Derivadas sucessivas

Prévia do material em texto

Derivadas sucessivas 
 
Você já deve ter percebido que, dada uma função 
( )f x
, a sua derivada 
'( )f x
 também é 
uma função (chamada de função derivada). E que, na maioria dos casos, essa nova 
função também é derivável. E também a derivada da função derivada pode ser 
derivável, e assim por diante. Esse é o assunto que será abordado nesta seção: as 
derivadas sucessivas (ou derivadas de ordem superior). 
 
Definição 10 (Definição de derivada segunda) 
 
Sejam 
( )f x
 uma função derivável, e A o conjunto dos valores de x para os quais 
existe a derivada 
'( )f x
. Se 
'( )f x
 também for derivável, então sua derivada é 
chamada de derivada segunda de 
( )f x
, e é denotada por 
' '( )f x
. 
 
Observação: sendo assim, a derivada 
'( )f x
 pode também ser chamada de derivada 
primeira de 
( )f x
. 
 
Exemplo: 
1) Calcule a derivada segunda da função 
4 3 2( ) 7 2 1f x x x x   
 . 
Solução: 
Antes de calcular a derivada segunda é necessário calcular a derivada primeira, que é: 
3 2'( ) 4 21 4f x x x x  
. 
A derivada segunda de 
( )f x
 é a derivada de sua derivada 
'( )f x
, então: 
2' '( ) 12 42 4f x x x  
. 
 
 
Definição 11 (Definição de derivadas de ordens superiores) 
 
 
Se 
' '( )f x
 é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada 
terceira de 
( )f x
 (ou derivada de terceira ordem), e é denotada por 
' ' '( )f x
. 
Se a derivada de ordem 
 1n 
 de 
( )f x
 é uma função derivável, então sua derivada é 
chamada de derivada enésima de 
( )f x
 (ou derivada de ordem n), e é denotada 
por 
 
( )
n
f x
. 
 
 
Observação: usa-se a notação 
 
( )
n
f x
 já a partir da derivada quarta, isto é, em vez de 
' ' ' '( )f x
, usa-se 
 4
( )f x
. 
 
Exemplo: 
4) Calcule a derivada de ordem 4 da função 
4 3 2( ) 7 2 1f x x x x   
. 
Solução: 
Derivada primeira: 
3 2'( ) 4 21 4f x x x x  
. 
Derivada segunda: 
2' '( ) 12 42 4f x x x  
. 
Derivada terceira: 
' ' '( ) 24 42f x x 
. 
Derivada de ordem 4: 
 4
( ) 24f x 
. 
 
5) Calcule a derivada de ordem 7 da função 
4 3 2( ) 7 2 1f x x x x   
. 
Solução: 
Você já sabe, do exemplo anterior, que a derivada de ordem 4 é 
 4
( ) 24f x 
. Assim, a 
derivada de ordem 5 é: 
 5
( ) 0f x 
; 
assim, a derivada de ordem 6 da função 
4 3 2( ) 7 2 1f x x x x   
 é: 
 6
( ) 0f x 
 
e, consequentemente, a derivada de ordem 7 é: 
 7
( ) 0f x 
. 
Esse exemplo explicita o seguinte fato: “As derivadas sucessivas de uma função 
polinomial de grau n são iguais à função nula, a partir da derivada de ordem 
 1n 
”. 
 
 
O único inconveniente de se obter uma derivada de ordem alta de uma função é a 
demora no cálculo, pois é necessário calcular todas as derivadas de ordem inferior à 
desejada. Porém, é possível obter uma regra para a derivada enésima, pelo menos nos 
casos mais simples. Essa regra é obtida ao se realizarem várias derivadas sucessivas e 
examiná-las para obter a expressão geral.