Calculo Vetorial - Aula 4

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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
 
 
Aula 4 – 31/03/14 
Professora: Carla Pinheiro Moreira 
 
 
Aula 4 - 31/03/2014 
 
• Ângulo entre Vetores 
• Vetores no Plano e no Espaço 
• Correção Listas de Exercícios 
 
 
12. Ângulo entre dois vetores: 
 
O ângulo entre dois vetores 
𝑢
 e 
𝑣
 , não nulos, denotado por θ = ang 
𝑢
 , 
𝑣
 = BÂC, é 
o ângulo entre os segmentos orientados que representam os vetores, com a restrição 
0⁰ ≤ θ ≤ 180 ⁰, quando as origens dos vetores são transportadas para um mesmo 
ponto A. 
 
 
 
 
 
 
Da geometria plana sabemos que w² = u² + v² − 2uv cos α, chamada de Lei dos 
cossenos, onde u, v e w são os lados de um triângulo qualquer e α é um ângulo 
interno ao triângulo, oposto ao lado w. 
 
 
Vetorialmente w = u + v 
 
 
 
 
 
 
 
Note que o ângulo entre os vetores u e v é θ e não o α. Temos que α + θ = 180⁰ e 
cosα = − cos θ. Logo, de w² = u² + v² − 2uv cos α vem que: 
w² =|u + v |² = u² + v² + 2uv cos θ. Quando o ângulo entre dois vetores é 90⁰, dizemos 
que eles são ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Exemplo: Dois vetores a e b, onde | a|= a = 2 e | b |= b = 6 formam entre si um 
ângulo de 120⁰. Determine o módulo da soma de a + b e da diferença de b - a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.Vetores no Plano e no Espaço: 
 
13.1 Vetores no Plano: 
 
Dados os vetores 
𝑣𝑥
 e 
𝑣𝑦
 , unitários e ortogonais, representar graficamente o 
vetor: 
𝑣
 = 
𝑣𝑥
 + 
𝑣𝑦
 (soma vetorial método do paralelogramo). 
 
 
O vetor 
𝑣
 é um combinação linear de 
𝑣𝑥
 e 
𝑣𝑦
 , da mesma forma , o vetor 
𝑢
 = 2
𝑣𝑥
 + 2
𝑣𝑦
 é uma combinação linear de 
𝑣𝑥
 e 
𝑣𝑦
 e os números 2 e 2 são 
chamados de componentes ou coordenadas de 
𝑢
 em relação á base 
B = 
𝑣𝑥
, 
𝑣𝑦
 
Dentre as infinitas bases ortogonais no plano, a mais importante é a base 
que determina o conhecido SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL xOy. 
 
Os vetores ortogonais e unitários do plano cartesiano, são idênticos aos 
vetores 
𝑣𝑥
 e 
𝑣𝑦
 , e simbolizados pelas letras 
𝑖
 𝑒
𝑗
 ambos com origem em 
O e extremidades em (1,0) e (0,1) , respectivamente, sendo a base C= 
𝑖
 , 
𝑗
 , denominada de base canônica. 
 
Qualquer vetor 
𝑣
 no plano cartesiano com origem no ponto O(0,0) é 
representado por: 
 
 
𝑣
 = x
𝑖
 + y
𝑗
 ou 
𝑣
 =(x,y) 
 
• Os números x e y são as componentes de 
𝑣
 em relação á base = 
𝑖
 , 
𝑗
 , o vetor x
𝑖
 é a projeção ortogonal de 
𝑣
 sobre 
𝑖
 (ou sobre o 
eixo dos x) e y
𝑗
 é a projeção ortogonal de 
𝑣
 sobre 
𝑗
 (ou sobre o eixo 
dos y). 
 
 
 
 
 
 
 
A cada vetor 
𝑣
 do plano pode-se associar um par ordenado (x,y), de 
números reais onde a primeira componente x é chamada de abscissa e a 
segunda y de ordenada. 
 
A cada ponto P(x,y) do plano xOy corresponde o vetor 
𝑣
 = 
𝑂𝑃
 = x
𝑖
 + y
𝑗
 , 
sendo O a origem do sistema , desta forma o plano cartesiano pode ser 
encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. 
 
 
Ponto Médio 
 
 
 
 
13.2 Vetores no Espaço 
Tal qual foi feito no plano, a todo ponto P = (x,y,z) do espaço associamos o 
vetor 
𝑢
 com ponto inicial na origem O = (0,0,0) e ponto final em P e 
denotamos simplesmente o vetor 
𝑢
 = (x,y,z). 
As operações de adição, subtração, multiplicação por escalar e produto 
escalar, bem como suas interpretações geométricas e vetoriais e suas 
propriedades são exatamente as mesmas que para vetores no plano, 
apenas com uma coordenada a mais. 
 
 
 
 
14. Módulo de um vetor: 
 
 
Exemplos: