1 biela e manivela

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BIELA MANIVELA
O sistema de sólidos denominado de Biela Manivela, é composto por dois sólidos,
onde um apresenta movimento de rotação em torno de eixo fixo, e o outro movimento
plano. O estudo da dinâmica desse sistema, deve ser precedido do estudo cinemático do
mesmo.
CINEMÁTICA
O sistema ilustrado na figura, é constituído por dois elementos ou elos identificados 
respectivamente por AB e BC e conetados em B por articulação. 
O elo AB gira em torno de eixo fixo
que passa pelo ponto A, no instante
ilustrado, apresenta posição angular
θAB , velocidade angular
ωAB=θ˙AB e aceleração angular
αAB=ω˙AB .
O elo BC apresenta em C, eixo
corrediço guiado por rasgo horizontal,
ou seja, o ponto C desloca-se apenas
na direção horizontal. No instante
ilustrado, o elo BC apresenta posição angular θBC , velocidade angular ωBC=θ˙BC e aceleração 
angular αBC=ω˙BC . 
Nota: 
Os vetores que representam as grandezas angulares são ortogonais ao plano do 
movimento, ou seja, possuem a direção do versor ( k^ ) com sentido dado pela regra 
da mão direta. Por exemplo, o sentido da velocidade e da aceleração angulares do elo 
AB, é igual ao do versor ( k^ ). Portanto pode-se afirmar que o “sentido anti-horário”
é positivo.
O centro de massa do elo AB é determinado pelas distâncias “a” e “b” medidas em relação ao 
sistema de eixos A(x1, y1) ligado ao mesmo. O centro de massa do elo BC é determinado pelas 
distâncias “c” e “d” medidas em relação ao sistema de eixos B(x2, y2) ligado ao mesmo.
O estudo da cinemática do sistema tem como objetivo facilitar o estudo da dinâmica do mesmo, 
ficando estabelecido que as grandezas de interesse serão, a aceleração do centro de massa e a 
aceleração angular de cada sólido. Por princípio, as dimensões relevantes dos sólidos serão 
considerados conhecidas, assim como algumas grandezas cinemáticas que definem o movimento do
sistema.
X
Y x1
y1
x2
y2
c d
a
b
A
B
C
qAB
qBC
CMAB
CMBC
wAB
aAB
As dimensões consideradas previamente conhecidas, serão a distância entre os pontos A e B, a 
distância entre os pontos B e C, as dimensões que determinam os Centros de Massa de cada elo, ou 
sejam, “a”, “b”, “c” e “d”. 
As grandezas angulares previamente conhecidas, e que determinam o movimento do elo AB, ou 
sejam, posição angular θAB , velocidade angular ωAB=θ˙AB e aceleração angular αAB=ω˙AB .
Ressalte-se que o resultado final do estudo, serão expressões vetoriais que relacionam as diversas 
grandezas cinemáticas, portanto as grandezas previamente conhecidas, podem ser alteradas sem 
grandes problemas.
Este desenvolvimento utiliza um sistema de referência inercial A(x,y,z) e outros dois sistemas de 
eixos ligados aos sólidos, ou seja, que deslocam-se com os mesmos A(x1;y1;z1) e B(x2;y2;z2).
A posição do ponto C: r⃗ C=C−A=x⋅i^ .
Da soma vetorial, tem-se: (C−A )=(B−A)+(C−B) .
Sendo: (B−A)=AB⋅cosθAB⋅i^+AB⋅senθAB⋅j^ e (C−B)=BC⋅cosϕ⋅i^−BC⋅senϕ⋅j^ .
Tem-se: x⋅^i=(AB⋅cosθAB+BC⋅cosϕ)⋅i^+(AB⋅senθAB−BC⋅senϕ)⋅j^ .
Impondo a igualdade vetorial:
x=AB⋅cosθAB+BC⋅cosϕ eq. 01; 
0=AB⋅senθAB−BC⋅senϕ ou 
AB⋅senθAB=BC⋅senϕ eq. 02
Recuperando e derivando a equação
eq. 01, em relação ao tempo: 
x=AB⋅cosθAB+BC⋅cosϕ =>
vC= x˙=−AB⋅θ˙AB senθAB−BC⋅ϕ˙⋅senϕ
Como: θBC=180−ϕ ==> θ˙BC=ωBC=−ϕ˙ e ωAB=θ˙AB resulta:
vC= x˙=−AB⋅ωAB⋅senθ AB+BC⋅ωBC⋅senϕ eq.03
Recuperando e derivando a equação eq.02, em relação ao tempo:
AB⋅senθAB=BC⋅senϕ ==> AB⋅θ˙AB⋅cosθAB=BC⋅ϕ˙⋅cosϕ
Resulta: AB⋅ωAB⋅cosθAB=−BC⋅ωBC⋅cosϕ eq.04
A velocidade angular do elo BC é: ωBC=
−AB⋅ωAB⋅cosθAB
BC⋅cosϕ
eq.05
Recuperando a equação eq. 03 e substituindo o resultado anterior:
vC=−AB⋅ωAB⋅senθAB+BC⋅ωBC⋅senϕ => vC=−AB⋅ωAB⋅senθAB+
−AB⋅ωAB⋅cosθAB⋅senϕ
cosϕ
ou
X
Y x1
y1
x2
y2
c d
a
b
A
B
C
qAB qBC = 180 - jj
CMAB
CMBC
wAB
aAB
vC=−AB⋅ωAB⋅(senθAB+
cosθAB⋅senϕ
cosϕ
) => vC=−AB⋅ωAB⋅(
senθAB⋅cosϕ+cosθAB⋅senϕ
cosϕ
)
Da trigonometria sabe-se que o seno da soma de ângulos, é dado por:
sen (α±β)=senα⋅cosβ±senβ⋅cosα
Para os ângulos de interesse: sen(θAB+ϕ)=senθAB⋅cosϕ+senϕ⋅cos θAB
Recuperando e substituindo na equação da velocidade do ponto C...
vC=−AB⋅ωAB⋅(
senθAB⋅cosϕ+cosθAB⋅senϕ
cosϕ
) => vC=
−AB⋅ωAB⋅sen(θAB+ϕ)
cosϕ
eq.06
Retomando e derivando a equação eq.04, em relação ao tempo:
AB⋅ωAB⋅cosθ AB=−BC⋅ωBC⋅cosϕ
AB⋅ω˙AB⋅cosθ AB−AB⋅ωAB⋅θ˙AB⋅sen θAB=−BC⋅ω˙BC⋅cosϕ+BC⋅ωBC⋅ϕ˙⋅senϕ
Note-se que: θ˙AB=ωAB , ω˙AB=αAB , ϕ˙=−ωBC e ω˙BC=αBC
Tem-se: AB⋅αAB⋅cos θAB−AB⋅ωAB
2 ⋅senθAB=−BC⋅αBC⋅cosϕ−BC⋅ωBC
2 ⋅senϕ
A aceleração angular do elo BC é:
αBC=
AB⋅ω AB
2 ⋅senθ AB−AB⋅αAB⋅cosθAB−BC⋅ωBC
2 ⋅senϕ
BC⋅cosϕ
eq.07
A equação (eq.07), atinge um dos objetivos ... agora os outros ...
Retomando a equação eq.03, e derivando em relação ao tempo:
vC=−AB⋅ωAB⋅senθAB+BC⋅ωBC⋅senϕ
v˙C=aC=−AB⋅ω˙AB⋅senθAB−AB⋅ωAB⋅θ˙AB⋅cosθAB+BC⋅ω˙BC⋅senϕ+BC⋅ωBC⋅ϕ˙⋅cosϕ
Lembrando que: θ˙AB=ωAB , ω˙AB=αAB , ϕ˙=−ωBC e ω˙BC=αBC
Tem-se: aC=−AB⋅α AB⋅senθAB−AB⋅ωAB
2 ⋅cos θAB+BC⋅αBC⋅senϕ−BC⋅ωBC
2 ⋅cosϕ eq.08
Resumindo o que se tem até agora:
1. Vetor velocidade angular do elo AB: ω⃗AB=ωAB⋅k^ ;
2. Vetor aceleração angular do elo AB: α⃗AB=αAB⋅k^ ;
3. Vetor aceleração do ponto A do elo AB: a⃗ A=zero ;
4. Vetor velocidade angular do elo BC: ω⃗BC=
−AB⋅ωAB⋅cos θAB
BC⋅cosϕ
⋅k^ ;
5. Vetor aceleração angular do elo BC:
α⃗BC=
AB⋅ω AB
2 ⋅senθAB−AB⋅αAB⋅cosθAB−BC⋅ωBC
2 ⋅senϕ
BC⋅cosϕ
⋅k^
6. Vetor aceleração do ponto C, do elo BC:
a⃗C=(−AB⋅αAB⋅senθAB−AB⋅ωAB
2 ⋅cosθAB+BC⋅αBC⋅senϕ−BC⋅ωBC
2 ⋅cosϕ)⋅^i=aC⋅^i .
Calculando a aceleração do Centro de Massa, do elo AB:
a⃗CM
AB= a⃗A+α⃗AB∧(CM AB−A )+ω⃗AB∧[ω⃗ AB∧(CM AB−A)] eq.09
As dimensões “a” e “b” permitem
determinar a posição angular do
Centro de Massa considerando o
sistema de eixos A(x1; y1; z1):
tanβAB=
b
a
→ βAB=arctan
b
a
;
A linha que une o ponto A ao ponto CMAB tem posição angular definida por: θAB+βAB , desta 
forma:
(CM AB−A )=√a2+b2⋅cos(θAB+βAB)⋅^i+√a2+b2⋅sen (θAB+βAB)⋅ j^=D⋅i^+E⋅ j^
Sendo: D=√a2+b2⋅cos (θAB+βAB) e E=√a2+b2⋅sen(θAB+βAB)
Recuperando e substituindo na equação eq.09 …
a⃗CM
AB= a⃗A+α⃗AB∧(CM AB−A )+ω⃗AB∧[ω⃗ AB∧(CM AB−A)] note que: a⃗ A=zero
a⃗CM
AB=α AB⋅k^∧(D⋅i^+E⋅ j^)+ωAB⋅k^∧[ωAB⋅k^∧(D⋅^i+E⋅j^)]
Desenvolvendo os produtos vetoriais ...
a⃗CM
AB=α AB⋅D⋅ j^−α AB⋅E⋅i^−ωAB
2 ⋅D⋅^i−ωAB
2 ⋅E⋅ j^
Reescrevendo ...
a⃗CM
AB=−(αAB⋅E+ωAB
2 ⋅D)⋅i^+(αAB⋅D−ωAB
2 ⋅E)⋅ j^ eq.10
ou …
a⃗CM
AB=−(αAB⋅√a2+b2⋅sen (θAB+βAB)+ωAB2 ⋅√a2+b2⋅cos (θAB+βAB))⋅^i+
+(αAB⋅√a2+b2⋅cos (θAB+βAB)−ωAB2 ⋅√a2+b2⋅sen(θAB+βAB))⋅ j^
eq.10
X
Y x1
y1
x2
y2
c d
a
b
A
B
C
qAB qBC = 180 - jj
CMAB
bAB
CMBC
wAB
aAB
Último objetivo, a ser alcançado: a aceleração do Centro de Massa do elo BC.
a⃗CM
BC =a⃗C+α⃗BC∧(CM BC−C )+ω⃗BC∧[ω⃗BC∧(CM BC−C)] eq.11
As dimensões “c” e “d” permitem
determinar a posição angular do
Centro de Massa:
tanβBC=
d
BC−c
→ βBC=arctan
d
BC−c
;
A linha que une o ponto C ao ponto CMBC tem posição angular definida por: ϕAB+βBC , desta 
forma:
(CM BC−C)=−√(BC−c)2+d2⋅cos (ϕ+βBC )⋅^i+√(BC−c)2+d2⋅sen(ϕ+βBC)⋅j^=F⋅i^+G⋅ j^
sendo: F=−√(BC−c)2+d2⋅cos(ϕ+βBC) e G=√(BC−c)2+d2⋅sen(ϕ+βBC)
Recuperando e substituindo na equação eq.11:
a⃗CM
BC = a⃗C+α⃗BC∧(CM BC−C)+ω⃗BC∧[ω⃗BC∧(CM BC−C)]
a⃗CM
BC =ac⋅^i+αBC⋅k^∧(F⋅i^+G⋅j^)+ωBC⋅k^∧[ωBC⋅k^∧(F⋅i^+G⋅j^)]
Efetuando os produtos:
a⃗CM
BC =aC⋅^i+αBC⋅F⋅ j^−αBC⋅G⋅^i−ωBC
2 ⋅F⋅i^−ωBC
2 ⋅G⋅j^
Reagrupando os termos:
a⃗CM
BC =(aC−αBC⋅G−ωBC
2 ⋅F)⋅^i+(αBC⋅F−ωBC
2 ⋅G)⋅j^ eq.12
Recuperando: 
a⃗C=(−AB⋅α AB⋅senθAB−AB⋅ωAB
2 ⋅cos θAB+BC⋅αBC⋅senϕ−BC⋅ωBC
2 ⋅cosϕ)⋅i^=aC⋅^i
Identificando:
ac=−AB⋅αAB⋅senθAB−AB⋅ω AB
2 ⋅cosθAB+BC⋅αBC⋅senϕ−BC⋅ωBC
2 ⋅cosϕ
X
Y x1
y1
x2
y2
c d
a
b
A
B
C
qAB qBC = 180 - jj
CMAB
bAB CMBC
wAB
aABbBC
Substituindo os valores F e G na equação eq. 12:
F=−√(BC−c )2+d2⋅cos(ϕ+βBC) ; G=√(BC−c)2+d2⋅sen(ϕ+βBC)
aCMx
BC =−AB⋅α AB⋅senθAB−AB⋅ωAB
2 ⋅cosθAB+BC⋅αBC⋅senϕ−BC⋅ωBC
2 ⋅cosϕ+
−αBC⋅√(BC−c)2+d2⋅sen (ϕ+βBC )+ωBC2 ⋅√(BC−c)2+d2⋅cos (ϕ+βBC )
aCMy
BC =−αBC⋅√(BC−c )2+d2⋅cos(ϕ+βBC )−ωBC2 ⋅√(BC−c)2+d2⋅sen (ϕ+βBC )
eq.12
Resumo do estudo da cinemática do sistema Biela Manivela:
ELO AB:
Dimensões conhecidas:
AB; a ;b
Grandezas cinemáticas conhecidas: θAB ; ω⃗AB=ωAB⋅k^ ; α⃗AB=αAB⋅k^ ;
Grandezas Calculadas:
βAB=arctan (
b
a
) D=√a2+b2⋅cos (θAB+βAB) E=√a2+b2⋅sen(θAB+βAB)
a⃗CM
AB=−(α AB⋅E+ωAB
2 ⋅D)⋅^i+(α AB⋅D−ωAB
2 ⋅E)⋅^j
ELO BC:
Dimensões conhecidas: BC; c; d 
Grandezas Calculadas:
ϕ=arcsen(
AB⋅senθAB
BC
)
ωBC=
−AB⋅ωAB⋅cos θAB
BC⋅cosϕ
βBC=arctan (
d
BC−c
)
F=−√(BC−c)2+d2⋅cos(ϕ+βBC)
G=√(BC−c)2+d2⋅sen(ϕ+βBC)
αBC=
AB⋅ωAB
2 ⋅senθAB−AB⋅αAB⋅cosθAB−BC⋅ωBC
2 ⋅senϕ
BC⋅cosϕ
aC=−AB⋅αAB⋅senθAB−AB⋅ωAB
2 ⋅cosθAB+BC⋅αBC⋅senϕ−BC⋅ωBC
2 ⋅cosϕ
a⃗CM
BC =(aC−αBC⋅G−ωBC
2 ⋅F)⋅^i+(αBC⋅F−ωBC
2 ⋅G)⋅j^
X
Y x1
y1
x2
y2
c d
a
b
A
B
C
qAB qBC = 180 - jj
CMAB
bAB CMBC
wAB
aAB
bBC