TCC TRIGONOMETRIA

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UNIP - Universidade Paulista
Educação a Distância
Curso: Matemática
Matemática aplicada ao ensino fundamental e médio
São Paulo - SP
2014
Ademar Gonçalves Lima - R.A: 1228662
Matemática aplicada ao ensino fundamental e médio
Trabalho de Conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática, apresentado à comissão julgadora da UNIP Interativa, sob a orientação do professor Ademar Gonçalves lima. 
São Paulo - SP
2014
Banca examinadora
São Paulo – SP
2014
Sumário
Lista de tabelas e gráficos
Figura 1: Distância Terra-Lua e distância Terra-Sol ..........................................................18
Figura 2: Revolução da Lua ...............................................................................................19
Figura 3: Eclipse Lunar .....................................................................................................20
Figura 4: Ângulos de visão da Lua na Terra .....................................................................20
Figura 5: Função corda ......................................................................................................21
Figura 6: Função de meia corda ou seno...........................................................................22
Figura 7: Triângulo esférico ...............................................................................................24
Figura 8: Seqt ....................................................................................................................24
Figura 9: Sombra de um gnômom......................................................................................25
Figura 10: Circunferência e alguns elementos ..................................................................30
Figura 11: Corda e Diâmetro da Circunferência ................................................................30
Figura 12: Arcos de Circunferência ...................................................................................31
Figura 13: Semicircunferências .........................................................................................31
Figura 14: Arco nulo e Arco de uma volta .........................................................................31
Figura 15: Sistema Cartesiano Ortogonal .........................................................................33
Figura 16: Ciclo Trigonométrico: arco com medida negativa.............................................34
Figura 17: Ciclo Trigonométrico: arco com medida positiva...............................................34
Figura 18: Arco de medida um radiano .............................................................................35
Figura 19: Arcos notáveis do ciclo trigonométrico e seus múltiplos: em graus e emradianos ..................................................................................................................
36
Figura 20: Esboço dos eixos trigonométricos .........................................................
38
Figura 21: Seno, cosseno, tangente e cotangente....................................................... 39
Figura 22: Secante e cossecante ..............................................................................
40
Figura 23: Foto da área externa da escola ..................................................................... 66
Figura 24: Foto da Oca construída na área externa da escola .......................................
66
Figura 25: Pátio da escola .............................................................................................
69
Figura 26: Realização de trabalhos manuais .................................................................
71
Figura 27: Painel da festa da cultura realizada em 2009 ...............................................
78
Figura 28: Signos ..........................................................................................................
82
Figura 29: A importância dos signos ...........................................................................
81
Figura 30: Materiais necessários ...................................................................................
91
Figura 31: Medindo a largura da garrafa ....................................................................
92
Fonte 32: Mostrador de horas ......................................................................................
92
Figura 33: Colando o mostrador de horas ....................................................................
93
Figura 34: Furando a garrafa .......................................................................................
93
Figura 35: Criando o ponteiro .......................................................................................
94
Figura 36: Ponteiro .......................................................................................................
94
Figura 37: Triângulo retângulo ...................................................................................
95
Figura 38: Retângulo ..................................................................................................
95
Figura 39: Suporte ......................................................................................................
95
Figura 40: Suporte ......................................................................................................
96
Figura 41: Suporte .......................................................................................................
96
Figura 42: Representação do relógio solar ...............................................................
97
Figura 43: Primeiras civilizações ..............................................................................
99
Figura 44: Perímetro da Terra ....................................................................................
104
Figura 45: Circunferências circuncêntricas ................................................................
106
Figura 46: Eixos cartesianos ......................................................................................
106
Figura 47: Semirreta OP ............................................................................................. 107
Figura 48: Retas v e z .................................................................................................
107
Figura 49: Pontos de intercecção ..............................................................................
108
Figura 50: Triângulos OBC e OPD ............................................................................
108
Figura 51: Modelo de Ciclo Trigonométrico ..............................................................108
Resumo
A matemamática aplicada é um ramo da matemática que tratata de como usar o conhecimento matemático em outros domínios. Focado neste conceito este trabalho se incubirar da aplicação da matemática aos alunos do ensino fundamental e médio. Por ser um campo muito vasto, aqui nos atentaremos para a Trigonometria, área de fundamental importância para a formação da idéia de espaço, localização a partir de um referencial e quantificação das figuras geométricas.
Todas as exposições procurarão relacionar a matemática clássica ao cotidiano dos discentes, baseado na convicção da importância do pragmatismo do ensino da matemática aos alunos do ensino fundamental e médio.
Palavras chaves: idéia de espaço, localizaão e quantificação trigonométrica.Introdução
O presente trabalho de Conclusão (TC) tem como objetivo pesquisar sobre as dificuldades enfrentadas pelos discentes para assimilar os conceitos matemáticos, em especial o estudo da trigonometria, área que exige um conhecimento prévio e aptidão para aprender novas linguagens e símbolos.
A matemática é uma disciplina importante para que o cidadão possa se posicionar de maneira soberana e assim adquira e concretizar a sua dignidade.
Busco através deste trabalho sugerir meios de o aluno aprender de maneira sincronizada para que o qualifique a adquirir novos conhecimentos baseado em um referencial conciso, este Trabalho de Conclusão está disposto da seguinte forma: capítulo um que trata um pouco da História da Trigonometria, o capítulo dois que discorre sobre elementos da Trigonometria e o capítulo 3 que trata da importância do uso da linguagem natural para auxiliar os alunos na aprendizagem da trigonometria.
CAPITULO 1: HISTORIA DA TRIGONOMETRIA
1.1. O estudo das relacoes existentes nos triangulos
O estudo das relações existentes nos triângulos surgiu com a necessidade de se medir distâncias inacessíveis, provocado pelo avanço da Astronomia, da Agrimensura e da Navegação. Não se sabe ao certo onde ele surgiu, mas há registros de que as descobertas provocadas por ele já eram utilizadas no ano 3000 a.C. O estudo das relações existentes nos triângulos era tão necessário para o desenvolvimento da Astronomia, que só no século XIII passou-se a tratar esse campo do conhecimento como assunto distinto.
O uso formal desta “ciência” só começou a ser feito quando Hiparco de Nicéia, no ano 150 a.C., produziu uma tabela com valores de cordas dos ângulos de meio em meio grau, um dos principais elementos do estudo da Trigonometria.
1.2. Angulos
O estudo de ângulos, sendo este atualmente definido como a união de um par de semirretas de mesma origem, não contidas numa mesma reta (Rezende; Queiroz, 2000, p. 21) surgiu, provavelmente como contam os historiadores, da necessidade de medir o tempo.
No início da civilização os homens eram nômades e viviam da caça e da colheita de frutos silvestres. Com o passar do tempo passaram a fixar residência próxima às margens de rios da Ásia, como o Eufrates, o Gandes e o Nilo. Quando começaram a criar animais e a cultivar plantações para sobrevivência, surgiu a necessidade de registrar a passagem do tempo, pois há animais que só se reproduzem e culturas que só nascem em determinadas épocas do ano. Além disso, as margens destes rios passavam por épocas de cheia nas quais a população do lugar não podia plantar. Quando as cheias acabavam, o solo destas margens tornava-se ótimo para o cultivo. 
Um instrumento muito utilizado na antiguidade para medir o tempo era o relógio de sol. Ele era inicialmente constituído com uma vareta posicionada de forma vertical com o solo e sob a luz solar. Esta vareta recebeu o nome de gnômom. Ao observar a sombra produzida pelo gnômom percebeu-se que seu comprimento variava conforme a hora do dia. Desta forma dava para acompanhar a passagem do tempo pela variação do comprimento da sombra.
O eixo de rotação da Terra possui uma ligeira inclinação em relação à elipse formadapela sua translação. Esta é a causa de algumas variações na posição aparente dos serescelestes e das quatro estações climáticas. Por este motivo a sombra mais curta produzida pelo gnômom, a sombra da metade do dia, não tinha seu comprimento constante: sofria uma pequena variação com o passar dos dias. Ficava mais curta nas épocas quentes e maiscomprida em épocas frias. Ao observar o ângulo formado por esta sombra e o gnômom podiase prever quanto tempo faltava para época das cheias, planejar a época propicia para a colheita e já preparar o plantio para quando as águas baixassem. De acordo com Hogben
(1970, p.54), a medição de ângulos, provavelmente ocorreu antes da medição de comprimentos: “A necessidade de mediações exatas surgiu, naturalmente, da prática de registrar o tempo, pré-requisito essencial para a vida metropolitana. É quase certo que o homem aprendeu a medir ângulos muito antes de se dar ao trabalho de medir comprimentos.”
1.3. Bases para uma nova ciência
A utilização da Trigonometria intensificou-se a partir do seu embasamento em conceitos geométricos. A relação existente entre a altura do gnômom e a sombra produzida por ele era também utilizada para medir alturas as quais não se tinha acesso. Utilizando-se do conhecimento geométrico sobre semelhança de triângulos podia-se medir as razões entre os comprimentos das sombras e comparar com as alturas do gnômom e do objeto a ser medido.
No Papiro Ahmes, escrito, aproximadamente, em 1650 a.C. e encontrado no Egito, existem indicações dos primeiros indícios do uso das razões entre os lados de um triângulo retângulo. Nele há 84 problemas que se referem a estas razões.
Sabe-se que Tales de Mileto (640-549 a.C.), um dos primeiros matemáticos a escrever sobre Geometria, se dedicava ao estudo das relações existentes entre os triângulos semelhantes. Ele se utilizou deste conhecimento para calcular o valor da altura da pirâmide Quéops.
Pitágoras (570-495 a.C), aluno de Tales, apesar de controvérsias, é atribuído a descoberta do teorema que afirma que a soma do quadrado das medidas dos lados menores de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da medida do seu maior lado, teorema do qual surgiu uma importante relação trigonométrica: sen² x + cos² x = 1, conhecida como Relação Trigonométrica Fundamental.
1.4. Medida angular
As primeiras tentativas feitas pelos babilônicos para medir a duração de um ano, através das anotações feitas sobre as observações do comprimento das sombras do gnômom, os levaram a concluir que o solstício de verão e o solstício de inverno ocorriam, aproximadamente, a cada trezentos e sessenta dias.
Segundo Hogben (1970, p.59) “não resta dúvida de que destas trezentas e sessentas divisões naturais do passeio do Sol pelo arco descrito em sua trajetória circular completa, se originou o grau”, utilizado como medida de ângulos e de arcos. Acredita-se que foi Hipceclis (180 a.C.) que escreveu a primeira obra considerando o uso do grau.
Já a utilização do radiano surgiu da necessidade de uma nova medida angular para simplificação de fórmulas matemáticas e físicas. Essa unidade de medida angular foi utilizada, primeira vez, pelo físico James T. Thomson, em 1873, e sua apresentação pública foi feita no livro Algebra Identified with Geometry (Álgebra identificada com Geometria), escrito em Londres, no ano de 1874 por Alexander J. Ellis.
1.5. Importantes descobertas pre-trigonometricas
O conhecimento a respeito da sombra do gnômom também produziu descobertas importantes, como o valor do comprimento da circunferência da Terra. Eratóstenes (276 -194a.C.), um astrônomo que nasceu em Sirene e com 40 anos foi trabalhar como bibliotecário chefe na cidade de Alexandria, ao pesquisar nos livros, ficou sabendo que no dia 21 de junho, dia do solstício de verão na cidade de Sirene, ou seja, o dia mais longo do ano, a luz do Sol refletia, ao meio dia, no fundo de um poço. Isso significava que o Sol e o poço estavam alinhados e que a sombra de um gnômom, naquele horário, não existiria. Observou que, nesta mesma hora, em Alexandria, uma torre projetava uma sombra que, através de um equipamento chamado astrolábio, indicava um ângulo de 7,2o com relação à torre. Para Eratóstenes, este era um indicativo de que a Terra era esférica. Caso contrário, a sombra da torre não existiria também. Sabendo que a distância entre Siene e Alexandria era igual a 5.000 estádios e que 7,2º corresponde a 1/50 da medida total do arco de uma circunferência, ele chegou à conclusão que o perímetro da circunferência da Terra era igual a 250.000 estádios, ou seja, 50 vezes a distância entre Sirene a Alexandria.
Aristarco de Samos (310-230 a.C.) foi o primeiro cientista a propor a existência de um sistema heliocêntrico, onde os planetasgiram em torno do Sol. Ele se dedicava a pesquisar a distância existente entre a Terra e a Lua e a distância existente entre a Terra e o Sol.
Os instrumentos utilizados por Aristarco eram muito rudimentares, o que motivou algumas imprecisões nas medidas encontradas por ele. Mas o método que ele utilizou estava correto e era sinal de boas novas para a ciência. Por isso, suas descobertas foram muito importantes e merecem ser citadas na História da Trigonometria.
Segundo Aristarco a distância existente entre o Sol e a Terra é vinte vezes maior que a distância existente entre a Lua e a Terra.
Figura 1: Distância Terra-Lua e distância Terra-Sol
Fonte: www.zenite.nu
Aristarco havia percebido que quando a Lua está na fase quarto crescente ou quarto minguante os feixes de raios solares são perpendiculares a uma reta que contem um ponto no centro da Terra (ponto T) e outro no centro da Lua (ponto L). Ele percebeu que se pudesse traçar um triângulo com um vértice em L, um vértice em T e o terceiro vértice no centro do Sol (ponto S), este triângulo seria retângulo em L (Lua).
Para medir o ângulo interno pelo vértice T do triângulo TLS, Aristarco observou que a passagem da Lua da fase quarto crescente para a fase quarto minguante durava cerca de 14 dias e seis horas. Considerando que a Lua passa pela reta TS na metade deste percurso, ela demora 7 dias e 3 horas para passar por esta reta. A revolução, movimento que a Lua realiza ao redor da Terra, dura cerca de 29 dias e meio. Sabendo que 360º equivale à circunferência da Terra, temos: 360°/(29 +1/2)dias = X°/ (7+1/2)dias.
X° = 87°
Figura 2: Revolução da Lua
Fonte: Silveira, s.d.
Os cálculos de Aristarco indicaram que a medida do ângulo S Tˆ L era, aproximadamente, 87º. Sabendo ele que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual 180º, concluiu que o ângulo T S ˆ L media, aproximadamente 3º.
Aristarco também sabia que quando dois triângulos possuem os três ângulos correspondentes congruentes, eles são semelhantes e, em triângulos semelhantes, as razões entre as medidas dos lados correspondentes são todas iguais. Sendo assim, ele construiu um triângulo T’L’S’ de ângulos L' igual a 90º, T’ igual a 87º e S’ igual a 3º, com lados L'T' e
S'T' conhecidos. Calculou a razão existente entre os comprimentos destes lados, encontrando
20
L'T'
S'T'
.
Chegou, então, à conclusão de que ST 20.LT , pois se chamasse de k a razão
existente entre os pares de segmentos correspondentes L'T' e LT e S'T' e ST , chegaria à
igualdade
L'T'
S'T'
LT
ST
, conforme segue:
Se k
LT
L'T'
e k
ST
S'T'
, então ⇔⇔
S'T'
1
.
ST
S'T'
LT
L'T'
.
S'T'
1
ST
S'T'
LT
L'T'
ST
LT
S'T'
L'T'
.LT
ST
1
LT
L'T'
.
S'T'
1
LT.
ST
1
LT
L'T'
.
S'T'
1
⇔⇔⇔
20
Atualmente sabe-se que a medida do ângulo S Tˆ L é 89,85º, o que implica na medida
de 0,15º para o ângulo T S ˆ L . Isso nos leva à conclusão de que a distância entre a Terra e o Sol
é, aproximadamente, 380 vezes a distância entre a Terra e a Lua.
2ª informação: O comprimento do diâmetro da Lua é, aproximadamente,
3
1
do
comprimento do diâmetro da Terra.
Figura 3: Eclipse Lunar
Fonte: www.ccvalg.pt/astronomia/sistema_solar/lua.htm
Aristarco percebeu esta relação, observando a sombra produzida pela Terra sobre a
Lua, durante os eclipses lunares. Atualmente se sabe-se que o diâmetro da Lua é,
aproximadamente,
100
27
do comprimento do diâmetro da Terra.
3ª informação: O triângulo formado por um ponto A aqui na Terra e pelas
extremidades B e C de um diâmetro da Lua possui os ângulos C Bˆ A e B C ˆ A medindo
89 º 4
1 e o ângulo C A ˆ B medindo º 2
1 .
Figura 4: Ângulos da visão da Lua na Terra
Fonte: Silveira, s.d.
Outras informações registradas:
O diâmetro da Lua é igual a 1/720 da órbita dela ao redor da Terra;
O diâmetro da Terra é igual a 1/3 do diâmetro da Lua.
21
A distância entre a Terra e a Lua é aproximadamente igual a 115 vezes o diâmetro
da Lua: conhecendo o valor da razão entre o comprimento de uma circunferência e
o comprimento de seu raio, aproximadamente
7
22
de acordo com Arquimedes, ele
estabeleceu a seguinte relação: fazendo TL D a distância entre a Terra e a Lua e dl o
diâmetro da Lua, temos: D 115.dl
44
7
.D 720.dl D 720.dl.
7
22
2. TL TL TL ⇔⇔≅.
1.6. O uso sistematico da Trigonometria
Inicialmente, a Trigonometria não era vista como uma ciência e sim como uma
ferramenta auxiliar no estudo da Astronomia. Conforme foi se desenvolvendo ela passou a
servir de base para o aprimoramento de diversas áreas do conhecimento.
O matemático responsável pela sistematização do uso deste novo ramo da Matemática
foi o grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.).
A Trigonometria no tempo de Hiparco baseava-se em uma única função denominada
função corda, que relacionava o ângulo formado por duas semirretas r e s, ambas com origem
no centro de uma circunferência α, com o comprimento do segmento de extremidades A e B,
respectivamente determinados pelas intersecções das semirretas r e s com a circunferência α.
Figura 5: Função corda.
Ele construiu uma tabela de função corda dos valores de meio em meio grau, até 180o,
que representou um grande avanço para os estudos astronômicos.
22
Os primeiros mapas construídos pelos homens foram os mapas estelares. Hiparco foi
responsável pela construção de um mapa que continha a posição de mil e oitenta estrelas
fixas. Antes da construção das tabelas, os cálculos envolvendo medidas astronômicas eram
muito complicados e, com as tábuas contendo o valor das cordas, tornaram-se menos
trabalhosos. Esse feito concedeu a ele o direito de ser considerado o pai da Trigonometria.
Existem indícios que Hiparco já sabia dos processos que equivalem a várias fórmulas
empregadas hoje na resolução de problemas ligados à trigonometria, como a Relação
Trigonométrica Fundamental.
Segundo Eves (2004, p. 202) como nenhum dos escritos de Hiparco chegou até nós,
tudo o que se sabe sobre suas realizações cientificas provém de fonte indireta. Entre os
matemáticos que escreveram sobre os feitos de Hiparco está Claudio Ptolomeu (85-165). Em
sua obra, o Almagesto, existe uma tábua de cordas compilada de Hiparco.
Ptolomeu foi um dos mais notáveis matemáticos da sua época. A Syntaxis
Mathemática (Coleção Matemática), escrito por ele, foi um dos mais importantes trabalhos
escritos até o inicio da era cristã. Nesta obra, chamada de Almagesto (O maior, na língua
árabe) havia o uso dos termos grau, minutos 




de grau
60
1
e segundos 




de grau
3600
1
.
Entre os séculos I e XV, a Índia, tinha domínio de um terço da economia mundial.
Nesta época, vários campos do conhecimento encontraram terreno fértil para evoluírem, como
a Engenharia, a Ciência e a Astronomia. Ao tentar aperfeiçoar o uso da função corda para que
pudesse ser utilizada de forma mais eficiente no estudo destas áreas do conhecimento, os
indianos revolucionaram o uso da Trigonometria. Passaram a utilizar funções relacionando
comprimentos de segmentos dos segmentos de retas que compõem as cordas. Sentiram, então,
a necessidade de cortar o segmento de extremidades A e B, da função corda, ao meio. Nasceu,
assim, a função meia corda, conhecida hoje como função seno, que possibilitou a ampliação
do campo de atuação da Trigonometria.
Figura 6: Função de meia corda ou seno.
23
Brahmagupta (628) é o autor da obra Brahmasphuta (Tratado de Astronomia Brama)
que possui uma tabela de senos com uma exposição minuciosa da forma de se montar uma
tabela de senos.
Por sua vez, o povo árabe, antes do século VI, residia em tribos, sem que houvesse
umaforma de governo unificado que o representasse. Essas tribos viviam da criação de
animais e do comércio.
Por volta do ano 570 nasceu Maomé que pregou o islamismo, religião que acreditava
no monoteísmo, com o desprezo de outros deuses. Meca, cidade onde se cultuava vários
deuses, era também o principal centro comercial dos árabes. Seus moradores, temendo perder
seus compradores, começaram uma perseguição a Maomé que acabou fugindo para Medina
(Cidade do Profeta).
Com sua fuga, Maomé começou a incentivar seus fiéis e se expandirem e dominar
outros territórios. O povo árabe conquistou várias regiões da Ásia Ocidental, contribuindo
para o desenvolvimento da Matemática.
Os árabes se apropriaram dos conhecimentos gregos e hindus, fazendo um trabalho de
conservação e tradução das obras produzidas por esses povos, possibilitando que esses
conhecimentos chegassem até o dia de hoje. Com isso, tiveram, conforme Eves (2004, p.
260), grande importância como divulgadores da Geometria, elemento básico para a
Trigonometria: “O papel importante desempenhado pelos árabes em geometria foi mais de
preservação do que de descoberta. O mundo lhe deve um pleito de reconhecimento por seus
esforços continuados para traduzir satisfatoriamente os clássicos gregos”.
Outra contribuição que os árabes deram para a Trigonometria foi a compilação de uma
tabela de seno reverso: R −cosA, onde R corresponde à medida do raio da circunferência
que contém o arco cujo seno foi obtido.
O matemático Al-Battâni, por sua vez, construiu uma tabela de valores para cossenos,
utilizando-se das fórmulas cosa cosb.cosc senb.senc.cosA, aplicada nos triângulos
esféricos de vértices A, B e C e cosB cosb.senA, aplicada nos triângulos esféricos de
vértices A, B e C, retângulos em C.
24
Figura 7: Triângulo esférico.
Fonte: www.if.ufrgs.br/.../fis2005/textos/esferast.htm
Foi Al-Battâni que construiu a primeira tabela trigonométrica na qual não era de uso
exclusivo da Trigonometria, mas ao uso da Álgebra.
Ao povo árabe é creditado o uso das seis funções trigonométricas: funções seno,
cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente.
Com relação às funções tangente e cotangente, Kennedy (1997, p. 41) cita que no
Papiro Rhind (1650 a.C.) há um problema que fornece as dimensões de uma pirâmide
quadrada e pede o seqt, que é a razão entre comprimento do apótema da base da pirâmide (a)
dividida pelo comprimento de sua altura (b).
Figura 8.:Seqt
Fonte: www.egiptologia.org/.../papiro_rhind.htm
Esta relação é equivalente à função que damos o nome de cotangente.
As primeiras tabuas produzidas que possuíam anotações sobre o comprimento de uma
sombra produzida por um gnômom, usadas no Egito já em 1500 a.C, eram os primeiros sinais
do surgimento das funções tangente e cotangente.
25
Figura 9: Sombra de um gnômom
Na Figura 9, o segmento de reta b, representa um gnômom vertical e o segmento de
reta a representa sua sombra. O segmento d representa um gnômom horizontal e o segmento c
a sua sombra.
A razão existente entre os comprimentos a e b, nesta ordem, é equivalente a
cotangente do ângulo formado pelos raios solares e a horizontal. A razão entre os
comprimentos dos segmentos c e d, nesta ordem, representa a tangente do ângulo formado
pelos raios solares e a horizontal.
Desde a morte de Maomé seus discípulos se encarregaram de propagar o islamismo
por toda a Europa e Ásia, tendo êxito em seus planos de expansão da fé islâmica. Do ano 650
ao ano 1050 ocorreu a era considerada a “Idade de Ouro” do Islã. Foi neste cenário que
nasceu Al-Biruni (973-1048), natural do Uzbequistão, considerado um dos maiores cientistas
de todos os tempos.
Entre as contribuições de Al-Biruni para o estudo da Trigonometria, está a introdução
do uso da função tangente como a razão entre o seno e o cosseno. Juntamente com Abu’l-
Wefa, ele iniciou a utilização, em suas obras, do ciclo trigonométrico de raio igual a uma
unidade. Mas os matemáticos da época ainda tinham dificuldade em trabalhar com números
decimais, por esse motivo, não fizeram uso desta nova notação até a Idade Média.
Por volta de 1050, o Império Islão começou a perder sua força, sendo combatido por
diversas nações.
Nasîr Ed-din (1201-1274) era um matemático árabe que trabalhava em Bagdá. Ele
estava descontente com sua ocupação de astrólogo do governador e planejou fugir da corte,
mas teve seus planos descobertos e foi aprisionado.
Quando em 1256 os mongóis intentaram tomar a cidade de Bagdá, que tinha tornadose
a capital sede do islamismo, Nasîr foi libertado por eles em troca de ajudá-los a derrubar as
defesas da
CRONOGRAMA
CRONOGRAMA DE POSTAGENS DE MONOGRAFIA E ARTIGOS
	PRIMEIRA POSTAGEM
	PRÉ-PROJETO
	8 a 12 de SETEMBRO
	SEGUNDA POSTAGEM
	RESENHA, EMBASAMENTO
TEÓRICO, LEVANTAMENTO DE DADOS E DESENVOL-
VIMENTO
	6 a 10 de OUTUBRO
	TERCEIRA POSTAGEM
	CONCLUSÃO E TEXTO FINAL
	27 a 31 de OUTUBRO
CRONOGRAMA POSTAGENS MATERIAL DIDÁTICO OU JOGO
	PRIMEIRA POSTAGEM
	PRE-PROJETO: PROPOSTA MATERIAL DIDÁTICO OU JOGO
	8 a 12 de SETEMBRO
	SEGUNDA POSTAGEM
	RESENHA, EMBASAMENTO
TEÓRICO E DESENVOLVI-
MENTO DA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA PRESENTE NO MATERIAL DIDÁTICO
OU JOGO
	6 a 10 de OUTUBRO
	TERCEIRA POSTAGEM
	CONCLUSÃO E TEXTO FINAL E ENTREGA DO
MATERIAL DIDÁTICO
OU JOGO NO POLO
	27 a 31 de OUTUBRO
BIBLIOGRAFIA
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matemática_aplicada
http://www.imef.furg.br/index.php/ensino/grad/mat-aplicada.html
http://www.unifra.br/cursos/matematica/downloads/tfg2fernando.pdf