Introdução aos Logaritmos

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Professor 
Marcelo Gonsalez Badin
MATEMÁTICA
Logaritmos – Introdução
Você certamente já sabe calcular logaritmos!
2x = 8 
2x = 23
x = 3
Por exemplo, resolva a equação: 2x = 8
Logaritmo é apenas um nome que é
dado ao expoente que é a solução de 
uma equação exponencial. Assim,
2x = 8
2x = 8 
x é o logaritmo de 8 na base 2⇔
x = log28⇔
2x = 15 ⇔ x = log215
Obs: log215 é, aproximadamente 3,90689059562, ou seja:
23,90689059562 = 15
23 = 8 
24 = 16 
3 < x < 4 
Logaritmos ax = b
b > 0
a > 0
1a ≠
logab = x
x = logab
ax = b
⇔
⇔
logab = x
base logaritmando
logaritmo de b na base a
C.E.:
Condições de
Existência
logab = x
ax = b
1. Determine o domínio da função f(x) = log(x–1)(7–x) 
C.E.: x – 1 > 0
condições de 
existência
fi x > 1 ( I )
II
I
D
III
1
2
7
7
21
D =
ou vc escreve: D = ]1,2[ U ]2,7[
x – 1 ≠ 1fi x ≠ 2 ( II )
7 – x > 0 fi x < 7 ( III )
{xŒIR / 1 < x < 7 e x ≠ 2}
2. Resolva a equação 52x – 7.5x + 10 = 0 
Fazendo 5x = t, temos:
( )2x x5 7 5 10 0− ⋅ + = t = 2
t2 –7t + 10 = 0
S = 7
P = 10
t = 5
S = {1, log52}
x = log52
5x = 5
x = 1
5x = 2
t = 5
t = 2
a) log3243= x 
3. Calcule x
3x = 243
2b) log 0,25 x=
( )x1 2 22 2−=
( )x2 0,25=
x
222 2−=
x 2
2
= −
x = –4
c) log5x = 4
54 = x 
d) logx49= 2
x2 = 49
3x = 35
x = 5
x = 625
como x > 0, 
x = 7
e) log3(log7x) = 0
30 = log7x 
log7x = 1
71 = x 
x = 7
4. Qual o valor do logaritmo de 512 na base 2?
log2512 = x O logaritmo de 512 na base 2 é 9
2x = 512
2x = 29
x = 9
Imagine alguém que, diariamente, tivesse que fazer contas como
(2,37)(1,02)(3,57)
(1,21)(8,33)
sem utilizar uma calculadora.
Seria muito chato e trabalhoso!
No século XVI, o barão escocês John Napier (1550-1617)
teológo e matemático, criou um método que, 
•Multiplicação em adição;
• Divisão em subtração;
• Potenciação em multiplicação;
• Radiciação em divisão.
Para isso, Brigs elaborou uma tabela com a qual é possível escrever 
qualquer número positivo na forma de potência de dez, com 
altíssimo grau de aproximação. 
Essa tabela é chamada de tábua de logaritmos.
aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1639), 
diminuiu o tempo gasto na realização de operações matemáticas, 
transformando, por meio das propriedades de potências:
Briggs foi o primeiro a construir uma tabela de logaritmos. Começou com 
log 10=1 e depois achou outros logaritmos.
Em 1617, ano da morte de Napier, ele publicou uma obra que continha os 
logaritmos de 1 a 1000, cada um com 14 casas decimais. Em 1624, 
publicou Arithmetica logarithmica, que continha os logaritmos, também 
calculados com 14 casas decimais, de 1 a 20000 e de 90000 a 100000.
Hoje, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas 
calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou 
uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como 
um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos 
construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e 
célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar 
as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-
se peças de museu. 
A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as 
variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. 
Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua 
inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do 
ensino da matemática. 
• log x = log10 x (logaritmo decimal)
• ln x = loge x (logaritmo natural ou neperiano)
• O número indicado por e é chamado de número de Euler
(Leonhard Euler, matemático suiço, 1707-1783) é irracional e 
vale, aproximadamente, 2,718.
x
x
1lim 1 e
x→∞
 
+ = 
 
• cologb a = –logb a (cologaritmo)
O número indicado por e é chamado de número de Euler 
(Leonhard Euler, matemático suiço, 1707-1783) é irracional e 
vale, aproximadamente, 2,718.
x
x
1lim 1 e
x→∞
 
+ = 
 
Para quem tiver interesse de saber mais sobre o e, indico o livro
“e: A HISTÓRIA DE UM NÚMERO” Eli Maior (Editora Record)
A aproximação decimal de e é obtida calculando o limite de
11
x
+ elevado a x, para x “muito grande”. Matematicamente: 
Vamos fazer algumas contas!
x11
x
 
+ 
 
x
Acompanhe a tabela:
100
1.000
10.000
100.000
10 2,593742601
2,70481382942
2,71692393224
2,71814592683
2,71826823717
2,718280469321.000.000
5. Determine o valor da expressão:
52a) A = log 8 log 0,2 log1000+ +
Calculando cada parcela da soma:
2log 8 x= A = 6 – 1 + 3
A = 8
log50,2 = y
5y = 0,2
x = 6
y = –1
12 10,2 5
10 5
−
= = =
( )x2 8=
x
322 2=
x 3
2
=
5y = 5–1 
5. Determine o valor da expressão: loga1 = ?
loga1 = 0
logaac = ?
logaac = c
( )4 1021 7 π 3b) B = log 1 log 7 log π log log 3+ + +
B = 0
B = 5 + 1
pois a0 = 1
pois ac = ac
alog ba ?= alog ba b=
alog ba
5 2log 13 3 log 7log4c) C = 5 10 2 ++ +
C = 13 +
C = 17 +
2log 732 2⋅
C = 17 + 56
B = 6
C = 73
+ 4 + 1 + log10
4 +
8.7 
6. A solução real da equação log7 (7x+56) = 2x é:
a) log87
b) log78
c) log7
d) 1
e) – 1
72x = 7x + 56
( )2x x7 7 56 0− − =
fi t = –7 ou t = 8t2 – t – 56 = 0
Fazendo 7x = t, temos:
t = –7 S = 1 
P = –56 
t = 8 
x = log78 
7x = –7 
Impossível pois 7x> 0
7x = 8 
fi k = 1
7. (Vunesp-2001) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), 
colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se 
o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência
termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água 
existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão:
com k uma constante positiva e t em horas. 
k
10
10Q(t) log
t 1
 
=  
+ 
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante k.
Para t = 0, temos Q(0) = 1 k
10
10log 1
0 1
 
= 
+ 
b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
Como k = 1, temos Q(t) =
A experiência termina se Q(t) = 0
10
10log
t 1
 
 + 
A experiência termina ao fim de 9 horas
10
10log 0
t 1
 
= + 
10
t 1+
t + 1 = 10
t = 9
Série Pensador – P. 508
Exercício 10
fi log1010k = 1
fi 100 =
–1 
a) y = log2x
Esboçar o gráfico das seguintes funções:
x
y
x y = log2x
–2 
–1 
1 
2 
4 
¼
½
0 
2 
1 
–2 
¼ ½0 1 
1 
2 
2 
4 
C.E.: x > 0 Im = IR
D = IR*+ (reais positivos)
Função crescente
a reta x = 0 
(eixo y)
é assíntota de log2x
–1 
b) y = log½ x
10. Faça o gráfico da função:
x
y
x y = log½ x
–2 
–1 
1 
2 
4 
¼
½
0 
2 
1 
–2 
¼ ½0 1 
1 
2 
2 
4 
C.E.: x > 0
Im = IR
D = IR*+ (reais positivos)
Função decrescente
a reta x = 0 
(eixo y)
é assíntota de log½x