  Usando as notações sk” (xk) = gk e f (xk) = yk, teremos: 
¨  Vemos que os coeficientes estão relacionados com gj = sj”(xj). 
ak =
gk − gk−1
6hk
, bk =
gk
2 ,
ck =
yk − yk−1
hk
+
2hkgk + gk−1hk
6
"
#
$
%
&
', dk = yk
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 24/27 
¨  Para obter gj , ainda da condição (iv) (sk’(xk) = s’k+1 (xk), 
k = 1, 2, ..., (n - 1)), teremos: 
que é um sistema de equações lineares com (n – 1) equações 
(k = 1, ..., (n – 1)) e (n + 1) incógnitas: g0, g1, gn-1, gn . 
hkgk−1 + 2 hk + hk+1( )gk + hk+1gk+1 = 6
yk+1 − yk
hk+1
−
yk − yk−1
hk
"
#
$
%
&
'
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 25/27 
¨  Temos, então, um sistema indeterminado, Ax = b, onde 
x = (g0, g1, ..., gn)T. 
A =
h1 2 h1 + h2( ) h2
h2 2 h2 + h3( ) h3
! ! !
hn−1 2 hn−1 + hn( ) hn
"
#
$
$
$
$
$$
%
&
'
'
'
'
''
n−1( )× n+1( )
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 26/27 
b = 6
y2 − y1
h2
−
y1 − y0
h1
y3 − y2
h3
−
y2 − y1
h2
!
yn − yn−1
hn
−
yn−1 − yn−2
hn−1
"
#
$
$
$
$
$
$
$
$$
%
&
'
'
'
'
'
'
'
''
n−1( )×1
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 27/27 
¨  Para resolvermos este sistema, vimos que são necessárias 
mais duas condições. 
¨  No caso da , ou seja, S3”(x0) = g0 = 0 e 
S3”(xn) = gn = 0 
A =
1 0 0 0 ! 0
h1 2 h1 + h2( ) h2
h2 2 h2 + h3( ) h3
! ! !
hn−1 2 hn−1 + hn( ) hn
0 0 0 0 ! 1
"
#
$
$
$
$
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
'
'
'
'
n−1( )× n+1( )
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 28/27 
b = 6
0
y2 − y1
h2
−
y1 − y0
h1
y3 − y2
h3
−
y2 − y1
h2
!
yn − yn−1
hn
−
yn−1 − yn−2
hn−1
0
"
#
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
n−1( )×1
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 29/27 
EXEMPLO 2 
¨  Vamos encontrar uma aproximação para f (0,25) por spline 
cúbica natural interpolante da tabela: 
x 0 0,5 1,0 1,5 2,0 
f (x) 3 1,8616 -0,5571 -4,1987 -9,0536 
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 30/27 
EXEMPLO 2 
¨  Como queremos a spline cúbica natural, g0= g4 = 0, e 
lembrando que h = xi – xi-1 = 0,5, o sistema a ser resolvido 
será: 
4h h 0
h 4h h
0 h 4h
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
g1
g2
g3
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
=
6
h
y2 − 2y1 + y0
y3 − 2y2 + y1
y4 − 2y3 + y2
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 31/27 
EXEMPLO 2 
¨  Substituindo os valores para h e yi , 0 ≤ i ≤ 4: 
¨  Resolvendo pelo Método de Eliminação de Gauss: 
2 0,5 0
0, 5 2 0, 5
0 0, 5 2
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
g1
g2
g3
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
=
−15,3636
−14,6748
−14,5598
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
g3 = −6,252; g2 = −4,111; g1 = −6,6541
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 32/27 
EXEMPLO 2 
¨  Levando estes valores em ak , bk , ck , dk , encontramos s1 (x), 
s2 (x), s3 (x) e s4 (x). 
¨  Como queremos uma aproximação para f (0,25), 
 f (0,25) ≈ s1 (0,25) 
 
 
 
onde: 
s1 x( ) = a1 x − x1( )
3
+ b1 x − x1( )
2
+ c1 x − x1( )+ d1
a1 =
g1 − g0
6h = −2,2180
Aula 16 – Splines 
Cálculo Numérico 33/27 
EXEMPLO 2 
¨  Assim, por spline cúbica natural interpolante: 
b1 =
g1
2 = −3,3270
c1 =
y1 − y0
h +
2hg1 + g0h
6 = −3,3858
d1 = y1 =1,8616
f 0,25( ) ≈ s1 0, 25( ) = 2,5348

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