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APOL ANÁLISE MATEMÁTICA Questão 1/5 - Análise Matemática Leia o excerto de texto a seguir. “Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 161. Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada um dos elementos a seguir: Conjunto aberto Ponto interior Conjunto fechado Ponto de acumulação Conjunto compacto Ponto aderente ( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. ( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. ( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. ( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. ( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto. ( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. Agora marque a sequência correta: a 6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1 B 4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3 C 2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3 D 6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5 E 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1 Questão 2/5 - Análise Matemática Leia o trecho de texto a seguir: “Quando limxn=alimxn=a, diz-se que a sequência (xn)(xn) converge para aa, ou tende para aa e escreve-se xn→axn→a. Uma sequência que possui limite chama-se convergente. Do contrário, ela se chama divergente. Explicitamente, uma sequência (xn)(xn) diz-se divergente quando, para nenhum número real aa, é verdade que se tenha limxn=alimxn=a”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 108-109. Levando em consideração o fragmento de texto dado e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a convergência de sequências numéricas, analise as afirmativas que seguem e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas. I. Toda sequência que é crescente e limitada é convergente. II. Existem sequências que não são limitadas, mas são convergentes. III. Toda subsequência de uma sequência limitada é convergente. IV. Existem sequências limitadas que possuem subsequências convergentes. Agora marque a sequência correta: A F – V – F – V B V – F –V – F C V – F – F – V D F – V – V – F E F – F – V – V Questão 3/5 - Análise Matemática Leia o fragmento de texto a seguir. “(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como: A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2). Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada. A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2) B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x C h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2) D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 Questão 4/5 - Análise Matemática O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro x0x0. Esse intervalo pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR ou até mesmo reduzir-se a um único ponto. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159. Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R) Assinale a alternativa que contém os valores para x=1. A e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯ B e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯ C e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯ D e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯ E e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯ Questão 5/5 - Análise Matemática Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir. Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir. I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e São corretas apenas as afirmativas: A III e V B I e III C I e IV D II e V E II, III e V APOL ESTATÍSTICA Questão 1/5 - Estatística Leia o texto a seguir: O campo da Estatística desenvolve seus estudos usando, entre outros elementos, medidas de posição central, cálculo da média aritmética, moda, mediana, variância, desvio padrão e coeficientes de Pearson. Fonte: texto elaborado pelo autor Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Estatística, considere as seguintes afirmações: I. Dado a amostra 8, 4, 6, 9, 10, 5, referente à idade de 6 alunos de uma sala de aula, o desvio padrão da idade dos alunos é 2,3667. II. Em uma distribuição de frequências, verificou-se que a moda é igual a 8,0, a média é igual a 7,8 e o desvio padrão é igual a 1,0. O primeiro coeficiente de assimetria de Pearson tem valor -0,35. III. Em uma distribuição de frequências, verificou-se que a mediana é igual a 15,4, a média é igual a 16,0 e o desvio padrão é igual a 6,0. O segundo coeficiente de assimetria de Pearson tem valor 0,40. IV. O segundo coeficiente de assimetria de Pearson para determinada distribuição de frequências é igual a zero, então pode-se então afirmar que a curva é assimétrica. Está correto apenas o que se afirma em: A I e II. B I. C III e IV. D II e IV. E IV. Questão 2/5 - Estatística Observe a seguinte tabela: Após esta avaliação, caso queira analisar a tabela detidamente, ele está disponível em: MARQUES, J. M.; MARQUES, M.A. Estatística básica para os cursos de engenharia. Curitiba: Domínio do Saber, 2005, p. 26. A tabela acima apresenta resultados de 30 peças de certo metal que foram coletadas para testes de densidade. De acordo com essas informações e o livro-base Estatística e considerando que o desvio padrão amostral é aproximadamente s=0,1489s=0,1489 , assinale com (V) as afirmativas verdadeiras e (F) as falsas: I. ( ) a moda tem valor 19,26. II. ( ) O primeiro coeficiente de assimetria de Person é aproximadamente 0,2. III.( ) 25% da amostra tem densidade igual ou inferior a 19,17g/cm319,17g/cm3 , valor do primeiro quartil. Agora, marque a alternativa que contém a sequência correta: A V−F−VV−F−V B F−V−VF−V−V C V−F−FV−F−F D F−V−FF−V−FE V−V−FV−V−F Questão 3/5 - Estatística Leia o texto a seguir: “Podemos considerar a estatística como a ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Costa Neto, P. L. O. Estatística. São Paulo: Edgard Blücher, 1977, p. 1. De acordo com os conteúdos do livro-base Estatística acerca de conceitos básicos da estatística descritiva, leia as seguintes afirmações: I. População ou universo é um conjunto de elementos com pelo menos uma característica em comum. II. Uma parte da população retirada para analisá-la denomina-se Amostra. III. Parte da estatística que se preocupa somente com a descrição de determinadas características de um grupo, sem tirar conclusões sobre um grupo maior, denomina-se Estatística Descritiva. IV. No estudo dos fatores que influenciam a produção em uma empresa contendo 9000 funcionários, a população de interesse é composta por esses 9000 funcionários. Estão corretas apenas as afirmativas: A I, II e III. B II e III. C I, II, III e IV D I e III E III e IV Questão 4/5 - Estatística Leia a citação a seguir: “A variável será quantitativa quando seus valores forem expressos em números. As variáveis quantitativas podem ser subdivididas em quantitativas discretas e quantitativas contínuas”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Costa Neto, P. L. O. Estatística. São Paulo: Edgard Blücher, 1977, p. 6 Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Estatística sobre conceitos básicos da estatística descritiva, relacione os tipos de variáveis abaixo às variáveis propostas: 1. para variável qualitativa. 2. para variável quantitativa contínua. 3. para variável quantitativa discreta. ( ) Cor dos olhos de um indivíduo. ( ) Índice de liquidez nas indústrias catarinenses. ( ) Número de peças com defeito. ( ) Número de defeitos em aparelhos de TV. ( ) Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa. Marque a alternativa que contém a sequência correta: A 1 – 2 – 3 – 3 – 2 B 2 – 3 – 1 – 3 - 2 C 2 – 3 – 1 – 2 – 1 D 1 – 1 – 2 – 3 - 2 E 1 – 1 – 3 – 2 - 3 Questão 5/5 - Estatística Leia trecho de texto a seguir: “Em muitas situações, uma estimativa de um parâmetro não fornece informação completa para um engenheiro. […] Uma outra abordagem é usar um intervalo de confiança para expressar o grau de incerteza associado com uma estimativa”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: MONTGOMERY, D, C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2003, p. 139. Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Estatística sobre intervalos de confiança, leia as seguintes afirmações: I. Em uma amostra de 80 peças mecânicas, verificou-se que 10 estavam fora das especificações exigidas. Então o intervalo de confiança de 99% para a proporção de comprimentos tem limite inferior a 0,029757 e superior a 0,220243 aproximadamente. II. Uma amostra de 5 corpos de prova de uma obra apresentou os seguintes resultados: 245 260 254 248 e 256 (kgf/cm2). Para estimar a resistência média à compressão, foi determinado o intervalo de confiança de 99% para a verdadeira resistência média à compressão. O limite inferior é igual a 240,10 kgf/cm2 aproximadamente. III. Uma amostra de 35 barras de aço foram ensaiadas e apresentaram tração média igual a 70 kgf/mm2. Dado o desvio padrão das tensões limites de tração de barras de aço ser 15 kgf/mm2, então os limites da verdadeira tensão limite de tração através de um I. C. de 95% são 65,03 kgf/mm2 e 74,97 kgf/mm2 aproximadamente. Estão corretas apenas as seguintes afirmativas: A I. B II. C III. D I e III. E I, II e III.
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