Matemática BB - 253pg

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Concurso Público Banco do Brasil
INTRODUÇÃO
Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais,
irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco
primeiros.
O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e
positivos.
O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos.
O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações,
já os irracionais não podem ser escritos na forma de fração.
Os reais vão englobar todos os anteriores.
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NÚMEROS NATURAIS
Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o
conjunto dos números naturais, representados pela letra IN:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural
sempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor.
Exemplos:
v o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9.
v o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003.
v Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1.
Exercícios Resolvidos
1) Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os
pares de números consecutivos entre esses números:
2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255
Resolução:
0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256
2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As
idades de Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um
número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson
tem?
Resolução:
Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se
Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor
de 46, então esta idade será 48 anos.
3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7.
Resolução:
Seja o conjunto: A = {x Î IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado
do exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim:
A = {4, 5, 6}
ADIÇÃO
Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja
passar por Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120
km e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá
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percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil de
responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405 km.
Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas as
unidades de dois, ou mais, números dados.
O resultado da operação chama-se soma ou total, e os números que se
somam, parcelas ou termos.
Propriedades
Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex:
8 + 6 = 14
Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, o
resultado é o próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 +
0 = 3
Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma.
Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16
Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumas
de suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associações
são denominados:
( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves
Exemplos:
8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16
13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27
De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c
Nota:
Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulas
para entendermos o significado das sentenças.
Exemplo:
1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro."
2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro."
Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes,
pelo fato da vírgula ter sido deslocada.
Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses,
colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os
sinais na seqüência:
( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves
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Exemplo:
A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a
importância da associação.
Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja soma
seja igual a ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior.
Exemplo:
9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi dissociado em dois outros 5 e
4).
De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c.
Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode ser retirado.
Exemplo:
20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3
SUBTRAÇÃO
Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta bancária. Quando retirou um
extrato, observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha
em sua conta antes do depósito?
Para saber, efetuamos uma subtração:
2 137
1 200
R$ 937,00
minuendo
subtraendo
resto ou
diferença
Denomina-se subtração a diferença entre dois números, dados numa certa
ordem, um terceiro número que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. A
subtração é uma operação inversa da adição.
O primeiro número recebe o nome de minuendo e o segundo de
subtraendo, e são chamados termos da subtração. A diferença é chamada de
resto.
Propriedades
Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo dos números
naturais, não existe a diferença entre dois números quando o primeiro é menor
que o segundo. Ex: 3 - 5
Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9 - 0 ¹ 0 - 9
Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8
- 3) = 15 - 5 = 10
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Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração,
a diferença não se altera.
Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos
(15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7
MULTIPLICAÇÃO
Multiplicar é somar parcelas iguais.
Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15
Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e o
número de vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado
é chamado de produto.
Então:
5
´ 3
15
multiplicando
multiplicador
produto
Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, um
denominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o
primeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e o
multiplicador são chamados de fatores.
Propriedades
1) Fechamento - O produto de dois números naturais é sempre um número
natural.
Ex: 5 x 2 = 10
2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da
multiplicação porque não afeta o produto.
Ex: 10 x 1 = 10
3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto.
Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20
4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ou
uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelas
ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os
resultados.
Exemplo:
1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27
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2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15
Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por
todos os termos.
Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeira
pelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos.
Exemplo:
(6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63
DIVISÃO
Divisão Exata
Divisão exata é a operação que tem porfim, dados dois números, numa
certa ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o
primeiro. A indicação dessa operação é feita com os sinais:ou ¸ que se lê:
dividido por. O primeiro número chama-se dividendo, o segundo divisor e o
resultado da operação, quociente.
Exemplo:
15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15
Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente.
Divisão Aproximada
No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que não se
encontra um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é
menor que 53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53.
O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa o
dividendo 53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade por
falta, porque o erro que se comete, quando se toma o número 8 para o quociente,
é menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definição: chama-se resto de
uma divisão aproximada a diferença entre o dividendo e o produto do quociente
aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita assim:
DIVIDENDO = DIVISOR ´ QUOCIENTE + RESTO
Exemplo:
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Þ 53 = 6 ´ 8 + 5
NÚMEROS INTEIROS (Z)
Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um comerciante desejando
ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "-
3", a partir daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos Números
Inteiros, hoje, representamos pela letra Z.
Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}
A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem começo nem fim.
Concluímos, então, que todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor.
Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, ilustraremos exemplos da
adição e multiplicação.
ADIÇÃO
v Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal.
Exemplos:
(+2) + (+3) = +5
(-2) + (-3) = - 5
v Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em
módulo.
Exemplos:
(-2) + (+3) = +1
(+2) + (-3) = -1
Exercícios Resolvidos
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1) Calcule a soma algébrica: -150 - 200 + 100 + 300
Resolução:
-150 - 200 + 100 + 300
-350 + 100 + 300
-250 + 300
50
2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com Marcelo e perdeu 7
figurinhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com
Hudson ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do jogo?
Resolução:
Representando em soma algébrica:
20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0
Resposta: Nenhuma.
MULTIPLICAÇÃO
Na multiplicação de números inteiros vamos, sempre, considerar a seguinte regra:
(+) . (+) = (+)
(+) . (-) = (-)
(-) . (+) = (-)
(-) . (-) = (+)
Exemplos:
v (+2) ´ (+3) = (+6)
v (+2) ´ (- 3) = (- 6)
v (-2) ´ (+ 3) = (- 6)
v (-2) ´ (- 3) = (+ 6)
Exercício Resolvido
1) Calcule o valor da expressão abaixo:
{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1)
Resolução:
{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1)
{12 + [-6 - 7]} .[-12 -(-16)] + (-14) - (-3)
{12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3
{12 - 13} . 4 - 14 + 3
{-1}.4 - 14 + 3
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-4 - 14 + 3
-18 + 3
-15
NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES
São aqueles constituído pelos números inteiros e pelas frações positivas e
negativas. Número racional é todo número indicado pela expressão b
a
, com b ¹ 0
e é representado pela letra Q.
Atenção:
I) Todo número natural é um racional.
II) Todo número inteiro relativo é racional.
FRAÇÕES
Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais
partes da unidade que foi dividida em partes iguais.
Exemplos:
v 1 hora = 60 minutos
v ¼ hora = 15 minutos
v 4
2
hora = 30 minutos
v 4
3
hora = 45 minutos
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Þ Representação
Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo
uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente
de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração.
O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o
numerador, quantas partes foram tomadas.
As frações podem ser decimais e ordinárias.
FRAÇÕES DECIMAIS
Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja,
10, 100, 1000, etc.
Exemplo:
FRAÇÕES ORDINÁRIAS
São todas as outras frações:
TIPOS DE FRAÇÕES
a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a
fração é menor que a unidade.
Exemplo:
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b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador.
Nesse caso a fração é maior que a unidade.
Exemplo:
c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo
denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos
números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador.
Exemplo:
d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é,
não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos
entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum.
Exemplo:
Simplificando-se
36
24 , temos
3
2 (fração irredutível)
REDUÇÕE DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
1) Reduzem-se as frações à forma irredutível
2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações
3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultado
da divisão.
Exemplo:
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1-)
6
3 =
2
1
2-)
mmc (2, 5, 7) = 70
3-)
5
2 ,
2
1 ,
7
4 Þ
70
,
70
,
70
Þ
70
28 ,
70
35 ,
70
40
PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES
1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo
número diferente de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por
esse número.
Exemplo:
Seja a fração 10
3
. Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração 10
6
,
que é duas vezes maior que 10
3
, pois se em 10
6
tomamos 6 das 10 divisões da
unidade, em 10
3
tomamos apenas três.
Ilustração:
Observando a ilustração, verificamos que 10
3
é duas vezes menor que 10
6
.
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2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número
diferente de zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por esse
número.
Exemplo:
Seja a fração 5
2
. Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração 10
2
, que é
duas vezes menor que 5
2
, pois em 5
2
dividimos a unidade em 5 partes iguais e das
cinco tomamos duas, enquanto que em 10
2
, a mesma unidade foi dividida em 10
partes iguais e tomadas apenas duas em dez.
Ilustrações:
Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que 5
2
é duas vezes maior que
10
2
.
3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de
zero, o valor da fração não se altera.
Exemplo:
5
2 Þ
2
2
×
×
5
2 Þ
10
4
Logo:
5
2 =
10
4
Ilustrações:
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NÚMEROS MISTOS
Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração.
Para transformarmos um número misto em uma fração, bastamultiplicar o
denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado
obtido com o numerador.
Exemplo:
7
4
6 =
7
442 + =
7
46
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual
a menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação:
1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior
numerador.
Exemplo:
10
4 >
10
3 >
10
1
2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor
denominador.
Exemplo:
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5
4 >
7
4 >
10
4
3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a
comparação é feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo
numerador.
Exemplo:
5
2 <
2
1 <
7
4 Þ
70
28 <
70
35 <
70
40
Exercício Resolvido
1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <.
5
4 ,
10
7 ,
5
2 ,
2
1 ,
3
6
Resolução:
Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc
(2, 3, 5, 10) = 30:
5
4 ,
10
7 ,
5
2 ,
2
1 ,
3
6 Þ
30
,
30
,
30
,
30
,
30
Þ
Þ
30
24 ,
30
21 ,
30
12 ,
30
15 ,
30
60
Logo:
30
12 <
30
15 <
30
21 <
30
24 <
30
60 Þ
5
2 <
2
1 <
10
7 <
5
4 <
3
6
FRAÇÕES EQUIVALENTES
São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são
frações de mesmo valor.
Na figura acima temos:
2
1 =
6
3 =
4
2
logo são frações equivalentes.
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SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o
denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta
dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número.
1 O . M o d o :
48
36
Þ
4
4
48
36
¸
¸
Þ
12
9
Þ
3
3
12
9
¸
¸
Þ
4
3
4
3
está na sua forma irredutível.
2O. Modo:
Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor
comum) entre o mdc (48,36) = 12
12
12
48
36
¸
¸ Þ
4
3
Exercício Resolvido
1) Obter 3 frações equivalentes a 5
3
.
Resolução:
Basta tomar os termos da fração 5
3
multiplicá-lo por um mesmo número diferente
de zero:
3
3
5
3
´
´
=
15
9
7
7
5
3
´
´
=
35
21
12
12
5
3
´
´
=
60
36
ADIÇÃO DE FRAÇÕES
Temos dois casos à considerar:
v Caso 1:
Denominadores Iguais
"Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum".
Exemplo:
5
11 +
5
9 +
5
2 =
5
2911 ++ =
5
22
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v Caso 2:
Denominadores Diferentes
"Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra
anterior ".
Exemplo:
5
4 +
10
7 +
5
2 +
2
1 +
3
6 Þ
30
24 +
30
21 +
30
12 +
30
15 +
30
60 Þ
Þ
30
6015122124 ++++ =
30
132
Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível:
6
6
30
132
¸
¸ =
5
22
Nota:
Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os
números mistos em frações impróprias.
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição
(Caso 1 e Caso 2).
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os
numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre:
Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores.
Exemplos:
Þ
5
3
´
7
6 =
75
63
´
´ =
35
18
Þ
5
4 ´
10
7 ´
5
2 =
5105
274
´´
´´ =
250
56 =
2
2
250
56
¸
¸ =
125
28
Nota:
Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o
produto, observe:
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5
4 ´
10
7 ´
5
2 =
5
2 ´
5
7 ´
5
2 =
125
28
, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro.
DIVISÃO DE FRAÇÕES
Na divisão de duas frações, vamos sempre:
Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.
Exemplo:
Þ
5
3 ¸
7
6 =
5
3 ´
6
7 =
5
1 ´
2
7 =
25
71
´
´ =
10
7
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS
O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de
frações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem:
1º) As multiplicações e divisões
2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e
chaves.
Exemplo:
Vamos resolver a seguinte expressão:
ú
û
ù
ê
ë
é
¸×+¸¸ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-
6
5
2
1
3
4
7
11
3
11
5
2
2
4
1
2
9 =
= ú
û
ù
ê
ë
é
¸+´¸ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +
-
6
5
6
4
11
7
3
11
5
210
4
1
2
9 =
= úû
ù
êë
é ´+¸úû
ù
êë
é ´-
5
6
6
4
3
7
5
12
4
1
2
9 = úû
ù
êë
é +¸úû
ù
êë
é -
5
4
3
7
5
3
2
9 =
= úû
ù
êë
é +¸úû
ù
êë
é -
15
1235
10
645 =
15
47
10
39
¸ =
47
15
10
39
´ =
=
47
3
2
39
´ =
47
3
2
39
´ =
94
117
NÚMEROS REAIS (IR)
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A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos
números reais, representado pela letra IR.
Observe o diagrama:
v Observação Þ "Números Irracionais"
A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa o
conjunto dos números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que não
podem ser escritos na forma de fração:
Exemplos:
2 , 3 , p etc.
EXERCÍCIOS
P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5
?
P2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para que resulte um número
divisível por 3 ?
P3) Qual o menor número que se deve somar a 12318 para que resulte um número
divisível por 5 ?
P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9
não sobra nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as
bolinhas?
P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemos
afirmar que o conjunto A tem :
a) 5 elementos b) 6 elementos
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c) 7 elementos d) 8 elementos
P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um
número divisível por 252?
P7) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 2205 para se obter um
número divisível por 1050?
P8) Assinalar a alternativa correta.
a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos
b) Todo número primo é divisível por 1
c) Às vezes um número primo não tem divisor
d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor
P9) Assinalar a alternativa falsa:
a) O zero tem infinitos divisores
b) Há números que tem somente dois divisores: são os primos;
c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo;
d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero.
P10) Para se saber se um número natural é primo não:
a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos;
b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos;
c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos;
d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos.
P11) Determinar o número de divisores de 270.
P12) Calcule o valor das expressões abaixo:
a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)
b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2
c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2+ 4) ] } + 7
d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ]
e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2
f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13
P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a
fim de que os quocientes sejam iguais.
a) 15 e 17 b) 16 e 18
c) 14 e 18 d) 12 e16
P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108
e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível.
Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de
cada uma.
9, 8, 6 partes de 18 metros
8, 6, 5 partes de 18 metros
9, 7, 6 partes de 18 metros
10, 8, 4 partes de 18 metros
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e) e) e)
P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um
terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do
terreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros?
a) 562 árvores b) 528 árvores
c) 474 árvores d) 436 árvores
P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os
senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três
cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses
cargos?
P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda
tem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes
esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro?
P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro
percorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas
partido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente
no ponto de partida e quantas voltas darão cada um?
P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75
dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinado
momento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior,
estes dentes estarão juntos novamente?
P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos
afirmar que:
a) os números são primos
b) eles são divisíveis entre si
c) os números são primos entre si
d) os números são ímpares
P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8
minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às
7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que
horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas?
P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20
minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos;
às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outras
horas, quando os embarques coincidem até as 18 horas.
P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos
ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?
P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são os
números?
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P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma
peça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça,
depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender?
P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4
do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu
cada um ?
P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro
comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12
metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça
?
P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro,
1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o
preço do terreno ?
P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou
com R$80,00. Quanto possuía?
P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4?
P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do
restante. Quanto falta para atingir o cume?
P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3
unidades?
P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30
minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem?
P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual
das duas comeu mais e quanto sobrou?
P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse
número?
P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas
balas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o
segundo deu ½ do que possuía ao terceiro?
P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro
recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?
P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo
enche 3/7 desse tanque?
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P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o
segundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais.
Quanto recebeu cada pobre?
P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais
1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam
lutando?
P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda
mais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar?
P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco
quilômetros e assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o
corredor e qual o total do percurso, em quilômetros?
P43) Efetuar as adições:
1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98
2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39
P44) Efetuar as subtrações:
1º) 6,03 - 2,9456
2º) 1 - 0,34781
P45) Efetuar as multiplicações
1º) 4,31 x 0,012
2º) 1,2 x 0,021 x 4
P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta.
1º) 56 por 17 a menos de 0,01
2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1
3º) 5 por 7 a menos de 0,001
P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições:
Escreva a representação decimal do número de acertos;
Transformar numa fração decimal;
Escreva em % o número de acertos de Luciana.
d) d) d)
P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das
operações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005).
P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que
representa o número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu 10
81
; Ele
acertou ou errou a resposta.
P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor
?
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P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o
mesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75?
P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x .
P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custa
R$ 7,50. Uma indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que
custa R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato?
P54) Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes de
um banco, tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duas
pessoas na fila é 0,45m.
Responder:
a) Quantas pessoas estão na fila?
b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto tempo
serão atendidas todas as pessoas que estão na fila?
GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS
P1) 1,2,3,4
P2)2
P3) 2
P4) 45
P5) B
P6) 7
P7) 10
P8) B
P9) D
P10) B
P11) 16
P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357
f) 682
P13) A
P14) B
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P15) C
P16) 1941
P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor
P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos
P19) Após 4 voltas
P20) C
P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h
P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h
P23) 24.339
P24) 72 e 48
P25) 12 metros
P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00
P27) 90 metros
P28) R$420.000,00
P29) R$300,00
P30) 155/4
P31) 2/7
P32) 24
P33) 9 h
P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada
P35) 35
P36) 6,6,15
P37) R$35.000,00
P38) 3horas
P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 ,
3º 4º e 5º R$16,00
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P40) 45.000
P41) 105
P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros
P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791
P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;
P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008;
P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714;
P47) a) 0,85 b) 100
85
c) 85%
P48) 0,05
P49) Errou, a resposta é 81/1000
P50) 2,03; 2,030 e 2,0300
P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603
P52) 13,6256
P53) a indústria A
P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.
NÚMEROS DECIMAIS
Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e
no entanto, estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito
em nosso cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de provas de
concursos públicos.
ADIÇÃO
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Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as
vírgulas se correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e,
coloca-se a vírgula na soma, em correspondência com as parcelas.
Exemplo:
13,8 + 0,052 + 2,9 =
13,8 13,800
0,052 ou 0,052
2,9 2,900
16,752 16,752
SUBTRAÇÃO
Escreve-se o subtraendo sob o número de modo que as vírgulas se
correspondam. Subtraem-se os números como se fossem inteiros, e coloca-se a
vírgula no resultado em correspondência com os dois termos.
Exemplo:
5,08 - 3,4852 =
5,0800
-3,4852
1,5948
MULTIPLICAÇÃO
Para se efetuar o produto entre números na forma decimal, deve-se multiplicar
normalmente, como se fossem números inteiros e após conta-se a quantidade de
casas decimais que cada um dos fatores apresenta somando em seguida e
transferindo para o resultado do produto.
Exemplo:
1,23 ´ 0,4 = 0,492; 12,345 ´ 5,75 = 70,98375
DIVISÃO
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Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo número de casas decimais,
desprezam-se as vírgulas de ambos, e efetua-se a divisão como se fossem
inteiros. Obtido o quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma vírgula a sua direita
e um zero a sua esquerda do resto, a fim de continuar a divisão.
Os demais algarismos do quociente serão sempre obtidos colocando-se
um zero a direita de cada resto.
Exemplo:
72,2379 ¸ 5,873
Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor temos:
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
É um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações.
A partir do estudo da adição e subtração, já podemos começar a resolver
expressões aritméticas, envolvendo adições e subtrações.
O cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada, devendo
observar-se que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses,
em seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves.
Exemplos:
1) Calcular o valor da expressão aritmética
35 - [4 + (5 - 3)]
efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos
35 - [4 + 2]
efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos
35 - 6 = 29
2) Calcular o valor da expressão aritmética
86 - {26 - [8 - (2 + 5)]}
efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos
86 - {26 - [8 - 7]}
efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos
86 - {26 - 1}
efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que
86 - 25 = 61
3) Calcular o valor da expressão aritmética
53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]}
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53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]}
53 - {52 - 0}
53 - 52 = 1
O cálculo das expressões aritméticas que contém as 4 operações (adição,
subtração, multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem:
Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições e
subtrações, respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses mais
internos, a seguir os colchetes e finalmente as chaves.
Exemplo:
54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ]
efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nos
parênteses temos:
54 - 3 x [ 10 - 7 ]
efetuando-se os colchetes vem que
54 - 3 ´ [ 3 ]
54 - 9 = 45
Exercício Resolvido
1) Resolva a seguinte expressão aritmética
{[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12
Resolução:
{ [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12
{ [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12
{ [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12
{ 23 x 2 - 2} x 2 + 12
{ 46 - 2 } x 2 + 12
44 x 2 + 12
88 + 12
100
DIVISIBILIDADE
Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não
divisível por outro.
Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será
que 762 é divisível por 2? E por 3?
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Todo número que é par é divisível por 2.
Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc.
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por
3, então o número inicial o será também.
Exemplos:
v 762, pois 7 + 6 + 2 = 15
v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18
v 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24
Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível
por 4 o número será divisível por 4.
Exemplos:
v 764, pois 64 é divisível por 4.
v 1 572, pois 72 é divisível por 4.
v 3 300, pois o número termina em dois zeros.
Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5.
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Exemplos:
760, 1 575, 3 320.
Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6.
Exemplos:
762, 1 572, 33 291.
Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos:
1O. Separe a casa das unidades do número;
2O. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2;
3O. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7,
então o número original também o será.
Exemplos:
 
v 378 é divisível por 7, pois
Passo1: 37 ........ 8
Passo 2: 8 ´ 2 = 16
Passo 3: 37 - 16 = 21
Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é.
v 4 809 é divisível por 7, pois
Passo1: 480 ........ 9
Passo 2: 9 ´ 2 = 18
Passo 3: 480 - 18 = 462
Repetindo os passos para o número encontrado:
Passo1: 46 ........ 2
Passo 2: 2 ´ 2 = 4
Passo 3: 46 - 4 = 42
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Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é.
Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o
número original também será.
Exemplos:
1 416, 33 296, 57 800, 43 000.
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por
9, então o número inicialo será também.
Exemplos:
v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18
v 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27
v 945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36
Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10.
Exemplos:
760, 3 320, 13 240.
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Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem
par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por
11.
Exemplos:
v 2 937, pois:
soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5
fazendo a diferença: 16 - 5 = 11
v 28 017, pois:
soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9
fazendo a diferença: 9 - 9 = 0
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Þ Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural.
Exemplos:
v 24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24.
v 20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0
Þ Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x.
Exemplos:
v 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8.
v 21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21.
NÚMEROS PRIMOS
Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a
unidade; ele será considerado um número primo, são eles:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO:
Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dos
números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma
dessas divisões seja exata, então o número é primo.
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Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões.
Exemplo:
Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade,
podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7.
Então, dividindo:
193 11 193 13 193 17
83 17 63 14 23 11
6 11 6
Quociente menor que o divisor Þ 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é
primo.
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores
primos.
A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores de
um número natural.
Þ Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a
unidade, a seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente
até encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisores
encontrados que serão números primos.
Exemplo:
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não se
conhecendo todos os divisores.
Þ Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dos
expoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade.
Exemplo:
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Vamos determinar o total de divisores de 80.
Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 24 ´ 51
Aumentando-se os expoentes em 1 unidade:
v 4 + 1 = 5
v 1 + 1 = 2
Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados
5 ´ 2 = 10
Portanto, o número de divisores de 80 é 10.
Nota:
Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os
divisores positivos desse número.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não
nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente.
Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao
mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números
dados.
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos
comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.
Exemplo:
1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280
Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os
menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus
menores expoentes são :
22 ´ 5 = 4 ´ 5 = 20
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Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:
MDC (60, 280) = 20
2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188
O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver
o menor expoente, então temos 22 = 4
 mdc (480, 188) = 4
MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
(MÉTODO DE EUCLIDES)
Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280.
1O. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do
meio) e o menor na segunda lacuna (do meio):
2O. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na
lacuna abaixo do 280:
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3O. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os
passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero.
4O. Passo: O último divisor encontrado será o mdc.
mdc (60, 280) = 20
Nota:
"Números Primos entre Si"
Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor
Comum entre esses números for igual a 1.
Exemplo:
21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1
 
Exercícios Resolvidos
1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de
obtermos quocientes iguais.
Resolução:
Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160
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mdc (144, 160) = 24 = 16
Então:
144 ¸ 16 = 9
O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9,
Vem que 160 ¸ 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente.
Logo os números procurados são 9 e 10,
pois 144 ¸ 9 = 16 e 160 ¸ 10 = 16.
2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56
metros de fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir
exatamente as duas dimensões?
Resolução:
Então:
mdc ( 56, 24) = 8
Resposta:
O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno
deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos
múltiplos, não nulo, comum a esses números."
Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos
múltiplos de 9.
v M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
v M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}
Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem
números que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números
18 e 36, isto é:
M(6) Ç M(9) = {0, 18, 36, ...}
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Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são
divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9.
Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é:
mmc (6, 9) = 18
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo
simultaneamente este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não
comuns escolhidos com seus maiores expoentes.
Exemplo:
Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180.Fatorando os números:
70 2 140 2 180 2
35 5 70 2 90 2
7 7 35 5 45 3
1 7 7 15 3
1 5 5
1
Então temos:
70 = 2 x 5 x 7
140 = 22 x 5 x 7
180 = 22 x 32 x 5
Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2e 5.O número 7
não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número
3 também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:
v fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.
v Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7.
 mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260
MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
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Então:
mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260
RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC
O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.
mmc (a, b) ´ mdc (a, b) = a x b
Exemplo:
Sejam os números 18 e 80
Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) ´ mdc (18, 80)
O produto é 18 ´ 80 = 1440.
Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.
80, 18 2
40, 9 2
20, 9 2
10, 9 2
5, 9 3
5, 3 3
5, 1 5
1, 1
mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720
Logo:
mdc(80, 18) = 1440 ¸ mmc(18, 80) = 1440 ¸ 720 = 2
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos
algumas indicações importantes.
I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são
múltiplos;
II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;
III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.
Exemplo:
Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias.
Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?
Resolução:
v Existe a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando
ocorrerá o novo encontro?"
Þ Múltiplo
v "Encontrar-se-ão num determinado dia"
Þ Comum
v "Quando acontecerá o novo encontro"
Þ Mínimo
Portanto
15, 20, 25 2
15, 10, 25 2
15, 5, 25 3
5, 5, 25 5
1, 1, 5 5
1, 1 1
300
Resposta:
O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.
SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
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MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m.
O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimento
de um terreno, a altura de uma sala.
Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maiores
que ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada.
Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenos
comprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego.
Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro.
Nome Símbolo Relação
Múltiplos do Metro decâmetro dam 10 m
hectômetro hm 100 m
quilômetro km 1000 m
Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 m
centímetro cm 0,01 m
milímetro mm 0,001 m
Nota:
Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizando
sucessivas multiplicações ou divisões por 10.
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MUDANÇA DE UNIDADE
Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades
abaixo representada:
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros para centímetros, vamos
multiplicar o número por 100, pois estaremos descendo dois degraus.
Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada (metros pra hectômetro
por exemplo), iríamos dividir o número por 100. Analogamente, de acordo com a
quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez.
Exemplo1:
Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros.
v hm ® m Þ ´ 100 (Desce 2 degrau)
 424,286 ´100 = 42428,6 m
Exemplo2:
Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros.
v dm ® km Þ ¸ 10.000 (Sobe 4 degraus)
5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km
OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS
RELACIONADAS AO METRO
v Polegada = 2,54 cm
v Pé = 30,48 cm
v Milha = 1609 metros
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EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO
P1) Reduzir 28,569 hm a metros.
P2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros.
P3) Quantos metros existem em 8 dm?
P4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que essa distância equivale,
em média, a 60 raios terrestres? (Nota: o raio da terra mede 6.370.000 m).
P5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos quilômetros ele fez, em
média, por hora?
P6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo empregará esse homem
para percorrer 4.240 km de uma estrada, sabendo-se que anda à razão de 100 passos por
minuto?
P7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 84,00 o metro. Se esta
fazenda foi medida com uma régua que era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro;
pergunta-se:
1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu?
2º) Quanto pagou a mais?
P8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao teto. Nos prédios de
apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de
15 andares?
P9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonal por polegadas.
Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de
16 polegadas?
P10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de comprimento, 50 cúbitos de
largura e 30 cúbitos de altura. Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da
arca de Noé.
P11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se que a distância real
de São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 400 km, essa distância corresponde a
quantos cm no mapa?
P12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão localizadas as cidades A, B, C<
D e as distâncias (em km) entre elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindo
de A, passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e chegando a D?
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P13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento.
Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço?
P14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km de
comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujo
comprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um
veículo que sai de A, passa por B e atinge C?
P15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m de
comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão
cada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no
vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé:
a) 16m
b) 17m
c) 18 m
d) 19 m
e) 20 m
GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO
P1) 2856,9
P2) 0,00456835
P3) 0,80
P4) 382.200 km
P5) 4,8 km/h
P6) 53.000 minutos
P7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80
P8) 40,50 m
P9) 40 cm
P10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura
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P11) 16 cm
P12) Passando por C
P13) 1,62 m
P14) 87,5 km
P15) E
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
"Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas curvas.
Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade".
Para medirmos as superfícies, utilizamosas unidades da área do sistema métrico
internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2) e que corresponde a um
quadrado de 1 metro de lado.
Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente
inferior.
O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a
superfície de uma fazenda.
Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro
quadrado, bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir
pequenas superfícies.
Múltiplos do Metro Quadrado
Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de
lado, eqüivalendo a 100 m2.
Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm de
lado, eqüivalendo a 10.000 m2.
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Quilômetro Quadrado (km2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de
lado, eqüivalendo a 1.000.000 m2.
Submúltiplos do Metro Quadrado
Decímetro Quadrado (dm2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de
lado, equivalendo a 0,01 m2.
Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm de
lado, equivalendo a 0,0001 m2.
Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de
lado, equivalendo a 0,000001 m2
QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre
100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade
imediatamente superior.
MUDANÇA DE UNIDADE
Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de
unidades abaixo representada:
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Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para
centímetros quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendo
dois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros
quadrados pra decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000.
Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator
múltiplo de cem.
MEDIDAS AGRÁRIAS
São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc.
As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem designações especiais.
A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam2 ou
seja 100 m2.
O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo:
v O múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro quadrado. Seu símbolo é
ha.
v O submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor corresponde a 0,01 are e
equivale a 1m2.
Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado 10.000 m2
are a Decâmetro quadrado 100 m2
Sub-múltiplo centiare ca Metro quadrado 1 m2
Observação:
Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal.
v Alqueire Paulista = 24.200 m2
v Alqueire Mineiro = 48.400 m2
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EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS
P1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2?
P2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa reserva em ha?
P3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km2?
P4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada para
pasto. Quantos m2 de pasto foram formados nessa gleba?
P5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele comprou?
P6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires
(mineiros) de pasto de excelente qualidade. Quantos m2 de pasto foram formados nessa
fazenda?
P7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m2, a
superfície ocupada pela plantação?
GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS
P1) 60.000 m2
P2) 12,28 ha
P3) 4,06 km2
P4) 3750 m2
P5) 145.20 m2
P6) 2.420.000 m2
P7) 420.000 m2
MEDIDAS DE CAPACIDADE
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" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior".
Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio
litro, estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter.
Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para
medir os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada
litros, que se abrevia por l.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de
aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro cúbico.
Exemplo:
O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de
25m3 de água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa?
·25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000l
MUDANÇA DE UNIDADE
Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que
as mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-
se a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como
foi dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo:
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EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE
P1) Expressar 2l em ml.
P2) Sabendo-se que 1dm3 = 1l, expressar 250 l em cm3.
P3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último
mês foi de 36m3, quantos litros de água foram consumidos?
P4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser
colocada em ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta
quantidade de vacina?
P5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litros
de combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia?
P6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando deles
foram retirados 2.200 l. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água
que restou. Nessas condições, quantos litros ainda restam no reservatório?
P7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é a
capacidade máxima em ml desta ampola?
P8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de
0,24m3?
GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE
P1) 2000ml
P2) 250000 cm3
P3) 36.000 litros
P4) 40.000 ampolas
P5) 85.000l de combustível
P6) 5200 litros
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MEDIDAS DE MASSA
"Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém".
O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem para
medir a massa de um corpo.
A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetro
cúbico de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado
como unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual a
milésima parte do quilograma ou seja,
1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g.
RELAÇÃO IMPORTANTE
Volume Capacidade Massa
1 dm3 = 1 litro = 1 kg
Exemplo:
Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 5m3 de água pura. Qual é o
peso (massa) da água contida neste recipiente?
v 5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kg
Logo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg
OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA
v Tonelada (T) = 1.000 kg
v Megaton = 1.000 toneladas
v Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais preciosos)
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EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSAP1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo
número de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados
para fazer esses blocos?
P2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1/4 T. de
massa. Qual a massa da laje toda?
P3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg há
em 6 m3 dessa substância?
P4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa toma três desses
comprimidos por dia. Quantos miligramas de vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mês
de 30 dias?
P5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m3 o
volume interno desse recipiente?
P6) Um volume de 0,01 m3 corresponde a quantos decímetros cúbicos?
P7) Um reservatório tem um volume de 81 m3 e está totalmente cheio d´água. Uma válvula
colocada nesse reservatório deixa passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvula
ficou aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se que havia, ainda
27m3 de água no reservatório. Durante quanto tempo esta válvula permaneceu aberta?
a) 8 horas
b) 9 horas
c) 12 horas
d) 18 horas
e) 36 horas
GABARITO - MEDIDAS DE MASSA
P1) 18.750 kg
P2) 50 T
P3) 15.000 kg
P4) 315 mg
P5) 18 m3
P6) 10 dm3
P7) B
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MEDIDAS DE TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que se
apresentam somente como múltiplos, constam no quadro:
NOMES Símbolos Valores em
segundos
Segundo s ou seg 1
Minuto min 60
Hora h 3.600
Dia d 86.400
Outras unidades, usadas na prática, são:
v Semana (se) 7 dias
v Mês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 dias
v Ano (a) 360, 365 ou 366 dias
O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 dias, o ano civil tem 365 dias e
ano bissexto 366 dias.
Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; os
meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nos
anos comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos.
Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por exemplo:
1940, 1952, 1964 são bissextos
1910, 1953, 1965 não são bissextos
Nomenclaturas:
v 02 anos chama-se biênio
v 03 anos chama-se triênio
v 04 anos chama-se quadriênio
v 05 anos chama-se quinquênio ou lustro
v 10 anos chama-se decênio ou década
v 100 anos chama-se século
v 1000 anos chama-se milênio
v 02 meses chama-se bimestre
v 03 meses chama-se trimestre
v 06 meses chama-se semestre
A representação do número complexo que indica unidade de tempo, é feita
escrevendo-se em ordem decrescente o valor, s números correspondentes às diversas
unidades acompanhados dos respectivos símbolos.
Exemplo:
v 9 a 4 me 18 d 15 h 23 min 17 seg
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MUDANÇA DE UNIDADES
Podem ocorrer dois casos:
Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas de
medidas simples ou número incomplexo.
Exemplo:
Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min?
v Como 1 dia tem 24 horas ® 24 h x 3 = 72 h
v Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h.
v Como a hora vale 60 min. ® 80 h x 60 min = 4800 min.
v Somando-se ainda mais 13 min. ® 4813 min.
Caso2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferiores
ou em números incomplexos.
Exemplo:
Transformar 4813 min. em número não decimal, é o mesmo que determinar quantos
dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas do
problema anterior.
v 4813 ¸ 60 = 80 h e 13 min
v 80h ¸ 24 = 3 d e 8 h
Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos.
EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO
P1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana?
b) Quantas horas há em duas semanas?
P2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos.
b) 4 a 8 me 12 d em dias.
P3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min.
P4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.
P5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d.
Qual é a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?
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P6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na
verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde?
GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO
P1) a) 10.080 min b) 336 h
P2) a) 3.615 min b) 1.712 dias
P3) 242 d 18 h 21 min
P4) 7 me e 20 d
P5) 1 a 10me 14d
P6) 4 h 58 min
INTRODUÇÃO
Antes de iniciarmos o estudo de perímetros de figuras planas, vamos
revisar alguns conceitos básicos da Geometria Plana.
ÂNGULOS
"Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem".
Ângulo: BOˆA
BISSETRIZ
"É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o divide em 2 ângulos
congruentes".
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ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
"São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas aos lados do outro,
como ilustra a figura".
TEOREMA: ba ˆˆ =
CLASSIFICAÇÕES
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ÂNGULOS ADJACENTES
TRIÂNGULOS
"Os Triângulos são Polígonos de três lados".
CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS LADOS
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CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS ÂNGULOS
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QUADRILÁTEROS
"Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados".
TRAPÉZIO
"Quadrilátero com dois lados paralelos e ângulos consecutivos (agudo e obtuso)
suplementares".
Trapézio ABCD:
v AD // BC
v Aˆ + Bˆ = 180O
v Cˆ + Dˆ = 180º
PARALELOGRAMO
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos, ângulos opostos iguais e
consecutivos suplementares".
Paralelogramo ABCD:
v AB // CD e AC // BD
v Aˆ + Bˆ = 180O
v Cˆ + Dˆ = 180º
v Aˆ = Dˆ e Cˆ = Bˆ
LOSANGO
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"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos opostos iguais e
ângulos consecutivos suplementares".
Losango ABCD:
v AB // CD e AC // BD
v AB =BC = CD = AD
v Aˆ + Bˆ = 180O
v Cˆ + Dˆ = 180º
v Aˆ = Cˆ e Dˆ = Bˆ
RETÂNGULO
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos ângulos internos de medida igual a
90O".
Retângulo ABCD:
v AB // CD e
v AD // BC
v Aˆ =Bˆ = Cˆ =Dˆ =90O
QUADRADO
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos internos de
medida igual a 90O".
Quadrado ABCD:
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v AB // CD e AD // BC
v AB = BC = CD = AD
v Aˆ =Bˆ = Cˆ = Dˆ = 90O
POLÍGONOS DIVERSOS
Além dos triângulos e quadriláteros, temos polígonos de lados maiores que 4,
que é o caso do Pentágono (5 lados), Hexágono (6 lados), e assim
sucessivamente. Observe a tabela abaixo, referente aos nomes dos polígonos:
Nomenclatura
Número de lados
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
20 Icoságono
Exemplos:
v Pentágono
 
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v Hexágono
Notas:
 
v "Polígonos Regulares"
Os polígonos são ditos regulares quando seus lados e ângulos são iguais entre
si. Por exemplo, um polígono regular de três lados é triângulo eqüilátero, oude
quatro lados, o quadrado.
 
v Perímetro dos Polígonos
Para a obtenção do perímetro de qualquer figura plana é necessário apenas, soma
os lados da figura em questão.
EXERCÍCIOS / FIGURAS PLANAS
P1) Um terreno é retangular. As medidas dos seus lados são 58 m e 22,5 m. Se esse terreno
precisa ser murado em todo o seu contorno, determine:
a) Quantos metros de muro devem ser construídos?
b) Quantos tijolos serão usados na construção do muro, se para cada m de muro são usados
45 tijolos?
P2) Um jardim é quadrado e cada um de seus lados mede 62,5m nestas condições:
a) Se Manoel der 3 voltas completas em torno do jardim, quantos m ele andará?
b) Se Helena andar a metade da medida do contorno desse jardim, quantos m ela andará?
P3) Um jardim é retangular. O maior lado desse jardim mede 150 m e o lado menor mede
3/5 do maior. Nestas condições.
a) Quanto mede o menor lado do jardim?
b) Qual a medida do contorno desse jardim?
P4) Raul tem 100 m de tela de arame para fazer uma cerca. Nessas condições:
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a) Ele poderia fazer uma cerca de 23 m de lado?
b) Ele poderia fazer uma cerca retangular de 32 m de comprimento por 12 m de largura?
c) Quais as medidas de uma cerca retangular que ele poderia fazer usando toda a tela que
tem?
P5) Usando um pedaço de barbante, Helena mediu o contorno de uma mesa quadrada e
encontrou ao todo 8 pedaços. Se esse pedaço de barbante mede 24 polegadas, calcule:
a) Quantas polegadas mede o contorno da mesa?
b) Quantos cm mede o contorno dessa mesa, se uma polegada mede 2,5 cm.
P6) Um hexágono regular tem 6 lados, todos com a mesma medida. Se o perímetro desse
hexágono é 51 cm, quanto mede cada lado desse hexágono?
GABARITO - PERÍMETROS
P1) a) 161 m b) 7245 tijolos
P2) a) 750 m b) 125 m
P3) a) 90 m b) 480 m c) 2400 m
P4) a) sim b) sim
P5) a) 192 polegadas b) 480 cm
P6) 8,5 cm
ÁREAS DE POLÍGONOS
Quando medimos superfícies tais como um terreno, ou piso de uma sala,
ou ainda uma parede, obtemos um número, que é a sua área.
"Área é um número real, maior ou igual a zero, que representa a medida de uma
superfície."
Obteremos, portanto, as relações que vão nos auxiliar a encontrar as áreas
dos polígonos mais comuns.
RETÂNGULO (SR)
A área de uma região retangular de altura h e base b é dada por b ´ h unidades de
área, ou seja:
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SR = b ´ h
QUADRADO (SQ)
A área de uma região quadrada de lado a é dada por (a ´ a
= a2) unidades de área, ou seja:
SQ = a ´ a = a2
PARALELOGRAMO (SP 
Vamos recortar o triângulo ADH e coloca-lo no espaço existente no lado
BC:
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Como as duas áreas são iguais, podemos dizer que a área da região limitada por
um paralelogramo é dada multiplicando-se o comprimento (ou base) b pela
largura (ou altura) h, ou seja:
SP = b ´ h
TRIÂNGULO (SD)
Para chegarmos na fórmula para cálculo da área limitada por um triângulo vamos
primeiramente dividir um retângulo por uma das diagonais, encontrando assim
dois triângulos retângulos congruentes:
Observando a figura acima, concluímos que a área de um triângulo pode
ser obtida pela metade da área de um retângulo:
SD = 2
SR =
2
hb´
SD = 2
hb´
LOSANGO (SL)
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Seja o Losango MNPQ abaixo de diagonal maior D e diagonal menor d.
Para deduzirmos qual a fórmula para cálculo da sua área vamos separa-lo em
dois outros triângulos (DMNP e DMQP) de base D e altura d/2 congruentes entre
si:
Logo: SL = 2 ´ S1 = 2 x
2
.D
2
d
= 2 ´
4
d.D =
2
d.D
2
d.DSL =
TRAPÉZIO (ST)
Seja o Trapézio abaixo de base menor b, base maior B e altura h.
Para deduzirmos a fórmula para o cálculo da área limitada por um trapézio,
vamos inverter sua posição e "encaixar" num segundo trapézio idêntico ao
primeiro, observe:
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Desta forma, encontramos um paralelogramo, e para calcular a área de um
paralelogramo basta multiplicar a sua base pela sua altura, logo:
SP = 2 ´ ST Þ ST = 2
SP Þ ST = 2
alturabase ´
 
ST = 2
b).h(B +
CÍRCULO
A área de um círculo de raio r é dada por:
S = p . r2
SETOR CIRCULAR
Se a é dado em graus, a área do setor circular pode ser calculada por:
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SSC =
2r360
á p
°
COROA CIRCULAR
A área da Coroa Circular pode ser calculada pela diferença da área do círculo
maior pela área do círculo menor.
SCC = p (R2 - r2)
Observação:
"Comprimento da Circunferência"
O comprimento de uma circunferência é calculado a partir da fórmula:
C = 2.p.R
Não confunda circunferência com o círculo: para você enxergar a diferença basta
você imaginar uma pizza, a sua borda será a circunferência e o todo o seu recheio
será o círculo.
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS)
P1) Uma parede tem 27m2 de área. Sabendo-se que já foram pintados 15m2 dessa
parede, quantos m2 de parede ainda resta pintar?
P2) Em um terreno de 5.000m2, 42% da área foi reservada ara construções,
ficando o restante como área livre. Quantos metros quadrados restaram de área
livre?
P3) Uma parede dever ser revestida com azulejos. A parede tem 20m2 de área e
cada azulejo tem 0,04m2 de área. Quantos azulejos devem ser comprados para
revestir totalmente essa parede?
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P4) Uma região retangular tem 6 m de comprimento por 4 de largura, uma região
quadrada tem 5m de lado. Qual das duas regiões tem a maior área?
P5) Consideremos uma região retangular que tem 27m de comprimento e 8 de
largura. Essa região foi dividia em duas outras regiões A e B, de forma que a área
da região A corresponde a 1/3 da área da região que foi dividida. Calcule a área de
cada região.
P6) Uma região circular tem 5m de raio. Essa região foi dividida em duas outras, A
e B, de modo que a área da região B corresponde a 40% da área da região
original. Calcule a área de cada uma dessas regiões.
P7) Foram confeccionadas 1.500 flâmulas triangulares. Cada flâmula tem 0,40m de
base de 0,15m de altura. Quantos metros quadrados foram usados na confecção
dessas flâmulas?
P8) Uma peça de madeira tem a fórmula de losango. A diagonal maior mede 50cm
e a diagonal menor 20cm. Qual a área desse losango?
P9) Calcular a base de um paralelogramo cuja a área é de 8,8336dm2 e a altura
1,52dm.
P10) A área de um losango mede 2,565 dm2 e uma das suas diagonais tem 2,7dm.
Quanto mede a outra diagonal?
P11) A base maior de um trapézio mede 2,4m e a menor é igual a 1/3 da maior.
Qual é a sua área em m2. Sabendo-se que a altura mede 8,5dm?
P12) O comprimento de uma circunferência é 25,12cm. Qual é a área da
circunferência?
P13) A medida do raio de uma circunferência é igual a metade da medida do
diâmetro dessa circunferência. Esta afirmação é falsa ou verdadeira?
P14) A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. Quando a roda desse
automóvel der 5.000 voltas completas, de quantos metros será a distância
percorrida pelo automóvel?
P15) Uma circunferência tem 80 cm de raio. Se eu dividi-la por pontos em 4 partes
de mesmo comprimento, qual será o comprimento de cada uma dessas 4 partes?
P16) Determinar o valor do raio de uma circunferência cujo comprimento é 12,56
dm.
P17) Cada uma das rodas, de 0,30 m de raio, de um automóvel, deu 4.500 voltas
percorrendo um certo trajeto. Quantos quilômetros