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* Bioestatística Distribuição de Probabilidades Prof. Herbert Oliveira, D. Sc. * Introdução Cientificamente, o conhecimento de um dado fenômeno: Domínio das “Leis” que vinculam as causas aos efeitos. “Fenômenos determinísticos”: “Respondem da mesma forma a provas repetidas sob condições idênticas” Exigem um tempo maior , estudos apurados e contribuições de gerações de pensadores. Ex.: a água ferve a 1000 C ao nível do mar. * Introdução Exemplos de Fenômenos determinísticos: Ebulição da Água; Condução de eletricidade em soluções aquosas de sais; Corrosão de chapas de ferro ao ar livre; Lançamento Obliquo de corpos; Queda livre; Transferência de Calor; Deformação dos materiais; Lei da Gravitação Universal. * Introdução Problema: “Fenômenos cujos resultados são imprevisíveis”. Dependentes do acaso; Não seguem leis causais; São inexplicáveis Estocásticos ou aleatórios São sujeitos às leis do acaso; Resultantes de um conjunto de causas desconhecidas. * Introdução – Conceitos Solução: “Modelo probabilístico”. Pesquisa as possíveis regularidades ou simetrias para várias repetições; Modelo matemático adequado ao universo dos eventos aleatórios, cujos resultados são desconhecidos ou imprevisíveis; Exemplo: lançamento de uma moeda. Não se pode prever o resultado Para um milhão de lançamentos, é possível prever o número de caras e coroas. * Introdução “Teoria da Probabilidade” Uso original: “jogos de azar”. Atualidade: uso crescente em “fenômenos sócio-econômicos” Inferências e tomadas de decisão em eventos que envolvem risco. Governo: definição de políticas fiscais considerando seu impacto na oferta, demanda, inflação e o déficit público; Escolas: definição de vagas com base em dados de reprovados por série. * Introdução Hospitais: dimensionamento de leitos com base nos dados de tempo de permanência dos pacientes; Empresas: contratação de pessoas, lançamento de novos produtos, aquisição de novas tecnologias, quando esperam melhorar a rentabilidade dos negócios; * Terminologia - Conceitos Experimento Aleatório (E) Sujeito a influências de fatores casuais Conseqüência: não se pode precisar o seu resultado. Características: Repetições sob as mesmas condições O conjunto de todos os resultados possíveis pode ser descrito, porém não se pode afirmar ao certo que resultado ocorrerá Repetição do experimento: regularidade dos resultados * Terminologia - Conceitos Exemplos Típicos Lançar um dado e observar a face superior Lançar uma moeda observar a face de cima Lançar um dado várias vezes e observar a sequência dos resultados Retirar um bola de uma urna e observar a cor Selecionar uma carta de um baralho e observar o naipe * Terminologia - Conceitos Outros Exemplos Análise do clima local Estudo sócio-econômico * Terminologia - Conceitos Espaço Amostral (S) Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório (E) Exemplos: Moeda: {cara, coroa} Dado: { 1,2,3,4,5,6} Bola da urna: {amarela, branca, azul, vermelha, verde, preta} Baralho: { ás, 2,3,4,...., valete, dama, ...} * Terminologia - Conceitos Espaço Amostral (S) Finito ou infinito: conforme o número de pontos seja contável (A= dias da semana) ou não (B=pontos de uma reta); Discreto ou contínuo: conforme o número de elementos seja contável (A= 1,2,3...) ou expressável em uma sequência (B=x/x€ N). * Terminologia - Conceitos Evento Qualquer subconjunto do espaço amostral S Representado por uma letra maiúscula qualquer do alfabeto: A, B, C,....Z Se um espaço amostral S possui n elementos, então possuirá 2n subconjuntos ou eventos. Evento S: evento certo. Conjunto vazio: evento impossível Um elemento: evento elementar * Terminologia - Conceitos Eventos Dependentes: a ocorrência de um condiciona, depende ou vincula o acontecimento de outro; Independentes: a ocorrência de um não altera as chances de os outros ocorrerem. Um não afeta os outros. * Terminologia - Conceitos Exemplo 1 Lançamento de um dado Evento S: {1,2,3,4,5,6} Evento A: Ocorrer número par. A: {2,4,6} Evento B: Ocorrer número ímpar. B: {1,3,5} Evento C: Ocorrer número primo. C: {2,3,5} Evento D: ocorrer um número maior do que 6. D: {Ø} * Terminologia - Conceitos Exemplo 2 Uma moeda é lançada duas vezes Evento S: {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} Evento A: Ocorrer coroa (C) no primeiro lançamento. A: {(C, K), (C, C)} Evento B: Ocorrer cara (K) no primeiro lançamento. B: {(K, K), (K, C)} Evento C: Ocorrer no máximo uma cara (K). C: {(K, C), (C, K), (C, C)} Evento D: ocorrer duas caras. D: {(K, K)} * Terminologia - Conceitos Atividade em Grupo Exercícios 4.2, 4.3 e 4.4 (pág. 78 apostila Estatística) * Terminologia - Conceitos Operação com Eventos A união e a interseção de conjuntos servem de operadores que combinados com eventos, podem produzir eventos distintos. União de Eventos A e B: AUB. Ocorre quando A, B ou ambos ocorrem. Interseção de Eventos A e B: A∩B. Ocorre quando A e B ocorrem simultaneamente. Evento complementar de um evento A: ocorre quando A não ocorre. * Terminologia - Conceitos Exemplo No lançamento de um dado, sejam os eventos: A: ocorrência de número par. A:{2,4,6} B: ocorrência de número ímpar. B:{1,3,5} C: ocorrência de número menor que 4. C:{1,2,3} Obtenha: AUB c) A∩B AUC d) complementos. * Terminologia - Conceitos Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se eles não ocorrem simultaneamente. A∩B = {Ø} Exemplo: Lançamento de um dado: A: ocorrência de número par e B: ocorrência de número ímpar são mutuamente exclusivos. * Terminologia - Conceitos Atividade em Grupo: Exercícios 4.5 a 4.13 (pág. 79 apostila Estatística) * Cálculo de Probabilidade Probabilidade de um evento Seja E um experimento aleatório com espaço amostral S:{s1, s2,...., sk) e suponha que o experimento tenha sido repetido N vezes, nas mesmas condições. A razão entre o número de vezes que um evento elementar {si} ocorre e a quantidade de repetições N é chamada de freqüência relativa fi. Assim, * Cálculos de Probabilidades Pode-se observar que: A freqüência relativa de um evento A tende a se estabilizar na vizinhança de um determinado valor quando número de repetições do experimento é suficientemente grande. * Cálculos de Probabilidades Para o experimento aleatório E e o espaço amostral S = {si}, associamos um número real P(Si) = Pi, denominado de probabilidade do evento elementar Si, de modo que: Cada probabilidade assume valores de zero a 1. O somatório das probabilidades de todos os eventos elementares é igual a 1. * Cálculos de Probabilidades A freqüência relativa de um evento A contido no espaço amostral S tende a se estabilizar em torno de um valor quando o número de repetições N é muito grande. A probabilidade de um evento ocorrer é função de sua frequência relativa. * Cálculos de Probabilidades A probabilidade P(A) de um evento A de um espaço amostral S é a soma das probabilidades dos eventos elementares que o constituem. Os valores das probabilidades Pi de um evento elementar definem uma distribuição de probabilidades sobre S. * Operações com Probabilidades Teorema 1: Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos. P(AUB) = P(A) + P(B) Teorema 2: Sejam f, A e B eventos quaisquer de um espaço amostral S. P(f) = 0 P(S) = 1 (evento certo) Se Ā é o complemento de A: P(Ā) = 1- P(A) * Operações com Probabilidades Se A B: P(A) ≤ P(B) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) * Operações com Probabilidades Exemplo de Aplicação: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de: Obtermos um número maior que 2 e primo Obtermos um número menor que 4 ou primo Não obtermos um número menor que 5 * Operações com Probabilidades Solução: Obtermos um número maior que 2 e primo Evento A: obter um número maior que 2. P(A) = 4/6 = 2/3 = 0,67 Evento B: obter um número primo. P(B) = 3/6 = 1/2 = 0,50 P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(AUB) P(A∩B) = 0,33 * Operações com Probabilidades Atividade em Grupo Exercício 4.14 a 4.20 (Apostila) (Pag. 83) * Probabilidade condicional Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral finito S. A probabilidade do evento A condicionada ao evento B, denotado por P(A/B), isto é, a probabilidade do evento A visto que B ocorreu, é a probabilidade do evento A ocorrer adotando-se B como sendo o novo espaço amostral em substituição a S. * Probabilidade condicional Exemplo de Aplicação 1: no lançamento de um dado é observado o número da face superior. Consideremos os eventos: A face é um número ímpar A face é um número maior que 1. Qual a probabilidade de ter sido um número ímpar sabendo que é maior que 1? Solução: P(A/B) = 2/5. * Probabilidade condicional Dados dois eventos A e B de um espaço amostral finito S, se P(B)>0, então podemos definir a probabilidade de ocorrência do evento A condicionado a ocorrência do evento B ou probabilidade de A dado B, por: ,onde P(A) e P(A∩B) são calculados em relação ao espaço amostral S. * Probabilidade condicional Exemplo de Aplicação 2: A tabela a seguir retrata a distribuição do número de formandos por curso em uma Universidade U distinguindo-se o sexo: Uma pessoa é escolhida ao acaso. * Probabilidade condicional Qual é a probabilidade de: A pessoa fazer biologia, ser do sexo feminino? A pessoa ser do sexo feminino, fazer biologia? A pessoa fazer engenharia, ser do sexo masculino? A pessoa ser do sexo masculino, fazer direito? * Probabilidade condicional Solução: A pessoa fazer biologia (A), ser do sexo feminino (B)? P(A/B) = 40/80 = 0,5 A pessoa ser do sexo feminino (C), fazer biologia (D)? P(C/D) = 40/70 = 4/7. A pessoa fazer engenharia (E), ser do sexo masculino (F)? P(E/F) =0,2 A pessoa ser do sexo masculino (G), fazer direito (H)? P(G/H) = 50/80 = 5/8. * Probabilidade condicional Exemplo de Aplicação 3: No lançamento de dois dados, considere os eventos: O primeiro dado apresenta o número 2. A soma dos dois números é 6. Calcule P(A/B) e P(B/A). * Probabilidade condicional Exemplo de Aplicação 3: O primeiro dado apresenta o número 2. A: {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} na = 6 A soma dos dois números é 6. B: {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} na = 5 * Probabilidade condicional Exemplo de Aplicação 3: Solução: * Probabilidade condicional Atividade em Grupo Exercício 4.21 a 4.23 (Apostila) (Pag. 85)
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