Gerador de Van Der Graaff (

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‘CENTRO UNIVERSITÁRIO AUTÔNOMO DO BRASIL - UNIBRASIL
GERADOR DE VAN DER GRAAFF
Curitiba, 29 de setembro de 2016.
CENTRO UNIVERSITÁRIO AUTÔNOMO DO BRASIL – UNIBRASIL
AUTOR: CASSIO OLIVEIRA SILVA
COAUTORES: FRANCIANE WELLNER / ANTONIO MARCOS
GERADOR DE VAN DER GRAAFF
Dissertação realizada para obtenção de nota parcial na disciplina de Física III sob as orientações do professor Eduardo Torres.
		Curitiba, 29 de setembro de 2016.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Diagrama de Pauling	3
Figura 2 - Eletrização por contato	5
Figura 3 - Eletrização por atrito	6
Figura 4 - Eletrização por indução (1° Caso)	7
Figura 5 - Eletrização por indução (2° Caso)	7
Figura 6 - Composição do gerador	8
Figura 7 - Esquema de eletrização do domo	10
Figura 8 - Ruptura dielétrica do ar	11
Figura 9 - Lei das pontas	12
Figura 10 - Rotação do Torniquete	13
Figura 11 - Torniquete acoplado no gerador de Van de Graaff	13
Figura 12 - Linhas de campo (A)	14
Figura 13 - Linhas de campo (B)	15
Figura 14 - Modo de ligação dos eletrodos	15
Figura 15 - Eletroscópio de folhas	16
Figura 16 - Indução das cargas pelo dedo	17
Figura 17 - Indução do algodão	17
INTRODUÇÃO 
O presente trabalho acadêmico tem como principal objetivo abordar o início dos estudos envolvendo cargas elétricas e consequentemente os métodos de eletrização de cargas envolvendo contato, atrito e indução.
Os átomos da matéria são concebidos de uma vasta quantidade de partículas. Quando o número de prótons em um átomo é igual ao número de elétrons, este permanece neutro essa condição é chamada de Equilíbrio Eletrostático.
Para reprodução dos processos analisados no seguinte trabalho, utilizou-se de um equipamento chamado Gerador de Van der Graaff, o mesmo encontrou-se em discussão em várias seções estudadas, obtendo uma série de resultados envolvendo campo elétrico, onde suas características são determinadas pela distribuição de energia ao longo de todo o espaço afetado. 
INTRODUÇÃO HISTÓRICA
Cargas Elétricas 
Toda a matéria conhecida é formada por moléculas. Estas, por sua vez são formadas por átomos (“átomo” em grego significa “indivisível”) recebe este nome decorrente a os filósofos que por volta de 400 a.C desenvolveram a ideia de que existiria uma partícula que constitui toda a matéria e é indivisível. Esta primeira ideia desenvolvida pelos filósofos não tinha cunho cientifico, pois era uma “arché”, ou seja, uma das possíveis princípios de todas as coisas.
O primeiro modelo cientifico do átomo originou-se em 1808 por John Dalton que propôs uma partícula maciça e indivisível. E em 1897 Thompson propõe um modelo atômico onde o átomo é maciço, formado por um material com carga elétrica positiva contendo partículas com cargas elétricas negativas. Este modelo atômico ficou conhecido como “pudim de passas”.
Porem o modelo mais próximo da realidade já no século XX foi proposto por Rutherford que por meio de experimentos, sugeriu que o átomo era constituído por duas regiões as quais são: o núcleo, pequeno e positivo e que contém toda a massa do átomo e outra região negativa praticamente sem massa que envolvia todo o núcleo. Essa região negativa deu-se o nome de eletrosfera. 
Os átomos quando que se encontram em estado neutro possuem o número de prótons igual ao numero de elétrons, porém o mesmo pode perder ou ganhar elétrons, esses átomos intitulam-se de íons que podem ser aníons, ou seja, átomos que ganham elétrons, ou cátions que são átomos que perderam elétrons. Com essa definição pode-se concluir que as partículas que se movem são os elétrons.
Rutherford-Bohr
Em 1913 o físico dinamarquês Niels Bohr propôs a teoria segundo a qual os elétrons circulavam em torno do núcleo somente em algumas orbitas que são determinadas pelo nível de energia, sendo as camadas mais próximas do núcleo as menos energéticas e consequentemente, as mais distantes são as com maior nível energético. Quando um elétron absorve determinada quantidade de energia, como calor, por exemplo, ele salta de uma camada menos energética para uma camada mais energética. Ao retornar para a sua camada original o elétron perde a mesma quantidade de energia absorvida previamente, na forma de ondas eletromagnéticas. Em cada orbita (camada) existe um número máximo de elétrons, este número determinou-se experimentalmente. A cada nível de energia também estão associados subníveis e a cada subnível existem quantidades máximas de elétrons. 
Na tabela 1 obtêm-se os nomes das camadas dos subníveis juntamente com a quantidade de elétrons em cada um, e seus respectivos níveis energéticos.
Tabela 1 - camadas de subníveis
Fonte: http://www.tabelaperiodicacompleta.com
Pauling
A distribuição dos elétrons na eletrosfera pode ser feita por meio de um diagrama em que os subníveis são ordenados de forma crescente de energia. Este diagrama é conhecido como diagrama de Pauling. Na figura 1 observa-se o mesmo.
Figura 1 - Diagrama de Pauling
Fonte: http://files.quimicageral.com.br/200000008-8eec490e3e/a7.png
Ao realizar a distribuição dos elétrons pelo diagrama de Pauling, é possível conhecer o número de camadas e ainda o número de elétrons por camada. O nível (camada) que deve ser observado com mais atenção é o mais extremo onde se tem denominado, nível de valência. Nesse nível é possível observar se o átomo tende a ganhar ou a perder elétrons, pois de acordo com a regra do octeto as moléculas tendem a ser mais estáveis quando a camada de valência de seus átomos possuem oito elétrons. Existem algumas exceções para esta regra, porém para compreender os métodos de eletrização que será discutido a frente, deve-se considerar essa generalização.
QUANTIZAÇÃO DE CARGAS
Levando os conceitos do átomo para corpos, a fim de explicar de maneira mais clara e simples usam-se esferas metálicas de mesma densidade e mesmo volume, corpos podem estar eletricamente positivos ou negativos, dependendo da quantidade de elétrons totais serem igual, menor ou maior do que a quantidade de prótons no corpo.
A unidade para medir a quantidade de cargas é o Coulomb (c) e a carga de um elétron é -1,6 x 10-19 C, deste modo, sabendo que o elétron é a partícula que se move, pode se determinar a carga de um corpo com a fórmula Q = n*e. Onde q é a quantidade total de carga, n é o numero de elétrons e a letra e é a carga em Coulombs do elétron chamada também de carga elementar. Conclui-se então que a carga total de um corpo sempre será um múltiplo da carga elementar. Ao estudar o elétron, atribui-se o sinal negativo a sua carga, pois a quantidade de carga, em modulo, no próton é a mesma. 
Caso os corpos com cargas totais com sinais inversos se aproximem eles se atraíram e com corpos carregados com cargas de mesmo sinal o efeito será o contrario, ou seja, se repeliram.
TRANSFERÊNCIA DE CARGAS
Como a movimentação dos elétrons pode-se ocorrer à transferência de carga entre corpos, este fenômeno poderá transcorrer-se essencialmente de três formas distintas e em cada uma delas haverá diferenças quanto à quantidade de cargas transferidas a carga final dos corpos envolvidos. Estes métodos de transferência se chamam métodos de eletrização e serão detalhados a seguir.
Métodos de eletrização 
Contato 
Neste método os corpos devem entrar em contado, podem-se encostar os corpos ou fazer com que o contato ocorra por meio de um fio condutor. As cargas passaram do corpo com maior potencial elétrico para o com menor potencial até que o potencial elétrico dos mesmos seja igual. 
A figura 2 ilustra o modo de eletrização por contato, e sua respectiva carga após a eletrização. 
Figura 2 - Eletrização por contato
Fonte: http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/02/cursos-do-blog-eletricidade_20.html
É possível notar que a carga total dos corpos manteve-se a mesma, porém a carga se dividiu igualmente entre os corpos.
Atrito 
Foi o primeiro tipo de eletrização observado pelo homem, o mesmo ocorre quando dois corpos são atritados e seuselétrons são transferidos de um corpo para o outro. Para saber quais corpos receberam e quais iram ceder elétrons observa-se a estrutura do material, de acordo com sua estrutura molecular e atômica. Para facilitar esta observação criou-se uma tabela chamada de série triboelétrica, (a mesma é descrita pela tabela 2, onde se mostram os materiais que tem facilidade de perder ou ganhar elétrons). A quantidade de elétrons cedida por um material será a mesma recebida pelo outro, como podemos observar na figura 3.
Tabela 2 - Série Triboelétrica 
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 3 - Eletrização por atrito
Fonte: http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/04/eletrizacao-por-atrito.jpg
Indução 
Inicialmente uma esfera eletrizada (B), considerada neste exemplo uma esfera carregada positivamente, se aproxima de uma esfera inicialmente neutra (A). As cargas positivas da esfera B iram repelir as cargas positivas da esfera A e consequentemente polarizando a mesma. A figura 4 demonstra a seguinte situação 
Figura 4 - Eletrização por indução (1° Caso)
Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/upload/conteudo/esferas%20A%20e%20B%20aproximadas.jpg
Posteriormente a esfera A é conectada a terra com um fio condutor, em seguida os elétrons da terra “sobem” pelo fio e neutralizam as cargas positivas da esfera A. a figura 5 demonstra esse fenômeno.
Figura 5 - Eletrização por indução (2° Caso)
Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/upload/conteudo/esferas%20A%20e%20B%20aproximadas.jpg
Quando a esfera A for desconectada da terra, a mesma estará eletrizada negativamente, pois todas as suas cargas positivas foram anuladas pelos elétrons que “subiram” pelo condutor.
GERADOR DE VAN DER GRAAFF
Introdução
Na física moderna é necessária a utilização de altas tensões, e com o gerador de Van der Graaff essas tensões podem ser facilmente obtidas podendo chegar a milhões de volts, o mesmo pode ser utilizado em vários experimentos da física quântica. Em 1929, o físico Robert Jemison Van der Graaff construiu o primeiro modelo de gerador, por esse motivo o mesmo recebeu o nome de Van der Graaff em sua homenagem. Esse aparelho teve sua aplicação na física atômica, na indústria e também na medicina. Nos laboratórios foram construídos modelos simplificados a fim de demonstrar o seu funcionamento. 
Layout e funcionamento 
O Gerador de Van der Graaff é composto por: 
Um motor;
Dois cilindros metálicos;
Um conjunto de correias de borracha;
Um conjunto de escovas;
Uma cúpula metálica
Pode-se observar na figura 6 a composição do mesmo.
Figura 6 - Composição do gerador
Fonte: http://ciencia.hsw.uol.com.br/geradores-van-de-graaff2.htm
Seu funcionamento se dá através da movimentação de uma correia que é eletrizada por atrito na parte inferior do aparelho. Ao atingir a parte superior as cargas elétricas que surgiram com o processo de eletrização, são transferidas para a superfície interna do metal, sendo então distribuídas para toda a superfície da esfera metálica, ficando carregada de cargas elétricas. 
Eletrização do domo
Com o motor em funcionamento, o rolete inferior gira a correia de borracha, esse atrito gera o acumulo de cargas, o sinal dessa carga irá depender de fatores como posição da borracha e material que é produzido o cilindro inferior, para que possa obter essa informação de forma exata é necessário saber onde os mesmos se encontram na série triboelétrica, essa série é ordenada segundo a carga relativa que adquirem quando atritadas. A fim de exemplificar o modo de eletrização exibido pela figura 7, presumiu-se que a correia obtenha-se de cargas positivas e o cilindro metálico de cargas negativas.
Os átomos positivos do ar, ao serem atraídos pelo cilindro, entram em contato com a correia que está na frente, fazendo com que a correia fique eletrizada positivamente. Com a movimentação constante da mesma as cargas são levadas para cima.
A Correia agora carregada positivamente atrai os elétrons para a ponta da escova superior, acontecendo novamente à ionização do ar, os elétrons do ar se movem para a correia e as cargas positivas são atraídas para a escova. Quando um objeto carregado toca a parte inferior de um material condutor, o mesmo absorve todas as cargas, tornando o portador inicial neutro novamente. Essa carga absorvida pelo material condutor é distribuída para a superfície externa do mesmo, nesse caso o domo, ficando positivamente carregado. Esse deslocamento para a parte externa do domo se dá através da lei de Gauss onde, “Qualquer excesso de cargas colocado em um condutor isolado se moverá inteiramente para a superfície do condutor. Nenhum excesso de carga será encontrado no interior do corpo do condutor”.
Esse ciclo irá se repetir, ou seja, a correia desce neutra, e sobe eletrizada, depositando as cargas no domo que ficaria cada vez mais eletrizado. Como em todo processo há perdas, existe um limite de eletrização do domo.
Figura 7 - Esquema de eletrização do domo
Fonte: Unicamp
Campo Elétrico
Com as dimensões da correia superior à do rolete, de mesmo modo levando-se em consideração que a correia está em movimento, há uma concentração de cargas muito maior no cilindro inferior, ou seja, o campo elétrico no cilindro é muito maior que na correia onde acontece o atrito, esses fatos fazem com que aconteçam duas ações:
Os elétrons do cilindro metálico repelem os elétrons próximos à ponta da escova inferior, por ser de material metálico, a mobilidade dos elétrons é alta, ou seja, ela move-se em direção da outra ponta da escova que está conectada ao solo ficando carregada positivamente.
Os elétrons do rolete ionizam as moléculas do ar, deixando a região entre a escova e o rolete com elétrons livres e o ar positivamente carregado. Os elétrons do ar e do rolete se repelem e são atraídos pelas cargas positivas da ponta da escova, e as cargas positivas são atraídas pelo cilindro que possui carga negativa.
Com a aproximação de um bastão para com a esfera metálica do gerador, são provocados arcos voltaicos. Assim a densidade superficial de carga se torna alta o suficiente para que o campo elétrico próximo à superfície seja maior que a rigidez dielétrica do ar, havendo a ruptura do mesmo.
Então, a esfera se descarrega no bastão, por intermédio do ar, que se tornou um condutor. Essa descarga produz uma faísca luminosa, ou seja, um raio como é possível observar pela figura 8.
Figura 8 - Ruptura dielétrica do ar
Fonte: http://www.cidepe.com.br/pt/produtos/arquitetura/todos/gerador-eletrostatico-gerador-de-van-de-graaff-400-kv-eq047c
Experimentos
“Arrepiando” o cabelo
Para uma melhor visualização desse fenômeno, uma pessoa que esteja com o cabelo limpo e bem seco é colocada de forma que seus pés não se encostem ao chão, ou seja, a pessoa fica isolada. A mesma toca com as duas mãos na esfera oca metálica do gerador. Após ligado o gerador observou-se que o cabelo da pessoa começa a se eriçar, pelo simples fato de que ao tocar na esfera oca metálica do gerador, as cargas que se encontravam no gerador passa a se dividir com o corpo da pessoa, ou seja, tanto a cúpula quanto a pessoa começa a ficar carregada com certo tipo de carga. A eletrização do corpo faz com que as cargas que se encontram positivas na cúpula, e as cargas do nosso corpo que estão com o mesmo sinal, gere certa uma repulsão, as cargas de mesmo sinal se repelem e as cargas de sinais diferentes se atraem. Como as cargas tendem a ir para as pontas elas acabam indo para os cabelos pelo fato do mesmo ser leve, as cargas que se encontram iguais nas pontas do cabelo tendem a se afastar umas das outras, ou seja, se repelindo. A figura 9 demonstra esse fenômeno. 
Figura 9 - Lei das pontas 
Fonte: http://www.eletricante.com.br/2013/09/o-que-e-eletrostatica.html
Torniquete
Introdução 
O efeito, ou poder, das pontas é a capacidade de os corpos eletrizados se descarregarem pelas pontas. A carga elétrica em excesso num corpo condutor distribui-se apenaspela superfície exterior do corpo e concentra-se nas zonas mais pontiagudas.
Na proximidade dos corpos existem sempre no ar átomos e moléculas ionizadas. Havendo grande concentração de cargas elétricas numa ponta de um corpo, haverá atração para a ponta e os íons de sinal contrário às cargas na ponta do Torniquete iram sofrer uma repulsão dos íons com o mesmo sinal. 
Os elevados campos elétricos perto das pontas ionizam as partículas do ar, gerando o vento elétrico. O torniquete elétrico é um instrumento para visualizar esse fenômeno, sendo um conjunto de quatro varetas de latão que se distribuem simetricamente segundo direções radiais, em torno de um pequeno disco condutor, Todas as varetas apresentam as pontas curvadas no mesmo sentido.
Funcionamento
O Torniquete é colocado no encaixe da esfera oca metálica do gerador de Van der Graaff e após o gerador entrar em funcionamento, verifica-se que o Torniquete começa a ter uma força de rotação. O ar que se encontra em volta do Torniquete se eletriza com o mesmo sinal. O Torniquete que se encontra eletrizado, entra em atrito com as partículas eletrizadas do ar. visto que as cargas elétricas de mesmo sinal tende a se repelir, então o mesmo começa a girar. O fenômeno descrito pode ser observado pela figura 10 e 11.
Figura 10 - Rotação do Torniquete
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 11 - Torniquete acoplado no gerador de Van der Graaff
Fonte: Elaborada pelo autor
Linhas de fluxo em campo elétrico 
Introdução 
As linhas de campo são usadas para visualizar a orientação e a intensidade dos campos elétricos. O vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço é tangente a linhas de campo elétrico que passa por esse ponto. A densidade de linhas de campo elétrico em uma região do espaço é proporcional ao módulo do campo elétrico nessa região. As linhas de campo elétrico começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.
Funcionamento
Montou-se um par de eletrodos em barra na cuba de plástico, em seguida colocou-se óleo de rícino juntamente aos grãos de grama, em seguido foram conectados os cabos com garras jacaré, uma ponta de um dos cabos é conectada no encaixe da esfera oca metálica do gerador de Van der Graaff, onde serão armazenadas as cargas positivas, a outra ponta desse cabo com formato jacaré é conectada em um dos eletrodos. O outro cabo terá uma ponta conectada no encaixe da parte inferior do gerador de Van der Graaff e a ponta jacaré será conectada no outro eletrodo, como é observado na figura 14. Em seguida regula-se o potenciómetro na potência máxima de geração. Após esse procedimento, liga-se o gerador e analisa-se a transformação dos grãos de grama que visivelmente mostra a distribuição do mesmo no óleo de rícino formando as linhas de força, como mostrado na figura 12 e 13.
Figura 12 - Linhas de campo (A)
 
Fonte: Elaborada pelo autor
 
Figura 13 - Linhas de campo (B)
 
Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 14 - Modo de ligação dos eletrodos
 
 Fonte: Elaborada pelo autor 
Eletroscópio de folhas
Introdução
O princípio de funcionamento do eletroscópio de lâminas condutoras pode ser explicado a partir do conceito de indução eletrostática, uma manifestação descoberta por John Canton em 1753. Para tanto, este instrumento pode ser concebido de modo que um par de lâminas de alumínio seja conectado a um eletrodo superior, normalmente, configurado na forma de uma esfera metálica, através de uma haste igualmente condutora, transformando o conjunto em um condutor extenso. É importante notar, que a forma esférica não é obrigatória. Deste modo, ao tomar-se, como exemplo, a aproximação de um corpo positivamente carregado do eletroscópio, elétrons concentrar-se-ão na superfície do eletrodo, migrando de toda a estrutura metálica a ele conectada. Com a perda de ‘elétrons livres’, as lâminas iram adquirir, consequentemente, um excesso de carga elétrica positiva. Assim, forças eletrostáticas de repulsão passarão a contribuir para um significativo afastamento destas lâminas. 
O grau de deflexão das lâminas observado no eletroscópio dependerá da intensidade do campo elétrico produzido pelo corpo indutor, bem como da sensibilidade inerente a fatores dimensionais das lâminas utilizadas no mesmo. No caso da aproximação de um corpo carregado negativamente, o fluxo de “elétrons livres” será oposto ao descrito anteriormente. Neste caso, as lâminas também se afastarão por estarem carregadas negativamente.
Funcionamento
Com o eletroscópio de folha no topo da esfera, as cargas se concentraram no mesmo, transferindo elétrons para o papel alumínio causando repulsão entre as tiras. O movimento de repulsão das tiras deu-se pelo fato de que nas mesmas aplicaram-se cargas de mesmo sinal, pela forma de eletrização por contato. A figura 15 ilustra o procedimento descrito.
Figura 15 - Eletroscópio de folhas
Fonte: http://carregadosdefisica.blogspot.com.br/2011/05/principio-de-funcionamento-do.html
Aproximaram-se os dedos as tiras de alumínio, e observou-se “atração” destes. O fenômeno acontece devido ao fato de os dedos estarem com cargas neutras e ao aproximá-los as fitas de alumínio, há indução de cargas elétricas na superfície dos dedos. Essa carga tem a mesma magnitude, porém, sinal oposto à carga das tiras. O mesmo pode ser observado pela figura 16.
Figura 16 - Indução das cargas pelo dedo
Fonte: http://mdmundo.s3.amazonaws.com/wp-content/uploads/como-fazer-eletroscopio-caseiro.jpg
No seguinte experimento, Aproximaram-se fiapos de algodão próximos ao gerador e estes foram atraídos, pois estavam neutros e a esfera eletrizada, com isso observou-se novamente um fenômeno de indução, indicado pela figura 17.
Figura 17 - Indução do algodão 
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAhBogAF/relatorio-fisica-eletrostatica?part=2
CONCLUSÃO
Através dos estudos realizados referentes ao funcionamento e comportamento das cargas elétricas obtidas pelo gerador de Van der Graaff, pode-se compreender com afetiva clareza os fenômenos decorridos durante os experimentos realizados em laboratório.
Obteve-se o conhecimento referente à lei das pontas, onde se pode visualizar o mesmo com o auxílio do Torniquete elétrico. Em sequência, atingiram-se conhecimentos pertinentes as linhas de fluxo geradas pela diferença de potencial realizada pelo domo do gerador (cargas positivas) e pela parte inferior do gerador, onde se encontra o cilindro metálico (cargas negativas).
 Com base nos conhecimentos decorridos do conseguinte trabalho, ouve-se uma melhor clareza na concepção do funcionamento do eletroscópio de folhas, onde o mesmo é utilizado para verificá-la se corpos se encontram eletrizados ou não. 
Todos esses conhecimentos obtidos foram gerados através de pensadores que corroborarão pra o mesmo, juntamente com suas respectivas teorias e descobertas.
REFERÊNCIAS
1<http://brasilescola.uol.com.br/fisica/eletroscopia.htm> Acesso em: 24 de setembro de 2016
2<http://www.ebah.com.br/content/ABAAAf2_gAA/relatorio-eletroscopio-seu-funcionamento> Acesso em: 24 de setembro de 2016
3<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/a-eletrizacao-por-contato.htm> Acesso em: 24 de setembro de 2016
4<http://ifserv.fis.unb.br/matdid/1_2000/kelwan/eletro/processo.html> Acesso em: 24 de setembro de 2016
5<http://www.bento.ifrs.edu.br/site/midias/arquivos/20130301543431processos_de_eletrizacao.pdf> Acesso em: 25 de setembro de 2016
6<http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/fenomenos/eletrizacao/> Acesso em: 25 de setembro de 2016
7<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/o-gerador-van-graaff.htm> Acesso em: 25 de setembro de 2016
8<http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2007/GuilhermeC-Landers_F609_RF2.pdf> Acesso em: 26 de setembro de 2016
9<http://followscience.com/content/282145/relatorio-van-de-graaf-fisica-iii/> Acesso em: 26 de setembro de 2016
10<http://einsteinmania.com/basicos/gerador-de-van-de-graff/> Acesso em: 26 de setembrode 2016
11<http://www.ifsc.usp.br/~strontium/Teaching/Material20102%20FFI0106%20LabFisicaIII/App01b%20Eletrostatica.pdf> Acesso em: 26 de setembro de 2016
12<HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KLRANE, K. Física 3. 5ª edição, Editora LTC, 2009.>
13<TIPLER, P. A. Física para Cientistas e Engenheiros; Eletricidade, Magnetismo e Ótica. 4ª edição, Editora LTC, 2000>