Filosofia da Física Clássica

são 
indispensáveis para a ciência, então devemos nos comprometer com a existência real de 
objetos matemáticos, da mesma maneira que nos comprometemos com a existência de 
entidades físicas teóricas como quarks e partículas virtuais. Opondo-se a este argumento, o 
filósofo nominalista Hartry Field vem trabalhando num projeto para mostrar como é possível 
construir teorias científicas sem números e outros objetos matemáticos, numa certa linguagem 
relacional. Conseguiu aplicar seu método para a teoria da gravitação newtoniana, mas não 
para outras teorias mais contemporâneas. A matemática seria útil para a ciência pelo fato de 
ela simplificar muito os cálculos e a expressão de enunciados das ciências exatas, mas ela não 
seria indispensável.6 
 
 
5. Questão Metodológica: Números Imaginários se aplicam à Realidade Física? 
 
Na seção anterior, vimos que a questão sobre a existência do número natural 27 pode 
receber diferentes respostas. Mas a prática do físico não é afetada por esta questão filosófica: 
qualquer que seja a resposta a essa questão “ontológica” (ou seja, questão sobre o que é real), 
é seguro supor que o número inteiro 27 “se aplica” corretamente à descrição da realidade 
nessa sala de aula. 
Podemos investigar esta questão “metodológica” em relação a números não positivos, 
como os inteiros negativos. Talvez não possamos dizer que há –5 maçãs na cesta, mas 
podemos dizer que a temperatura é –5˚C. Ou seja, pode-se dizer que os inteiros negativos se 
aplicam a certos domínios da realidade. 
E quanto aos números que representam uma reta contínua? A estrutura do espaço 
físico é a estrutura dos números racionais ou dos números reais? Na seção seguinte 
deixaremos clara a distinção entre os dois, com base na distinção entre conjuntos ordenados 
densos e completos. A questão levantada é também uma questão ontológica, mas não em 
relação à natureza dos objetos matemáticos, e sim em relação a uma entidade física, o espaço. 
Sendo assim, para examinar esta questão devemos levar em conta também as evidências 
experimentais. Deixaremos o estudo desta questão para o Cap. II. Associada a esta questão há 
também uma constatação metodológica: é usual representar o espaço físico como um espaço 
matemático tridimensional contínuo, envolvendo números reais, e não apenas números 
racionais. 
E os números imaginários? Tais números, múltiplos de i, ou 1− , surgiram com o 
matemático italiano Gerolamo Cardano, em 1545, como soluções de equações cúbicas. Em 
1637, René Descartes os chamou de “imaginários”, indicando que não os levava à sério. No 
entanto, Abraham de Moivre (1730) e Leonhard Euler (1748) os estudaram, chegando à 
notável equação que tanto fascinou o jovem Richard Feynman: 1−=πie . Isso levaria à noção 
 
6 Uma resumo sucinto da filosofia da matemática é: POSY, C.J. (1995), “Philosophy of Mathematics”, in AUDI, 
R. (org.), The Cambridge Dictionary of Philosophy, Cambridge U. Press, pp. 594-7. Sobre o argumento da 
indispensabilidade, ver: COLYVAN, M. (2004), “Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics”, 
Stanford Encyclopedia of Philosophy, na internet. O filósofo brasileiro Otávio Bueno (U. Miami) tem trabalhado 
nesta e noutras questões da filosofia da ciência e da matemática; por exemplo: BUENO, O. (2005), “Dirac and the 
Dispensability of Mathematics”, Studies in History and Philosophy of Modern Physics 36, 465-90. 
FLF0472 Filosofia da Física (USP - 2008) Cap. I: Filosofia da Matemática 
 
 5
de plano complexo, formulado por Caspar Wessel (1797), Carl Gauss (1799) e Jean Argand 
(1806), que representa os números complexos a + bi em um plano. 
A questão ontológica, da realidade dos números imaginários, não parece ser diferente 
da questão ontológica de outros objetos matemáticos. A diferença está na questão 
metodológica, pois é costume afirmar-se que “nenhuma grandeza física observável é 
representada por um número imaginário”. Números imaginários aparecem na representação 
de movimentos oscilantes ou ondulatórios, mas na hora de exprimir valores de correntes (na 
engenharia elétrica) ou de probabilidades (na mecânica quântica), o resultado é sempre 
expresso por meio de números reais. Assim, num certo sentido, números imaginários não se 
aplicam à realidade observável. Mas e a realidade não-observável? Aqui recaímos na 
discussão sobre o estatuto da realidade não-observável (realismo x instrumentalismo), que 
veremos no cap. IV. 
Alguns autores argumentam que os números imaginários não podem ser eliminados da 
mecânica quântica e das modernos teorias de campo, a não ser por procedimentos artificiais, e 
portanto eles têm aplicação essencial na física7. Por outro lado, a discussão não é que os 
números imaginários não podem ser aplicados à realidade observada, pois por convenção 
poderíamos multiplicar todos os números que representam grandezas observáveis por i, de tal 
maneira que seriam os reais não-imaginários que não teriam aplicação direta. O ponto da 
discussão é que os números reais seriam suficientes para descrever a realidade observável, 
sem necessidade de ampliar, com os números imaginários, o sistema numérico utilizado. 
 
 
6. Noções de Continuidade 
 
Consideremos o intervalo entre os números 0 e 1, e imaginemos o conjunto ordenado 
de todos os números racionais (frações) deste intervalo. Este conjunto é denso, pois entre 
quaisquer dois números racionais existe pelo menos um número racional. É fácil intuir que há 
um número infinito de racionais neste intervalo. 
No entanto, sabemos que números como 2
2 e 8π não são racionais, mas fazem parte 
do conjunto dos reais. Está claro que este conjunto é denso, mas ele também tem a 
propriedade de ser completo. Considere a seguinte seqüência crescente infinita de números 
racionais,{ }...,,,, 4504516988346512891053831 , onde cada termo n=1,2,... é expresso por [ ]∑
=
−−−
n
m
mm
1
1)14)(34( . 
Tal seqüência tem limites superiores racionais, como 52 , ou seja, há números racionais 
maiores do que todos os termos da seqüência. O problema, porém, é que não há um racional 
que seja o menor limite superior, ou supremo. Se considerarmos agora esta seqüência como 
um subconjunto dos reais, mostra-se (a partir de fórmula derivada por Gregory e Leibniz no 
séc. XVII) que tal seqüência converge para 8π , que é o supremo da seqüência. Assim, os reais 
são completos, no sentido que todas as seqüências com limite superior têm um supremo. 
Na matemática, a noção de continuidade aplica-se a funções, como y = f(x) . 
Intuitivamente, diz-se que uma função é contínua se uma pequena variação no argumento x 
levar a uma pequena variação em y. Na disciplina de Cálculo I, aprendemos a definição 
rigorosa de continuidade de Cauchy para os reais, em termos de “εpsilons e δeltas”. Se uma 
função for definida para números racionais, parece ser possível aplicar essa noção de 
 
7 WIGNER (1960), op. cit. (nota 1), pp. 225, 229. YANG, C.N. (1987), “Square Root of Minus One, Complex 
Phases and Erwin Schrödinger”, in Kilmister, C.W. (org.), Schrödinger: Centenary Celebration of a Polymath, 
Cambridge: Cambridge University Press, pp. 53-64. 
FLF0472 Filosofia da Física (USP - 2008) Cap. I: Filosofia da Matemática 
 
 6
continuidade também para os racionais. Por outro lado, o conjunto dos números reais é às 
vezes chamado de “o contínuo”. 
 
 
7. Existe o Infinito? 
 
Há uma longa história da noção de infinito na matemática, na ciência e na filosofia. 
Hoje em dia aceita-se que o Universo tenha uma extensão espacial finita, mas a questão do 
infinitamente pequeno ainda