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1
Cálculo Aplicado à 
Administração
Aula 6
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Introdução
Introdução
� Rendas
� Taxa Interna de Retorno
� Valor Presente Líquido
Tema 1 
Rendas
Rendas ou 
Séries Uniformes
� Por renda entende-se uma 
sucessão de pagamentos, ou 
recebimentos ou depósitos
� Uma sucessão de 
pagamentos ou recebimentos 
ou depósitos pode se destinar 
à Amortização de uma dívida 
ou a um Investimento
2
Representação 
de uma Renda
0 1 2 3 4 5 6 7 n
p
Classificação 
de uma Renda
� Quanto ao prazo
a) Temporárias
b) Perpétuas
� Quanto ao valor
a) Constantes
b) Variáveis
� Quanto à forma
a) Imediatas Postecipada
Antecipada
b) Diferidas Postecipada
Antecipada
� Quanto à periodicidade
a) Periódicas
b) Não periódicas
Tema 2:
Modelo Básico de Renda 
e Renda Antecipada
3
Modelo Básico de Renda
� É uma renda que, 
simultaneamente, é temporária, 
constante, imediata postecipada
e periódica
� Portanto, não há carência 
e não há entrada
� Fórmula a utilizar:
V = p . (1 + i)n – 1 
(1 + i)n . i
Renda Antecipada
� É aquela cuja única diferença, 
quando comparada ao Modelo 
Básico de Renda, é o fato 
de o primeiro pagamento ter 
ocorrido no dia zero (ou seja, 
houve uma entrada no mesmo 
valor dos demais pagamentos)
� Fórmula a utilizar:
V = p . (1 + i)n – 1 . (1 + i)
(1 + i)n . i
Tema 3 
Renda Diferida
Renda Diferida
� O que é isso?
� É uma renda em que é dado 
um prazo de carência
� Você já deve ter visto aquela 
propaganda no mês de agosto 
que diz “compre agora e 
comece a pagar com o seu 13º”
4
� Como resolver um problema 
com carência?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n
p
� Divide-se o problema em 
duas partes: a carência + 
o Modelo Básico de Renda
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n
p
Carência
Modelo básico
� Na carência, utilizar a fórmula 
da Capitalização Composta:
M = C . (1 + i)n
� No Modelo Básico de Renda:
V = p . (1 + i)n – 1
(1 + i)n . i
Tema 4
Taxa Interna de Retorno
Taxa Interna de Retorno
� Popularmente, essa taxa 
é conhecida como TIR
� O que é isso?
� É a taxa de juros compostos 
que anula o seu valor atual
� Para o cálculo da TIR, deve-se 
ter em mãos uma calculadora 
financeira, pois seu cálculo 
sem a mesma, além de 
demorado, nos fornece um 
valor aproximado da taxa
5
� Suponhamos um financiamento 
de R$10.000,00 que será 
pago em 3 parcelas mensais e 
consecutivas de R$ 3.000,00, 
R$ 5.000,00 e R$ 4.000,00
� Qual o custo efetivo do 
financiamento?
10000
n (meses)
3000 5000 4000
f REG
f 4
10000 g CFo
3000 CHS g CFj
5000 CHS g CFj
4000 CHS g CFj
f IRR (9,2647% a.m.)
� Utilizando uma calculadora 
financeira HP 12c, temos:
10000 = 3000 + 5000 + 4000 =
(1 + 0,092647)1 (1 + 0,092647)2 (1 + 0,092647)3
10000 = 2.745,62 + 4.188,04 + 3.066,34
10000 = 10000
� Para a comprovação de que essa é 
a Taxa Interna de retorno, vamos 
utilizar a definição de TIR:
Tema 5 
Valor Presente Líquido
Valor Presente Líquido
� Popularmente conhecido 
como VPL
� O que é isso?
� É uma ferramenta para a 
tomada de decisão: deve-se 
ou não fazer determinado 
investimento?
6
� Para o cálculo do VPL, deve-se 
trazer ao diz zero cada valor 
futuro: M1, M2, M3 etc.
� A seguir soma-se todos 
esses valores futuros e desse 
resultado subtrai-se o valor 
do capital inicial
� VPL = Valor Presente Líquido
� Consiste em calcular o Valor 
Presente de uma série de 
pagamentos, de recebimentos 
ou de depósitos, a uma 
determinada taxa de 
juros conhecida
� Do Valor Presente deduz-se o valor 
inicial do fluxo de caixa (no ponto 
zero) e assim obtém-se o VPL
� Logo:
VPL = M1 + M2 + ... + Mn – C
(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n
Exemplo
� Uma empresa de radiotáxi
está analisando a 
possibilidade de adquirir, para 
a sua frota, veículos no valor 
unitário de R$ 40.000,00
� Sabendo que as receitas 
líquidas estimadas, em 5 anos, 
são de R$ 18.000,00, 
R$ 18.500,00, R$ 19.200,00, 
R$ 20.000,00 e R$ 21.200,00, 
respectivamente
� Ao final do 5º ano, o valor 
residual de cada veículo é de 
R$ 10.000,00. Verifique se a 
empresa deve ou não investir 
nesses veículos, para uma taxa 
de retorno de 18% ao ano
7
VPL = 18000 + 18500 + 19200 + 
(1 + 0,18)1 (1 + 0,18)2 (1 + 0,18)3
+ 20000 + 31200 – 40000 
(1 + 0,18)4 (1 + 0,18)5
� VPL = + 24.179,95 (como 
é positivo, isso significa que 
a taxa efetiva de retorno é 
superior aos 18% esperados. 
Logo, é um bom negócio)
� Se o resultado dessa 
subtração for nulo ou positivo, 
deve-se investir o capital 
inicial. Caso contrário, não é 
aconselhável o investimento
Síntese
� Por renda entende-se uma 
sucessão de pagamentos, ou 
recebimentos ou depósitos
� O Modelo Básico de 
Renda é uma renda que, 
simultaneamente, é 
temporária, constante, 
imediata postecipada e 
periódica. Portanto, não há 
carência e não há entrada
� Renda Diferida é uma renda em 
que é dado um prazo de carência
� Taxa Interna de Retorno (TIR) 
é a taxa de juros compostos 
que anula o seu valor atual
� Valor Presente Líquido (VPL) é 
uma ferramenta para a tomada 
de decisão: deve-se ou não fazer 
determinado investimento?
8
Referências de Apoio
� CASTANHEIRA, Nelson Pereira. 
Matemática aplicada e 
análise financeira para 
todos os níveis. 2. ed. 
Curitiba: Juruá, 2014.
� CASTANHEIRA, Nelson Pereira; 
MACEDO, Luiz Roberto Dias 
de. Matemática financeira 
aplicada. 5. ed. Curitiba: 
Intersaberes, 2010.

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