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formulário de CALCULO II
Jesus Ajuda
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bladimirariasmejia.jimdo.com FORMULARIO DE CÁLCULO II GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO VECTOR ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Punto final ⃗⃗⃗ Punto inicial Norma (magnitud, módulo) ⃗⃗⃗ √ Vectores paralelos ⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Vectores ortogonales ⃗⃗⃗ y ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ Producto escalar ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ Producto vectorial ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ | (| | | | | |) Proyección ortogonal ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗ | ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Ángulo entre dos vectores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖‖ ⃗⃗ ⃗‖ ⃗⃗ ⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖‖ ⃗⃗ ⃗‖ Vector unitario de ⃗⃗⃗ ⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ La ley del paralelogramo ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Área = ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ Vector bisectriz entre ⃗⃗⃗ y ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗ ⃗‖ ⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗ ‖ ⃗⃗ = ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗ ⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ Volumen paralelepípedo | ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)| Volumen tetraedro | ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)| FAMILIA DE PLANOS ( HAZ DE PLANOS) LA RECTA Punto ; Vector dirección ⃗⃗ ⃗ ⃗ EL PLANO Punto del plano Vector normal ⃗⃗⃗ ⃗ DISTANCIA PUNTO – RECTA Punto Recta ⃗ ‖ ⃗⃗ ⃗ ‖ ‖ ⃗⃗ ⃗ ‖ ‖ ( ⃗⃗ ⃗⃗ || ⃗⃗ ⃗|| ) ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ DISTANCIA PUNTO – PLANO Punto Plano ⃗ ⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗ ‖ √ DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS (Alabeadas) NO PARALELAS QUE NO SE CORTAN Rectas ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ‖ SUPERFICIES ESFERA Centro Radio R COMPLETAR CUADRADOS ( ) ( ) SUPERFICIES CUADRÁTICAS Elipsóide Hiperboloide de dos hojas Cono recto Paraboloide elíptico Hiperboloide de una hoja Paraboloide hiperbólico FUNCIONES CURVILÍNEAS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Longitud de curva ∫ Tangente ⃗ ⃗⃗ ⃗ ‖ ⃗⃗ ⃗‖ Binormal ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ Curvatura ‖ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗ ⃗‖ Radio de curvatura Normal ⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗⃗ ‖( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ Torsión ( ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES LIMITES ITERADOS ( ) Si los límites iterados son entonces no existe el límite en el punto PRIMERA DERIVADA DE ⃗⃗⃗⃗ ⃗ SEGUNDA DERIVADA ( MATRIZ HESSIANA) DE Y DE ( ) ; ( ) DIFERENCIAL DE 2da DIFERENCIAL DE ( ) DERIVADA IMPLÍCITA , | | | | ; | | | | ; | | | | ; | | | | ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ REGLA DE LA CADENA Desarrollando tenemos DERIVADAS PARCIALES DE DERIVADA DIRECCIONAL ( ⃗ debe ser vector unitario) Por definición ⃗⃗ ( ⃗⃗ ) Por cálculo directo ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ SIGNIFICADO DE LA DERIVADA ( donde , ) ( ) ( ⃗ ) ⃗⃗ ( usando derivada direccional ) CRITERIO PARA HALLAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE 2 VARIABLES ; ( ) CRITERIO PARA HALLAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE 3 VARIABLES ; ( ) ; ( ) MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONADOS (MULTIPLICADORES DE LAGRANGE) Función: Condición: ; ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ INTEGRALES MÚLTIPLES ÁREA ∬ ∬ MASA: ∬ DENSIDAD MEDIA: ̅ TEOREMA DE PAPPUS: ̅ CENTRO DE MASAS ( CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD) ̅ ∬ ∬ , ̅ ∬ ∬ INERCIAS ∬ , ∬ , VOLUMEN DE REVOLUCIÓN ∬∬ Alrededor de la recta ∬ Alrededor de la recta ∬ VOLUMEN ∬ ∭ MASA ∭ CENTRO DE MASAS (CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD) ̅ ∭ ∭ ̅ ∭ ∭ ̅ ∭ ∭ INERCIAS CON LOS PLANOS COORDENADOS ∭ ∭ ∭ INERCIA POLAR ∭ INERCIAS CON LOS EJES COORDENADOS ∭ , ∭ , ∭ , AREAS DE SUPERFICIES ∬√ COORDENADAS POLARES ( ) ; ( ) COORDENADAS CILÍNDRICAS ( ) ; ( ) COORDENADAS ESFÉRICAS ( √ ) ; ( ) INTEGRALES DE LINEA Y SUPERFICIES ∫ √ ( ) ∫ √ ( ) ∫ √( ) ( ) ∫ ∫ ∫ TEOREMA DE GREEN ∮ ∬( ) AREAS POR INTEGRALES DE LINEA ∮ TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) ∯ ⃗ ∭ ⃗⃗ TEOREMA DE STOKES ∮ ⃗⃗ ∬( ⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ SERIE P ∑ Si: SERIE GEOMÉTRICA ∑ Si: Si es la suma se halla con: ∑ ∑ , ∑ CRITERIOS DE CONVERGENCIA Criterio de comparación Si: Criterio de límite de comparación Criterio del cociente Criterio de la raíz √ Criterio de Raabe Criterio de la integral ∫ SERIE DE TÉRMINOS ALTERNOS La serie alterna ∑ es Cv si: Si: ∑ es y ∑ es ; ∑ Si: ∑ es y ∑ es ; ∑ SERIE DE POTENCIAS Para determinar el intervalo de convergencia | | Serie de Taylor ( ) … Serie de Mc-Laurin …
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